Rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc phân dạng và phương pháp giải các bài toán tích phân hàm ẩn nhằm nâng cao kết quả thi tốt nghiệp trường THPT lang chánh

MỤC LỤCSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH QUA VIỆC PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM ẨN NH

MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH QUA VIỆC PHÂN DẠNG

VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM ẨN NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ THI TỐT NGHIỆP THPT

TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH

Người thực hiện: Lê Thị Tuyết

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán

THANH HOÁ NĂM 2021

MỤC LỤC

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4 2.3.1 Sử dụng tích chất cơ bản của tích phân 4

2.3.3 Dùng phương pháp tích phân từng phần 9 2.3.4 Tính tích phân của hàm số khi biết đẳng thức giữa f x và   f x  11

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài.

Nghị quyết số 29 NQ/TW của Ban chấp hành Trung ương Đảng khóa XI về đổi mới giáo dục toàn diện đã đặt ra nhiều yêu cầu mới trong sự nghiệp phát triển giáo dục và đào tạo hiện nay Để đáp ứng những yêu cầu này, đòi hỏi người thầy phải luôn tìm tòi, nghiên cứu để đưa ra những phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh

Ý thức được vai trò của người thầy trong sự nghiệp đổi mới giáo dục, tôi luôn học tập, nghiên cứu để nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương pháp học dạy học, tạo ra hứng thú trong học tập cho các em

Toán học là một môn có nhiều ứng dụng trong cuộc sống Những kiến thức

cà kĩ năng của toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong cuộc sống một cách chính xác và hệ thống Vì vậy, toán học luôn nhận được sự quan tâm đặc biệt của học sinh, nhất là đối với các học sinh chuẩn bị bước vào

kì thi Tốt nghiệp trung học phổ thông Các dạng toán xuất hiện trong các đề thi rất đa dạng từ mức độ nhận biết đến vận dụng cao, đòi hỏi học sinh phải phát huy phải phát huy tối đa tính sáng tạo và nắm bắt bản chất vấn đề để giải quyết một cách nhanh chóng

Một trong những dạng toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi Tốt nghiệp THPT là những bài toán liên quan đến tích phân hàm ẩn Đối với dạng toán này, hệ thống bài tập sách giáo khoa chỉ đề cập đến những bài toán ở mức

độ dễ, trên lớp không có nhiều thời gian để học sinh rèn luyện, các tài liệu trên internet cũng khá nhiều, nhưng hầu như cũng chỉ đưa ra bài giải mà ít giải thích tại sao và làm thế nào để biến đổi được như vậy Do đó, học sinh thường lúng túng trong việc tìm ra hướng giải, thậm chí không có định hướng trong việc tìm

ra lời giải, dẫn tới việc khoanh “lụi” đáp án

Nhằm giúp các em có hứng thú học tập phần tích phân hàm ẩn, trang bị tốt

kĩ năng giải toán và chuẩn bị thật tốt cho kì thi THPT Quốc gia, tôi chọn đề tài

“Rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc phân dạng và phương pháp giải các bài toán tích phân hàm ẩn nhằm nâng cao kết quả thi tốt nghiệp trường THPT Lang Chánh” làm sáng kiến kinh nghiệm của mình

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Mục đích của nghiên cứu là giúp học sinh làm rõ vấn đề còn lúng túng, thậm chí không tìm ra hướng giải quyết của dạng toán tích phân hàm ẩn Góp phần gây hứng thú học tập cho học sinh Hơn nữa, nghiên cứu còn là một tài liệu tốt để phục vụ cho công tác dạy học và ôn thi cho học sinh của mình và chia sẻ đến các đồng nghiệp

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài này nghiên cứu tổng hợp về các phương pháp giải tích phân hàm ẩn

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi chủ yếu sử dụng phương pháp sau:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu các tài liệu liên quan đến đề tài của mình như sách giáo khoa, các đề thi tốt nghiệp THPT và các đề minh họa, đề thi thử của các trường trên cả nước

- Phương pháp điều tra, quan sát: Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành khảo sát ở hai lớp 12A3, 12A4 trường THPT Lang Chánh, năm học 2019-2020

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Từ đề thi tốt nghiệp THPT của những năm trước, cùng với các đề minh họa, đề thi của các Sở, các trường trên

cả nước, tôi đưa ra một số dạng tích phân hàm ẩn thường gặp, hướng tư duy và lời giải cho các bài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Ta đã biết, “tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết” [1] Hoàn cảnh (tình huống) có vấn đề kích thích con người tư duy Vì thế trong dạy học cũng như trong công tác giáo dục, phải đưa học sinh vào tình huống có vấn đề và hướng dẫn để các em tự giải quyết vấn đề

Việc định hướng và phát triển năng lực tư duy cho học sinh ở trường THPT

là yếu tố cần thiết cho tất cả các môn học nói chung và môn toán nói riêng Bởi

lẽ lượng kiến thức và bài tập trong bộ môn này khá đa dạng, phức tạp Ở mỗi chương, mỗi bài đều gây những khó khăn nhất định, điều này đặt học sinh vào những tình huống có vấn đề cần giải quyết Chương “Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng” [2] cũng không ngoại lệ

Các bài tích phân học sinh tiếp cận trong sách giáo khoa chủ yếu là dạng hàm tường minh, tức là hàm đã cho dưới dạng một biểu thức chứa biến, còn dạng hàm số bị ẩn đi (tích phân hàm ẩn) thì chỉ được đề cập đến ở mức độ thông hiểu, áp dụng tính chất của tích phân Còn những bài toán tích phân hàm ẩn ở mức độ vận dụng, vận dụng cao thì sách giáo khoa và sách bài tập chưa đề cập đến Nếu tham khảo trên internet, trên các phần mềm giải toán thì hầu như chỉ

có bài giải mà không giải thích chi tiết tại sao lại làm được như vậy Để giúp học sinh hiểu được bản chất, phương pháp định hướng trong việc tìm ra lời giải, tôi xin trình bày trong phần nội dung của đề tài

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Trong quá trình giảng dạy, tôi khảo sát hai lớp 12A3 và 12A4 của trường THPT Lang Chánh về mức độ nắm bắt phần kiến thức tích phân hàm ẩn của chương “Nguyên hàm-Tích phân và ứng dụng” thì nhận được kết quả sau

Bảng 1: Kết quả trước khi tiến hành nghiên cứu

Lớp chiếm (%)Số HS,

g

< 5 5 đến <6.5 6.5 đến< 8 8 đến <9 9 đến 10 12A

3

12A

4

Từ kết quả khảo sát và thực tế giảng dạy tại hai lớp, tôi nhận thấy rằng: Đa

số các em chỉ làm được các bài tích phân dạng tường minh, còn các bài tích phân hàm ẩn thì các em còn mơ hồ, còn lúng túng, thậm chí chưa có định hướng cho bài giải, việc nhận biết để phân dạng còn yếu,nhất là những bài ở mức độ vận dụng, vận dụng cao gặp trong các đề thi Chính vì điều này, tôi xây dựng

“Rèn luyện tư duy cho học sinh qua việc phân dạng và phương pháp giải các bài toán tích phân hàm ẩn nhằm nâng cao kết quả thi tốt nghiệp trường THPT Lang Chánh” để giúp các em có thể giải quyết bài toán này trong đề thi, tạo niềm tin và gây hứng thú trong học tập

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề.

Từ việc nghiên cứu các đề thi THPT Quốc gia, đề thi minh họa và các đề thi của các Sở, các trường trên cả nước, tôi rút ra một số dạng thường gặp và cách giải những dạng toán đó sẽ được trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm này Phần kiến thức cơ sở đã được trình bày rất hệ thống trong sách giáo khoa [2] nên tôi xin phép không nêu lại trong sáng kiến kinh nghiệm này Dưới đây là phương pháp giải của một số dạng tích phân hàm ẩn

2.3.1 Sử dụng tích chất cơ bản của tích phân.

Dạng toán này ở mức độ cơ bản, được khai triển từ sách giáo khoa Phương pháp giải dạng toán này là áp dụng các tính chất của tích phân:

Cho các hàm số f x g x liên tục trên    , Kvà , ,a b c là ba số bất kì thuộc

K Khi đó ta có

Tính chất 1: a   x 0

a

f x d 



Tính chất 2: b   x a   x

Tính chất 3:   x   x   x

Tính chất 4: b     x=b   x b   x

Tính chất 5: b   x b   x

với k  .

Ví dụ 1 [3]

Biết  

2

1

x 2

f x d 



Tính giá trị của  

2

1

3f x dx



Định hướng lời giải:

Áp dụng tính chất 5 ta có

3f x dx 3 f x dx 3.2 6. 

Vậy ta chọn đáp án C

Ví dụ 2 [5]

Biết  

4

3

4

f x dx







và  

4 3

3

g x dx







, khi đó    

4 3

2







bằng?

Định hướng lời giải:

Áp dụng tính chất 4 và tính chất 5 ta có:

Vậy ta chọn đáp án B

Ví dụ 3 [5]

Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm trên   1;2 , f  1 8, f  2 1 Tính  

2

1

f x dx







Định hướng lời giải:

2

2 1 1







Vậy D là đáp án cần tìm

Ví dụ 4 [5]

Cho hàm số f x liên tục trên   1;10 thỏa mãn   

10 0

7,

f x dx 



 

6

2

3

f x dx 



Định hướng lời giải:

Áp dụng tính chất 3 ta được

Suy ra        

7 3 4

Vậy đáp án đúng là A

Ví dụ 5 [5]

Cho 2   

1

4f x  2x dx 1.



Tính  

2 1

x

f x d



Định hướng lời giải:

Áp dụng tính chất 5 và định nghĩa tích phân ta được:

2   

1

4f x  2x dx 1



 

 

 

2

1

2

1

1

f x dx

f x dx

f x dx





Vậy A là đáp án cần tìm

2.3.2 Phương pháp đổi biến.

Thông thường, nếu trong bài toán xuất hiện dạng b     x

a

f u x u x d  



thì ta

sẽ đặt u x   Đối với dạng này cần lưu ý: t   x  

và phải đổi cận

Ví dụ 1 [5]

Cho hàm số f x liên tục trên    và thỏa mãn  

1 5

9

f x dx







Tính

2

0



Nhận xét: Hàm u x    1 3x nên ta sẽ đặt 1 3x  .t Sau đó đưa về

Định hướng lời giải:

Đặt

1

3

Đổi cận: x  0 t 1;x  2 t 5

dt

Vậy C là đáp án của bài toán.

Ví dụ 2 [5]

Cho hàm số f x liên tục có đạo hàm trên    thỏa mãn f  0  và3

f x  f  x x      Tính x  

2 0

x

f x d



A

5

7

4

8

3

Nhận xét: Đối với những dạng này, thông thường ta hay lấy tích phân hai

vế rồi dùng phương pháp đổi biến số để tính tích phân

Định hướng lời giải:

Lấy tích phân 2 vế với cận từ 0 đến 2 hai vế của biểu thức giả thiết, ta được:

2

8

3

casi

Đặt 2 x t   dx dt.

Đổi cận: x  0 t 2;x   2 t 0

Thay vào   ta được:    

Chú ý: Theo góc nhìn khác, bài toán hoàn toàn có thể được giải quyết khi

áp dụng bài toán tổng quát sau :

Cho hàm số f x thỏa mãn   A f x   B u f u .   C f a b x     g x 

+) Với

 

 

u b b









A B C



+) Với

 

 

u a b

u b a









A B C



Nếu f x liên tục trên   a b thì ;    x   x.

Thật vậy, trong ví dụ này, nếu ta thay a0;b2;A1;B1;C  thì0

 

2

 

Ngoài hai cách giải như ví dụ 2, tôi xin đưa ra hướng giải quyết theo một góc nhìn khác nữa, đó là tìm một hàm f x thỏa mãn giả thiết, sau đó thay trực 

tiếp vào tích phân cần tính Sau đây là một ví dụ minh họa

Ví dụ 3 [5]

Cho hàm số f x liên tục trên   0;1 thỏa mãn

2f x 3 1f  x  1 x Tính  

1 0

x

f x d



A 10









Định hướng lời giải:

Đặt t 1 x 2 1f   t 3f t   1 1 t2  2t t 2

Suy ra 3f x  2 1f   x  2x x2

Kết hợp với giả thiết, ta suy ra hệ

2 2







Khử f 1 x ta được   1 2 2

5

1

casi

Đối với một số bài, việc đổi biến số hay tìm hàm thỏa mãn đề bài lại gặp khó khăn Khi này, ta lại cần biến đổi chính biểu thức tích phân cần tính để tìm

ra hướng giải Sau đây là một ví dụ minh họa

Ví dụ 4 [5]

Cho hàm số f x liên tục và nhận giá trị dương trên   0;1 Biết rằng

1 0

x 1

d I

f x







A

3

1

Định hướng lời giải:

Đặt x  1 t dx dt.

Đổi cận: x  0 t 1;x    1 t 0

11 1 01 1 01 1

I

 

Vậy

1 2

I 

2.3.3 Dùng phương pháp tích phân từng phần.

Thông thường, nếu bài toán xuất hiện b     x,

a

g x f x d



ta sẽ đặt

 

 

u g x

dv f x dx













Ví dụ 1 [3]

Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên    Biết f  5  và1

 

1

0

5x x 1



Tính  

5 2 0

x

x f x d



123

Định hướng lời giải:

x x

du

u x

v f x d

dv f x d













5 2

0

Từ giả thiết  

1 0

5x x 1



, bằng phép đổi biến 5x t ta suy ra

 

5

0

xf x dx 25



Vậy I 25 2.25 25.

Ví dụ 2 [4]

Cho hàm số f x thỏa mãn      

1 0



và 2 1f    f  0 2 Tính tích phân  

1 0

x

I f x d

Định hướng lời giải:

x





1 0

1 0

 

1

0

f x d

Đối với một số bài toán, thông qua phương pháp tích phân từng phần, ta phải tìm được một hàm f x thỏa mãn bài toán bằng cách tạo ra hàm số dưới 

dấu tích phân có dạng tích của các biểu thức chứa f x hoặc   f x  bằng 0, từ

đó rút ra f x Sau đây là một ví dụ minh họa. 

Ví dụ 3 [4]

Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên   0;1 thỏa mãn

2 1

0

f   f x  d

1 2 1 0

1

3

Tính tích phân  

1 0

x

I f x d

7

7

4

Định hướng lời giải:

1 2 1

0

1

3

Đặt

3 2

x x

3

du f x d

u f x

x













1

1

0 0

1

 

1 3 0

x f x d

2

3

f x d f x d 

   

1

3 0

Do  

2 1

0

x 0

f x d 



nên f x   0

Vì thế f x  7x3

Kết hợp điều kiện f  1  ta được 0  

4

7x 7

Vậy  

4

I  f x d    

2.3.4 Tính tích phân của hàm số khi biết đẳng thức giữa f x và   f x 

Phương pháp: Đối với dạng toán này, ta có thể biến đổi theo hai hướng: Hướng 1: Cô lập f x và   f x  sau đó lấy nguyên hàm hoặc tích phân hai vế Lưu ý khi làm theo hướng này, f x  phải để trên tử

Hướng 2: Tìm mối liên hệ giữa f x và   f x  để đưa về biểu thức đạo hàm của tích hoặc thương, sau đó lấy nguyên hàm để tìm f x  

Ví dụ 1 [5]

Cho hàm số f x  với   0  x , f  0 1 và f x   x1f x  với 1

x

  Mệnh đề nào đúng?

A f  3 2 B 2 f  3  C 4 4 f 3  D 6 f  3  f  6

Định hướng lời giải:

Từ f x   x1f x  suy ra

 

1 1

f x



 Lấy tích phân hai vế của   với cận từ 0 đến 3 ta được

 

1

1

f x



       



 ln f  3   2 f  3 e2

Tương tự, lấy tích phân   với cận từ 0 đến 6, ta tính được e2 7 2 

Vậy ta chọn đáp án D

Ví dụ 2 [5]

Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên    thỏa mãn f  0  và1

f x  f x  e Tính  

1 0

x

xf x d

A 1 e B

1 1

e



2 1 3e



3 1 2e



Nhận xét: Từ giả thiết, ta không cô lập được f x và   f x  Vì vậy, ta giải quyết bài toán theo hướng thứ hai bằng cách nhân cả hai vế với e x2.

Định hướng lời giải:

Từ giả thiết suy ra

e f x  e f x   f x 

Lấy nguyên hàm hai vế ta được: f x e  x2 x2 C

Do f  0  nên 1 C 1

Suy ra   2

2 1

x

x

f x

e





2

2

2e

x

x x

e



Ví dụ trên nảy sinh ra một vấn đề: Làm sao để biết được nhân hai vế của đẳng thức với

2 ,

x

e liệu nhân biểu thức khác được không và cách tìm biểu thức

nhân và như thế nào? Vấn đề này sẽ được giải quyết bằng dạng toán tổng quát sau

Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên   K thỏa mãn

f x  p x f x q x  (với p x q x cho trước).   ,

Gọi P x là một nguyên hàm của hàm của   p x Khi đó, nhân cả hai vế 

của   với e P x  ta được

 

   

     

 

e f x e p x f x e q x

  f x e  P x e P x .q x 

Lấy nguyên hàm hai vế, ta chọn được hàm f x  

Ví dụ 3 [5]

Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên   \1;0 thỏa mãn

 1 2ln 2

f  và x x 1  f x  f x  x2 x 1   Biết f  2  a bln3 Tính giá trị a2 b2

A

3

27

9

2

Nhận xét: Ta có thể quy lạ về quen bằng cách chia cả hai vế cho x x  1

rồi áp dụng bài toán tổng quát ở trên để tìm biểu thức để nhân

Định hướng lời giải:

1

1

x x





Ta có

 

1

x ln

x



Chọn 1 0

x

x  và C 0 ta được   ln

1

x

P x

x



 Khi đó, nhân cả hai vế

của   với

 

1

P x x e

x



 ta được:

 

 2  

1

f x





Lấy tích phân từ 1 đến 2 hai vế ta được:

 



