Ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng, môn Toán còn rèn luyện cho học sinh các đức tính, phẩm chất của người lao động như: Tính cẩn thận, tính chính xác, tính kỉ l
Trang 1A MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng,
là môn học công cụ Nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác Hơn nữa, môn Toán còn góp phần phát triển nhân cách học sinh Ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng, môn Toán còn rèn luyện cho học sinh các đức tính, phẩm chất của người lao động như: Tính cẩn thận, tính chính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo…
Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi đội ngũ các thầy, cô giáo phải tích cực học tập, không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng khả năng tự học, khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại sự say
mê, hứng thú học tập cho học sinh
Trong quá trình thực tế giảng dạy học sinh khối 12 trường THPT Thạch Thành 2 trong những năm học đã qua và đặc biệt là năm học 2020-2021 , tôi thấy học sinh còn gặp rất nhiều lúng túng trong việc giải quyết một bài toán hình học
nói chung và đặc biệt là bài toán “Hình học giải tích trong không gian” nói riêng.
Bài toán hình học giải tích trong không gian là một dạng toán thường xuyên có mặt trong kỳ thi tốt nghiệp THPT và gây khó khăn cho học sinh Đây là phần tiếp nối của hình học không gian nhưng được nhìn dưới quan điểm đại số và giải tích Như vậy mỗi bài toán hình học giải tích trong không gian đều mang bản chất của một bài toán hình học không gian nào đó Tuy nhiên nhiều học sinh còn có tâm lý “bỏ luôn, không đọc đề” với những bài toán này Một số khác chỉ quan tâm tới việc tìm lời giải của bài toán đó mà không tìm hiểu bản chất hình học của nó Chính vì các
em không phân loại được dạng toán cũng như bản chất nên nhiều khi một bài toán tương tự nhau xuất hiện trong nhiều đề thi dưới các cách cho khác nhau mà học sinh vẫn không nhận ra được dạng đó đã từng làm
Có thể có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng nói trên, nhưng theo tôi, nguyên nhân chủ yếu là khi học hình học, học sinh không để ý đến các các định nghĩa, các định lý và các tính chất hình học Các phương pháp giải còn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp bài toán nào thì chỉ chú trọng tìm cách giải riêng cho bài toán đó mà không có một cách nhìn tổng quát Chính vì vậy dẫn đến tình trạng các em bị lúng túng trước các cách hỏi trong một bài toán mới
Với vai trò là một giáo viên dạy Toán và qua nhiều năm giảng dạy, để trao đổi cùng các thầy cô đồng nghiệp với mong muốn tìm ra hướng giải quyết đơn giản nhất cho một bài toán, làm cho học sinh nhớ được kiến thức cơ bản trên cơ sở
đó để sáng tạo Tôi xin trình bày kinh nghiệm của mình về việc giải quyết bài toán
“Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm” đó là
Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán “ Viết phương trình đường thẳng
có liên quan đến giao điểm ” trong đề minh họa và đề thi chính thức kỳ thi tốt nghiệp THPT qua các năm.
2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu là tìm ra phương pháp dạy học phù hợp cho từng đối tượng học sinh, để từ đó tạo hứng thú học tập cho các em, giúp cho các em hiểu rõ
Trang 2các dạng toán và định hướng cách giải cho một bài toán, cũng từ đó giáo viên rút
ra kết luận và đề xuất một số biện pháp cụ thể khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng học sinh, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học
3 Đối tượng nghiên cứu
+ Các phương pháp giải bài toán “Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm”
+ Các bài tập hình học giải tích trong không gian từ các đề minh họa và đề thi chính thức kỳ thi tốt nghiệp THPT qua các năm
4 Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên quan đến việc sử dụng phương pháp tọa độ, nghiên cứu chương trình giáo khoa của
bộ môn
+ Phương pháp nghiên cứu thực tế: Thông qua việc dạy và học môn hình học ở trường THPT Thạch Thành 2, từ đó rút ra một số nhận xét và phương pháp giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán
+ Phương pháp kiểm chứng sư phạm: Tiến hành dạy và kiểm tra khả năng ứng dụng của học sinh khối 12
B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1 Cơ sở lí luận
Trong học tập môn Toán thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của học sinh là hoạt động tư duy giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo đồng thời rèn luyện phát triển trí tuệ Vì vậy, nó được quan tâm nhiều trong dạy học Việc hướng dẫn cho học sinh tự học, tự nghiên cứu, biến quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo là một vấn đề cần thiết Đối với môn Toán, việc rèn luyện khả năng tư duy trìu tượng, tư duy logic, khả năng phân tích tổng hợp, dự đoán, tương tự hóa, khái quát hóa, biết liên hệ, xâu chuỗi kiến thức sẽ góp phần quyết định trong việc tìm ra lời giải của một bài tập hình học nói chung và các bài tập phần phương pháp tọa độ trong không gian nói riêng Do đó trong quá trình hướng dẫn học sinh làm bài tập giáo viên cần quan tâm đến vấn đề phát huy khả năng tư duy độc lập, định hướng tìm lời giải cho mỗi bài toán đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho các em
2 Thực trạng vấn đề
Sau nhiều năm dạy học môn Toán phần hình học giải tích trong không gian
ở trường THPT Thạch Thành 2, tôi nhận thấy một số vấn đề thực trạng như sau:
+ Trường THPT Thạch Thành 2 là một trường đóng trên địa bàn miền núi, học
sinh đại đa số là con em nông thôn có đời sống khó khăn Điểm chuẩn đầu vào của trường còn thấp, học sinh có học lực trung bình và yếu chiếm trên 60% nên việc học toán của các em còn nhiều hạn chế Bên cạnh đó còn có nhiều học sinh đi học với tâm lý là chỉ để thi tốt nghiệp, không tham gia xét tuyển vào các trường ĐH, cao đẳng…
+ Khi gặp một bài toán hình học, các em thường lúng túng trong việc định hướng
tìm lời giải và đa số lựa chọn "con đường" mò mẫm, thử nghiệm, đôi khi việc thử nghiệm đó có thể đi đến kết quả hoặc không đưa ra được kết quả, rõ ràng là sẽ mất nhiều thời gian và không nhận ra được bản chất của bài toán
Trang 3+ Bài tập phần hình học giải tích trong không gian đa dạng và khó nên học sinh
thường lúng túng khi làm bài tập phần này
+ Khi dạy xong nội dung phương pháp tọa độ trong không gian tôi thấy đa số học sinh mới chỉ làm được một số dạng bài tập đơn giản, những bài tập mang tính suy luận, đòi hỏi khả năng vận dụng, vận dụng cao thì các em không tự mình tìm được lời giải mặc dù trước đó khi giáo viên tiến hành giảng dạy các tiết chữa bài tập các
em tỏ ra khá hiểu bài Trong khi đó, các bài toán liên quan đến phần này ở các đề thi minh họa và đề thi chính thức kỳ thi tốt nghiệp qua các năm gần đây lại đòi hỏi tính suy luận cao Để giải được những bài toán này học sinh không chỉ phải nắm được các kiến thức của hình học giải tích mà còn phải phát hiện ra “điểm nút” của bài toán, đó là các tính chất hình học ẩn chứa trong mỗi bài toán Điều này dẫn đến kết quả làm bài của học sinh chưa được tốt
+ Khi dạy các dạng bài tập phần này, một thực tế thường xảy ra là nhiều giáo viên
đi theo lối mòn như: Nêu dạng toán, phương pháp giải chứ chưa phân tích cho học sinh thấy được trong bài toán tại sao lại phải đi tìm toạ độ điểm này trước, điểm kia
sau, ưu tiên đường này trước, đường kia sau, tính độ dài các đoạn thẳng , tính các
góc để làm gì? Tại sao lại kẻ thêm đường thẳng này, kẻ với mục đích gì?
3 Các giải pháp thực hiện
Để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán hình học giải
tích trong không gian, đặc biệt là bài toán “Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm” giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài
toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng liên hệ các tính chất của hình học không gian Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo các kiến thức hình học không gian là một điều cần thiết Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán
Thực hiện theo các bước sau:
1 Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua các buổi học
có sự hướng dẫn của giáo viên
2 Tổ chức rèn luyện khả năng phân tích, định hướng giải toán của học sinh
3 Tổ chức kiểm tra, đánh giá để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh
4 Trong mỗi bài toán hình học giải tích trong không gian đều yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất hình học không gian cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán
5 Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện
Sau đây tôi xin giới thiệu một số phương pháp giải bài toán “Viết phương
trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm” và những kinh nghiệm của mình
khi hướng dẫn học sinh lớp 12 áp dụng các phương pháp này vào việc ôn tập, giải các đề minh họa và các đề thi chính thức kỳ thi tốt nghiệp qua các năm.
Trang 4Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng d, biết d đi qua điểm M và cắt các đường thẳng 1 , 2
Phương pháp:
Cách 1:
+ Bước 1: Tham số hóa tọa độ các giao điểm A và B
Δ 2
Δ1
d
A
B M
+ Bước 2: Sử dụng điều kiện cùng phương để tìm tọa độ điểmA: A B M, , thẳng hàng nên AM k BM
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M và có VTCP là AM
Cách 2:
+ Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng P chứa 1 và đi qua điểm M
Δ2
Δ1
d
A
B
M
+ Bước 2: Tìm tọa độ điểm B P 2
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M và B
Cách 3:
+ Bước 1: Gọi P , Q là các mặt phẳng qua M chứa 1 và 2
+ Bước 2: Tìm tọa độ vectơ u d n P ,n Q
+ Bước 3: Lập PT đường thẳng d qua M nhận u d
làm VTCP
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho hai đường thẳng
1
:
Viết phương trình đường
thẳng d đi qua điểm M0;2; 4 và cắt hai đường thẳng 1 và 2
4 3
x t
4 3
4 3
x t
4 3
x t
Trang 5Lời giải
Cách 1: Gọi A B, là các giao điểm của d với hai đường thẳng 1 và 2
2 2 ;1 2 ; 1 4
, B 1 2 ';3 3 '; 2t t t'
Vì A B M, , thẳng hàng nên
Giải hệ PT trên ta tìm được A 1;4; 7 ,B1;0; 1 AB2; 4;6 2 1; 2;3
Đường thẳng d đi qua điểm M0; 2; 4 và có vectơ chỉ phương
1; 2;3
d
u
nên có phương trình là 2 2
4 3
x t
Cách 2:
Đường thẳng 1 đi qua A2;1; 1 và có VTCP u 1 2; 2;4
Gọi P là mặt phẳng chứa 1 và đi qua điểm M0;2; 4 MA 2; 1;3
1
, 2; 2; 2 2 1; 1; 1
Phương trình mp P là x y z 2 0 Phương trình tham số của 2
1 2
2
Gọi B P 2 Tọa độ của B là
nghiệm của hệ
hay B1;0; 1 MB1; 2;3
Đường thẳng d đi qua điểm M0; 2; 4 và có vectơ chỉ phương
1; 2;3
d
u MB
nên có phương trình là 2 2
4 3
x t
Cách 3: Đường thẳng 1 đi qua A2;1; 1 và có VTCP u 1 2; 2;4
2; 1;3
MA
Gọi P là mp qua M và chứa 1 P có VTPT n P MA u, 1 2; 2; 2
Đường thẳng 2 đi qua B 1;3; 2 và có VTCP u 2 2;3; 1
1;1;2
MB
Gọi Q là mp qua M và chứa 2 Q có VTPT n Q MB u, 2 7; 5; 1
Đường thẳng d đi qua điểm M 0; 2; 4 và có vectơ chỉ phương
Trang 6 , 8 1; 2;3
nên có phương trình là 2 2
4 3
x t
Nhận xét: Qua VD1, ta nhận thấy trong ba cách giải trên, mỗi cách có một nét
đặc trưng riêng Cách 1 có vẻ dễ hiểu hơn hai cách còn lại, song lại có những khó
khăn đối với học sinh, đó là việc các em phải giải hệ phương trình rất phức tạp mà không phải em nào cũng giải được Chính vì vậy, ta nên định hướng cho học sinh
áp dụng cách 2 hoặc cách 3 để giải.
Bài toán 2: Viết phương trình đường thắng d, biết d song song với và d cắt các đường thẳng 1 , 2
Phương pháp:
Cách 1:
+ Bước 1: Tham số hóa tọa độ các giao điểm A và B
d
u 1
2 B
A
+ Bước 2: Sử dụng điều kiện cùng phương để tìm tọa độ điểmA: d
nên AB ku
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A và có VTCP là u
Cách 2:
+ Bước 1: Viết PT mặt phẳng P chứa 1 và song song (hoặc chứa)
d u
1 2
+ Bước 2: Tìm tọa độ điểm B P 2
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B và song song với
Trang 7Ví dụ 2 : (Đề minh họa 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
:
:
Phương trình đường
thẳngd song song với đường thẳng
3
4
x
và cắt hai đường thẳng 1, 2 là
A. 23 .
3
x
B. 23 .
3
x
C. 23 .
3
x
D. 23 .
3
x
Lời giải
Cách 1: Gọi A d 1,B d 2
Ta có A 1 A 1 3 ; 2a a; 1 2 a, B 2 B1b b; 2 ; 1 3 b
Đường thẳng có VTCP u 0; 1; 1
Vì d AB u,
AB ku
3 2 0 3 2 1
Ta có A2; 3; 3 , B2; 2; 2 Đường thẳng d đi qua điểm A2; 3; 3 và có vectơ chỉ phương AB 0; 1; 1 nên phương trình là 2
3 3
x
Cách 2: Gọi P mặt phẳng chứa 1 và song song
Đường thẳng 1 đi qua M 1;2;1 và có vectơ chỉ phương u 1 3; 1; 2
Đường thẳng có vectơ chỉ phương u 0; 1; 1
Mặt phẳng P qua M 1;2;1 nhận nu u1, 1; 3;3
làm VTPT nên có phương trình là x3y 3z 2 0
Gọi B P 2 B2;2;2
Đường thẳng d qua điểm B và song song với nên phương trình
2 2 2
x
( Hai đường thẳng
2 2 2
x
) và
2 3 3
x
trùng nhau )
Trang 8Nhận xét: Qua hai cách giải trên, việc sử dụng cách giải nào để tiếp cận bài toán
là tùy thuộc vào cảm nhận của mỗi học sinh, tuy nhiên ta thấy trong mỗi cách đều
có những khó khăn riêng Đối với cách giải 1 học sinh phải đưa ra điều kiện cùng phương của hai vectơ, từ đó dẫn đến phải giải một hệ phương trình ba ẩn Đối với cách giải 2 học sinh sẽ khó khăn khi lập phương trình mặt phẳng P , mặt phẳng
P chứa đường thẳng 1 và song song hay chứa đường thẳng 2 và song song , để từ đó khi lập phương trình đường thẳng d , ta được phương trình có sẵn ở một trong bốn phương án hay phải kiểm tra xem đường thẳng d vừa lập đó
có phương trình trùng với phương trình ở đáp án nào.
Bài toán 3: Viết phương trình đường thắng d, biết d vuông góc với mp P và cắt các đường thẳng 1 , 2
Phương pháp:
Cách 1:
+ Bước 1: Tham số hóa tọa độ các giao điểm A và B
1
d n
2
(P)
B A
+ Bước 2: Sử dụng điều kiện cùng phương để tìm tọa độ điểm A
d P nên AB kn
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A và có VTCP là n
Cách 2:
+ Bước 1: Viết PT mặt phẳng Q chứa 1 và vuông góc với mp P
+ Bước 2: Tìm tọa độ điểm B Q 2
(Q)
1
d
n
2
(P)
B A
+ Bước 3: Viết PT đường thẳng d qua điểm B và vuông góc với mp P
Ví dụ 3: (Đề minh họa 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng
1
:
Trang 9 P x: 2y3z 5 0 Đường thẳng d vuông góc với P , cắt 1 và 2 có phương trình là
Lời giải
Cách 1: Giả sử đường thẳng d cắt hai đường thẳng 1 và 2 lần lượt tại A B, Phương trình tham số của
1
1
3
2
và
2
2
5 3
2
3 1;3 2 ; 21 1
, B5 3 ; 1 2 ;2 t2 t2 t2 Ta có
2 32 1; 4 2 2 2 ;41 2 1
AB t t t t t t
Vectơ pháp tuyến của P là
1;2;3
n Do AB và n cùng phương nên AB kn
1
2
2
1
t
t
Do đó A1; 1;0 , B2;1;3.
Đường thẳng d qua A1; 1;0 và có vectơ chỉ phương n 1;2;3 nên có phương
trình là : 1 1
Cách 2: Gọi Q là mặt phẳng chứa 1 và vuông góc với mp P
Đường thẳng 1 đi qua A3;3; 2 và có VTCP u 1 1; 2;1
Mặt phẳng P có VTPT là n P 1;2;3 Q qua A3;3; 2 và nhận
1, 4 2; 1;0
n u n
làm VTPT nên có phương trình là 2x y 3 0
Gọi B Q 2 Tọa độ của B là nghiệm của hệ
hay B2;1;3
Đường thẳng d qua điểm B2;1;3 và vuông góc với mp P nên nhận
1;2;3
P
n làm VTCP , do đó d có phương trình là
( Trùng với đường thẳng : 1 1
Trang 10Ví dụ 4: (Đề minh họa 2021) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
( ) : 2P x2y z 3 0 và hai đường thẳng 1: 1 1
x y z
, 2
Đường thẳng d vuông góc với ( ),P đồng thời cắt cả 1 và 2
có phương trình là
x y z
Lời giải
Cách 1: Phương trình tham số của
1
1
1 2 :
1 2
y t
và
2
2
2
1
Giả sử đường thẳng d cắt hai đường thẳng 1 và 2 lần lượt tại A B,
1 2 ; ; 1 21 1 1
, B2t2;2 ; 1t2 t2
Ta có AB 1 t2 2 ;2t1 t2 t1;t2 2t1
Vectơ pháp tuyến của P là n 2;2; 1
Do AB
và n cùng phương nên AB kn
1
2
0 1
t t
Do đó A1;0; 1 , B3;2; 2 Đường thẳng d qua B3;2; 2 và có vectơ chỉ phương n 2;2; 1 nên có phương trình là 3 2 2
Cách 2: Gọi Q là mặt phẳng chứa 1 và vuông góc với mp P
Đường thẳng 1 đi qua A1;0; 1 và có VTCP u 1 2;1; 2
Mặt phẳng P có VTPT là n P 2;2; 1
Q
qua A1;0; 1 và nhận n Q u n1, P 3; 2;2
làm VTPT nên có phương trình là 3x 2y2z 1 0
Gọi B Q 2
Tọa độ của B là nghiệm của hệ
hay B3;2; 2
Đường thẳng d qua điểm B3;2; 2 và vuông góc với mp P nên nhận
2;2; 1
P
n làm VTCP , do đó d có phương trình là 3 2 2