Sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài tập về góc và khoảng cách trong không gian

CÁC DẠNG TOÁN VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.. Bài toán khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, giữa đường thẳng song song với mặt phẳng, giữa hai mặt p

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN

MỞ ĐẦU ………1

1 Lý do chọn đề tài……… 1

2 Mục đính – Yêu cầu……… 2

3 Cấu trúc của luân văn……… 2

CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN……… 3

I Hệ tọa độ đề các trong không gian……… 3

1 Định nghĩa………3

2 Tọa độ của một vectơ đối với hệ tọa độ……… 3

3 Tọa độ của điểm đối với hệ tọa độ……… 4

4 Tích có hướng của hai vectơ và tính chất……….5

II Phương trình mặt phẳng……… 6

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng……… 6

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng……… 6

III Phương trình đường thẳng……… 8

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng……… 8

2 Phương trình tham số của đường thẳng……… 8

IV Góc……….8

1 Góc giữa hai đường thẳng……… 8

2 Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng……… 9

3 Góc của hai mặt phẳng……… 10

V Khoảng cách……… ……… 10

1 Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng……… 10

2 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, giữa đường thẳng song song

với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng song song……… 11

3 Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ………… 12

VI Dấu hiệu nhận biết và các bước giải hình học không gian bằng phương

pháp tọa độ……… ………12

1 Những bài tập hình học không gian ở phần giả thiết có những dạng sau thì nên dùng phương pháp tọa độ………… ………12

2 Các bước giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ……… 13

VII Một số cách đặt trục tọa độ với một số hình đặt biệt mà ta thường sử dụng 14

CHƯƠNGII CÁC DẠNG TOÁN VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I Bài toán về góc .21

1 Bài toán góc giữa hai đường thẳng 21

2 Bài toán góc giữa đường thẳng với mặt phẳng .29

3 Tính số đo góc của hai mặt phẳng .39

II Bài toán về khoảng cách .48

1 Bài toán khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng .48

2 Bài toán khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, giữa đường thẳng song song với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng song song .55

3 Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau .65

Với học sinh lớp 12 hiện nay, thì việc giải các bài toán hình học không gian sơ cấp là một vấn đề cần thiết Các bài toán hình học không gian tổng hợp (cổ điển) mà ở đó lời giải đòi hỏi vận dụng khá phức tạp các kiến thức hình học không gian như: chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc, dựng hình

để tính góc và khoảng cách, tính thể tích khối đa diện… thường xuất hiện trong các đề thi Đại học, Cao đẳng Vì việc tiếp cận các lời giải đó thực tế cho thấy thật sự là một khó khăn cho học sinh, chẳng hạn như bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Trong khi đó, nếu bỏ qua yêu cầu bắt buộc phải dựng hình mà chỉ dừng ở mức độ tính toán thì rõ ràng phương pháp tọa độ

tỏ ra hiệu quả hơn vì tất cả mọi tính toán đều đã được công thức hóa

Ở học kỳ II của lớp 12 các em đã được làm quen với phương pháp tọa độ trong không gian, vì thế có thể sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để giải quyết các bài toán hình học không gian một cách thuận tiện

Vì những lý do trên nên em đã chọn đề tài “ Sử dụng phương pháp tọa độ

để giải các bài tập về góc và khoảng cách trong không gian “ làm đề tài luận

văn của mình

3 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm hai chương:

Chương I : “Một số kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ trong không gian”, chương này hệ thống hóa các kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ

trong không gian, đưa ra các bước giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ và giới thiệu một số cách đặt trục tọa độ với một số dạng hình đặc biệt

Chương II : “Các dạng toán về góc và khoảng cách sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải”, chương này trình bày một số dạng toán về góc

và khoảng cách và nêu lên cách giải các dạng toán này bằng phương pháp tọa

độ

CHƯƠNG I

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I Hệ tọa độ đề các trong không gian

1 Định nghĩa

Trong không gian

xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz

có chung điểm góc O và đôi một

vuông góc với nhau được gọi là

hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian

Kí hiệu: Oxyz

Các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz

lần lượt là 𝑖⃗ , 𝑗⃗ , 𝑘⃗⃗

Điểm O là gốc tọa độ , Ox là trục hoành, Oy là trục tung, Oz là trục cao

Các mặt phẳng đi qua hai trong ba trục tọa độ gọi là các mặt phẳng tọa độ

Kí hiệu: (Oxy), (Oxz), (Oyz)

2 Tọa độ của một vectơ đối với hệ tọa độ

*Tọa độ của một vectơ

với các vectơ đơn vị 𝑖⃗ , 𝑗⃗ , 𝑘⃗⃗ cho vectơ 𝑚⃗⃗⃗ M

khi đó tồn tại duy nhất bộ số (x;y;z) sao

chomxi y j zk Bộ ba số đó được gọi

là tọa độ của vectơ 𝑚⃗⃗⃗

a b a a a b b b

 ab  a b1 1 a b2 2 a b3 3 0

3 Tọa độ của điểm đối với hệ tọa độ

*Tọa độ của điểm

*Liên hệ giữa tọa độ vectơ và tọa độ giữa hai điểm mút

Đối với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 𝐴(𝑥𝐴; 𝑦𝐴; 𝑧𝐴) ; 𝐵(𝑥𝐵; 𝑦𝐵; 𝑧𝐵) thì

AB(x Bx y A; B  y z A; B  z A)

4 Tích có hướng của hai vectơ và tính chất

* Tích có hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ không cùng phương a( ;a a a1 2; 3), b( ; ; )b b b1 2 3 Khi đó tích

có hướng của hai vectơ a và b, kí hiêu abhoặc [ , ]a b

II Phương trình mặt phẳng

1.Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

a) Định nghĩa Vectơ 𝑛⃗⃗ khác vectơ 0⃗⃗ được gọi là một vectơ pháp tuyến

của mặt phẳng (𝛼) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (𝛼)

Kí hiệu : 𝑛⃗⃗ ⊥ (𝛼)

Nhận xét : Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, đó là các vectơ khác

vectơ 0⃗⃗ và vuông góc với mặt phẳng ấy Các vectơ này cùng phương với nhau

Là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (𝛼)

 Nếu M1, M2, M3 là ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng (𝛼) thì các vectơ 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑀1𝑀2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ là một cặp vectơ chỉ phương của (𝛼) và 1𝑀3

do đó vectơ n M M M M1 2, 1 3là một vectơ pháp tuyến của (𝛼)

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

a) Định nghĩa Phương trình dạng:

Ax + By + Cz + D = 0 với A2 B2 C2 0

Được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng

b) Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát

 Nếu D = 0, mặt phẳng Ax + By + Cz = 0 đi qua gốc tọa độ

 Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, mặt phẳng By + Cz + D = 0 (không có mặt x ) chứa hoặc song song với trục Ox.Tương tự cho trường hợp không

có mặt y hoặc z trong phương trình mặt phẳng

 Nếu phương trình mặt phẳng có dạng Cz + D = 0 (không có mặt x, y) thì mặt phẳng đó song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxy Tương tự cho trường hợp không có mặt x , z hoặc y , z trong phương trình mặt

1

x y z

a   b c (2)

Mặt phẳng đó cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm

(a ;0 ;0 ) , (0 ;b ;0 ) , (0 ;0 ;c ) Phương trình (2) được gọi là phương

trình mặt phẳng theo đoạn chắn

III Phương trình đường thẳng

1.Vectơ chỉ phương của đường thẳng

a) Định nghĩa Vectơ uu u u1; 2; 3≠ 0⃗⃗ mà đường thẳng chứa vectơ 𝑢⃗⃗ song song hoặc trùng với ∆ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆

2 Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0x y z và có 0; 0; 0vetơ chỉ phương uu u u1; 2; 3≠ 0⃗⃗ là phương trình có dạng

4 Góc giữa hai đường thẳng

Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng:

Góc giữa hai đường thẳng ∆1, ∆2 là góc giữa

hai đường thẳng ∆′1, ∆′2 cùng đi qua một điểm và

lần lượt song song với ∆1, ∆2 Kí hiệu: (∆1, ∆2)

Nhận xét: + Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90𝑜

2 Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

Định nghĩa: Nếu đường thẳng 𝑑 vuông góc với mặt phẳng (𝛼) thì ta nói góc giữa đường thẳng 𝑑 và mặt phẳng (𝛼) bằng 90𝑜

Nếu đường thẳng 𝑑 không vuông góc với mặt phẳng (𝛼) thì góc giữa 𝑑 và hình

chiếu 𝑑′ của nó trên (𝛼) gọi là góc giữa đường thẳng 𝑑 và

mặt phẳng(𝛼)

Nhận xét: + Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 90𝑜 + (𝑑, (𝛼)) = 00 thì d // (𝛼) hoặc 𝑑 ⊂ (𝛼).

+ (𝑑, (𝛼)) = 900 thì d ⊥ (𝛼)

Cho đường thẳng 𝑑 cắt mặt phẳng (𝛼), gọi  là góc giữa đường thẳng 𝑑 và

(𝛼), alà vectơ chỉ phương của 𝑑 và n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

n m

1 Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng

Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm 𝑀 đến đường thẳng ∆ là khoảng cách giữa hai điểm 𝑀 và 𝐻 trong đó 𝐻 là hình chiếu của điểm 𝑀 trên đường thẳng ∆

2 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, giữa đường thẳng song song với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng song song

d M

*Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Định nghĩa: khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng () song song với ∆ là khoảng cách từ một điểm bất kì của ∆ đến ()

Kí hiệu: khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng () song song với

∆ là 𝑑(∆; ())

𝑑(∆ ; ()) = 𝑑(𝐴 ; ()) với 𝐴 ∈ ∆

*Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Định nghĩa: khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ

một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

Kí hiệu: khoảng cách của hai mặt phẳng song song (), () là

d(() , ())

𝑑((), ()) = 𝑑(𝐴, ( )) = 𝑑(𝐵, ()) trong đó 𝐴 là một điểm bất kì thuộc () và 𝐵 là một điểm bất kì thuộc ()

Nhận xét : Bài toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song có thể quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

3 Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau ∆1, ∆2 Đường thẳng ∆ được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng ∆1 và ∆2 nếu đường thẳng ∆ cắt cả ∆1 và

∆2 đồng thời cùng vuông góc với cả hai ∆1, ∆2 Đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau tại 𝐼 và 𝐽 thì đoạn thẳng 𝐼𝐽 được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

Định nghĩa: khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn

vuông góc chung của hai đường thẳng đó

Kí hiệu: khoảng cách giữa đường thẳng ∆1, ∆2 là 𝑑(∆1, ∆2)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆1, ∆2 biết ∆1 đi qua điểm

𝑀1 có vetơ chỉ phương 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗, ∆1 2 đi qua điểm 𝑀2 có vetơ chỉ phương 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ 2

𝑑( ∆1, ∆2) = 1 2 1 2

, ,

1 Những bài tập hình học không gian ở phần giả thiết có những dạng sau

thì nên dùng phương pháp tọa độ

- Hình tam diện vuông

- Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, đáy có thể là tam giác vuông, tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi

-Hình lập phương hình hộp chữ nhật, hình chóp đều

-Một vài hình chưa có sẵn tam diện vuông nhưng có thể tạo được tam diện vuông chẳng hạn hai đường thẳng chéo nhau mà vuông góc, hoặc hai măt phẳng

vuông góc

Ngoài ra một số bài toán mà giả thiết không cho những hình quen thuộc như

đã nêu trên thì ta có thể dựa vào giả thiết đã cho như tính chất song song, vuông góc, số đo góc để thiết lập trục tọa độ

5 Các bước giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp

+ Vẽ hình theo yêu cầu bài toán

+ Tìm một quan hệ vuông góc ở mặt đáy (tức là xác định hai đường thẳng cố định ở mặt đáy vuông góc với nhau) nơi giao nhau của hai đường thẳng vuông góc đó chính là nơi đặt góc tọa độ đồng thời hai đường thẳng đó chứa trục tung

và trục hoành Từ góc tọa độ dựng đường thẳng vuông góc với đáy ta được trục cao nằm trên đường thẳng vuông góc đó Ta đã thiết lập được hệ trục tọa độ

Bước 2: Tìm tọa độ các điểm có liên quan đến yêu cầu bài toán

+Nếu điểm đó thuộc trục tọa độ phải tính được độ dài cạnh (khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ)

+Nếu điểm không thuộc trục tọa độ thì xét xem điểm đó thuộc mặt phẳng tọa

độ nào, tìm hình chiếu của điểm xuống hai trục tọa độ, rồi tính rồi tính khoảng cách từ hình chiếu đến góc tọa độ

+Nếu điểm không thuộc trục tọa độ cũng không thuộc mặt phẳng tọa độ thì tìm hình chiếu của điểm lên ba trục 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧 Rồi tính khoảng cách từ hình chiếu đến góc tọa độ

+ Chú ý vào chiều âm, dương của các trục tọa độ để kết luận tọa độ điểm

Bước 3: Giải bài tập bằng kiến thức tọa độ

Bước 4: Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học

y z

x

B'

C' D'

C

A

D B

C' D'

C

A

D B

Chọn hệ trục tọa độ như hình sẽ sao cho :

A(0; 0; 0) , B(a; 0; 0) , C(a; a; 0) , D(0; a ;0)

A'(0; 0; a) , B '(a; 0; a) , C '(a; a; a) , D'(0;a; a)

Với hình hộp chữ nhật

ABCD.A' B'C' D' có AB = a, AD = b, AA’ = c

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho :

A(0; 0; 0) , B(a; 0; 0) , C(a; b; 0) , D(0;b;0)

A'(0; 0; c) , B '(a; 0; c) , C '(a; b; c) , D'(0;b;c)

Với hì nh lăng trụ đứng ABCD.A' B'C' D' có đáy ABCD là hình thoi

ABCD.A' B'C' D' có chiều cao h, đáy ABCD có cạnh bằng a, 𝐵𝐴𝐷̂ = 𝛼

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho :

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm 𝑂 (0; 0; 0) của hai đường chéo của hình thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷

- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

Với hì nh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là ∆ ABC vuông tại A

Tam giác ABC vuông tại A có

AB = a , CA = b , AA’ = h

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho

A(0 ; 0 ; 0) , B(a ; 0 ; 0) , C(0 ; b ; 0)

A’(0 ; 0 ; h) , B’(a ; 0 ; h) , C’(0 ; b ; h)

Với hì nh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ∆ ABC là tam giác đều

Tam giác ABC là tam giác đều có

Với hì nh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy

∆ ABC là tam giác cân tại A

Tam giác ABC là tam giác cân có

Với hì nh lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy

ABCD là hình thang cân

ABCD là hình thang cân có AB = a, AD = b , 𝐵𝐴𝐷̂ = 𝛼,

và A A’ = h

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho

A(0 ; 0 ; 0) , B( sin a ; cosa ; 0) ;

S

I H

a

Với hì nh chóp tam gi ác đều S.ABC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ tam giác đều có cạnh bằng a và đường cao

bằng h Gọi 𝐼 là trung điểm của 𝐵𝐶

y

x C

A

C

B S

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho :

Gốc tọa độ trùng với giao điểm

𝑂 (0; 0; 0) hai đường chéo

Với hì nh chóp S.ABC có 𝑺𝑨 ⊥ (𝑨𝑩𝑪) và ∆ ABC vuông tại A

Tam giác ABC vuông tại A có

B S

z

y x

C

S

H

Với hì nh chóp S.ABC có 𝑺𝑨 ⊥ (𝑨𝑩𝑪) và ∆ ABC vuông tại B

Tam giác ABC vuông tại B có BA = a;

H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho C(0 ; 0 ; 0)

Với hì nh chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ ABS cân tại S và

∆ ABC vuông cân tại C

Tam giác ABC vuông cân tại C có

CA = CB = a, c h i ề u cao bằng h

H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

1 Bài toán góc giữa hai đường thẳng

Bài toán 1 : (ĐH – A 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên

bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 𝑎√3 và hình chiếu

vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC

Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’

M là trung điểm của BC Từ M kẻ đường thẳng song

song với AB cắt AC tại N

⟹ N là trung điểm của AC ⟹

x z

a b

c a b

a b

Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều cạch a

(a > 0 ) cạch SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a√3 M là một điểm khác B trên SB sao cho AM ⊥ MD tính cos(AM,SD)

Giải:

Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AD Trong mp(ABCD) ta dựng trục Ay với

Ay ⊥ AD,sẽ chọn trục tọa độ Oxyz sao cho

A≡ O(0 ; 0 ; 0), D(2a ; 0 ; 0) ∈ 𝑂𝑥,

;3 38

a

; 34

a

; 34

a

) = 3  

1; 3;2 38

.8

a a

𝑆𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2 ;0;a a 3)= a2;0; 3 a b

cos(AM,SD) = . 2.1 6 4 1

1 3 12 4 3 4 7 7

Bài toán 3 : Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 Lấy điểm M ∈ 𝐵𝐶1.Mặt

phẳng (MA 1 D) cắt B 1 D 1 ở I và cắt AC tại J Tính góc giữa MI, MJ

Giải:

Vì ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 là hình lập phương nên A 1 A , AD, AB đôi một vuông góc

với nhau nên ta chọn trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử cạnh của hình lập phương bằng 1

Ta có phương trình tham số của đường thẳng AC là {

𝑥 = 𝑢

𝑦 = 𝑢

𝑧 = 0

Điểm J ∈ 𝐴𝐶nên điểm J có tọa độ J (u ; u ; 0)

Tọa độ I là nghiệm của hệ {

𝑥 = 𝑢

𝑦 = 𝑢

𝑧 = 0(1 − 2𝑚)𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0

Suy ra : (MI,MJ) = 0 MI trùng với MJ

Bài toán 4 : Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ (𝐴𝐵𝐶) , AD = 3a, AB = 2a,

AC = 4a, 𝐵𝐴𝐶̂ = 600 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên

AC, CD Đường thẳng HK cắt đường thẳng AD tại E Tính góc giữa hai đường thẳng CD, BE

Giải:

Vì AD ⊥ (𝐴𝐵𝐶) nên AD ⊥ AB Trong mp (ABC) ta dựng trục Ay⊥ AB

nên ta sẽ chọn trục tọa độ Oxyz sao cho :

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2a ; 2a√3 ; -3a) = a(2 ; 2√3 ;-3) = a.𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ 1

Phương trình đường thẳng DC qua D có vtcp 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ : {1 𝑦 = 2√3𝑡𝑥 = 2𝑡

Bài toán 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy là tam giác đều

cạnh a, AA’ = 2a Gọi D là trung điểm của BB’, M di động trên đoạn AA’ sao

cho ∆𝑀𝐶′𝐷 có diện tích nhỏ nhất Tính góc giữa đường thẳng MD và đường

Vì ABC A’B’C’là hình lăng trụ

đứng nên AA’⊥(ABC) suy ra AA’⊥AB

Trong mp(ABC) từ A ta dựng trục Ax sao cho Ax ⊥ AB nên chọn trục tọa độ Oxyz sao cho A ≡ 𝑂(0 ; 0 ; 0), B(0 ; a ; 0) ∈ 𝑂𝑦, A’(0 ; 0 ; 2a) ∈ 𝑂𝑧

Ta có C( 3

2

a

;2

( ) 62

3min ( ) ( ) 6

a a

x z

2 Bài toán góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

Bài toán 6: Cho hình vuông ABCD cạch bằng a Các tia Am và Cn cùng

vuông góc với mặt phẳng ABCD và cùng chiều Các điểm M,N lần lượt thuộc

Am, Cn Sao cho AM =m, CN =n, m< n, m+n= 3

k n DMB NC

MB và (SCD)

Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA⊥ AB và SA ⊥ AD

y

B

C A

S

D

M E

Lại có AD⊥ AB nên chọn trục tọa độ Oxyz

sao cho A ≡ 𝑂(0 ; 0 ; 0), B(a ; 0 ; 0) ∈ 𝑂𝑥,

M nằm trên đoạn thẳng SA nên M có

tọa độ M (0 ; 0 ; x ) nên 𝐵𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (-a ; 0 ; x)

Phương trình đường thẳng BM qua B với vtcp 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {𝑥 = 𝑎 − 𝑎𝑡𝑦 = 0

Bài toán 8: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC , có độ dài cạnh đáy bằng a

Gọi M, N lần lượt lượt trung điểm của các cạnh SB và SC, mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) H là hình chiếu của S lên mp (ABC) Tính góc giữa đường thẳng SH và mặt phẳng (AMN)

Vì SH⊥(ABC) nên SH ⊥ HA Từ H ta dựng trục Hy sao cho Hy ⊥ AH

và Hy ⊥ HS nên chọn trục tọa độ Oxyz

a h

n k AMN SH

n k



Suy ra ((AMN SH), )≈ 65054′

Bài toán 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy là tam giác đều

cạnh a AA’ = 2a Gọi D là trung điểm của BB’, M di động trên đoạn AA’ sao

cho ∆𝑀𝐶′𝐷 có diện tích lớn nhất Tính góc giữa đường thẳng MC và mặt

Vì ABC A’B’C’ là hình lăng trụ đứng

nên AA’ ⊥ (ABC) suy ra AA’ ⊥ AB

a

;0) , B’(0 ; a ; 2a), D(0 ; a ; a)

Do M di động trên AA’ nên tọa độ điểm M (0;0;t) với t ∈ [0,2𝑎]