Đề thi cuối học kỳ I năm học 2014-2015 môn Hàm biến phức và biến đổi Laplace - Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. HCM

Đề thi cuối học kỳ I năm học 2015-2016 môn Hàm biến phức và biến đổi Laplace gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm và 3 bài tập tự luận bao quát toàn bộ kiến thức môn học. Bài tập trong đề thi này sẽ giúp các các bạn sinh viên biết được những kiến thức mình còn yếu để có sự đầu tư phù hợp nhằm nâng cao kiến thức về khía cạnh đó.

Trang 1

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ THI MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

Mã môn học: 1001060 Thời gian : 75 phút(27/12/2014) Đề thi gồm 3 trang Được phép sử dụng tài liệu

Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0001

PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm)

(chọn 1 trong các câu: A, B, C, D )

Câu 1 Tập hợp nghiệm của phương trình 3 8 6 ì6 π là

e

A) {2 2 , 2 ( 1 3 ), 2 ( 1 3 )} B) ∅ C) D)

i e

e + {2 2 , 2 2 ( 1 3 ), 2 2 ( 1 3 )}

i e i e

Câu 2 Khẳng định nào sau đây sai?

A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z B) Phương trình ez i vô nghiệm

r r

2

1 2

2 1

D) [r(cosϕmisinϕ)]n = r n(cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z

Câu 3 Khẳng định nào sao đây sai?

A) Hàm f(z) có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức khi và chỉ khi f(z) giải tích trong toàn mặt phẳng phức

i z

A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y) thỏa điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo)

B) Nếu hàm v(x,y) khơng điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích trên D

C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) cũng liên tục tại (xo,yo)

D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D

Câu 5 Ảnh của đường thẳng y =

8

π qua phép biến hình w = z = u +iv là

e−4

A) đường thẳng u = 0

B) tia argw = -π/2 C) tia argw = D) đường thẳng v = 0 π/2

A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng

Trang 2

B) Hàm f(z)=(z+i)

i

z+

1 cos =

( )2 1

1

0 (2 )!

1)1

nên thặng dư

2

1 ,

1 cos ) (

Res⎢⎣⎡ z+i z+i −i⎥⎦⎤= − C) f(z) = 3

2

! 4

2

! 3

2 2 2

4 3

z z

z và z = 0 là điểm bất thường cốt yếu của f(z)

2

3 z

e z s

3

4π

Câu 7 Cho phương trình vi phân: y’-2y = u(t-π) t π (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 27

e

Để giải phương trình vi phân này ta làm như sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)]

Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY-2Y =

1

−

p p

12

1

−+

p

e πp

Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm: y = ( t t ) t

e t

u e

e2(− π) − − π ( −π)+27 2A) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai

B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng D) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai

Câu 8 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số , Khẳng định nào sau

đây đúng?

y y x

A) u, v là các hàm điều hịa liên hợp

B) u điều hịa, v khơng điều hịa C)

u, v điều hịa nhưng khơng là các hàm điều hịa liên hợp D) v điều hịa, u khơng điều hịa

Câu 9 Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định nào sau đây sai?

0

( )( )

π24

sin

00

)

(

t khi

t

t khi t

e

4sin2

− + +

= +

+

p

p p

p t sh t

Câu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân

y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , với y(0) = 0, y’(0) = 0

Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân

Trang 3

⎨

⎧

=++

=+

t

e y y x

t y

x

2'

sin23'

, với điều kiện x(0) = 0, y(0) = 0

Câu 13 (2 điểm)

a) Tìm ảnh của hàm gốc: f(t) =u(t−π) cos(t−π) + 5t2 sint + udu

t

e ucos 5 0

2

∫ −

b) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân: y(t)= e5t+2 t u du

t u

? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi

Bộ môn duyệt

Trang 6

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM

BỘ MÔN TOÁN MÔN THI: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP

BIẾN ĐỔI LAPLACE

Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0001

Giám thị 1: Giám thị 2:

Giáo viên chấm thi 1&2 ĐIỂM

Họ, tên sinh viên: Mã số sinh viên:

Số báo danh(STT): Phòng thi : …………

Ngày thi: 27/12/2014 Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên

trang 6, 5, 4,3 Đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm mà không cần trình bày cách giải

Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài làm

BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM

Trả lời

BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN

Trang 7

BỘ MÔN TOÁN

Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0010

Câu 1 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số , Khẳng định nào sau

đây đúng?

y y x

0

( )( )

π24

sin

00

)

(

t khi

t

t khi t

e

4sin2

i e

e − + − − B) ∅ C) {2 2 , 2 ( 1 3 )}

i e

e + D){2 2 , 2 2 ( 1 3 ), 2 2 ( 1 3 )}

i e i e

Câu 4 Khẳng định nào sau đây sai?

r r

2

1 2

2 1

Câu 5 Khẳng định nào sao đây sai?

i z

Trang 8

8

π qua phép biến hình w = z = u +iv là

e−4

A) đường thẳng u = 0

B) tia argw = -π/2 C) tia argw = D) đường thẳng v = 0 π/2

( )2 1

1

0 (2 )!

1)1

nên thặng dư

2

1 ,

1 cos ) (

Res⎢⎣⎡ z+i z+i −i⎥⎦⎤= − C) f(z) = 3

2

! 4

2

! 3

2 2 2

4 3

z z

2

z

dz e

2

3e z

z s

3

4π

Câu 9 Cho phương trình vi phân: y’-2y = u(t-π) t π (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 27

e

1

−

p p

12

p

e πp

e t

u e

Câu 10 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số Khẳng định nào sau đây sai?

9

2 2 ] 3 2

− + +

= +

+

p

p p

p t sh t

y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , với y(0) = 0, y’(0) = 0

⎩

⎨

⎧

=++

=+

t

e y y x

t y

x

2'

sin23'

, với điều kiện x(0) = 0, y(0) = 0

Trang 9

Câu 13 (2 điểm)

t

e ucos 5 0

2

∫ −

t u

Bộ môn duyệt

Trang 12

Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0010

Trả lời

Trang 13

BỘ MÔN TOÁN

Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0011

Câu 1 Ảnh của đường thẳng y =

9

2 2 ] 3 2

− + +

= +

+

p

p p

p t sh t

p p

6cos40

0

( )( )

π24

sin

00

)

(

t khi

t

t khi t

e

4sin2

i e

e − + − − B) ∅ C) {2 2 , 2 ( 1 3 )}

i e

e + D){2 2 , 2 2 ( 1 3 ), 2 2 ( 1 3 )}

i e i e

r r

2

1 2

2 1

Trang 14

i z

Câu 9 Khẳng định nào sau đây sai?

( )2 1

1

0 (2 )!

1)1

nên thặng dư

2

1 ,

1 cos ) (

2

! 3

2 2 2

4 3

z z

2

3e z

z s

3

4π

Câu 10 Cho phương trình vi phân: y’-2y = u(t-π) t π (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 27

e

1

−

p p

12

1

−+

p

e πp

e t

u e

PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)

y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , với y(0) = 0, y’(0) = 0

⎩

⎨

⎧

=++

=+

t

e y y x

t y

x

2'

sin23'

, với điều kiện x(0) = 0, y(0) = 0

Câu 13 (2 điểm)

Trang 15

t

e ucos 5 0

2

∫ −

t u

Bộ môn duyệt

Trang 18

Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0011

Trả lời

Trang 19

BỘ MÔN TOÁN

Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0000

B) Nếu hàm v(x,y) khơng điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích trên D C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) cũng liên tục tại (xo,yo)

Câu 3 Cho phương trình vi phân: y’-2y = u(t-π) t π (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 27

e

1

−

p p

12

p

e πp

e t

u e

9

2 2 ] 3 2

− + +

= +

+

p

p p

p t sh t

p p

6cos40

B) u điều hịa, v khơng điều hịa

C) u, v điều hịa nhưng khơng là các hàm điều hịa liên hợp D) v điều hịa, u khơng điều hịa

Trang 20

0

( )( )

π24

sin

00

)

(

t khi

t

t khi t

e

4sin2

i e

e − + − − B) ∅ C) {2 2 , 2 ( 1 3 )}

i e

e + D){2 2 , 2 2 ( 1 3 ), 2 2 ( 1 3 )}

i e i e

r r

2

1 2

2 1

i z

( )2 1

1

0 (2 )!

1)1

nên thặng dư

2

1 ,

1 cos ) (

2

! 3

2 2 2

4 3

z z

2

z

dz e

2

3e z

z s

3

4π

PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)

y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , với y(0) = 0, y’(0) = 0

⎩

⎨

⎧

=++

=+

t

e y y x

t y

x

2'

sin23'

, với điều kiện x(0) = 0, y(0) = 0

Trang 21

Câu 13 (2 điểm)

t

e ucos 5 0

2

∫ −

t u

Bộ môn duyệt

Trang 24

Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0000

Trả lời

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	649,71 KB