Giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán lãi suất và tăng trưởng nhờ vào việc vận dụng kiến thức chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số loogarit trong giải tích 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT NHANH BÀI TOÁN LÃI SUẤT VÀ TĂNG TRƯỞNG NHỜ VÀO VIỆC VẬN DỤNG KIẾN THỨC CHƯƠNG HÀM SỐ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT NHANH BÀI TOÁN LÃI

SUẤT VÀ TĂNG TRƯỞNG NHỜ VÀO VIỆC VẬN DỤNG

KIẾN THỨC CHƯƠNG HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ

MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT TRONG GIẢI TÍCH 12

Người thực hiện: Triệu Thị Tuyến Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực môn :Toán

MỤC LỤC

2.1.1 Chủ chương đổi mới của phương pháp dạy học 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3.2 Các bài tập điển hình và hướng dẫn học sinh làm bài 7

1: MỞ ĐẦU

1 1 Lý do chọn đề tài.

Trong quá trình dạy học chương hàm số lũy thừa; hàm số mũ và hàm số logarit trong Giải tích 12 ta gặp một bài toán có tính thực tiễn đó là lãi suất và tăng trưởng Việc dạy cho học sinh biết vận dụng những kiến thức khoa học trong nhà trường vào giải quyết các bài toán trong cuộc sống ngày càng được chú trọng Vì vậy khi chuyển thi toán từ tự luận sang trắc nghiệm tôi thấy dạng toán này đã xuất hiện trong đề thi

Trong quá trình dạy học dạng toán này tôi thấy các em gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng nên rất ngại học Một phần do đây là nội dung tương đối khó đối với học sinh, một phần do trong sách giáo khoa giải tích 12 trình bày không sâu nộng dung này, bài tập không có nhiều Vì vậy các em thường làm dạng toán này theo các ví dụ bài tập đã chữa chứ chưa thành thạo trong suy nghĩ xem nên vận dụng kiến thức nào để giải quyết bài toán Vấn đề đặt ra là phải làm thế nào để học sinh không ngại học và có hứng thú học phần này

Xu hướng trong những năm gần đây việc thi toán theo hình thức trắc nghiệm Yêu cầu học sinh phải vận dụng một cách linh hoạt và nhanh Vì vậy chúng ta phải thành thạo trong cá bước giải trong tư duy để từ đó các em có thể giải quyết bài toán một cách nhanh nhất

Ngoài ra toán học là một môn khoa học rèn luyện tư duy lôgic, tính sáng tạo và tính chích xác cho học sinh và và dạng toán “lãi suất và tăng trưởng” rất tốt để thực hiện nhiệm vụ này

Với những lý do trên tôi quyết định viết sáng kiến kinh nghiệm “Giúp

học sinh giải quyết nhanh bài toán lãi suất và tăng trưởng nhờ vào việc vận dụngkiến thức chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số loogarit trong Giải tích 12”.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

+ Đề tài nghiên cứu nhằm mục đích giúp học sinh thấy được ứng dụng của toán học nói chung, phần mũ và logarit nói riêng vào cuộc sống

+ Đề tài nghiên cứu nhằm mục đích tạo hứng thú học tập và nâng cao chất lượng phần bài tập “lãi suất và tăng trưởng” cho học sinh lớp 12 trường trung học phổ thông Yên Định 1

+ Nghiên cứu rút kinh nghiệm, trao đổi với đồng nghiệp nhằm nâng cao chất lượng phần bài tập “ lãi suất và tăng trưởng” nói riêng và kiến thức phần

mũ và phần logarit chung

1.3 Đối tượng nghiên cứu

+ Nghiên cứu các nội dung kiến thức phần mũ và logarit trong Giải tích 12

+ Nghiên cứu hứng thú học tập của học sinh lớp 12C1 và 12C2 năm học

2020 – 2021 trường trung học phổ thông Yên Định 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

+ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: nghiên cứu tài liệu dạy học về phần mũ và logarit, trong chương trình sách giáo khoa giải tích 12 trung học phổ thông

+ Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình học tập của học sinh hai lớp 12C1 và 12C2 trường trung học phổ thông Yên Định 1

+ Phương pháp phân tích thống kê: sử dụng thống kê để phân tích thực nghiệm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến

2.1.1 Chủ chương đổi mới của phương pháp dạy học

Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy học và học theo hướng hiện đại, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học, khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học tạo cơ sở để người học

tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực [1]

2.1.2 Căn cứ lý thuyết.

a Lãi đơn: Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền

lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kỳ hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo

b Lãi kép: Sau một đơn vị thời gian lãi được gộp vào vốn và được tính

lãi Loại lãi này được gọi là lãi kép

c Khái niệm lũy thừa [2]: Cho n là 1 số nguyên dương Với a là số

thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a

n

n thõa sè a

a   a a a

d Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương: a là số thực tùy

ý;m,n là các số nguyên dương.Khi đó

.

m n m n



e Định nghĩa logarit.[2] Cho hai số dương a ,b với a 1 Số  thõa mãn đẳng thức a b

 được gọi là logarit cơ số a của b

+ Kí hiệu: loga b

loga b a b

+ Logarit tự nhiên:Là logarit cơ sở e Kí hiệu lne

f Khái niệm căn bậc n [2]: Cho số thực b và số nguyên dương n n 2

Số a được gọi là căn bậc n của b nếu a n b

g Công thức đổi cơ số [2]

Cho 3 số dương a,b,c với a 1 , c 1 ta có loga loglogc

c

b b

a



h Phương trình mũ cơ bản: a x b (0 a 1) [2]

b 0 ta có x log

a

b 0 phương trình vô nghiệm

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến.

Trong dạy học phần bài tập bài toán “lãi suất và tăng trưởng” tôi thấy mặc dù học sinh vẫn nắm được nhưng khi chưa hướng dẫn cụ thể các em rất lúng túng không biết xây dựng và vận dụng công thức dẫn đến không tính được

Vì vậy các em cảm thấy rất ngại học phần bài tập dạng này Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tôi có khảo sát mức độ hứng thú học tập của học sinh hai lớp 12C1 và 12C2 Qua kiểm tra, khảo sát về mức độ hứng thú cho kết quả như sau:

Mức độ hứng thú Rất thích Thích Bình thường Không thích

Biểu đồ mức độ hứng thú của học sinh

0

5

10

15

20

25

30

35

Rất thích Thích Bình thường Không thích

Lớp 12C1

Lớp 12C2

2.3 Giải pháp thực hiện.

2.3.1 Giao nhiệm vụ cho học sinh.

Giáo viên giao cho học sinh các bài toán sau

Bài toán 1: Gửi tiết kiệm ngân hàng.

Bài tập 1: (Gửi tiết kiệm một lần) Một người gửi vào ngân hàng số tiền

a với lãi suất hàng tháng là r gửi trong n tháng (n N )  * theo hình thức lãi kép Hỏi sau n tháng người đó lĩnh được bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi

Bài tập 2: (Gửi tiết kiệm hàng tháng) Một người hàng tháng gửi vào

ngân hàng số tiền a với lãi suất hàng tháng là m theo hình thức lãi kép Hỏi sau

n tháng người ấy lấy được bao nhiêu tiền cả vốn và lãi

Bài toán 2: Vay vốn trả góp

Bài tập 3: Một người vay ngân hàng số tiền N, lãi suất hàng tháng là m

Số tháng vay là n tháng Số tiền phải đều đặn trả vào ngân hàng hàng tháng là a

Nhận xét: Đây là những bài toán gửi tiết kiệm và vay vốn trả góp dạng

đơn giản và thông dụng của bài toán lãi suất và tăng trưởng Tuy nhiên sau khi đưa ra bài tập cho các em tôi thấy các em rất lúng túng không biết vận dụng các kiến thức toán học để thiết lập công thức tính toán Giáo viên phải đưa ra gợi ý xây dựng quy trình và cùng tham gia thảo luận với học sinh Qua đó tìm gia ra cách vận dụng các kiến thức toán học vào việc thiết lập các công thức để vận dụng Sau đó giáo viên ghi nhớ cho học sinh

Bài tập 1: (Gửi tiết kiệm một lần) Một người gửi vào ngân hàng số tiền

a với lãi suất hàng tháng là r gửi trong n tháng (n N )  * theo hình thức lãi kép Hỏi sau n tháng người đó tính được bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi

*Phương Pháp: Gọi A là số vốn lẫn lãi sau n tháng

Sau 1 tháng: A a a r a   1 r

Sau 2 tháng: A a 1 ra1 r r a  1 r2

 (1 r)  n 1 (1 r)  n 1  (1 r)  n

Vậy sau n tháng số tiền (cả vốn lẫn lãi) người đó lãnh được là

A a (1 r)  n (1)

Chú ý: Từ công thức (1) ta tính được các đại lượng sau:

1,

ln log

ln 1

r

A

n





2, r n A 1

a

3,

1 n

A a

r





Bài tập 2: (Gửi tiết kiệm hàng tháng) Một người hàng tháng gửi vào

ngân hàng số tiền a với lãi suất hàng tháng là m theo hình thức lãi kép Hỏi sau

n tháng người ấy lấy được bao nhiêu tiền cả vốn và lãi

*Phương pháp:

Cuối tháng thứ 1: Người đó có số tiền là T a am a1    1 m

Đầu tháng thứ 2: Người đó có số tiền là

a1m a a1m1 

m

 

Cuối tháng thứ 2: Người đó có số tiền là

Cuối tháng n người đó có số tiền cả gốc lẫn lãi là T n

T n a 1 mn 1 1 m  2

Chú ý: Từ công thức (2) ta có

.

n n

T m a



1

.

1

n m

T m n



Bài tập 3: (Vay vốn trả góp)

Một người vay ngân hàng số tiền N , lãi suất hàng tháng là m Số tháng vay là n tháng Số tiền phải đều đặn trả vào ngân hàng hàng tháng là a

*Phương pháp:

Sau tháng thứ nhất số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là:

Sau tháng thứ 2 số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là:

Sau tháng thứ n số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là:

1 n 1 n 1 1 n 2 1  1

Đặt y 1 m thì số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là:

Vì lúc này số tiền gốc lẫn lãi đã trả hết nên ta có:

 

1 1

n n

N y y

N y a



2.3.2 Giáo viên ra các bài tập điển hình và hướng dẫn cho học sinh làm bài Bài tập 1:[3] Một người gửi tiết kiệm 10.000.000 đồng lãi suất 0,6%/ tháng

theo hình thức lãi kép Hỏi sau 3 năm người đó sẽ nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? Biết rằng trong suốt thời gian đó người gửi không rút ra một đồng nào và lãi suất không thay đổi

Hướng dẫn: Áp dụng công thức tính lãi kép A a 1 rn

Với A: Số tiền có được sau 3 năm

a: Số tiền gửi ban đầu a 10.000.000

r: Lãi suất hàng tháng r 0,6%

n: Số tháng gửi n  3 năm = 36 tháng

Vậy A 10.000.000 1 0,6%  36  12.403.016 đồng

Bài tập 2: [4] Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6,1%/ năm.

Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) gấp đôi số tiền lãi ban đầu, giả định trong thời gian lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra

A 12 năm B 11 năm C 10 năm D 13 năm

Hướng dẫn: Gọi a là số tiền gửi ban đầu

r 0,061 là lãi suất

Khi đó sau n năm số tiền người đó thu được là

1 n

A a r

Theo giả thiết 2a a 1 rn  n log 2 11,7062 1r 

Đáp án: A

Bài tập 3: [3] một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng 58.000.000 đồng trong

thời gian 8 tháng theo hình thức lãi kép Sau 8 tháng người đó lĩnh về ( cả gốc lẫn lãi) là 61.329.000 đồng Tìm lãi suất hàng tháng

Hướng dẫn: Lãi suất hàng tháng 8 61.329.000 1 0,7%

58.000.000

Bài tập 4: Một người gửi vào ngân hàng hàng tháng là 1.000.000 đồng với lãi

suất hàng tháng là 0,35% Hỏi sau 3 năm người ấy có bao nhiều tiền cả vốn lẫn lãi

Hướng dẫn: Áp dụng công thức T n a 1 mn 1 1 m

Với a 1.000.000

m 0,35%

 36  

36 1.000.000 1 0,35% 1 1 0,35% 38.429.081

0,35%

Bài tập 5: Một người muốn sau 3 năm phải có số tiền là 60.000.000 đồng để

mua xe máy Hỏi người đó phải gửi vào ngân hàng 1 khoản tiền như nhau hàng tháng là bao nhiêu Biết lãi suất tiết kiệm là 0,3% tháng

Hướng dẫn: Áp dụng công thức    

.

n n

T m a



Với T  n 60.000.000

m 0,3%

n 36

Thì ta được số tiền gửi hàng tháng

60.000.000 0,3% 1.576.055

1 0,3% 1 0,3% 1

đồng

Bài tập 6: Đầu mỗi tháng một người gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu đồng với

lãi suất 0,6%/ tháng Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì người đó được số tiền cả gốc lẫn lãi là 100 triệu đồng

A 28 tháng B 29 tháng C 30 tháng D, 31 tháng

Hướng dẫn: Áp dụng công thức

1

.

1

n m

T m n



Số tháng ít nhất người đó phải gửi để được số tiền cả gốc lẫn lãi là 100 triệu đồng là: 1,006

100.000.000 0,006

3.000.000 1,006



Vậy người đó phải gửi ít nhất 31 tháng mới được số tiền cả gốc lẫn lãi là 100.000.000

Đáp án: D

Bài tập 7:[5]

Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1%/tháng Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau đúng 1 tháng kể từ ngày vay ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng 1 tháng Số tiền hoàn trả nợ của mỗi tháng là như nhau và ông A trả hết nợ sau đúng 5 năm kể từ ngày vay Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó Hỏi số tiền mỗi tháng ông A phải trả cho ngân hàng gần nhất với số tiền nào dưới đây

A 2,22 triệu đồng B 3,03 triệu đồng C 2,25 triệu đồng D 2,20 triệu đồng

1 1

.

n n

N y y

N y a



Với N 100 triệu đồng

n 60 tháng

y  1 1% ta được

Số tiền ông A phải trả cho ngân hàng hàng tháng là

   

60

60

100000000 1 1% 1 1% 1

2.224.445

1 1% 1

Đáp án: A

Chú ý: Nếu ông A cũng vay 100 triệu đồng ở một ngân hàng khác cũng với

thời hạn là 5 năm, lãi suất là 0,75%/ tháng trên tổng số tiền vay thì so với việc vay vốn ở ngân hàng trên, việc vay vốn ở ngân hàng này có lợi gì cho người vay không?

Hướng dẫn: + Khi vay ở ngân hàng thứ nhất ông A phải trả tổng số tiền là

2.224.445 60 133.466.700   đồng

+ Khi vay ở ngân hàng thứ hai ông A phải trả tổng số tiền là

100.000.000 100.000.000 0,75% 60 145.000.000    đồng

*Như vậy mặc dù nhìn thấy lãi suất thấp hơn nhưng việc vay vốn ở ngân hàng thứ 2 thực sự không có lợi cho người vay

Bài tập 8:

Một người vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 0,9%/tháng Mỗi tháng trả 15 triệu đồng Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả hết nợ

A 40 tháng B 36 tháng C 38 tháng D 39 tháng

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức: . 1 0

1

n

y





y  1 0,9%

a 15.000.000

Ta được 500.000.000 1,009  15.000.000 1,009 1 0

0,009

n

Giải ra ta được: n 39,808 tháng

Như vậy người đó để trả hết nợ phải trả nợ trong vòng 40 tháng

Đáp án: A

2.3.3 Bài tập tương tự.

Bài tập 1: [6]

Một người gửi vào ngân hàng 1 triệu đồng với lãi suất 7%/ năm biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào số vốn ban đầu Hỏi sau 4 năm người đó sẽ lĩnh được bao nhiêu tiền (triệu đồng) nếu trong khoảng thời gian đó không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi

A.1,934 B 2,074 C 1,074 D 2,934

Bài tập 2:

Một người gửi 9,8 triệu đồng tiết kiệm với lãi suất 8,4%/ năm và lãi suất hàng năm được nhập vào vốn Hỏi theo cách đó thỉ sau ít nhất bao nhiêu năm người

đó thu được tổng số tiền là 20 triệu đồng Biết rằng lãi suất không thay đổi

A 8 năm B 9 năm C 10 năm D 11 năm

Bài tập 3:

Một người gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng trong 1 năm theo hình thức lãi kép Sau 1 năm người đó lĩnh được 53 triệu đồng khi đó lãi suất hàng tháng là gần với kết quả nào sau đây

A 0.48% B 0,58% C 0,72% D 0,68%

Bài tập 4:

Một người muốn sau 10 tháng sẽ có 100 triệu đồng để mua xe Hỏi người đó phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm như nhau hàng tháng gần nhất với giá trị nào sau đây, biết rằng lãi suất là 0,7%/tháng và lãi hàng tháng được nhập vào vốn

A 9,623 triệu B 9,622 triệu C 9,723 triệu D 9,564 triệu

Bài tập 5:

Một người vay vốn ngân hàng 30 triệu đồng theo phương thức trả góp với lãi suất 1,7%/tháng Tính theo dư nợ thời gian trả nợ hết là 24 tháng Hỏi mỗi tháng người đó phải trả số tiền cố định cho ngân hàng kỳ gần nhất với số tiền nào dưới đây

A.1,53 triệu đồng B.1,50 triệu đồng C.1,60 triệu đồng D 2,02 triệu đồng

Đáp án bài tập tương tự

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

Đối với bản thân sáng kiến kinh nghiệm này đã giúp tôi đổi mới cách dạy nhằm đem lại hiệu quả trong quá trình dạy học

Sau khi triển khai đề tài và giảng dạy phần bài tập “lãi suất và tăng trưởng” trong giải tích 12 cho học sinh lớp 12C1 và 12C2 trường trung học phổ thông Yên Định 1 tôi nhận thấy các em rất hào hứng, tích cực làm bài tập dạng này Đặc biệt hiệu quả của việc học sinh nghiên cứu những ứng dụng của toán học vào thực tiễn tăng lên Cụ thể sau khi kết thúc phần này tôi cho hai lớp kiểm tra với mức độ nhận thức như nhau nhằm thống kê số điểm và so sánh kết quả của hai lớp

Đề kiểm tra:

Câu 1: Một người gửi ngân hàng với số tiền 100 triệu đồng với lãi suất 6,8%/ năm theo hình thức lãi kép Hỏi sau 3 năm người đó sẽ lĩnh về được bao nhiều tiền (cả vốn lẫn lãi) nếu trong khoảng thời gian đó không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi