Mét sè bµi tËp trong c¸c ®Ò thi vµo THPT cña TØnh B¾c Ninh Bµi 1.[r]
Trang 1I Căn thức -rút gọn biểu thức A.Kiến thức cần nhớ:
1 Điều kiện tồn tại : √A Có nghĩa ⇔ A ≥0
2 Hằng đẳng thức: √A2= |A|
3 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng: √A B=√A √B (A ≥ 0; B ≥ 0)
4 Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng: √A
B=
√A
√B (A ≥ 0; B>0)
5 Đa thừa số ra ngoài căn: √A2 B=|A|√B (B≥ 0)
6 Đa thừa số vào trong căn: A√B=√A2 B (A ≥ 0; B ≥ 0)
A√B=−√A2 B (A<0 ; B ≥0)
7 Khử căn thức ở mẫu: A
√B=
√A B
B (B>0)
8 Trục căn thức ở mẫu: C
√A ±√B=
C(√A ∓√B)
A − B
B.Các dạng toán cơ bản và ví dụ:
I.Tính giá trị rút gọn biểu thức số
Ví dụ :Tính
a/ 5√5+√20 −3√45
b/ √14 −3√2 ¿2+ 6√28
¿
c/ 1
√5 −2+
1
√5+2
d/
2
(1 2) 11 2 18
Giải
a/ 5√5+√20 −3√45 =5 5 4.5 3 9.5 =5 5 2 5 9 5 =(5 2 9) 5 = 2 5
b/ √14 −3√2 ¿2+ 6√28
¿ =( 14)2 2.3 14 2 (3 2) 2 6 4.7
=14 12 7 18 12 7 32
c/
1
√5 −2+
1
√5+2 =
= 5 2 + 5 2 =2 5
d/
2
(1 2) 11 2 18 =
2
1 2 ( 2 3) 2 1 2 3 2 2 2 II Rút gọn biểu thức chứa biến và sử dụng rút gọn để
-Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến
-Giải phơng trình bất phơng trình(so sánh với một số)
-Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất
-Tìm giá trị nguyên tơng ứng với giá trị nguyên của biến
1.Các b ớc giải bài toán rút gọn biểu thức:
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc)
Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại
Quy đồng, gồm các bớc:
+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung
Trang 2Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng
Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên)
Rút gọn
2.Ví dụ: Cho A=
1
x
a/Rút gọn A
b/Tính A biết x=3-2 2
c/Tìm x để A=- x
d/Tìm x để A<
1 2 e/ Tìm x Z để A Z
f/ So sánh A với 1
g/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài giải
a/ ĐKXĐ : x 0,x 1
2
A
A
A
A
A
b/ x 3 2 2 ( 2 1) 2 (thỏa mãn ĐKXĐ)
2
x
Khi đó
2
c/ Với x 0,x 1 để
1
1
x
x
Đặt x t 0 Ta có phơng trình : t2 2 1 0t
' 1 1.( 1) 2 0 2
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
t (thỏa mãn ĐK)
t (loại)
t x (thỏa mãn ĐKXĐ)
Trang 3Vậy với x 3 2 2 thì A x
d/ Với x 0,x 1 để
A
3
0
x
x
Mà 2( x 1) 0 Do đó
3
x
x
Vậy kết hợp với ĐKXĐ để A<
1
2 thì 0 x 9;x1
e/ Với x 0,x 1 ta có :
2 1
1
A
x
Để
2
1 1
x
là ớc nguyên của 2
Vậy với x =0 thì A Z
f)Với x 0,x 1 Xét hiệu :
A
Mà
1
x
g/ Với x 0,x 1 ta có :
2 1
1
A
x
Mà
1
min 1
A
khi x 0 x 0( / )t m
Vậy giá trị nhỏ nhất của A = -1 khi x = 0
C Một số bài tập
1 Các bài tập trong tài liệu ôn thi (2012-2013)
Bài 1 Rút gọn biểu thức 2
Bài 2 Cho biểu thức
A
x 1
a/ Rút gọn A b/ Tìm x để
1 A 2
c/ Tìm xZ để AZ d/ Tìm GTNN của A
Trang 4Bài 3 Cho biểu thức
9x 1
a/ Rút gọn B
b/ Tìm x để
6 B 5
Bài 4 Cho biểu thức
a/ Rút gọn P với a 0;a 4;a 1
b/ Tìm giá trị của a để P > 0 c/ Tính P biết a= 4-2 3
Bài 5 Cho biểu thức
A
a/ Tìm điều kiện của x để A có nghĩa b/ Rút gọn A
c/ Tìm các giá trị x Z để A Z d/ Tìm x để A=3 e/ Tính A biét x= 4-2 3 f/ Tìm x để A>0 g/ Đặt B=1:A tìm GTNN của B
Bài 6 Cho biểu thức
Q
a/ Rút gọn Q b/ Chứng minh Q > - 3 c/ Tìm giá trị lớn nhất của Q
d/ Tìm các giá trị x Z để Q Z e/ Tìm x để Q=10 f/ Tính Q biết x= 3-2 2
Bài 7 Tính giá trị các biểu thức sau :
a /
3 2 2 3 2 2
b /
2 1 3 2 4 3
Bài 11 Cho biểu thức
a/ Rút gọn Q
b/ Tìm x để Q > 2
2 Một số bài tập trong các đề thi vào THPT của Tỉnh Bắc Ninh
Bài 1 (Bắc Ninh 1999 - 2000 Đề 1)
Cho biểu thức
:
P
(với a 0,b 0,a b ) a/ Rút gọn biểu thức P
b/ Tính số trị của biểu thức P khi biết a và b là hai nghiệm của phơng trình
x x Bài 2 (Bắc Ninh 1999 - 2000 Đề 2) Cho biểu thức :
2
S
(với x 0,y 0,xy x, y)
a/ Rút gọn biểu thức S
Trang 5b/ Tìm x và y biết rằng :
2
S
Bài 3 (Bắc Ninh 2000 - 2001 Đề 1)
Cho các biểu thức :
A
với x 0;x 1
2
2 2 3
3 1
a/ Rút gọn A và B
b/ Tính giá trị biểu thức A khi x = B
c/ Tìm x để A = B
Bài 4 (Bắc Ninh 2001 - 2002 Đề 1)
Cho biểu thức :
4
.
a/ Rút gọn biểu thức M
b/ Tìm x để M đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 5 (Bắc Ninh 2001 - 2002 Đề 2)
a/ Chứng minh đẳng thức :
.
A
b/ Tìm a để A < 0
Bài 6 (Bắc Ninh 2002 - 2003 Đề 1)
a/ Hệ thức a b a b2 chỉ đúng với điều kiện nào của a và b ?
b/ Phân tích thành nhân tử : x 3 x 2 với x 0.
c/ Rút gọn biểu thức :
3 :
Q
Bài 7 (Bắc Ninh 2002 - 2003 Đề 2)
a/ Hệ thức
b b chỉ đúng với điều kiện nào của a và b ?
Vận dụng tính
18 8
b/ Phân tích thành nhân tử : x 5 x 6 với x 0.
c/ Rút gọn biểu thức :
P
Bài 8 (Bắc Ninh 2003 - 2004 Đề 1)
Cho biểu thức
:
Trang 6a/ Với giá nào của x, y thì biểu thức P có nghĩa.
b/ Rút gọn P
c/ Cho
3 5 2 7; 3 5 2 7
x y Chứng minh rằng P = 2
Bài 9 (Bắc Ninh 2003 - 2004 Đề 2)
1/ Thực hiện phép tính :
a/ 5 2 6 5 2 6 2 3 2003
b/
2008
3 2 3 2
2/ Cho biểu thức :
A
a/ Tìm các giá trị của x để A có nghĩa Rút gọn A
b/ Tìm các giá trị của x để A = 5
c/ Tìm các giá trị chính phơng của x để A nhận giá trị nguyên
Bài 10 (Bắc Ninh 2004 - 2005 Đề 1)
Cho biểu thức: M =
: 4
a
1 Rút gọn biểu thức M
2 Tìm các giá trị của a để M < -1
3 Tìm các giá trị nguyên của a để M nguyên
Bài 11 (Bắc Ninh 2004 - 2005 Đề 2)
Cho biểu thức : M =
:
1) Rút gọn biểu thức M
2) Tìm các giá trị của x để M
= 1
3) Tìm các giá trị nguyên của x để M nguyên
Bài 12 (Bắc Ninh 2005 - 2006 Đề 1)
Cho biểu thức: M =
1) Rút gọn M
2) Với điều kiện nào của a thì M > 0
Bài 13 (Bắc Ninh 2005 - 2006 Đề 2)
Cho biểu thức N =
2
1) Rút gọn N
2) Với điều kiện nào của x, y thì N < 0
Bài 14 (Bắc Ninh 2006 - 2007 Đề 1)
Cho biểu thức P =
Trang 71) Rút gọn P.
2) Tìm các giá trị của x để P = 1.
3) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.
Bài 15 (Bắc Ninh 2006 - 2007 Đề 2)
Xét biểu thức
: 1 16
P
a
1) Rút gọn P 2) Tìm a để P = - 3 3) Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên.
Bài 11 (Bắc Ninh 2007 - 2008 Đề 1)
1/ Cho biểu thức
: 4
M
x
a/ Rút gọn biểu thức M b/ Tính M khi biết x 4 2 3
c/ Tìm x để
1 2
M
Bài 16 (Bắc Ninh 2007 - 2008 Đề 2)
Cho biểu thức
1
M
a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x nguyên để A nguyên
c/ Tìm x để
1 4
M x
Bài 17 (Bắc Ninh 2008 - 2009)
Rút gọn biểu thức :
1
A
với a 0;a 9
Bài 18 (Bắc Ninh 2009 - 2010)
A
với x 3 a/ Rút gọn biểu thức A
b/ Tìm x để A < 2
c/ Tìm x nguyên để A nguyên
Bài 19 (Bắc Ninh 2010 - 2011)
Cho biểu thức: P=(√1a+
√a
√a+1): √a
√a+a
1/ Rỳt gọn biểu thức P.
2/ Tỡm a để P=13
3 Bài 20 (Bắc Ninh 2011 - 2012)
a)So sánh : 3 5 và 4 3
b)Rút gọn biểu thức:
A
D.Một số điều cần lưu ý cho học sinh trong khi rỳt gọn
-Khi phõn tớch mẫu thành nhõn tử cần căn cứ vào cỏc mẫu trong cựng một ngoặc
để phõn tớch
Trang 8-Khi phân tích tử để rút gọn cho mẫu ta nên căn cứ vào các thừa số ở mẫu để phân tích
Ví dụ 1: Rót gän
Q
-Khi phân tích mấu x 3 x 4 thành nhân tử ta nên kiểm tra tích ( x 4 )(
x 1 )
khi đó ta thấy ngay x 3 x 4 =( x 4 )( x 1 )
-Trong quá trình rút gon ta được kết quả
Q =
ta tiến hành lấy tử chia cho từng biểu thức ở mẫu.Vì 7 không chia hết cho 4 nên ta lấy tử chia cho ( x 1) khi đó ta được thương là ( 3 x 7) vậy khi đó ta có 3x10 x 7=( x 1) ( 3 x 7)
-Khi thực hiện phép trừ cần đổi dấu toàn bộ trên tử