- Thí sinh không được sử dụng tài liệu, không được trao đổi bài..[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG THANH HÓA Năm học 2011 – 2012
Môn thi: Toán - Lớp 10
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi có 01 trang gồm 5 câu)
………
Câu I (6,0 điểm)
Cho hàm số f x mx2 2(m2)x m 7 P m
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m 1 Từ đó suy ra đồ thị của hàm số g x x – 6 x 82 .
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương x , x1 2 và thỏa mãn điều kiện x – 2x1 2 0.
c) Tìm m để mọi điểm của đồ thị hàm số đã cho đều có tung độ không âm.
Câu II (4 điểm)
a) Giải bất phương trình: 2− x¿2
x (x − 4)√4 x − x2≥ 4 −¿
b) Giải hệ phương trình: ¿
¿
x − y − 2 y
x =−2
2 xy − 2 y2
+x=0
¿ {
¿
Câu III (2 điểm)
Cho a, b, c > 0 và 1+a1 + 1
1+b+
1
1+c ≥2 Chứng minh rằng abc ≤1
8
Câu IV (2 điểm)
Tính giá trị biểu thức P = 2 sin
2
α+sin α cos α+cos2α
sin4α −cos4α nếu tan α = 3 với
π <α< 3 π
2
Câu V (6 điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường thẳng d: x – 7y +
10 = 0 Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng Δ : 2x + y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm A(4; 2)
b) Cho tam giác ABC thỏa mãn : a2+b2+c2=9 R2 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều (a, b, c là độ dài 3 cạnh, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
c) Xác định toạ độ đỉnh B của tam giác ABC biết C(4; 3) Đường phân giác trong
và đường trung tuyến kẻ từ A lần lượt nằm trên mỗi đường thẳng x + 2y - 5 = 0
và 4x + 13y - 10 = 0
………Hết ………
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu, không được trao đổi bài.
Trang 2- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
- Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh………
TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG THANH HÓA Năm học 2011 – 2012
Môn thi: Toán - Lớp 10
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ( ( Đáp án gồm 03 trang)
I
(6.0đ)
1
2
3
Với m = 1 thì f(x) = x2 – 6x + 8
Đỉnh parabol là I(3;-1)
Trục đối xứng x = 3
x - ∞ 3 +
∞
∞ +
∞
-1
Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình
Đồ thị hàm số y = x2 – 6|x| + 8 gồm hai phần:
Phần 1 là đồ thị hàm số y = x2 – 6x + 8 nằm phía bên phải của trục tung
trục tung
0.5đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ
nghiệm phân biệt cùng dương
0
7 7
0
3
0
m m
m m
P
m m
m S
m
1 2
1 2
2( 2) 7
m
x x
m m
x x
m
Theo giả thiết x1 - 2 x2 = 0 ⇔ x1=2 x2
Thay vào (1) và giải ra ta được m = 1 và m = -32 (t/m)
Vậy giá trị m cần tìm là m = 1 và m = -32
………
Mọi điểm của đồ thị của hàm số đã cho có tung độ không âm thì điều kiện cần và đủ là
¿
R + m = 0 (loại)
0 0;
m
x R
m
0.5đ 0.5đ
0.5đ
0.5đ
…… 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
Trang 3⇔ 4
3
m
Vậy giá trị m cần tìm là
4
; 3
m
II
2
2
0 4
BPT x x x x x x
x x x x
x x
Kết hợp điều kiện suy ra x = 0 hoặc x = 4
0.5đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ
+ Xét y = 0 không thỏa mãn
¿ HPT⇔
x − y − 2 y
x =−2
2 x − 2 y+ x
y=0
¿
⇔
x − y= 2 y
x −2 2(x − y )=− x
y
¿
¿{
¿
2 2 4
4 0 2 2 2
y
x y
x
y x
x y
y
x y
x
x y
Giải hệ ta được
¿
x=−2 y=− 1
¿{
¿
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
III
(2.0đ)
1
1+b+1 −
1
1+c=
b 1+b+
c 1+c
Áp dụng bất đẳng thức cosi, ta có:
1
1+a ≥
b 1+b+
c 1+c ≥ 2√bc(1+b)(1+c)
1+b ≥
a 1+a+
c 1+c ≥ 2√ac(1+a)(1+c)
0.5đ
0.5đ
Trang 41
1+c ≥
b 1+b+
a
1+ca≥ 2√ba(1+b)(1+a) 1
8 (1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) 1
8
abc Suy ra
Nờn abc
0.5đ 0.5đ
IVa
Ta cú sin4α −cos4α=(sin2α +cos2α)(sin2α −cos2α)=sin2α − cos2α
Do đú P=
2 sin2α
cos2α +
sin α cos α +1
sin2α
cos2α −1
¿2 tan2α+tan α+1
tan2α −1
¿11 4
0.5đ
0.5đ
0.5đ 0.5đ
V
2
3
Theo giả thiết (d) là tiếp tuyến với đường trũn tại điểm A(4; 2) nờn tõm I của đường trũn
phải thuộc đường thẳng (a) qua A và vuụng gúc với (d) Phương trỡnh đường thẳng (a) là:
7(x - 4) + 1(y - 2) = 0 7x + y – 30 = 0
Tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trỡnh:
¿
2 x+ y =0
7 x+ y −30=0
¿{
¿
Giải hệ ta được I(6; -12)
Vậy phương trỡnh đường trũn là: (x - 6)2 + (y + 12)2 = 200
Ta có:
2 2 2
4
a b c
a b c
m m m
Nên giả thiết
2
4
9 3
3
R
AG AO BG BO CG CO OG GA GB GC OA OB OC
2
Vậy ABC là tam giác đều
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trỡnh sau:
¿
x +2 y − 5=0
4 x +13 y −10=0
¿{
¿
0,5đ
0,5đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ 0.5đ
0.5đ
Trang 5Giải hệ ta được A(9;-2)
được C’(2; -1)
Dựng hình bình hành ABDC với AD là đường chéo
Phương trình đường thẳng DC là: x + 7y – 25 = 0
Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình
¿
4 x +13 y −10=0
x +7 y − 25=0
¿{
¿
Giải hệ ta được D(-17; 6)
Suy ra tọa độ điểm B(-12; 1)
0.5đ 0.5đ
Chú ý: Nếu thí sinh giải bằng cách khác mà đúng thi vẫn cho điểm tối đa.