Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải một số dạng toán hình học không gian

MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tàiTrong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng gần đây, đề thi Trung họcphổ thông Quốc giaTHPTQG, đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thôngTHPTphần Hình học khô

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU

……….………2

1.2 Mục đích nghiên cứu……….……… 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….……… ….2

1.4 Phương pháp nghiên cứu…….……….……… ……3

1.5 Những điểm mới của SKKN ……… ….…… ………… 3

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm……… ………4

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……… 6

2.3.1 Các kiến thức cũ liên quan ………7

2.3.2 Phương pháp……… 9

2.3.3 Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải một số dạng toán Hình học không gian……….… 10

2.3.3.1 Dạng toán về góc và khoảng cách……… ….….10

2.3.3.2 Dạng toán về diện tích……….….22

2.3.3.3 Dạng toán về thể tích……….… 26

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường……….……32

2.4.1 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục thông qua hoạt động thực nghiệm sư phạm……….….….32

2.4.2 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường……….33

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1.Kết luận……… 34

3.2 Kiến nghị ……… ………34

1

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng gần đây, đề thi Trung họcphổ thông Quốc gia(THPTQG), đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông(THPT)phần Hình học không gian được ra dưới dạng mà học sinh có thể giải được bằng cảphương pháp hình học thuần tuý và cả phương pháp tọa độ Việc giải toán Hìnhhọc không gian bằng phương pháp hình học thuần túy gặp rất nhiều khó khăn chohọc sinh vừa học xong lớp 12, vì phần lớn các em ít nhiều đã quên kiến thức, kỹnăng đọc và vẽ hình, kỹ năng chứng minh trong không gian

Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải một số đạng toán hình học không gian

có rất nhiều ưu việt, tuy nhiên học sinh cũng gặp không ít khó khăn vì phươngpháp này không được đề cập nhiều trong các sách giáo khoa

Từ thực tế giảng dạy, trải qua quá trình tìm tòi và nghiên cứu, nhằm góp phầnnâng hiệu quả việc giảng dạy Hình học không gian cho học sinh Và cũng để gópphần mở rộng thêm hướng tiếp cận, khai thác và nâng cao hiệu quả giáo dục chohọc sinh, thông qua một số lần thử nghiệm tương đối thành công, tôi xin được

mạnh dạn đề xuất một sáng kiến, đó là: “Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải

một số dạng toán Hình học không gian”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải một số dạng toán Hình học không giannhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy nội dung này cho học sinh khối 12 Từ đó, giúpcác em tự tin hơn khi gặp dạng toán này trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao,thi THPTQG, thi tốt nghiệp THPT

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi tập trung nghiên cứu một số bài toán

Hình học không gian có thể giải bằng phương pháp tọa độ được giảng dạy sau khi học sinh học hết chương trình lớp 12 chuẩn bị thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng, thi THPTQG, thi tốt nghiệp THPT

Đề tài đã được và kiểm nghiệm thông qua việc giảng dạy lớp 12A1 trường THPT Cẩm Thủy 3 trong năm học 2019 – 2020

2

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận;

PP nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;

Điều tra, quan sát;

Thực nghiệm sư phạm

1.5 Những điểm mới của SKKN

Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải một số dạng toán Hình học khônggian Tăng cường hệ thống bài tập và một số dạng toán nhằm giúp học sinh nângcao kỹ giải toán nội dung này

3

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Theo Polya: trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiệncác chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhậnđược

Như vậy, kỹ năng giải toán có cơ sở là các tri thức Toán học (kiến thức, kỹnăng, phương pháp) Kỹ năng Toán học được hình thành và phát triển thông quacác hoạt động Toán học, hoạt động học tập môn Toán Kỹ năng có thể được rútngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động Trong giảng dạy cần rèn luyệncho học sinh các kỹ năng sau:

- Kỹ năng giải toán;

- Kỹ năng vận dụng quy tắc;

- Kỹ năng vận dụng tri thức vào giải toán;

- Kỹ năng chứng minh toán học;

- Kỹ năng đọc và vẽ hình;

- Kỹ năng tọa độ hóa.

Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinhđược tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó.Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :

 Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán

 Bước 2 : Xây dựng thuật giải

 Bước 3 : Thực hiện thuật giải

 Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp toạ độ.Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngônngữ hình học, giúp con người đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tượnghoá toán học trong nhiều lĩnh vực

Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặcbiệt là dạy hình học là hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vàogiải toán, nghĩa là biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về toạ độ điểm,

4

toạ độ vectơ và các công thức có liên quan vào giải toán Để giải một bài toán bằngphương pháp toạ độ ta thực hiện theo các bước sau :

 Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, chú ý đến vị trí

của gốc O, chuyển bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích

 Bước 2 : Giải bài toán hình học giải tích nói trên

 Bước 3 : Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tínhchất hình học tương ứng

Tuy nhiên qua thực tế, việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vàogiải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trình trừutượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học Do vậy, thôngqua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc giải bàitoán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ

5

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

2.2.1 Thuận lợi

Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chương trìnhlớp 11, làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng,giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng và khoảng cách giữa một sốđối tượng trong hình học không gian

Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làmcho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàngtiếp thu Mặt khác một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xâydựng khái niệm tọa độ trong không gian trong chương trình hình học lớp 12, mộtcông cụ hữu ích để giải nhiều bài toán hình học không gian

2.2.2 Khó khăn

Học sinh trường THPT Cẩm Thủy 3 đa số là người dân tộc thiểu số nhậnthức còn chậm, chưa hệ thống được kiến thức Khi gặp các bài toán hình họcthường khó phân loại và định hình được cách giải, lúng túng và thường bỏ quanhững bài tập dạng này Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12 Do chưatìm ra được phương pháp thích hợp để giải toán nên sẽ nhiều vướng mắc, từ đóthiếu hứng thú trong học tập

Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ độngphân tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải quyết bài toán mà các

em chỉ làm một cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, không chính xác, đôi lúckhông phân biệt được đâu là giả thiết, đâu là phần cần chứng minh Do đó kết quảkhông như mong đợi

Đặc biệt, từ năm 2017 đến nay việc tổ chức thi trắc nghiệm đối với bộ môntoán đã khiến nhiều học sinh có tư tưởng làm tù mù, không thực sự tập trung vàonhững phần khó dẫn đến kết quả chưa cao

6

2.3 Các giải pháp thực hiện

2.3.1 Các kiến thức cũ liên quan

a) Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm A x y z A; ;A A ,B x y z B; ;B B

Cách 1: Cho đường thẳng  đi qua M , có một véc tơ chỉ phương u và một

điểm A Khoảng cách từ A đến đường thẳng  được tính bằng công thức:

 ; 

,

A

u AM d

Cách 2:

+) Lập phương trình mặt phẳng  

đi qua A và vuông góc với 

+) Tìm tọa độ giao điểm H của  

và .+) d M ;   MH

d) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

e) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Cho hai đường thẳng chéo nhau   1 , 2 biết :

+)  1 đi qua điểm M và có một véc tơ chỉ phương là u1.

+)  2 đi qua điểm N và có một véc tơ chỉ phương là u2.

7

Cách 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng  1 và  2 được tính bằng côngthức:

 1 2 1 2

1 2

, ,

,

u u MN d

với mọi M thuộc  2

f) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ mộtđiểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia => quay về dạng toánkhoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

g) Khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng  

Cho hai đường thẳng:  1 có một véc tơ chỉ phương u1 x y z1 ; ; 1 1

2

 có một véc tơ chỉ phương u2 x y z2 ; ; 2 2

.Gọi  là góc giữa đường thẳng  1 và  2 Khi đó:

Cho: Đường thẳng  có một véc tơ chỉ phương ua b c; ; 

.Mặt phẳng  

có một véc tơ pháp tuyến nA B C; ; 

.Gọi  là góc giữa hai đường thẳng  và   Khi đó:

k) Diện tích tam giác và diện tích hình bình hành.

+) Diện tích tam giác ABC: 

l) Thể tích khối đa diện.

+) Thể tích khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ': V ABCD A B C D ' ' ' ' AB AD AA, . '

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp ( chú ý đến vị trí của gốc O).

Bước 2: Xác định các tọa độ điểm có liên quan (có thể xác định tọa độ tất cả

các điểm hoặc một số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựavào:

- Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ,mặt phẳng tọa độ)

- Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song, cùngphương, thẳng hàng, điểm chia đoạn để tìm tọa độ

- Xem điểm cần tìm là giao điểm của hai đường thẳng, đường thẳng và mặtphẳng

- Dựa vào các quan hệ về góc của đường thẳng và mặt phẳng

Bước 3: Sử dụng các kiến tức về tọa độ để giải quyết bài toán.

Các dạng bài thường gặp:

9

 Độ dài đoạn thẳng.

 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng

 Góc giữa hai đường thẳng

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

 Góc giữa hai mặt phẳng

 Thể tích khối đa diện

 Diện tích thiết diện

 Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc

 Bài toán cực trị, quỹ tích

2.3.3 Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải một số dạng toán Hình học không gian.

a Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)

b Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC với I là trung điểm củacạnh BC

; 0 ( a

S

a Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC):

Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến là i (1;0;0)

b.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC:

Vì I là trung điểm của BC 

a a I

uur uur uur

Bài toán 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi

E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là

trung điểm của BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007)

B

C I

12

Bài toán 3:

Cho tứ diện S.ABC có SC CA AB a   2,SC ABC

, tam giác ABC vuông

tại A Các điểm M SA N BC ,  sao cho AM CN t  0  t 2a Tính t để MN ngắn

nhất

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A O 0;0;0, tia Ox chứa AC, tia Oy chứa

AB và tia Oz cùng hướng với véc tơ CS Khi đó ta có

Vì tam giác SCA vuông cân ở C nên MHAK là hình vuông có cạnh huyền bằng t.

Gọi H là tâm của tam giác ABC

Vì M là trung điểm của BC

A z

H B

C

Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc A(0; 0; 0),

Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương AS; SB  nên có pháp vectơ n1

Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương AS; SC  nên có pháp vectơ n2

Bài toán 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với

AB = AC = a, góc BAC 120·  o, cạnh bên BB' = a Gọi I là trung điểm CC'.

Chứng minh tam giác AB'I vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng(ABC) và (AB'I)

Lời giải:

Gọi H là trung điểm BC  AH BC  tam giác ABH là nửa tam giác đều

15

cạnh AB = a

a AH

Vậy, tam giác AB/I vuông tại A

Phương trình mp(ABC): z = 0 có pháp vectơ n1  (0; 0; 1)

mp (AB/I) có cặp vectơ chỉ phương

a

B

C A

H

I

y x

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A O , tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz

chứa AS Khi đó: 0;0;0 ,  ;0;0 ,  ; ;0 , 0; ;0 , 0;0; , 0; ;

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h Gọi I là trung điểm của cạnh bên SC Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI).

Bài toán 8:

Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAD là tam

giác đều và mp SAD  mp ABCD 

Gọi M, N, P, K lần lượt là trung điểm của DC,

BC, SB, SD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MK và AP

và góc BAD· 60 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các

cạnh A D' ' và A B' ' Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A C' và MN.

Lời giải:

22

y

Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm tam giác ABC Gọi

I là trung điểm của BC, ta có:

Trong mặt phẳng (ABC) , ta vẽ tia Oy vuông góc với OA Đặt SO h , chọn hệ

trục tọa độ như hình vẽ ta được:

Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,

BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M là trung điểm SC Chứngminh tam giác MAB cân và tính diện tích tam giác MAB theo a

2a

M

C y H

B

A K x

Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc với

2a aA(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B ; ; 0

AA  a và vuông góc với mặt phẳng ABC

Gọi D là trung điểm của BB1 Lấy

điểm M di động trên cạnh AA1 Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MC D1 .

Lời giải:

24

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sao cho:

154

a S

25

2.3.3.3 Dạng toán về thể tích

Bài toán 1:

Cho hình chóp O.ABC có OA a OB b OC c ,  ,  vuông góc với nhau từng đôi

một Gọi M là điểm cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các

Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bằng a Gọi M và N lần lượt

là trung điểm của AD và BB’ Tính thể tích của khối tứ diện A CMN'

Lời giải:

27

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, ta có:

0;0;0 ,  ;0;0 ,  ; ;0 , 0; ;0 , ' 0;0; , ' ;0; , ' ; ; , ' 0; ;         

Thể tích của khối tứ diện A CMN' là:

1 ' , ' '6

Cho hình chóp SABC có độ dài các cạnh đều bằng 1, O là trọng tâm của tam

giác ABC và I là trung điểm của SO Mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M Tìm tỉ lệ thể

tích của tứ diện S.BCM và tứ diện S.ABC.

28

y

I

O B

A

C S

+ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

3

(1)3



SM SA

Theo giả thiết ta có AS, AB, AD đôi một

vuông góc, nên ta chọn hệ tọa độ Oxyz

sao cho O  A(0;0;0), Khi đó ta có:

M là trung điểm của AD 2 ;0)

2

; 0 ( a

; 0 ( ), 0

; 2

; ( ), 0

; 2

N là trung điểm của SC 2 ;2)

2

; 2 (a a a

N



I là giao điểm của AC và BM nên

I là trọng tâm của tam giác ABD 

a a I

; 0

Lời giải:

Gọi a b c, , là 3 kích thước của hình hộp chữ nhật, ta có abc 1 Xét hệ trục

Đề –các vuông góc Oxyz (O A )với tọa độ các điểm là :

)

; 2

; 0

; 0

; 0 ( ),

;

; 0 ( ' ),

;

; ( ' ),

; 0

; ( ' ),

; 0

; 0 ( ' ), 0

;

; 0 ( ), 0

;

; ( ), 0

; 0

b

a

J

c I c b D c b a C c a B c A b D b a C a

B

A

31x

A

I

JK