Sử dụng phương pháp hàm lặp để xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số trong chương trình môn toán lớp 11

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMSỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LẶP ĐỂ XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN LỚP 11 I.. Các bài toán liên quan đếndãy số thường xuất hi

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LẶP ĐỂ XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH MÔN

TOÁN LỚP 11

I MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Dãy số là một khái niệm quan trọng trong Toán học Vì vậy các kiến thức vềdãy số là một phần nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ thông

và được giảng dạy trong chương trình môn Toán lớp 11 Các bài toán liên quan đếndãy số thường xuất hiện nhiều trong các kì thi THPT Quốc gia và các kì thi họcsinh giỏi môn Toán cấp tỉnh, khu vực, quốc gia, quốc tế Học sinh thường phải đốimặt với nhiều bài toán khó liên quan đến dạng này và gặp khó khăn trong vấn đềxác định công thức số hạng tổng quát của dãy số Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi

đã xác định được công thức số hạng tổng quát thì bài toán gần như được giải quyết.Với mong muốn cải thiện, nâng cao chất lượng học của học sinh và chia sẻ,học hỏi kinh nghiệm với đồng nghiệp, tôi đã tìm tòi, thực nghiệm và viết nên đề tài

“ Sử dụng phương pháp hàm lặp để xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số trong chương trình môn Toán lớp 11”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh có thể giải một số dạng bài toán xác định công thức số hạngtổng quát của dãy số bằng phương pháp hàm lặp, đồng thời rèn luyện kĩ năng lậpluận và tư duy logic thông qua quá trình giải toán

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các bài toán xác định dãy số bằng phươngpháp hàm lặp dành cho học sinh đang học lớp 11, 12 THPT, trong đó đặc biệt làhướng tới các học sinh khá, giỏi

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu: Khám phá, tự tìm tòi, đưa vào thực nghiệm

và đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệthống theo từng mức độ từ dễ đến khó

II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Bên cạnh một số phương pháp xác định công thức số hạng tổng quát nhưphương pháp quy nạp, phương pháp đổi biến, phương pháp sai phân…thì phươngpháp hàm lặp được sử dụng rất hiệu quả trong các bài toán xác định công thức sốhạng tổng quát của dãy số

Để tìm số hạng tổng quát của dãy số ( )u n bằng phương pháp lặp ta thường tìm

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán THPT trong đó có giảng dạy môn Đại số

và Giải tích lớp 11, tôi nhận thấy mặc dù nội dung chương dãy số có giảm tải đáng

kể nhưng việc giảm tải chỉ tập trung chủ yếu vào phần bài tập Vì vậy, những bàitập trong sách giáo khoa khá đơn giản khiến cho học sinh khi gặp các bài toán khótrong các kì thi thường lúng túng và cảm thấy khó khăn trong việc tìm lời giải củabài toán Trong quá trình giảng dạy học sinh giải bài tập phần dãy số, tôi đã cốgắng hệ thống các dạng bài tập thường gặp cùng với những phương pháp, ví dụ cụthể Phương pháp hàm lặp là một trong những phương pháp được dùng để giải dạngtoán tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số đã được tôi đưa vào giảng dạy,giúp học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên , không gượng ép máy móc

mâu thuẫn với giả thiết Vậy    thì n * u  n 4.

m m

m m

Nên trong lời giải trên ta đã xét u  n 4 và u  n 1

Bài toán 3 Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u xác định như sau: n

2 1

n n

v   

Suy ra

2 2

Sau đây ta sẽ xây dựng một số dạng toán, để từ đó tạo ra các bài toán xác định sốhạng tổng quát của dãy số bằng phương pháp hàm lặp.

Dạng 1 Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u n được cho như sau:

m a  ta sẽ có bài toán sau:

Bài toán 4 Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u được cho như sau: n

2 2

n n

2 2

Ta sẽ áp dụng phương pháp trên thông qua các bài toán sau đây:

Bài toán 7 Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u được cho như sau: n

        1

1 1

3 3

Ta sẽ áp dụng phương pháp trên vào giải các bài toán sau đây:

Bài toán 9 Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u cho như sau: n

u1    và

2, 1,2,

1

n n

2 1 1

12

12

n n

n

n n

n

u u

u

u u

2 2

11

1

111

n

n n

Nếu   thì 1

1

2 2

11

111

4

n n

2 1 1

n

n n

n

u u

u

u u

112

1

2 2

Từ đó ta sẽ có bài toán sau đây:

Bài toán 11 Tìm số hạng tổng quát của dãy số  v cho như sau: n

1

23

Để giải bài toán này theo phương pháp đã nêu trên ta cần thực hiện phép biến đổi

n n

au

giải khác và trong phạm vi bài viết này tôi chỉ đề cập đến một số dạng toán tìm công thức số hạng tổng quát sử dụng phương pháp hàm lặp

Dạng 4 Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u n cho như sau:

Ta sẽ áp dụng phương pháp trên vào giải các bài toán sau đây:

Bài toán 12 Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u cho như sau: n

Giải Thay a12,b3,c vào 4  5 ta được m  2

Ta có

3 3

1 1

3 3

1 1

212

212

2

2 2

21

k  thì ta có thêm các bài toán mới.

Bài toán 13 Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u cho như sau: n

Giải Thay a9,b3,c  vào 9  5 ta được m  3

Ta có

3 3

1 1

3 3

1 1

39

39

3

3, 1,2,

31

Ta sẽ áp dụng phương pháp trên vào giải các bài toán sau đây:

Bài toán 14 Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u cho như sau: n

11

n n

9

n n

III KẾT LUẬN 1.Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm

Sau thời gian áp dụng phương pháp, qua bài kiểm tra đánh giá hiệu quả của đề tàitôi nhận thấy học sinh đã có thể hiểu và giải các dạng toán về dãy số nhanh hơn và hiệu quả hơn Kết quả thực nghiệm cũng cho thấy học sinh có sự hào hứng với giờ học, sôi nổi hơn và có cách nhìn nhận để đưa ra lập luận tìm lời giải cho bài toán tốt hơn

2 Một số đề xuất

Môn Toán là môn học đòi hỏi nhiều kĩ năng lập luận và tư duy logic, vì vậy cũng cần được trang bị nhiều kĩ năng để tiếp cận tốt với các dạng bài toán và phương pháp giải Điều này đòi hỏi sự tạo điều kiện của các cấp quản lý trong việc tăng cường tài liệu học tập, các thiết bị hỗ trợ quá trình học, thi thử giúp học sinh có thể tiếp cận đề thi từ nhiều kênh học tập khác nhau

Trên đây là nội dung sáng kiến kinh nghiệm mà bản thân đã từng áp dụng hiệu quả trong quá trình giảng dạy môn Toán ở bậc THPT Trong quá trình nghiên cứu, thực hiện không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự góp ý của quý cấp quản lý

và đồng nghiệp.

Tôi cam kết sáng kiến này là do bản thân thực hiện, không sao chép của tổ chức

cá nhân nào Tôi xin cam đoan mọi thông tin trên là trung thực, đúng sự thật.

Xin chân thành cảm ơn!

Nông Cống, ngày 10 tháng 5 năm 2021

CƠ QUAN ĐƠN VỊ XÁC NHẬN Người viết SKKN

Bùi Thị Hoa

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 SGK Đại số và giải tích 11 nâng cao – NXBGD, 2015

2 Chuyên khảo dãy số, Nguyễn Tài Chung, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2019