Đối ngẫu mạnh trong bài toán quy hoạch toàn phương không lồi

NGHIÊM THỊ PHƯỢNGĐỐI NGẪU MẠNH TRONG BÀI TOÁN QUI HOẠCH TOÀN PHƯƠNG KHÔNG LỒI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGHIÊM THỊ PHƯỢNG

ĐỐI NGẪU MẠNH TRONG BÀI TOÁN

QUI HOẠCH TOÀN PHƯƠNG KHÔNG LỒI

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG

Hà Nội – Năm 2016

Trước khi trình bày nội dung chính của bản luận văn thạc sĩ chuyênngành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Tạ Duy Phượng

đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo emtận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình họctập và thực hiện đề tài thực tập này

Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2016

Tác giả

Nghiêm Thị Phượng

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả trình bày trong khóa luận làtrung thực và không trùng lặp với các luận văn khác Tôi cũng xin camđoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm

ơn và các thông tin thu trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồngốc

Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2016

Tác giả

Nghiêm Thị Phượng

Mở đầu ii

1.1 Một số định nghĩa 11.2 Một số mở rộng của định lý minimax cổ điển 31.2.1 Định lý Sion 31.2.2 Một số mở rộng của định lý minimax cổ điển 31.3 Định lý minimax và các hệ quả 71.4 Định lý minimax cho hàm toàn phương 16

2.1 Tối ưu hàm toàn phương với một hạn chế toàn phương 222.2 Tối ưu hàm toàn phương với nhiều hạn chế toàn phương 342.2.1 Tối ưu hàm toàn phương với hai hạn chế toàn phương 342.2.2 Tối ưu hàm toàn phương với nhiều hạn chế toàn

phương 42

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết đối ngẫu đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu bàitoán tối ưu Có thể xây dựng lý thuyết đối ngẫu dựa trên các định lýminimax Bài toán tối ưu hàm toàn phương như là một bước phát triểntiếp theo của bài toán tối ưu tuyến tính

Bài báo [7] đã nghiên cứu khá chi tiết bài toán tối ưu toàn phươngkhông lồi với các hạn chế toàn phương, trong đó các tác giả đã chứngminh các định lý về đối ngẫu mạnh trong bài toán quy hoạch toànphương (không lồi) và áp dụng để nghiên cứu nhiều vấn đề của bài toántối ưu hàm toàn phương Các kết quả của bài báo này liên quan và soisáng nhiều kết quả của bài toán tối ưu hàm toàn phương

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của Luận văn là trình bày các kết quả về đối ngẫumạnh và áp dụng trong bài toán qui hoạch toàn phương không lồi

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu và trình bày các kết quả về đối ngẫu mạnh và áp dụngtrong bài toán qui hoạch toàn phương không lồi

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán tối ưu hàm toàn phương

Phạm vi nghiên cứu: Các kết quả về đối ngẫu mạnh và áp dụng trongbài toán qui hoạch toàn phương không lồi

5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp, phân tích, hệ thống các kiến thức trong các tài liệu về đốingẫu mạnh và áp dụng trong bài toán qui hoạch toàn phương không lồi

6 Đóng góp của luận văn

Luận văn trình bày một cách hệ thống về đối ngẫu mạnh và áp dụngtrong bài toán qui hoạch toàn phương không lồi

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

Sơ lược về lý thuyết đối ngẫu

Định nghĩa 1.1.1 Tập C ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu

tx1 + (1 − t) x2 ∈ C với mọi x1, x2 ∈ C, mọi t ∈ [0; 1]

Định nghĩa 1.1.2 Hàm f : C → R xác định trên tập lồi C ⊂ Rn.Hàm f được gọi là hàm lồi trên C, nếu với mọi x1, x2 ∈ C, mọi t ∈ [0; 1]

ta có

f tx1 + (1 − t) x2
≤ tf x1
+ (1 − t) f x2
Hàm f được gọi là lồi chặt trên C, nếu với mọi x1, x2 ∈ C, mọi t ∈ [0; 1]

ta có

f tx1 + (1 − t) x2
< tf x1
+ (1 − t) f x2
Hàm f được gọi là hàm tựa lồi trên C, nếu với mọi x1, x2 ∈ C, mọi

t ∈ [0; 1] ta có

f tx1 + (1 − t) x2
≤ max f x1
, f x2


Hàm f gọi là hàm lõm trên C nếu −f là hàm lồi trên C.

Hàm f được gọi là hàm tựa lõm trên C, nếu với mọi x1, x2 ∈ C, mọi

t ∈ [0; 1] ta có

f tx1 + (1 − t) x2
≥ min f x1
, f x2


Định nghĩa 1.1.3 Cho X là không gian tôpô

f : X → R

Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c) tại x0 nếu mọi số thực α ∈ R

mà f (x0) > α thì tồn tại lân cận mở U của x0 trong X sao cho f (x) > αvới mọi x ∈ U

Hàm f được gọi là nửa liên tục trên (u.s.c) tại x0 nếu mọi số thực α ∈ R

mà f (x0) < α thì tồn tại lân cận mở V của x0 trong X sao cho f (x) < αvới mọi x ∈ V

Định nghĩa 1.1.4 Hàm f : Rn → R được gọi là hàm toàn phương nếu

được gọi là cực tiểu toàn cục của f (x) trên C nếu f (x) ≤ f (x) ∀x ∈ C.Định nghĩa 1.1.6 Tập A ⊂ Rn được gọi là không liên thông nếu tồntại tập mở U, V sao cho U ∩ A 6= ∅, V ∩ A 6= ∅, U ∩ V ∩ A 6= ∅.

Ngược lại thì A được gọi là liên thông

1.2 Một số mở rộng của định lý minimax cổ điển

Một trong những kết quả quan trọng của lý thuyết tối ưu có nhiều ứngdụng trong các bài toán thực tế là định lý minimax Mục này trình bàymột số kết quả của định lý minimax

1.2.1 Định lý Sion

Định lý 1.2.1 (Sion, [9]) Cho X là tập con lồi compact của một khônggian tôpô tuyến tính và Y là tập con lồi của không gian tôpô tuyến tính.Giả sử f là hàm nhận giá trị thực và xác định trên X × Y sao cho(i) f (x, ) là nửa liên tục trên và tựa lõm trên Y với mỗi x ∈ X;(ii) f (x, ) là nửa liên tục dưới và tựa lồi trên X với mỗi y ∈ Y

1.2.2 Một số mở rộng của định lý minimax cổ điển

Định lý minimax cổ điển đã được Hoàng Tụy và các tác giả khác mởrộng như sau:

Cho C, D là các tập con của hai không gian vectơ Hausdorff X, Y ;

F (x, y) là hàm nhận giá trị thực xác định trên X × Y

Với α ∈ R và y ∈ D, Cα(y) := {x ∈ C |F (x, y) ≤ α } Hàm F (x, y)được gọi là α-liên thông trên C × D nếu

(H) Với mọi tập hữu hạn H ⊂ D tập CH := T

y∈H

Cα(y) hoặc là rỗnghoặc là liên thông;

(T) Với mọi cặp a, b ∈ D tồn tại một ánh xạ liên tục u : [0, 1] → D saocho với mọi t ∈ [θ, θ0] ⊂ [0, 1]

u (0) = a, u (1) = b, Cα(u (t)) ⊂ Cα(u (θ)) ∪ Cα(u (θ0))

Định lý 1.2.2 (H Tụy, [6]) Giả thiết C là tập compact, hàm F (x, y)

là hàm nửa liên tục dưới theo x Đẳng thức minimax

đúng, nếu thêm vào đó, một trong hai điều kiện sau là thỏa mãn:

(i) F (x, y) là hàm nửa liên tục trên theo y và tồn tại dãy đơn điệu giảm

αk & η sao cho F (x, y) là αk-liên thông với mỗi k;

(ii) F (x, y) là hàm nửa liên tục dưới theo y và tồn tại dãy không giảm

αk → η sao cho F (x, y) là αk-liên thông với mỗi k

Định lý 1.2.3 (Theorem 2, [8]) Cho C là tập compact và F (x, y) làhàm nửa liên tục dưới theo x và liên tục theo y Nếu D là tập con cựcđại sao cho với mọi a1, , an ∈ D và mọi α ∈ R, tập

x ∈ C

F x, ai
≤ α, i = 1, , n hoặc là rỗng hoặc là liên thông Khi

đúng nếu với mỗi α ∈ Λ, các giả thiết sau được thỏa mãn:

(H) Với mỗi tập khác rỗng hữu hạn H ⊂ D, tập

D → R xác định trên C × D là hàm nửa liên tục dưới theo x với mỗi

y ∈ D cố định Giả sử tồn tại một số thực α∗ > η := sup

y∈D

inf

x∈C

F (x, y)sao cho với mỗi α ∈ (η; α∗) thì

T 1 Với mỗi x ∈ C tập {y ∈ D |F (x, y) > α } là liên thông;

T 2 Ít nhất một trong các điều kiện T 2a, T 2b, T 2c được thỏa mãn:

a) Với mỗi y ∈ D tập Cα(y) = {x ∈ C |F (x, y) ≤ α } là liên thông, trong

đó với mỗi x ∈ C hàm F (x, ) hoặc là nửa liên tục trên hoặc là nửa liêntục dưới;

b) Với mỗi đoạn ∆ ⊂ D tồn tại ánh xạ ϕ : ∆ → C đa trị giá trị đóngvới tập giá trị ϕ (y) khác rỗng, đóng và liên thông thỏa mãn:

ϕ (y) ⊂ Cα(y) ∀y ∈ ∆;

c) Với mỗi x ∈ C hàm F (x, ) là liên tục và với mỗi y ∈ D mọi cực tiểuđịa phương của F (., y) trên C cũng là cực tiểu trên toàn C

y∈D

inf

x∈C

F (x, y) sao chovới mỗi α ∈ (η; α∗) các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(H) Với mỗi tập khác rỗng hữu hạn H ⊂ D, H , tập

T

y∈H

{x ∈ C |F (x, y) ≤ α} hoặc là rỗng hoặc liên thông;

(Tb) Với mỗi cặp a, b ∈ D tồn tại ánh xạ uab(t) : [0, 1] → D sao cho hàm

F (x, uab(t)) hoặc là nửa liên tục dưới hoặc là nửa liên tục trên theo t và

uab(0) = a uab(1) = b trong đó

Cα(uab(t)) ⊂ Cα(uab(θ)) ∪ Cα(uab(θ0)) ∀t ∈ [θ, θ0] ⊂ [0, 1]

Khi ấy ta có đẳng thức minimax

(i) Với mỗi x ∈ Rn hàm L (x, ) là lõm;

(ii) Với mỗi điểm y ∈ D, cực tiểu địa phương của L (., y) trên C là cựctiểu toàn cục của L (., y) trên C;

(iii) Tồn tại y∗ ∈ D sao cho L (x, y∗) → +∞ khi x ∈ C, kxk → +∞.Khi đó ta có đẳng thức minimax:

Chứng minh Chứng minh trực tiếp.

vì vậy L x0, y
≤ α ∀y ∈ [u, s].

Ta khẳng định s = b Thật vậy, nếu s < b ta không thể có L x0, s
< α,

do đó theo tính liên tục của hàm L (x, y) sẽ tồn tại q > s thoả mãn

L x0, y
< α ∀y ∈ [s, q), mâu thuẫn với (1.4) Do đó nếu s < b thìnhất thiết L x0, s
= α Ngoài ra, với bất kì hình cầu W tâm x0 takhông thể có α = min

x∈C∩W L (x, s) vì khi ấy theo giả thiết (ii) ta suy rarằng α = L x0, s
= min

x∈C L (x, s), mâu thuẫn với α > inf

x∈C

L (x, s)

Vì vậy tồn tại xk ∈ C sao cho xk → x0 và L xk, s
< α

Nếu với y ∈ (s, b] và k nào đó ta đã có L xk, y
> α, thì vì L xk, s
< αnên theo giả thiết (i) ta suy ra rằng L xk, z
< α ∀z ∈ [u, s], ngoài ratheo tính liên tục L xk, q
< α ∀y ∈ [s, q] với q > s, mâu thuẫn

với (1.4)

Do đó, L xk, y
≤ α ∀k, vì vậy cho xk → x0 được L x0, y
≤ α,

∀y ∈ (s, b] Điều này chứng minh s = b cho nên

ta có thể chỉ ra rằng t = a, nghĩa là T

a≤y≤b

Cα(y) 6= ∅ Khẳng định (1.3)được chứng minh

Bây giờ dễ dàng để hoàn thành chứng minh

Từ giả thiết (iii) tập Cα(y∗) là compact Bởi vì mọi tập hữu hạn

E ⊂ D phải chứa trong một đoạn ∆ nào đó nên suy ra từ (1.3) rằng họ

Cα(y) ∩ Cα(y∗), y ∈ D, có tính chất giao hữu hạn

Do đó, tồn tại x ∈ C thoả mãn L (x, y) ≤ α ∀y ∈ D

Lấy α = η + 1k thì với mỗi k = 1, 2, tồn tại xk ∈ C thoả mãn

Vì tập hợp Cη+1(y∗) là compact nên dãy xk có điểm tụ x ∈ C thoảmãn L (x, y) ≤ η ∀y ∈ D Suy ra sup

Vậy γ = η Hệ thức (1.2) được chứng minh.

Nhận xét 1.3.1 Giả thiết (ii) là hiển nhiên thỏa mãn nếu L (., y) làhàm lồi và C là tập hợp lồi (Định lý 1.3.1 trở về định lý minimax cổđiển) Hơn nữa, sau này ta sẽ thấy, giả thiết (ii) thỏa mãn trong nhiềutrường hợp của bài toán tối ưu toàn phương

Mở rộng cho trường hợp D ⊂ Rm với m ≥ 1 ta có

Hệ quả 1.3.1 (Corollary 1, [7]) Cho C là tập con đóng của Rn, D làtập con lồi của Rm và L (x, y) : Rn × D → R là một hàm liên tục Giảthiết các điều kiện sau được thỏa mãn:

Xét tùy ý α > η và với mỗi y ∈ D đặt

Ngoài ra, vì giả thiết L (x, y∗) → +∞ khi x ∈ C, kxk → +∞, tập Cα(y∗)

là compact cho nên là Cα(y∗) ∩ Cα(y) vì Cα(y) là đóng

Hệ quả 1.1.1 được chứng minh.

Chú ý 1.3.1 (Remark 1, [7])

a) Khi C là đa tạp affine (tức là nếu x1, x2 ∈ C thì

x1 := tx2+ (1 − t) x2 ∈ C với mọi t ∈ R) và L (x, y) là hàm toàn phươngtheo x thì trong giả thiết (iii∗) không cần tính duy nhất của x∗

Thật vậy, trong trường hợp này tính duy nhất của x∗ suy ra từ điều kiện

L (x, y∗) → +∞ khi x ∈ C, kxk → +∞ (kéo theo x 7→ L (x, y∗) là hàmlồi ngặt trên đa tạp affine C)

Điều kiện (iii∗) là thỏa mãn nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn(iii!) Tồn tại duy nhất cặp (x∗, y∗) ∈ C × D sao cho

L (x∗, y∗) = max

y∈D min

x∈C L (x, y) và L (x, y∗) → +∞ khi x ∈ C, kxk → +∞.Thật vậy, giả sử y thỏa mãn min

Hàm F (x) : Rn → R được gọi là thỏa mãn điều kiện bức trên tập hợp

C ⊂ Rn nếu F (x) → +∞ khi x ∈ C, kxk → +∞ Điều kiện (iii) trongĐịnh lý 1.3.1 có nghĩa là luôn tồn tại y∗ ∈ D sao cho hàm x 7→ L (x, y∗)thỏa mãn điều kiện bức trên C

Dưới đây, ta sẽ xét hàm L (x, y) có dạng L (x, y) = f (x)+yg (x) trong đó

f (x) và g(x) là các hàm toàn phương trên Rn Vì L (x, y) = f (x)+yg (x)

là hàm lõm theo y và điều kiện (i) trong Định lý 1.3.1 là hiển nhiên

Dưới đây, chúng ta sẽ xét các trường hợp khi điều kiện (ii) và (iii) đượcthỏa mãn.

Bổ đề 1.3.1 (S - Bổ đề, Lemma 1, [7]) Giả sử F (x) : Rn → R là hàmtoàn phương, H ⊂ Rn là đa tạp affine Mọi cực tiểu địa phương x của

F (x) trên H là cực tiểu toàn cục trên H Nếu F (x) bị chặn dưới trên

H thì nó là lồi trên H

Chứng minh Xét một đường thẳng Γ tùy ý trên H đi qua x Trên đườngnày vì F (x) là hàm toàn phương với một biến thực và không là hàmhằng nên hoặc là nó lồi hoặc lõm ngặt, do đó mọi cực tiểu địa phươngcủa nó trên Γ là cực tiểu trên toàn Γ Nếu F (x) bị chặn dưới trên H thì

nó phải lồi trên mỗi đường Γ ⊂ H, do đó nó lồi trên H

Bổ đề 1.3.2 (Lemma 2, [7]) Một hàm toàn phương F (x) là lồi ngặt trên

đa tạp affine H khi và chỉ khi nó bức trên H, nghĩa là F (x) → +∞ khi

x ∈ H, kxk → +∞ Điều này tương đương với tập {x ∈ H| F (x) ≤ η}

là compact với mọi số thực η

Chứng minh Nếu hàm toàn phương F (x) là lồi ngặt trên H thì nó làlồi ngặt trên đường thẳng bất kì trong H, cho nên bất kì η ∈ R tập{x ∈ H| F (x) ≤ η} (là đóng và lồi) không thể chứa bất kì nửa đườngthẳng nào, do đó phải là compact, nghĩa là F (x) là bức trên H

Ngược lại, hàm toàn phương F (x) là không lồi ngặt trên H thì nó khônglồi ngặt trên đường Γ ⊂ H nào đó, vì vậy nó lõm trên đường này và do

đó không thể bị bức

Bổ đề 1.3.3 (Lemma 3, [7]) Giả sử f (x) và g (x) là hàm toàn phươngtrên Rn, L (x, y) = f (x) + yg (x) với x ∈ Rn, y ∈ R Khi ấy trên mỗi

đường η trong Rn, đẳng thức minimax thỏa mãn, nghĩa là

là hiển nhiên thỏa mãn

Nếu cả f (x) và g (x) là affine trên Γ thì (1.8) là kết quả của bài toánquy hoạch tuyến tính đối ngẫu Nói cách khác, hoặc f (x) hoặc g(x) làlồi ngặt trên Γ Thì ∃y∗ ∈ R+ sao cho f (x) + y∗g (x) là lồi ngặt trên Γ,

do đó như vậy L (x, y∗) → +∞ khi x ∈ η, kxk → +∞ Từ bổ đề (1.2.1)điều kiện (ii) trong định lí (1.3.1) được thoả mãn Đẳng thức (1.8) làđẳng thức (1.9) khi C = Γ, D = R+

Nếu g(x) không là affine trên Γ thì luôn tồn tại y∗ ∈ R sao cho

f (x) + y∗g (x) là lồi ngặt trên Γ (y∗ > 0 khi g(x) là lồi ngặt trên Γ và

y∗ < 0 khi g(x) là lõm ngặt trên Γ) Suy ra mọi điều kiện của Định lý1.1.1 thoả mãn với C = Γ, D = R và ta có đẳng thức (1.9)

1.4 Định lý minimax cho hàm toàn phương

Định lý 1.4.1 (S - Bổ đề suy rộng, Theorem 2, [7]) Giả sử f (x) và

g (x) là hàm toàn phương trong Rn, W là tập con đóng của Rn, D làtập con đóng của R và L (x, y) = f (x) + yg (x) với y ∈ R Giả thiết

D = R và tồn tại a, b ∈ W sao cho g (a) < 0 < g (b)

(ii) Với hai điểm a, b ∈ W bất kì sao cho g (a) < 0 < g (b) ta có

Chứng minh Đầu tiên, ta chứng tỏ rằng với bất kì số thực α < γ và bất

kì tập hữu hạn E ⊂ W đều tồn tại y ∈ D thoả mãn

inf

x∈E

Vì x ∈ E ⊂ W , g(x) = 0 suy ra L (x, y) = f (x)+yg (x) = f (x) ≥ γ > αvới mọi y ∈ D, ta cần chứng minh (1.11) đúng với mọi tập hữu hạn

E ⊂ {x ∈ W | g (x) 6= 0} Đặt E = E1 ∪ E2, trong đó

E1 := {x ∈ E| g (x) < 0}, E2 := {x ∈ E| g (x) > 0}

Với mỗi x ∈ E định nghĩa θ (x) := α−f (x)g(x) Rõ ràng

Hoặc D = R+ và f (x∗) + yg (x∗) → −∞ khi y → +∞ vì vậy tập

D (x∗) = {y ∈ R+| L (x∗, y) ≥ α} là compact,

Hoặc D = R và f (a) + yg (a) → −∞ khi y → +∞, f (b) + yg (b) → −∞khi y → −∞, vì vậy tập D (a) = {y ∈ R| L (a, y) ≥ α} là bị chặn trên,trong khi đó D (b) bị chặn dưới, do đó tập D (a) ∩ D (b) là compact

Rõ ràng mỗi yk chứa trong tập compact T

x∈W

{y ∈ D| L (x, y) ≥ α1}, nêntồn tại y ∈ D sao cho lên đến dãy con yk → y (k → +∞) Do đó

L (x, y) ≥ γ với mọi x ∈ W Vậy inf

(ii) H là đa tạp affine trên Rn và giả thiết rằng g(x) hoặc thuần nhấthoặc g (x) = 1x 1, x + d1 với Q1 không suy biến và g(x) lấy

cả giá trị dương và âm trên H Khi ấy, hệ x ∈ H, f (x) < 0, g (x) = 0 làkhông tương thích khi và chỉ khi tồn tại y ∈ R sao cho

f (x) + yg (x) ≥ 0 ∀x ∈ H

(iii) H là không gian con của Rn và giả thiết cả f (x), g(x) là thuần nhất.Khi ấy, hệ x ∈ H\ {0}, f (x) ≤ 0, g (x) ≤ 0 là không tương thích khi vàchỉ khi tồn tại (y1, y2) ∈ R2+ sao cho

y1f (x) + y2g (x) > 0 ∀x ∈ H\ {0}

Chứng minh Vì phần "khi" trong từng khẳng định là rõ ràng nên chỉcần chứng minh phần "chỉ khi"

Giả sử L (x, y) = f (x) + yg (x)

(i) Đây là trường hợp đặc biệt của Định lý 1.4.1 với D = R+, W = H.Thật vậy,

(iii) Nếu H là không gian con và cả hai hàm f (x), g(x) là thuần nhất thì

hệ x ∈ H\ {0}, f (x) ≤ 0, g (x) ≤ 0 là không tương thích khi và chỉ khi hệ{x ∈ H\ {0} , f (x)/hx, xi ≤ 0, g (x)/hx, xi ≤ 0} cũng là không tương thích.Đặt z = x

Hệ quả được chứng minh.

Chú ý 1.4.1 (Remark 2, [7])

(a) Theo Bổ đề 1.2.1 hàm f (x) + yg (x) trong khẳng định (i) và (ii) của

hệ quả trên là lồi trên H

(b) Một tập C được gọi là hình nón chính qui (a regular core) nếu

C ∪ (−C) là một không gian con Bổ đề 1.2.1 được mở rộng cho hìnhnón như sau:

Nếu F (x) là hàm toàn phương thuần nhất trên Rn thì mọi cực tiểu địaphương của nó trên hình nón chính qui C ⊂ Rn đều là cực tiểu toàn cụctrên C

Thật vậy, trong trường hợp này F (−x) = F (x) với mọi x ∈ C ∪ (−C).Đặc biệt, giả thiết (ii) trong Định lý 1.3.1 là thỏa mãn nếu C là hìnhnón chính qui, và L (., y) là hàm toàn phương thuần nhất

Định lý 1.4.1 vẫn đúng nếu H là hình nón chính qui, W =Rn và f (x), g(x)

là những hàm toàn phương thuần nhất Thật vậy, với H = K ∪ (−K),

Bài toán tối ưu hàm toàn phương không lồi

Chương 2 trình bày bài toán tối ưu hàm toàn phương không lồi với hạnchế toàn phương bao gồm các bài toán tối ưu hàm toàn phương với mộthạn chế toàn phương và bài toán tối ưu hàm toàn phương với nhiều hạnchế toàn phương theo [7]

2.1 Tối ưu hàm toàn phương với một hạn chế toàn

trong đó f (x), g(x) là những hàm toàn phương xác định bởi

D = R+, G = {x ∈ Rn| g (x) ≤ 0} cho bài toán (QPA),

D = R, G = {x ∈ Rn| g (x) = 0} cho bài toán (QPB)

thì hàm L (., y) là lồi trên H Vì vậy, ta quy ước inf ∅ = −∞ cận trênđúng trong bài toán đối ngẫu có thể xét trên tập những y ∈ D mà hàm

Định lý 2.1.1 (Định lý đối ngẫu, Theorem 3, [7])

(i) Nếu giả thiết (S) là thỏa mãn thì (2.2) thỏa mãn Ngoài ra,

v (QP A) > −∞ (nghĩa là trường hợp giả thiết (T) cũng thỏa mãnvới D = R+ ), thì tồn tại y ∈ R+ sao cho L (x, y) là lồi trên H và

(ii) Giả sử H là không gian con và v (QP B) > −∞ và

• g(x) là thuần nhất và lấy cả giá trị âm và dương trên H,

• Hoặc cả g(x) và f(x) là những hàm thuần nhất

Khi ấy (2.3) thỏa mãn và tồn tại y ∈ R sao cho L (x, y) là hàm lồitrên H và

là nghiệm tối ưu của bài toán ban đầu nếu và chỉ nếu

h∇f (x) + y∇g (x) , ui = 0 ∀u ∈ E, (2.8)

trong đó E là không gian con của H

Chứng minh (i) Sự tồn tại y được suy ra từ hệ quả 1.2.1, (i) Khi đó x

là nghiệm tối ưu của (QPA) nếu và chỉ nếu

v (QP B) > −∞ suy ra tồn tại (y1, y2) ∈ R+ sao cho

inf {f (x)| − g (x) ≤ 0, x ∈ H} = v (QP B), vì vậy (2.6) thỏa mãn với

y ∈ R− nào đó Vì L (x, y) là lồi trên H nên điều kiện (2.7) là điều kiệncần và đủ để x ∈ H là nghiệm tối ưu của bài toán (QPB)

(iii) Nếu giả thiết (T) là thỏa mãn thì kết luận suy ra từ Định lý 1.3.1trong đó C = H và D = R cho bài toán (QPB)

Nếu thêm vào giả thiết (T), bài toán đối ngẫu có nghiệm tối ưu y ∈ Dthì x ∈ H là nghiệm bài toán ban đầu nếu và chỉ nếu nó là nghiệm củabài toán tối ưu lồi min

x∈H L (x, y), do đó nó thỏa mãn (2.8) nếu và chỉ nếu

nó là nghiệm của bài toán ban đầu

b) Trong trường hợp H = Rn, ta đã biết, bằng cách đặt Q (y) = Q0+yQ1,

c (y) = c0 + yc1, d (y) = yd1 bài toán đối ngẫu của (QPA) có thể viết

2.1 Tối ưu hàm toàn. .. (x) affine Γ (1.8) kết tốnquy hoạch tuyến tính đối ngẫu Nói cách khác, f (x) g(x) l? ?lồi ngặt Γ Thì ∃y∗ ∈ R+ cho f (x) + y∗g (x) lồi ngặt Γ,

do L (x,... hàm toàn phương Thật vậy, với H = K ∪ (−K),

Bài toán tối ưu hàm tồn phương khơng lồi< /h3>

Chương