Hướng dẫn học sinh tiếp cận bài toán cực trị số phức nhằm nâng cao hiệu quả học tập

Để đạtđược điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh không cần chỉ nắm vững kiến thức cơ bản, làm thuần thục các dạng toán quan trọng mà cần có khả năng logic cao để tiếp cận vấn đề một các

MỤC LỤC Trang 1

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

2.1 Cơ sở lý luận 2

2 2 Thực trạng vấn đề 5

2.3 Giải pháp thực hiện 6

2.3.1 Bài toán cơ bản 6

2.3.2 Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng 8

2.3.3 Các bài toán cực trị liên quan đến đường tròn 1

3 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 1

9 3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 2

0

Tài liệu tham khảo

I MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài:

Từ năm học 2016-2017, trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, đề thimôn toán thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan.Chính điều này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học Để đạtđược điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh không cần chỉ nắm vững kiến thức

cơ bản, làm thuần thục các dạng toán quan trọng mà cần có khả năng logic cao

để tiếp cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giải quyết nhanh nhấtđến đáp án Đây thực sự là một thách thức lớn

Trong chương Số phức, học sinh đã bước đầu làm quen với các phép toáncộng, trừ, nhân, chia, khai căn, lũy thừa; lấy mô đun, …các số phức Bằng cáchđặt tương ứng mỗi số phứcz x yi x y   ,   ,i2  1

với mỗi điểm M x y ;  trênmặt phẳng tọa độ OXY, từ đó có thể sử dụng hình học để giải quyết các vấn đềkhó như xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của modul số phức, hay gọichung là bài toán tìm cực trị số phức Đặc biệt, trong các kỳ thi Đại học, Caođẳng và THPT Quốc gia những năm gần đây, việc sử dụng phương pháp Hìnhhọc để giải quyết các bài toán về Số phức là một trong những phương pháp kháhay và hiệu quả, đặc biệt là các bài toán về Cực trị trong số phức Hơn nữa, vớinhững bài toán Hình học theo phương pháp trắc nghiệm, nếu khi biểu diễn đượctrên giấy thì qua hình ảnh minh họa, ta có thể lựa chọn đáp án một cách dễ dàng

Trong quá trình giảng dạy, ôn thi tôi phát hiện ra rằng: rất nhiều bài toánkhó về số phức đều được xây dựng trên cơ sở một số bài toán cực trị hình họctrong mặt phẳng, nếu học sinh tiếp cận theo hướng đại số thuần túy về tính toán

sẽ rất khó giải quyết được vấn đề trong thời gian ngắn

Chính vì những lý do trên nên tôi tổng hợp các kinh nghiệm trong quátrình giảng dạy của mình, sưu tầm các dạng bài điển hình hay gặp trong các đề

thi để viết thành chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh tiếp cận bài toán cực trị số phức nhằm nâng cao hiệu quả học tập”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm này trước hết nhằm mục đích tạomột tài liệu tham khảo nhỏ giúp các em học sinh có học lực khá giỏi có thêmmột phương pháp tiếp cận nhanh và hiệu quả khi gặp những bài toán cực trị trêntập số phức Sau đó là khuyến khích các em dựa vào những tính chất cực trị hìnhhọc đã học để sáng tạo ra những bài tập hay trên tập số phức, qua đó giúp các

em phát triển tư duy logic, tổng hợp các phần, các chương đã học để chọn nhanhđược hướng tiếp cận đối với các câu hỏi trắc nghiệm ở mức độ vận dụng trongcác đề thi

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ giữa sốphức với hình học tọa độ trong mặt phẳng, qua đó chọn lọc một số bài toán cựctrị đặc trưng trong hình học rồi chuyển hóa nó thành các bài toán cực trị trongtập số phức

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán cực trị số phức,trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức hình học liên quan.Đặc biệt với riêng chuyên đề này giáo viên phải yêu cầu học sinh nắm vững mốiquan hệ giữa số phức với hình học tọa độ, các công thức chuyển đổi từ số phứcsang hình học Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình, các dữ kiện, yêucầu thường gặp để học sinh luyện tập nhiều, tạo ra “phản xạ” cho các em khigặp loại toán này Bước cuối cùng là yêu cầu các em sáng tạo thêm các đề toán

từ bài toán điển hình này cũng như từ các bài toán khác mà các em đã từng gặp

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lý luận.

Một số kiến thức cơ sở về số phức và phép toán:

2.1.1 Định nghĩa số phức

 Số phức z là một biểu thức có dạng z a bi  , trong đó a b, , i là một số thỏa mãn i 2 1

o Số phức z a 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết z a

o Số phức z 0 bi có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo và viết z bi

o Số phức z 0 0i0 vừa là số thực vừa là số ảo

 Số phức liên hợp của số phức z a bi  với a b, là số phức z a bi 

 Môđun số phức z a bi  là số thực không âm kí hiệu z  a2b2

 Như vậy, mô đun số phức z là z chính là khoảng cách từ điểm M biểu diễn

2 2

z z



 

Chú ý: i4k 1;i4k1i i; 4k21;i4k3i (k)

2.1.6 Căn bậc hai của số thực âm.

 Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z2 w được gọi là một căn thức bậc

2 của w Mỗi số phức w 0 có hai căn bậc 2 là hai số phức đối nhau là z và

z



o Trường hợp w là số thực w a 

Khi a 0 thì w có hai căn bậc 2 là a; a;

Khi a 0thì w có hai căn bậc 2 là i a

2.1.7 Phương trình bậc hai với hệ số thực.

 Cho phương trình bậc hai ax2 bx c  0 với a b c, , , a0

 Khi  0 phương trình có hai nghiệm phức: 1,2 2

b i x

a

  



 b2  4ac

2.1.8 Biểu diễn hình học của số phức.

 Biểu diễn hình học của số phức z x yi với x y  , trên mặt phẳng tọa độ làđiểm M x y ;  Khi đó z OM

 Biểu diễn hình học của hai số phức z và z là hai điểm đối xứng nhau quatrục Ox nên nếu quỹ tích điểm biểu diễn hai số phức z và z lần lượt là cáchình    C , C' thì hai hình đó cũng đối xứng nhau qua trục Ox

 Nếu điểm biểu diễn của hai số phức z z1, 2 là A B, thì

với M là trung điểm đoạn AB

 Cho điểm biểu diễn của hai số phức z z1, 2 là A B, Số phức z thay đổi thỏa

mãn z z 1  z z2 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là trung trực của đoạn AB

 Cho điểm biểu diễn của hai số phức z z1, 2 là A B, Số phức z thay đổi thỏa

mãn z z 1  z z2 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng.

 Cho z0 là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là I, một số phức z thayđổi thỏa mãn z z 0  R 0 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z chính làđường tròn tâm I bán kính R

 Cho z0 là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là I, một số phức z thayđổi thỏa mãn z z 0 R 0 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là miền trongđường tròn tâm I bán kính R.

 Cho z0 là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là I, một số phức z thayđổi thỏa mãn z z 0 R 0 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là miền ngoàiđường tròn tâm I bán kính R

 Cho hai số phức z z1, 2 không đổi có điểm biểu diễn là hai điểm A B, Một sốphức z thay đổi thỏa mãn z z 1  z z 2   a 0 Khi đó

+ Nếu z1  z2 a thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đường E-lip nhận,

A B làm hai tiêu điểm và độ dài trục lớn bằng a

+ Nếu z1  z2 a thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đoạn thẳng AB

2.2 Thực trạng của vấn đề:

Hiện nay khi gặp dạng toán cực trị trên tập số phức được phát triễn từ bàitoán cực trị hình học thường làm các học sinh kể cả những học sinh giỏi lúngtúng từ khâu phát hiện nút thắt mấu chốt cho đến cách xử lý Đa số các emkhông nhận ra “bẫy” trong đề bài, sa đà vào tính toán, gây mất thời gian màthường không thu được kết quả mong đợi

Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thờigian để biến đổi bài toán Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế chưa biếtcách phối hợp giữa tư duy hình học và tính toán đại số

Một thực tế nữa là nhiều học sinh khi làm bài toán loại này ở chương hìnhhọc thì làm được khá thành thạo nhưng khi ở chương số phức với ngôn từ, giảthiết khác thì các em lại không phát hiện ra vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà rấtlúng túng cứ như là gặp những bài toán mới

Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra bản chất vấn đềcũng như cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán

+) Thuận lợi:

Khi chuyển hình thức thi từ tự luận sang thi 100% trắc nghiệm đối vớimôn Toán đã làm thay đổi phương pháp truyền thụ của giáo viên cũng như cáchtiếp cận của học sinh Mục tiêu chung khi thực hiện đề tài này là giúp các emđịnh hướng các phương pháp tư duy khi gặp bài toán cực trị số phức Được sựquan tâm của Ban giám hiệu, Tổ chuyên môn và sự giúp đỡ chia sẻ kinh nghiệm

từ các đồng nghiệp làm Tôi thêm quyết tâm thực hiện tốt đề tài này để đạt cácmục tiêu trên

+) Khó khăn:

Đa số các em học sinh ở vùng nông thôn miền núi, không có thời gian,

phương tiện để tiếp cận các dạng toán mới lạ, tinh thần hiếu học chưa cao;

Khi tìm tòi các tài liệu để nghiên cứu, học tập các em rất dễ bị bỡ ngỡ vì

có nhiều cách giải khác nhau và cho nhiều đáp án khác nhau trong cùng một bài

toán, do nguồn tài liệu chưa được chuẩn hóa;

Việc định hướng học tập của các em chưa rỏ ràng, chưa xác định mục tiêu

cụ thể nên chưa đầu tư đúng mức các kiến thức phân hóa điểm trong đề thi

2.3 Giải pháp thực hiện:

+) Đối với giáo viên:

Tập hợp, phân loại các dạng toán cực trị số phức thường gặp trong

chương, biên soạn thành tài liệu học tập;

Truyền đạt kiến thức cơ bản, các dạng bài tập từ đơn giản đến phức tạp

Phân công nhiệm vụ cho từng nhóm sau khi giải các bài tập mẫu, yêu cầu các

em thực hiện các bài tập tương tự Có kiểm tra, đánh giá và cộng điểm khuyến

khích học tập

+) Đối với học sinh:

Ngoài việc trên lớp học sinh phải lắng nghe, ghi chép các kiến thức do

giáo viên truyền thụ, tiếp nhận các yêu cầu của giáo viên thì về nhà cần phải học

bài và nhớ các kiến thức đã học;

Tuân thủ các kế hoạch đã đề ra, làm việc theo nhóm nghiêm túc, hoàn

thành công việc được giao đúng thời hạn;

Tìm hiểu thêm thông qua sách, vở tại thư viện, các tài liệu được giáo viên

giới thiệu

2.3.1 Bài toán cơ bản

Phương pháp chung:

+ Bước 1: Tìm tập hợp  H các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều

kiện * cho trước

+ Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M H sao cho

khoảng cách OM lớn nhất, nhỏ nhất

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  * cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn

Ví dụ 1: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ làhình vuông tô đậm như hình vẽ

Modul lớn nhất của số phức z là:

1 2

2 2

D.

hình vuông tô đậm như hình vẽ

Modul nhỏ nhất của số phức z là:

2 2

D.

min 2

 Gợi ý: zmin  0 , điểm biểu diễn là O Đáp án A

hình tròn tô đậm như hình vẽ (kể cả đường viền)

Modul lớn nhất của số phức z là:

max 3

 Gợi ý:

Tam giác OAB có góc OAB tù nên ta có

3

OA OB  z OB  zmax  3 Đáp án C

hình tròn tô đậm như hình vẽ (kể cả đường viền)

Modul nhỏ nhất của số phức z là:

1 2

2 3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A và đường thẳng  d Điểm M chạytrên đường thẳng  d sao cho độ dài đoạn AM nhỏ nhất Khi đó hãy tìm vị tríđiểm M và tính độ dài AM

a Hướng dẫn giải:

(d) d(M,d)

A

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng  d Khi đó

AM AH , nên độ dài đoạn AM nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuônggóc của điểm A lên đường thẳng  d và AMmin AH d M d , 

2

 Gợi ý: Gọi A2;2 , B0;4 và M là điểm biểu diễn số phức z Từ đề bài

ta có:MA MB , hay quỹ tích điểm M là đường trung trực đoạn AB

Quỹ tích điểm M là đường thẳng  d x y:   2 0

vậy bài toán đã trở về dạng giống Ví dụ 2.

Ví dụ 4: Cho các số phức z thỏa mãn z 2 4 i  z 2i Giá trị nhỏ nhất của7

z   i là

A

4 10

3 10

2.3.2.2 Bài toán 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm phân biệt A, B và đường thẳng  d Điểm M chạy trên đường thẳng  d sao cho tổng độ dài đoạn AM BM nhỏnhất Khi đó hãy tìm vị trí điểm M và tính AM BM

a Hướng dẫn giải:

Ta xét hai trường hợp

+) Trường hợp 1 : hai điểm A, B nằm về hai phía đối với đường thẳng  d

(d) D

A

B M

Ta có MA MB AB nên MA MB min AB, đạt được khi M AB( )d

+) Trường hợp 2 : hai điểm A, B cùng phía đối với đường thẳng  d

(d) D

 Gợi ý: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, từ điều kiện z 1 z 1 suy

ra được quỹ tích điểm M là trục Oy Đặt A 2;4 , B4;6 thì ,A B nằm

về hai phía trục Oy Khi đó z 2 4i  z 4 6 i MA MB AB2 10.

Ví dụ 6: Cho các số phức z thỏa mãn 2z 5 4i 2z 3 4i Giá trị nhỏ nhấtcủa z 1 4i  z 1 i là

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm I và đoạn thẳng AB Điểm M chạy trênđoạn thẳng AB sao cho độ dài đoạn IM nhỏ nhất Khi đó hãy tìm vị trí điểm M

Dễ dàng thấy IMmin IHvà IMmax  max IA IB; 

 Trường hợp 2: điểm H nằm ngoài đoạn AB

I

H B

Dễ dàng thấy IMmin  min IA IB;  và IMmax  max IA IB; 

b Ví dụ minh họa:

Ví dụ 7: Xét số phức z thỏa mãn z 2 i  z 4 7 i 6 2 Gọi m,M lần lượt

là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i Tính P m M 

5 2 2 73 2

5 2 73 2

dễ kiểm tra hình chiếu của I lên đường thẳng AB nằm trong đoạn  AB



z i IM Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu của I lên đường

thẳng AB nằm ngoài đoạn AB Lại có:IA 5,IB2 10  P2 2

z i

A 4 B 3 C

6 5

5 D 2 5

 Gợi ý: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, vì z2  z 8 8 i nên

M thuộc đường thẳng  d : 2x y 10 0 , mà z  nên 5 M thuộc

miền trong đường tròn  C x: 2  y2 25 Lại có  d cắt  C tại hai

điểm phân biệt A(3;4), (5;0)B nên quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB

Gọi I0;4 thì z 4i IM, vẽ hình trực quan thấy hình chiếu vuông

góc của điểm I lên đường thẳng  d nằm ngoài đoạn AB mà

IA IB nên z 4imin  3

2.3.3 Các bài toán cực trị liên quan đến đường tròn

2.3.3.1 Bài toán 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A và đường tròn  C có tâm I bán kính

R Điểm M thay đổi trên đường tròn  C Xác định vị trí điểm Mđể độ dàiđoạn AM đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này

AMmin 0 và AMmax AC2R

 Trường hợp 3: điểm A nằm ở miền trong đường tròn  C

(C)

R I

 Gợi ý: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z Vì z 3 4 i 2 nên quỹ tích

điểm M là đường tròn  C tâm I3; 4   bán kính R 2 Đặt

1 1 ( ; )

.Dễ thấy điểm A nằm ngoài đường

tròn  C nên wmax 2AMmax 2(AI R ) 4  130

Ví dụ 3: Cho số phức z, tìm giá trị lớn nhất của | |z biết rằng z thoả mãn điều

là đường tròn  C tâm I0; 1  bán kính R  Dễ thấy điểm O nằm1trên đường tròn  C nên zmax 2R2

A  

  thì

3 2 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( )d và đường tròn  C có tâm I

bán kính R không có điểm chung Điểm M thay đổi trên đường tròn  C , điểm

Nthay đổi trên đường thẳng ( )d Xác định vị trí hai điểm M , N để độ dài đoạn

MN giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này

a Hướng dẫn giải:

R A

I

M

N H

 , suy ra quỹ tích điểm M là đường thẳng

 d :x y  0 và quỹ tích điểm N là đường tròn  C tâm I 1;1 có bánkính R 1 Vẽ hình trực quan dễ thấy  C và  d không có điểm chung,

mà z1  z2 MN nên z1  z2 min MNmin d I d ,  R 2 1 

2.3.3.3 Bài toán 3:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn  C có tâm I bán kính R Đoạn

AB là một đường kính của  C Điểm M thay đổi trên đường tròn  C Xác định vị trí điểm M để tổng độ dài k MA l MB.  . (với k l 0) đạt giá trị nhỏ nhất

tích điểm M là đường tròn  C tâm O bán kính R 1 Đặt