Phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua lớp bài toán sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp nhằm nâng cao kết quả thi tốt nghiệp THPT trường THPT lang chánh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG KỸ THUẬT NHÂN LIÊN HỢP NHẰM NÂ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA LỚP BÀI TOÁN SỬ DỤNG KỸ THUẬT NHÂN LIÊN

HỢP NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ THI TỐT NGHIỆP

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH

Người thực hiện: Nguyễn Văn Long Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán.

MỤC LỤC

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.5 Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm

2

2.2 Thực trạng

2.2.1 Thực trạng trước khi nghiên cứu

2.2.2 Hệ quả của thực trạng trên

3 4

2.3.1 Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để giải phương trình 4

2.3.2 Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để giải bất phương trình 13

2.3.6 Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp trong số phức

2.4 Kết quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

3.2 Kiến nghị

16 19

20 21 21

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài:

Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi

vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.

Trong thực tế giảng dạy ở trường Trung học phổ thông, đặc biệt là học sinh lớp 12 của trường tôi ở mức độ học lực trung bình cao, điểm đầu vào môn toán thấp Khi gặp các bài toán có sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp các em lúng túng

và không tìm ra hướng giải bài toán

Bản thân các bài toán sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp cũng rất đa dạng Có nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp tốt, và phải có sự liên

hệ với các kiến thức lại với nhau thì mới giải quyết được.Với khoảng thời gian ngắn các em muốn giải quyết được bài toán có liên quan tơi nhân liên hợp, yêu cầu các em phải nhớ đựơc dạng để áp dụng

Hiện nay có rất nhiều tài liệu đề cập đến cách giải các bài toán có sử dụng

kỹ thuật nhân liên hợp, tuy nhiên lý thuyết, ví dụ và bài tập minh hoạ chỉ là một phần nhỏ trong các mục, kiến thức về nhân liên hợp chưa được xâu chuỗi thành

hệ thống lý thuyết và bài tập

Để giúp các em đạt kết quả cao trong kỳ thi Trung học phổ thông quốc gia tôi xin được giới thiệu sáng kiến kinh nghiệm" Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp

để giải toán trung học phổ thông” Sáng kiến kinh nghiệm này giúp các em nhận

ra dạng của bài toán có sử dụng tới nhân liên hợp, áp dụng và giải giải nhanh được dạng toán cơ bản, từ đó nâng cao được kiến thức để giải các các dạng toán thường gặp trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia, và các dạng khác liên quan đến nhân liên hợp và làm cho học sinh thấy được sự gần gũi và quan trọng của toán học trong cuộc sống hằng ngày

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh trung học phổ thông giải quyết các bài toán có liên quan đến hàm kỹ thuật nhân liên hợp Giúp cho các em đạt điểm cao trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Sáng kiến kinh nghiệm có đối tượng nghiên cứu là các bài toán có liên quan đến kỹ thuật nhân liên hợp

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiều phương pháp như: nghiên cứu tài liệu, thuyết trình, quan sát, điều tra cơ bản, thực nghiệm so sánh, phân tích kết quả thực nghiệm, … phù hợp với môn học thuộc lĩnh vực Toán

2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1 Cơ sở lý luận:

Sáng kiến này dựa trên các bài toán phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, các dạng toán giới hạn, bài tập tích phân và số phức, trong

- Biểu thức liên hợp:

Biểu thức liên hợp tổng quát:

( a  b)( a  b) a b

( a b )( a b ) a b2

(3 a 3 b)(3 a2  3 ab  3 b2) a b

(n a n b)(n a n 1 n a b n 2 n b n 1) a b

2.2 Thực trạng trước khi nghiên cứu:

2.2.1 Thực trạng trước khi nghiên cứu:

Sau một thời gian dạy học môn toán trong chương trình toán trung học phổ thông Tôi nhận thấy một số vấn đề như sau:

Trong sách giáo khoa các bài toán sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp không

ít, không có lời giải chi tiết do đó học sinh thường không có định hướng để giải bài toán tương tự Nhưng thực tế các bài toán yêu cầu học sinh cần có kinh nghiệm biến đổi thì mới giải quyết được đặc biệt là kỹ thuật nhân liên hợp

Trường tôi lại là một trường ở miền núi, điều kiện kinh tế khó khăn Số lượng học sinh trung bình chiếm hơn 70%,và chủ yếu học sinh học ban cơ bản.Tư duy của các em còn nhiều hạn chế do đó khi gặp các bài toán sử dụng kỹ thuật này, các em thường không có định hướng phải giải bài toán như thế nào? Qua các bài kiểm tra định kì, kiểm tra thường xuyên ở hai lớp 10A5 và 11A6 tôi thấy học sinh thường không tìm được hướng giải quyết Vì thế điểm kiểm tra thường thấp chưa cao Cụ thể bài kiểm tra lớp 10A5 trước khi tôi chưa đưa ra sáng kiến “Hướng dẫn học sinh áp dụng kỹ thuật sử dụng nhân liên hợp

để giải quyết một số bài toán” kết quả đạt được như sau:

Lớp 10A5 ( Tổng số học sinh 39)

Lớp 11A6 ( Tổng số học sinh 41)

2.2.2 Hệ quả của thực trạng trên:

Chính vì vậy mà học sinh các lớp tôi dạy ban đầu thường lúng túng khi gặp các bài toán sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp

Với những kinh nghiệm đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản thân Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này để giúp các em có thể làm nhanh và tốt bài toán thực

tế có liên quan đến kỹ thuật nhân liên hợp Tôi mong muốn giúp các em làm bài tốt bài thi tốt nghiệp trung học phổ thông, bồi dưỡng cho các em lòng say mê, yêu thích môn Toán Biết áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn Thấy được những tác dụng to lớn của Toán học trong thực tiễn

2.3 Các biện pháp sử dụng để giải quyết vấn đề:

2.3 1 Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để giải phương trình đại số:

a Dạng phương trình

Thường là những phương trình chứa căn thức

b Cách giải

- Thường loại phương trình dạng này ta thường nhân cả tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp ở mẫu số để đưa về phương trình tích

- Hoặc có thể nhẩm nghiệm của phương trình để xuất hiện thừa số của tích

mà ta phải phân tích, từ đó xác định biểu thực liên hợp cần phải nhân thêm

c Một số điểm cần lưu ý khi giải phương trình

Sai lầm thường gặp của học sinh:

- Không đặt điều kiện cho phương trình

- Học sinh không nhẩm nghiệm nên không biết nhân biểu thức liên hợp nào

để đưa về phương trình tích

- Không biết giải phương trình tích

- Rút gọn biểu thức làm mất nghiệm của phương trình

d Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho phương trình

x2 x 2x2 x 3 21x 17

Gọi S là tổng nnghiệm của phương trình sau thuộc tập nghiệm nào sau đây:

A S=3 B S=2 C S=52 D S=72

(Đề thi khảo sát chất luợng 12, THPT chuyên KHTN Năm học 2018-2019)

Lời giải Chọn A

Phân tích: Ta nhẩm được hai nghiệm x1,x  Do đó phương trình sẽ 2

có 2 nghiệm với nhân tử chung dạng (x 2)(x 1)x2  3x2

Do đó với 2 biểu thức căn còn lại phải ghép lại có dạng

2

2x x 3 (ax b) , (cx d) 21x 17

với , , , a b c d thỏa các hệ

1











b

1: 21 17 21.1 17 1 3

1









d

Khi đó ta có lời giải như sau

Điều kiện: 21x 17 0. Khi đó phương trình tương đương với

( )   2x  x 3 (x1) (3x 1) 21x 17 (x  3x2) 0

2 2

2

2

x x

Do

17 , 21

x

 

suy ra 2

1 0

2x  x  3 x 1 x  x   nên (1) x2  3x  2 0 x  hoặc 1 x  S=1+2 =32.  Vậy chọn đáp

án A

Ví dụ 2 Giải phương trình

2 3x4 3 5 x9x2 6x13

Gọi S là tổng bình phương các nghiệm thì giá trị của S là:

A S  S3 B  C S 21  D S 4

(Đề thi khảo sát 12, THPT Giao Thuỷ Nam Định Năm học 2019-2020)

Lời giải Chọn B

Phân tích: Ta nhẩm được hai nghiệm của phương trình là: x0, x1 Khi đó

ta cần ghép hai căn thức với bậc nhất dạng

2 3x4 ( ax b ) , 3  5x9 ( cx d ) ,

trong đó

2

b









và

3

d









Khi đó ta có cách giải như sau

Phương trình đã cho tương đương với

2

2 3x4 ( x2) 3 5x 9 (x3) x x

2

x x

2

0 0

1

x

x







Do

4 , 3

x

 

suy ra

1 0

3x4  x 2  5x  9 x 3   Các nghiệm cần tìm là x1, x0 S12 02  1 Chọn B

Ví dụ 3 Giải phương trình

3 2x 1x 5 4 x2 4x2

Giả sử x1 x2 khi đó tổng S2x1  x2 là bao nhiêu:

(Đề thi khảo sát 12, THPT Giao Thuỷ Nam Định Năm học 2019-2020) Lời giải Phân tích: Nhẩm nghiệm tìm được 2 nghiệm

1 , 1 2

nên ghép bậc nhất để liên hợp

Với 2x  thì 1

2

1

a

b











 Với 5 4x 2 thì

2

3

b











Khi đó ta có lời giải sau, Điều kiện:

2 x 2 

 Nhận thấy

1 2

x 

là một nghiệm của phương trình

 Với

1

2

thì

3 2x 1 (2 x 1) x 5 4 x  ( 2x3)  3(2x  3x1) 0

2 2

2

2

x

x x

2 1

2

(loại) hoặc x 1.

 nghiệm cần tìm là

1

1,

2

2

 Chọn C

Nhận xét Trong bài toán này, ta phải xét hai trường hợp, nguyên nhân là do khi

liên hợp có biểu thức

1

2

Chính biểu thức dưới mẫu số này làm cho phép biến đổi không xác định, đó là sai lầm thường gặp của học sinh

Ví dụ 4 Cho phương trình

3x 5 2 19 3 x 30 2 x2  7x11

Gọi S là tổng của tất cả các nghiệm phương trình trên, khi đó S là giá trị nào:

S

(Đề thi tham khảo trên Violet.vn Năm học 2018-2019)

Lời giải

Phân tích Sử dụng casio tìm được 2 nghiệm x2, x của phương trình Khi 3

đó ta sẽ ghép bậc nhất với từng căn thức tương tự như các ví trên và có lời giải sau

Điều kiện:

5

3

Phương trình tương đương với

2 3

3x 5 (x 1) 2( 19x 30 x) 2x 10x 12

3

3

3

  

x

2 0

  

x

x R

(x 2)(x 3) 0 x 2

      hoặc x 3

Vậy tổng các nghiệm S 2 3 5    Chọn D

Bài tập áp dụng

Giải các phương trình sau

1 3x2  5x 1 x2  2  3x2  x 1  x2  3x4

2 2x 3 x 2x 6

2 2

2

9

x

x

4 3x2 3x 2 (x6) 3x2  2x 3

5 3x 1 6 x 3x2  14x 8 0

6 x3  x2  2x10 2( x2  x 1) x 1 6

2.3.2 Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để giải bất phương trình:

a Cách sử dụng:

Ta thường dụng kỹ thuật này để đưa bất phương trình về dạng xuất hiện thừa số trung ở 2 vế sau đó đặt nhân tử chung để có thể giải được bất phương trình của chúng dưới dạng tích

Khi nhân biểu thức liên hợp ta thường chú ý tới việc có làm thay đổi tập xác định của bất phương trình hay không

Khi nhân liên hợp ta kết hợp với các kỹ thuật phân tích đã nói ở phương trình

b Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho bất phương trình

x

5



Gọi tập nghiệm của bất phương trình có dạng a;b

khi đó S a b  là

A S 1

4

4

4

4



Lời giải: Điều kiện: x 1

4



Khi đó bất phương trình tương đương với:

5

3 2 4 1)  nên x  1 0   x  1

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là

4

khi đó tổng S 1 1 3



 Chọn B

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình

x

x2

12 8



A

    



3



C

    

    

Lời giải Chọn C

x

x2

12 8



 có điều kiện: 2 x 2 Nhân vế trái của biểu thức liên hợp 2x4 2 2 2  x được

2 2

Bình phương 2 vế ta được

   

2

Với

3

  , ta có:



Vì

3

  nên x6  4 0 và 12x 8 0

2

2

8

2 8 2

x2

3





hoặc x 4 2

3

3



3

  

  , ta có:

2 2

Nhân vế phải với biểu thức liên hợp của ta được :

x x

2 2

2

32 9

2 8



2

2

8

2 8 2

x2

x



3

   

 

Vậy bất phương trình có tập nghiệm

      

Bài tập tương tự

Giải các bất phương trình sau đây

x

x x x x

x

x

x x x x

x

2 2

(3 9 2 )

2



2.3.3 Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để tìm giới hạn vô định của dãy

số và hàm số:

a Phương pháp :

Mục đích nhân liên hợp để khử các dạng vô định và đưa về các dạng xác định của hàm số

Khi tìm limk f n( )  m g n( )

trong đó lim ( ) lim ( )f n  g n  ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp

Sau khi nhân liên hợp ta thường đưa về dạng

( ) ( )

f n lim

g n ta thường chia cả tử

và mẫu cho n , trong đó k k là bậc lớn nhất của tử và mẫu

b Các ví dụ :

Các giới hạn về dãy số

Ví dụ 1: Tính giới hạn I lim n2  2n3  n

A. I 1. B. I 1 C. I 0 D. I 

Hướng dẫn giải Chọn B.

Ta có I lim n2  2n3  n  2  2 

2

lim



2

lim



lim



n

2

3

 





n

Ví dụ 2 : Tính limn 3 n3 3n2 1

bằng

A  1 B 1 C  D  

Lời giải

Chọn A.

Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) của: n 3 n3 3n2 1

Tacó:

3

2

2

2 3

3

1 3

 

n

Các giới hạn về hàm số

Ví dụ 1 Tìm giới hạn của hàm số 2

lim

2







x

x I

x

Bài giải: Nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử là  7x 10 2 

được:

x I

   

4

Vậy:

7 4



I

Ví dụ 2: Tìm giới hạn của hàm số: A xlim x2 x 3 x

 

Bài giải: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của  x2 x 3 x

là

x2 x 3  ta đượcx

2

2

3

x x

3 1

2

1 3



Vậy A 1

2



Bài tập tương tự : Tính các giới hạn sau đây

3

1 lim 3 2 lim 8 1 2

3 lim 3 lim

2.3.4 Sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để giải bài toán tích phân:

a Phương pháp chung: Thông thường ta thường dung kỹ thuật này áp

dụng để giải bài toán tích phân có chứa căn ở mẫu, sau khi nhân liên hợp ta thường rút gọn mẫu số của biểu thức chứa dấu tích phân

Khi nhân biểu thức liên hợp ta phải chú ý biểu thức liên hợp phải xác định trên cận của tích phân

b.Các ví dụ:

Ví dụ 1 : Tìm nguyên hàm của hàm số sau đây   1 1 2dx

Bài giải: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp  x2 x1

được

Ví dụ 2: Tính tích phân sau

x dx

2

0  1



Bài giải: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức là x(  1x2) ta được:

1 2

1

Đặt

x

x

2

2

1

1



Đổi cận:

   





  

1

7 2 2



Mà

x

1

15



Vậy: I 2 2 1

15



Các bài tập tương tự

2

1 2

3 4

1 1

2.3.5 Sử dụng nhân biểu thức liên hợp trong số phức:

a Định nghĩa và tính chất số phức khi giải toán

Cho số phức z = a + bi Số phức z = a – bi gọi là số phức liên hợp với số

phức z Vậy z =  a bi = a - bi

Chú ý: 10) z = z  z và z gọi là hai số phức liên hợp với nhau.

20) z z = a2 + b2

*) Tính chất của số phức liên hợp:

(1): z z

(2): z z ' z z'

(3): 'z z z z '

(4): z z =

2

2 2

a b z (z = a + bi )

b Các ví dụ về sử dụng số phức liên hợp của số phức

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn i

z i

5(z i) 2 (1) 

 

 Tính môđun của số phức

z z2

1

   

Giải: Giả sử z a bi a b  ( , )

a bi i i a i b a bi ai bi i

1

Thay vào     1 z z2      1 1 i 1 2 2 3i  i   4 9  13 Vậy môđun    1 z z2 của là 13

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn:

i

i

2(1 2 )

1



của số phức    z 1 i

Giải: Giả sử z a bi 

i

i

2(1 2 )

1



 Nhân cả tử và mẫu của biểu thức

i i

2(1 2 ) 1



 với 1  ta đượci

i i

i

2

2

2(1 2 )(1 )

1



a bi ai bi i i i i

Do đó   3 2 1i   i 4 3i   16 9 5 

Ví dụ 3: Tính môđun của số phức z biết: z(2  1)(1 ) (i  z1)(1 ) 2 2 (1) i   i

Giải: (1) (2a2bi 1))(1 ) (i  a bi 1)(1 ) 2 2 i   i

 2a2ai2bi2bi2  1 i a ai bi bi   2  1 i 2 2i

 3a 3ba ai bi   2 2 2i  i

a

1

3







 Suy ra

z

Bài tập tương tự

1 Cho số phức thỏa z 3 Biết rằng tập hợp số phức w z i  là một đường tròn Tìm tâm của đường tròn đó

A I0;1. B I0; 1 . C I1;0. D I1;0

2 Cho số phức z a bi a b   , ,a0 thỏa mãn z 1 2 i 5 và z z 10 Tính  P a b

A P4. B P4. C P2. D P2.

3 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện

2 2

2.4 Kết quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục:

Sau khi giảng dạy cho học sinh tại trường trung học phổ thông lang chánh tôi nhận thấy:

- Học sinh nâng cao được kỹ năng biến đổi biểu thức cũng như các phương pháp giải toán

- Học sinh có thêm công cụ giải các bài toán phương trình, bất phương trình, giới hạn, tích phân, số phức

- Học sinh có thể xâu chuỗi các bài toán để có thể định hướng được cách giải phương trình một cách nhanh chóng

Số liệu thu thập của các lớp trước và sau khi áp dụng dạy cho các lớp như sau

Lớp 10A5 ( Tổng số học sinh 39)

Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Lớp 11A6 ( Tổng số học sinh 41)

Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Sau khi áp dụng kinh nghiệm