Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN .... KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠN

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

  

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH,

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trường ĐH Sư Phạm – Đà Nẵng nói chung, các thầy cô giáo trong khoa Toán nói riêng đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt thời gian học tập tại trường

Tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo hướng dẫn: Thạc sỹ Nguyễn Thị Hà Phương

đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này

MỤC LỤC

Phần I: MỞ ĐẦU 1

I Lý do chọn đề tài 1

II Mục đích nghiên cứu 1

III Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2

IV Nhiệm vụ nghiên cứu 2

V Phương pháp nghiên cứu 2

Phần II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI 3

Chương 1: NHỮNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN 3

1.1 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 3

1.1.1 Tọa độ của một điểm, tọa độ của véctơ trong xOy 3

1.1.2 Phương trình đường thẳng 5

1.1.3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng 6

1.1.4 Góc giữa hai đường thẳng 7

1.1.5 Khoảng cách và phương trình đường phân giác 7

1.1.6 Đường tròn 8

1.1.7 Phương trình các đường Côníc 8

1.2 Phương pháp tọa độ trong không gian 9

1.2.1 Khái niệm về hệ trục tọa độ trong không gian 9

1.2.2 Tọa độ của một điểm và của véctơ trong không gian 9

1.2.3 Tích vô hướng và độ dài 10

1.2.4 Tích có hướng của hai véctơ 10

1.2.5 Các công thức tính diện tích và thể tích 11

1.2.6 Phương trình mặt phẳng trong không gian 11

1.2.7 Phương trình đường thẳng trong không gian 12

1.2.8 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 13

1.2.9 Góc và khoảng cách 14

1.2.10 Mặt cầu 15

Chương 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 18

2.1 Miền trên mặt phẳng tọa độ xác định bởi bất phương trình và hệ bất phương trình 18

2.1.1 Đường tròn 18

2.1.2 Đường thẳng 18

2.1.3 Đường cong y = f(x) bất kỳ 20

2.2 Phương pháp tọa độ để khảo sát phương trình và bất phương trình 21

2.2.1 Phương trình f(x) = g(x) 21

2.2.2 Bất phương trình f(x) < g(x) 21

2.2.3 Bất phương trình một ẩn số x với tham số m 22

2.3 Phương pháp tọa độ với bài toán bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 24

2.4 Phương pháp tọa độ đối với bài toán về tổng hiệu khoảng cách lớn nhất nhỏ nhất 26

2.4.1 Dạng 1 26

2.4.2 Dạng 2 27

2.4.3 Dạng 3 27

Chương 3: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 30

3.1 Các bài toán định lượng 30

3.2 Các bài toán định tính 44

Chương 4: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC, VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT 54

4.1 Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp tọa độ 54

4.2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phương pháp tọa độ 62

KẾT LUẬN 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

Phần I: MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Bằng thực tiễn toán học, lý luận đã khẳng định những kiến thức về véctơ, tọa độ của môn hình học giải tích là cần thiết và có hiệu quả trong khi giải môt số dạng bài toán sơ cấp Chính vì vậy, việc hiểu và nắm vững môn học này là điều cần thiết

Hình học giải tích được sáng lập ra do 2 nhà bác học người Pháp: Descartes (1956 1650) và Fermar (1601 – 1655) Cốt lõi của phương pháp này là xác lập một

sự tương ứng giữa các cặp số thực có thứ tự với các véctơ, các điểm trong mặt phẳng hay trong không gian; nhờ đó, chúng ta có thể sắp xếp một sự tương ứng giữa các dữ kiện cố định của bài toán giúp cho việc giải một bài toán hình học được chuyển sang tính toán một cách định lượng

Nói đến phương pháp tọa độ, mọi người thường hay nghĩ đến các bài toán về khảo sát hàm số, vẽ đồ thị cũng như các bài toán của hình học giải tích Suy nghĩ ấy là hoàn toàn tự nhiên và đúng đắn Tuy nhiên sẽ không có nhiều người nghĩ rằng dùng phương pháp tọa độ còn có thể cho những lời giải hay đối với các bài toán khác, thậm chí đối với các bài toán số học, suy luận logic mà trong nó đã tiềm ẩn cái hồn hình học

mà thoạt nhiên ta chưa nhìn ra nó

Gần đây trong nhiều kỳ thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi hay trên các tạp chí toán học có nhiều bài toán không liên quan đến hình học nhưng được giải bằng phương pháp tọa độ, đó là các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hay các bài toán chứng minh bất đẳng thức, bài toán cực trị

Với các lí do đó tôi chọn đề tài “Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất” làm luận văn tốt nghiệp của mình

II Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống hóa một cách chi tiết các vấn đề lý thuyết về phương pháp tọa độ

- Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng để từ đó thấy được tầm quan trọng và tính thiết thực của lý thuyết phương pháp tọa độ đối với các dạng bài toán

III Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết phương pháp tọa độ và một số bài tập sử dụng phương pháp tọa độ để giải

- Phạm vi nghiên cứu: các bài toán sơ cấp

IV Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình, wed liên quan đến phương pháp tọa độ để rút ra một số dạng toán và phương pháp giải các bài toán liên quan về ứng dụng của phương pháp tọa độ

V Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc giáo trình, tài liệu liên quan đến ứng dụng của phương pháp tọa độ để phân dạng và hệ thống hóa các bài toán

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thân và các bạn bè, anh chị để tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức về vấn đề nghiên cứu đây

đủ và khoa học kết hợp với đưa vào các ví dụ minh họa chi tiết

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình thức của khóa luận

Phần II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trong mặt phẳng

x’Ox ⊥ y’Oy

Véctơ đơn vị e1 x’Ox

Véctơ đơn vị e2 y’Oy

1 2

e e 1; e e1 2 0

1.1.1 Tọa độ của một điểm, tọa độ của véctơ trong xOy

 Tọa độ của điểm

 Tọa độ của 1 điểm:

 Cho (1) : a x1 b y c1  1 0;(2) : a x2 b y c2  2 0 cắt nhau thì phương trình

hai đường phân giác là:

 Dạng khai triển của phương trình đường tròn

 Phương tích của một điểm so với đường tròn

Cho (C) : x2y22ax2by c 0; điểm M m, n  

Đặt P M / (C) m2n22am 2bn c Khi đó:

 Nếu P M / (C) 0 thì M nằm ngoài đường tròn (C)

 Nếu P M / (C) 0 thì M nằm trong đường tròn (C)

 Nếu P M / (C) 0 thì M nằm trên đường tròn (C)

1.1.7 Phương trình các đường Côníc

 Phương trình chính tắc của parabol

 Phương trình chính tắc của hypebol

1.2 Phương pháp tọa độ trong không gian

1.2.1 Khái niệm về hệ trục tọa độ trong không gian

Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trong không gian

x 'Ox y 'Oy z 'Oz x 'Ox

e x 'Ox;e y 'Oy;e z 'Oz

1.2.2 Tọa độ của một điểm và của véctơ trong không gian

 Tọa độ của điểm

 Tọa độ của một điểm

Tọa độ của một điểm M x, y  ⟺ OM x, y, z OMxe1ye2ze 3

 Tọa độ các điểm đặc biệt

M’

H

M

L

Tọa độ trọng tâm tam giác ABC:

1.2.6 Phương trình mặt phẳng trong không gian

 Phương trình tham số mặt phẳng (α) đi qua M(x y , z ) với cặp véctơ chỉ 0 0 0

 Nếu D = 0 thì Ax + By + Cz = 0 ⟺ (α) đi qua gốc tọa độ

 Nếu A 0, B 0, C 0   thì ( ) : By Cz D   0 sẽ song song hoặc chứa trục

 Phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) đi qua M(x0, y0, z0) với cặp véctơ

 Phương trình tham số đường thẳng (∆) đi qua M (x , y , z )o 0 0 0 và có véctơ chỉ phương ua, b, c:

0 0 0

1.2.8 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

 Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Cho (1)đi qua M x , y , z với véctơ chỉ phương 1 1 1 1 u1a , b ,c1 1 1, (2) đi qua

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho (∆) đi qua M (x , y , z ) với véctơ chỉ phương o 0 0 0 ua, b, cvà mặt phẳng ( ) : Ax By Cz    D 0 với véctơ pháp tuyến nA, B, C

 Nếu n.u 0 Aa + Bb +Cc0 thì ( ) cắt ( )

 Nếu n / /ua : b : cA : B : C thì ( )  ( )

 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho 2 mặt phẳng (1) : a x1 b y c z1  1  d1 0 có véctơ pháp tuyến

1 1 1 1

n  a , b ,c và (2) : a x2 b y c z2  2 d2 0 có véctơ pháp tuyếnn2 a , b ,c 2 2 2

 Nếun , n không cùng phương thì 1 2 (1) cắt (2)

 Nếu n , n cùng phương và 1 2 (1), (2) không có điểm chung thì (1) / /(2)

 Nếu n , n cùng phương và1 2 (1), (2) có điểm chung thì (  1) ( 2)

Cho (1)đi qua M x , y , z với véctơ chỉ phương 1 1 1 1 u1a , b ,c1 1 1, (2) đi qua M2x , y , z2 2 2 với véctơ chỉ phương u2 a , b ,c2 2 2 Góc giữa

 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho (∆) đi qua M0x , y , z0 0 0 với véctơ chỉ phương ua, b, c Khoảng cách

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho (1)đi qua M x , y , z với véctơ chỉ phương 1 1 1 1 u1a , b ,c1 1 1, (2) đi qua

  2  2 2 2

xa  y b  z c R Dạng khai triển x2y2z22ax2by 2cz d  0 với tâm I a, b, c và  

2 2 2

R a b c d

 Phương tích của điểm đối với mặt cầu

Phương tích của điểm M x , y , z đối với mặt cầu (S) có phương trình ở dạng  1 1 1

khai triển là:

2 2 2 M/( ) S x1 y1 z1 2ax1 2by1 2cz1 d

 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu (S) có tâm I a, b, c , bán kính R:   2  2 2 2

xa  yb  z c R

AxBy Cz D0 A B C 0 Gọi H là hình chiếu của I lên (P)

 IH R  (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Khi đó (P) gọi là tiếp diện của mặt

cầu Phương trình mặt phẳng tiếp diện tại điểm M0x0, y ,0 z0(S) là:

  2  2 2 2 2

x a ta  y a tb  z a tc R At Bt C 0 (1)

Số giao điểm của (∆) và (S) là số nghiệm của phương trình (1)

Trường hợp (∆) cắt (S) tại 2 điểm M, N thì độ dài đoạn MN là:

2 2

MN2 R IH với IH là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (∆)

 Vị trí tương đối của hai mặt cầu

Cho hai mặt cầu S I, R và   S' J, R ' Ta có:  

Chương 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

2.1 Miền trên mặt phẳng tọa độ xác định bởi bất phương trình và hệ bất phương trình

b) Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ miền D được xác định như sau:

Khi đó D   2 '2 "1 và nó được biểu diễn bằng miền gạch trong hình vẽ sau: Đó là tam giác ABC kể cả 3 cạnh với tọa độ các đỉnh A 0, 4 ;B  2,0 ;C 4, 2

x, y y f (x) 0

x, y y f (x) 0

Do tính liên tục của f(x) nên khi xét một miền, ta chỉ cần xét một một điểm bất

kỳ x , y0 0 của miền ấy Dấu của đại lượng y0f x 0  chính là dấu của miền ấy

Ví dụ 2:

Xét miền D trên mặt phẳng tọa độ xác định bởi:

 

2 2

2

 -1

2.2 Phương pháp tọa độ để khảo sát phương trình và bất phương trình

2.2.1 Phương trình f(x) = g(x)

Xét phương trình f(x) = g(x), và giả sử D là miền xác định của phương trình, tức

là D {x f (x) và g(x) xác định}

Vẽ hai đồ thị y = f(x) và y = g(x) trên cùng một hệ trục tọa độ Giả sử hai đồ thị

đó cắt nhau tại các điểm A x , y , (i = 1,2, …, n) i i i

Khi đó nếu như xiD với 0 i n thì x là nghiệm của phương trình đã cho i

Số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x) trên miền D (giao điểm A được gọi k

là trên miền D nếu như xkD) chính là số nghiệm của phương trình đã cho

Nếu như f(x) = g(x) tiếp xúc với nhau tại điểm A0(x0, y0) mà x0 D thì x0 gọi là nghiệm kép của phương tình đã cho

Người ta thường sử dụng 2 tiêu chuẩn sau để nhận biết sự tiếp xúc của hai đồ thị

- Tìm hình chiếu của phần đồ thị ấy trên trục hoành

- Giao của nó với tập D chính là nghiệm của bất phương trình đã cho

Người ta thường hay quan tâm đến 2 mệnh đề sau:

 Bất phương trình f(x) < g(x) đúng với mọi x thuộc D trên miền D đồ thị

yf (x) hoàn toàn nằm dưới đồ thị yg x 

 Bất phương trình f(x) < g(x) có nghiệm thì trên miền D, đồ thị yf x 

không hoàn toàn nằm trên đồ thị yg x 

2.2.3 Bất phương trình một ẩn số x với tham số m

Xét bất phương trình một ẩn số x với tham số m dưới dạng:

 

Để giải bất phương trình trên bằng đồ thị ta làm như sau:

 Vẽ hệ trục tọa độ Oxm (coi m như biến tung độ)

 Giả sử là miền biểu diễn của các điểm (x, m) thỏa (1) là một giá trị nào

đó của tham số m để (1) có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng m = cắt miền

1

x

Lấy m làm biến, xét hệ tọa độ Oxm Trong hệ tọa độ ấy, các điểm M(x, m) thỏa

mãn hệ (2) được biểu diễn bằng miền gạch trong hình vẽ sau:

Đó là MNP với N(-3, -4) và P(1, 2) Áp dụng lý thuyết phần trên ta suy ra hệ

(2) có nghiệm khi và chỉ khi 4 m2

Nếu như trong ví dụ trên đòi hỏi, tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thì từ đồ thị trên suy ra ngay có hai giá trị cần tìm là m = 2 hoặc m = -4

2.3 Phương pháp tọa độ với bài toán bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

 Để giải bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phương pháp tọa độ, người ta thường sử dụng các tính chất sau

 Trong tất cả các đường gấp khúc nối hai điểm A, B cho trước, thì đường thẳng nối AB là đường thẳng có độ dài nhỏ nhất

 Cho điểm M ở ngoài đường thẳng d (hoặc một mặt phẳng P) cho trước Khi đó

độ dài đường vuông góc kẻ từ M xuống d (xuống P), ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ

M xuống cùng đường thẳng (mặt phẳng) ấy

 Trong các tam giác cùng nội tiếp một đường tròn, thì tam giác đều có chu vi

và diện tích lớn nhất

Nếu như bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng một phép biến đổi nào đó, có thể quy về các sự kiện hình học nói trên thì ta nên dùng phương pháp tọa độ để giải chúng Cách giải sẽ đơn giản và dễ dàng hơn vì ta đã triệt để sử dụng cái “hồn hình học” tiềm ẩn trong các bài toán ấy

 Cho đoạn thẳng AB, M 0 là điểm bất kỳ nằm ngoài đoạn AB khi đó ta có kết quả sau

D ABCD

Vậy từ (3) ta suy ra max f x, y 29 và min f x, y  1

 Người ta thường hay sử dụng hai bất đẳng thức sau đây để chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất

Vậy bất đẳng thức đã cho tương tương với đẳng thức sau:

i) Phương trình f (x)  ; x D có nghiệm khi và chỉ khi

Bằng cách tính các đại lượng tA ax1by1cz1d; tBax2by2cz2d Nếu t tA B 0 A, B khác phía đối với (P) Gọi M0 (AB)(P) khi đó:

MAMBABM AM B Nếu t tA B 0 A, B cùng phía đối với mặt phẳng (P)

Lấy A1 đối xứng với A qua (P) Gọi M0 (A B)1 (P) khi đó:

MA MB AB M A M B Nếu t tA B 0 A, B khác phía đối với (P) Lấy A1 đối xứng với A qua (P) Gọi M0 (A B)1 (P) khi đó:

Xác định tọa độ các điểm A’, B’ là hình chiếu tương ứng của A, B lên ( )

Gọi M0 là điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số 0

0

AA '

M A 'k

MAMBM AM B

Thật vậy, gọi A1(P) (( ), B) sao cho A khác phía với B so với 1 ( ) và thỏa mãn

1

0 1

0 1

A A ' AA ' A A ' M A '

.BB' M B'

a) Ta có MA MB AB do đó để (MA + MB) min thì MAB, suy ra M chính

là giao của (P) với đường thẳng(AB) :x 3 y 1 z 2

Do A đối xứng với A qua (P) nên 1 MAMA1

Chương 3 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG BÀI TOÁN

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 3.1 Các bài toán định lượng

Bài 1: (Đề thi Đại học khối A năm 2014)

Giải hệ phương trình sau:

Thay x 12y vào phương trình 2 của hệ (6) ta được:

Thay x 12y vào phương trình 2 của hệ (6) ta được:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x, y   3, 3

Nhận xét: Ở ví dụ này ta giải bằng phương pháp tọa độ là dễ sử dụng hơn phương

pháp đặt ẩn phụ vì lời giải đơn giản và việc tính toán dễ dàng hơn