Bài giảng Sức bền vật liệu 2 - Trường Đại học Hàng Hải

Bài giảng Sức bền vật liệu 2 cung cấp cho sinh viên những kiến thức cần thiết và phương pháp tính để giải quyết các trường hợp chịu lực phức tạp , các trường hợp chịu tải trọng động phổ biến nhất thường gặp trong kỹ thuật, cách tính ổn định cho thanh chịu nén dọc, và tính thanh cong phẳng. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm các nội dung chi tiết.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI KHOA CƠ SỞ - CƠ BẢN

BỘ MÔN : SỨC BỀN VẬT LIỆU

BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO : ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

(Tài liệu lưu hành nội bộ)

MỤC LỤC

10 7.3 Công thức Ơle xác định ứng suất tới hạn Phạm vi sử dụng công thức Ơle 33

11 7.4 Công thức xác định ứng suất tới hạn khi vật liệu làm việc ngoài miền đàn hồi 34

12 7.5 Tính toán ổn định của thanh chịu nén dọc theo hệ số an toàn về ổn định 36

13 6.6 Tính toán ổn định của thanh chịu nén dọc theo quy phạm 39

14 7.7 Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang và cách chọn vật liệu 44

17 8.2 Bài toán chuyển động thẳng với gia tốc không đổi 50

18 8.3 Bài toán chuyển động quay với vận tốc góc không đổi 52

25 9.3 Xác định bán kính cong của thớ trung hòa 79

Yêu cầu và nội dung chi tiết

Tên học phần: Sức bền vật liệu 2 Mã HP: 18503

a Số tín chỉ: 2 TC BTL ĐAMH

b Đơn vị giảng dạy: Bộ môn Sức bền vật liệu

c Phân bổ thời gian:

- Tổng số (TS): 30 tiết - Lý thuyết (LT): 18tiết

- Thực hành (TH): 0 tiết - Bài tập (BT): 10 tiết

- Hướng dẫn BTL/ĐAMH (HD): 0 tiết - Kiểm tra (KT): 2 tiết

d Điều kiện đăng ký học phần: học sau học phần Sức bền vật liệu 1

e Mục đích, yêu cầu của học phần:

Kiến thức:

Trên cơ sở các kiến thức cơ bản đã được trang bị ở Sức bền vật liệu 1, học phần Sức bền vật liệu 2

cung cấp cho sinh viên những kiến thức cần thiết và phương pháp tính để giải quyết các trường hợp chịu

lực phức tạp , các trường hợp chịu tải trọng động phổ biến nhất thường gặp trong kỹ thuật, cách tính ổn

định cho thanh chịu nén dọc, và tính thanh cong phẳng

Kỹ năng:

.-Có khả năng tư duy, phân tích, đánh giá đúng trạng thái chịu lực của bộ phận công trình, chi tiết

máy

- Có khả năng ứng dụng kiến thức của môn học để giải quyết vấn đề trong thực tiễn

- Có kỹ năng giải các bài toán cơ bản của môn học một cách thành thạo

Thái độ nghề nghiệp:

- Hiểu rõ vai trò quan trọng của môn học đối với các ngành kỹ thuật, từ đó có thái độ nghiêm túc,

tích cực, cố gắng trong học tập

f Mô tả nội dung học phần:

Học phần Sức bền vật liệu 2 bao gồm các nội dung sau:

-Chương 7: Thanh chịu lực phức tạp

-Chương 8: Ổn định của thanh chịu nén dọc trục

-Chương 9: Tải trọng động

Chương 10: Thanh cong phẳng

g Người biên soạn: Th.S Nguyễn Hồng Mai - Bộ môn Sức bền vật liệu – Khoa Cơ sở cơ bản

h Nội dung chi tiết học phần:

TÊN CHƯƠNG MỤC PHÂN PHỐI SỐ TIẾT

TS LT BT TH KT

Nội dung tự học (18t):

-Đọc trước nội dung tiết học( trong bài giảng chi tiết ) trước khi lên lớp

-Tự đọc mục 8.5 trong tài liệu tham khảo [1]ở mục l

-Làm đầy đủ bài tập cuối chương( trong bài giảng chi tiết.)

8.6 Tính toán ổn định của thanh chịu nén dọc theo quy phạm 1

8.7 Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang và cách chọn vật liệu 0,5

Nội dung tự học (14t):

-Đọc trước nội dung tiết học( trong bài giảng chi tiết ) trước khi lên lớp

-Tự đọc mục 13.6 ,13.7 ,13.8 trong tài liệu tham khảo [1]ở mục l

-Làm đầy đủ bài tập cuối chương( trong bài giảng chi tiết )

9.2 Bài toán chuyển động thẳng với gia tốc không đổi 1

9.3 Bài toán chuyển động quay với vận tốc góc không đổi 1

9.4 Bài toán va chạm 2

Nội dung tự học (18t):

-Đọc trước nội dung tiết học( trong bài giảng chi tiết ) trước khi lên lớp

-Tự đọc mục 10.6 ,10.7 trong giáo trình [1]ở mục k

-Làm đầy đủ bài tập cuối chương( trong bài giảng chi tiết)

10.2 .Tính thanh cong chịu uốn thuần túy 0.5

10.3 Xác định bán kính cong của thớ trung hòa 0.5

10.4 Tính thanh cong chịu lực phức tạp 0.5

-Để được dự thi kết thúc học phần, sinh viên phải đảm bảo đồng thời 2 điều kiện:

+ Tham gia học tập trên lớp 75% tổng số tiết của học phần

+ Điểm X 4

- Cách tính điểm : X =

• là điểm trung bình hai bài kiểm tra giữa học kỳ (điểm của mỗi bài kiểm tra có tính đến

điểm khuyến khích thái độ học tập trên lớp, tinh thần tự học của sinh viên.)

-Hình thức thi kết thúc học phần (tính điểm Y):

Thi viết, rọc phách, thời gian làm bài 90 phút

- Điểm đánh giá học phần : Z = 0,5X + 0,5Y

Trường hợp sinh viên không đủ điều kiện dự thi thì ghi X = 0 và Z = 0

Điểm Z sau khi tính theo thang điểm 10,được qui đổi sang thang điểm 4 và thang điểm chữ A+, A,

B+, B, C+, C, D+, D, F

k Giáo trình:

[1] Nguyễn Bá Đường, Sức bền vật liệu, NXB Xây Dựng, 2002

l Tài liệu tham khảo:

[1] Lê Ngọc Hồng Sức bền vật liệu, NXB Khoa học và kỹ thuật 1998

[2] Phạm Ngọc Khánh ,Sức bền vật liệu, NXB Xây Dựng, 2002

[3] Bùi Trọng Lựu, Nguyễn Văn Vượng, Bài tập Sức bền vật liệu, NXB Giáo dục, 1999

[4].I.N.Mirôliubôp,X.A.Engalưtrep, N.Đ.Xerghiepxki, Bài tập sức bền vật liệu, NXB Xây Dựng,2002

m Ngày phê duyệt: 30/5/2015

Chương 6: THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 6.1 KHÁI NIỆM - NGUYÊN LÝ CỘNG TÁC DỤNG

6.1.1 Khái niệm

Trong các chương trước chúng ta đã nghiên cứu các dạng chịu lực đơn giản của thanh như kéo

hoặc nén đúng tâm, xoắn thuần tuý, uốn ngang phẳng Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các

trường hợp chịu lực phức tạp, nghĩa là những hình thức kết hợp các dạng chịu lực đơn giản ở trên Trong

trường hợp thanh chịu lực phức tạp trên mặt cắt ngang của nó sẽ xuất hiện nhiều thành phần nội lực Mức

độ phức tạp thể hiện qua số lượng các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang Sau đây ta sẽ nghiên cứu từ

trường hợp phức tạp ít đến trường hợp tổng quát

6.1.2 Nguyên lý cộng tác dụng

Để thuận tiện cho việc nghiên cứu các trường hợp chịu lực phức tạp ta phải sử dụng nguyên lý

độc lập tác dụng hay nguyên lý cộng tác dụng như sau:

Nếu nghiên cứu một thanh đồng thời chịu tác dụng của nhiều hệ lực, gây nên nhiều thành phần nội lực

trên mặt cắt ngang của thanh, thì ứng suất và biến dạng của thanh sẽ bằng tổng ứng suất và biến dạng do

từng hệ lực riêng rẽ gây ra

Muốn sử dụng được nguyên lý này thì bài toán phải thoả mãn các điều kiện sau đây:

Vật liệu còn làm việc trong miền đàn hồi, sự tương quan giữa ứng suất và biến dạng là tương

quan bậc nhất

Biến dạng của thanh là nhỏ, sự chuyển dịch của các điểm đặt lực là không đáng kể

Khi xét các bài toán chịu lực phức tạp, vì ảnh hưởng của lực cắt đến độ bền của thanh là không

đáng kể, do đó ta có thể bỏ qua

6.2 UỐN XIÊN

6.2.1 Định nghĩa

Một thanh được gọi là uốn xiên là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang của nó tồn tại hai thành phần

nội lực là mômen Mx và My nằm trong hai mặt phẳng quán tính chính trung tâm của thanh

Ta có thể hợp hai vectơ M!xvà về một véctơ tổng :

Từ đó ta có định nghĩa khác: Một thanh chịu uốn xiên là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang của nó

có một mômen uốn Mu không nằm trong các mặt phẳng quán tính chính trung tâm Mặt phẳng chứa

mômen uốn Mu được gọi là mặt phẳng tải trọng ở hình 6.2 mặt phẳng tải trọng là mặt phẳng p Giao

tuyến của mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang là đường tải trọng Ta thấy rằng đường tải trọng đi qua

trọng tâm mặt cắt ngang nhưng không trùng với các trục quán tính chính trung tâm

Gọi a là góc tạo bởi đường tải trọng với trục quán tính chính trung tâm Ox, a được coi là dương

khi chiều quay từ trục x trùng với đường tải trọng thuận chiều kim đồng hồ (hình 6.2)

Từ hình vẽ ta có:

My = Mucosa

Hình 6.2

6.2.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang

Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất tại một điểm xác định có toạ độ (x,y) sẽ bằng tổng

ứng suất pháp do từng thành phần mômen uốn gây nên:

(b)

dấu của mỗi số hạng trong (6-1) phụ thuộc vào dấu của Mx, My, x và y

Để tránh sự nhầm lẫn về dấu người ta thường dùng công thức sau đây:

x y

M tg

M

a =

Mx

My M

z =s +s

s

yJ

M

x

x M

z x =

s

xJ

My

y M

z

y =

s

xJ

MyJ

M

y

y x

x

s

(6-2)

Trong công thức này Mx, My, x, y đều lấy giá trị tuyệt đối, còn dấu sẽ chọn dương hay âm trước

mỗi số hạng tuỳ thuộc vào tác dụng của Mx và My gây nên kéo hay nén tại điểm đang xét

6.2.3 Đường trung hòa

Đường trung hòa là tập hợp tất cả những điểm trên mặt cắt ngang có ứng suất pháp bằng không

Vậy phương trình đường trung hoà được rút ra từ phương trình sz = 0 như sau:

(6-3) Như vậy đường trung hoà là một đường thẳng đi qua trọng tâm mặt cắt

Nếu gọi b là góc tạo bởi đường trung hoà và trục x thì: (6-4)

Từ đây ta có một số nhận xét về đường trung hoà

- Đường tải trọng và đường trung hoà không nằm cùng trong một góc phần tư của mặt cắt

- Đường trung hoà và đường tải trọng không vuông góc với nhau

Hình 6.3

6.2.4 Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Để vẽ biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ta có một số nhận xét sau đây:

-Tất cả những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với đường trung hoà thì có trị số ứng

xJ

MyJ

J.M

My

y

x x

y-

=

y

x y

x x

y

J

J.tg

1J

J.M

Mtg

a-

=-

=b

x z

y

x

y

ba

Duong trung hoa

Duong tai trong

Ta có thể chứng minh nhận xét trên như sau:

Giả sử ta có hai điểm (1) và (2) cùng nằm trên một đường song song với đường trung hoà có toạ độ: 1(x1,

Vậy ứng suất tại hai điểm (1) và (2) bằng nhau

- Quy luật thay đổi của ứng suất pháp theo khoảng cách đến đường trung hoà là quy luật bậc nhất

Với hai nhận xét trên, ta có thể vẽ biểu đồ ứng suất theo trình tự như sau:

- Xác định vị trí đường trung hòa và kéo dài ra khỏi mặt cắt

- Kẻ một đường thẳng vuông góc với đường trung hòa làm đường chuẩn và lấy giới hạn mặt cắt

- Xác định hai điểm:

+ Điểm 1 là giao điểm của đường chuẩn với đường trung hòa

+ Điểm 2 là điểm biểu thị ứng suất ở 1 vị trí bất kì có

- Nối 2 điểm, đánh dấu, gạch biểu đồ

0CxJ

My

J

M

y

y x

( )

( )ï

=s

-=+

=s

CxJ

MyJM

CxJ

MyJM

2 y

y 2 x

x 2 z

1 y

y 1 x

x 1 z

(2) x (2) y (2)

z

M M

Hình 6.5

Biểu đồ có dạng như hình 6.4 Từ biểu đồ ta có các điểm có ứng suất pháp lớn nhất là các điểm xa đường

trung hoà nhất về hai phía chịu kéo và chịu nén

(6-5)

Với những thanh có mặt cắt ngang là hình chữ nhật, chữ I, chữ [ các điểm xa đường trung hoà nhất luôn

luôn nằm ở góc mặt cắt, với toạ độ lớn nhất (xmax, ymax) nên ứng suất pháp lớn nhất sẽ là:

(6-6)

Biểu đồ ứng suất như ở hình 6.5

6.2.5 Điều kiện bền và ba bài toán cơ bản

a Điều kiện bền

Với thanh chịu uốn xiên điểm nguy hiểm là điểm xa đường trung hoà nhất của các mặt cắt nguy

hiểm Trạng thái ứng suất của các điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn nên điều kiện bền sẽ là:

- Vật liệu dòn:

(6-7)

- Vật liệu dẻo:

trong đó (6-8) Còn sẽ lấy theo công thức (6.5) hoặc (6.6) tùy theo dạng mặt cắt

y

x

O K

y B x

x n

A y

y A x

x k

x J

M y J M

x J

M y J M

-=

++

=

y

y x

x n

y

y x

x k

W

M W M

W

M W M

ax ax

k

zm k n

b, Ba bài toán cơ bản:

Từ điều kiện bền ( 6–7) và (6-8) ta có

Lưu ý rằng, riêng điều kiện bài toán xác định kích thước mặt cắt ngang ta phải sử dụng phương

pháp đúng dần Chẳng hạn trong bài toán dầm làm bằng vật liệu dẻo và mặt cắt đối xứng thì điều kiện

bền sẽ là

-

Rõ ràng bất đẳng thức này chứa 2 ẩn là Wx và Wy Để thuận tiện ta có thể viết dưới dạng

-

Ta có thể giải bài toán xác định kích thước mặt cắt ngang như sau:

Chọn tỉ số , thay vào điều kiện bền ta rút ra được Wx

Từ Wx ta có thể chọn được kích thước hoặc số hiệu mặt cắt

Với mặt cắt vừa chọn, kiểm tra lại điều kiện biền và thử dầm để chọn mặt cắt nhỏ nhất thỏa mãn

b Ba bài toán cơ bản

Từ điều kiện bền (6-7) và (6-8) ta cũng có ba bài toán cơ bản, đó là bài toán kiểm tra bền, bài toán

tìm tải trọng cho phép và bài toán tìm kích thước hay số liệu mặt cắt ngang của thanh mà nội dung và

cách giải cũng tương tự như các bài toán cơ bản ở các chương trước

Thí dụ 1: Kiểm tra bền một dầm chịu uốn xiên có sơ đồ chịu lực như hình 6.6 Biết q = 6kN/m; l

M M

WW

x y

WW

x

y

W W

h b

- Vẽ biểu đồ Mx và My như hình vẽ

- Từ biểu đồ ta tháy mặt cắt ngang nguy hiểm là mặt cắt nằm ở chính giữa dầm có

Điều kiện bền của vật liệu dẻo :

giá trị cho phép của tải trọng [q] từ điều kiện bền Các thông số cho như ở thí dụ 1

l q

max max

WW

y x

z

M M

[ ]s

£+

Wy8

.Wx8

.l2 q l2

l l/2

- Từ biểu đồ ta thấy mặt cắt ngang nguy hiểm là mặt cắt nằm ở chính giữa dầm có

Điều kiện bền của vật liệu dẻo :

l q

max

WW

y x

z

M M

Wy8

.Wx8

l q l

ø

öçç

è

æ

+Wy16Wx16

[ ]

÷÷

ø

öçç

è

æ

+Wy16Wx16

400152

.16

400.3

16

2 2

-=+

P y P x

Ta thấy maxsz nhỏ hơn nhiều so với [s]

Ta chọ thép số hiệu nhỏ hơn INo24a có Wx = 317 cm3, Wy = 41,6 cm3 nghiệm lại điều kiện bền

ta thấy max | sz | =14,7 KN/cm2 < [ s ]

Chọn tiếp số hiệu nhỏ hơn INo24 có Wx = 289 cm3, Wy = 34,5 cm3

ta thấy max | sz | =17,5 KN/cm2 > [ s ] =16 KN/cm2 là 8,6 % không thoả mãn điều kiện bền

Vậy số hiệu mặt cắt ngang cần tìm là IN024a

6.2.6 Độ võng trong uốn xiên

Ta gọi độ võng ở một mặt ngang của dầm là f thì theo nguyên lý cộng tác dụng, ta có:

Về trị số:

Trong đó: fx là độ võng theo phương x do My gây nên; fy là độ võng theo phương y do Mx gây nên mà ta

có thể xác định chúng riêng ra theo các phương pháp đã biết ở chương trước

max max

l P M

ùê

êë

é

+

=

max y

x max x

max

W

WW

1

y x

WyWx

max y

x max

4,335W

úû

ùê

êë

max x

2

x ff

6.3 UỐN VÀ KÉO NÉN ĐỒNG THỜI

6.3.1 Định nghĩa

Một thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang của nó có mômen

uốn Mu và lực dọc Nz

Trường hợp tổng quát :

thì nội lực trên mặt cắt ngang tồn tại 3 thành phần: Mx, My, Nz

Trường hợp riêng chỉ tồn tại: Nz, Mx hoặc Nz, My

Hình 6.8

6.3.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang

Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất tại một điểm trên mặt cắt ngang bằng tổng ứng suất do

ba thành phần nội lực Nz, Mx, My gây nên và bằng:

(6-11)

Để tránh nhầm dấu, ta cũng có thể sử dụng công thức kỹ thuật sau

(6-11')

6.3.3 Đường trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Từ định nghĩa về đường trung hoà ta có phương trình của nó là:

Từ phương trình (6-12) ta thấy đường trung hoà là đường thẳng không đi qua trọng tâm mặt cắt

Để vẽ biểu đồ ứng suất trên mặt cắt ngang ta cũng có hai nhận xét như các phần trước, cụ thể:

- Ứng suất pháp của những điểm có cùng khoảng cách đến đường trung hoà thì bằng nhau

- Quy luật biến thiên của ứng suất pháp theo khoảng cách đến đường trung hoà là quy luật bậc nhất

y x

MyJ

MF

N

y

y x

x z

s

xJ

MyJ

MF

s

0xJ

MyJ

MF

N

y

y x

x

FM

JNxJ

J.M

M

y

x

x z y

x x

-=

Vì số hạng tự do xó thể có trị số bất kỳ nên có thể xảy ra các trường hợp đường trung hòa

vượt ra khỏi diện tích mặt cắt, khi đó biểu đồ ứng suất chỉ có 1 miền, hoặc là kéo hoặc là nén như hình

(6.10)

Hình 6.9

Hình 6.10

Nz F

xz

k

Ứng suất pháp lớn nhất cũng phát sinh ở những điểm xa đường trung hoà nhất Các trị số ứng suất lớn

nhất này có thể tính theo các công thức sau

Ta gọi một thanh chịu kéo (nén) lệch tâm là thanh mà ngoại lực tác dụng lên nó có thể thu về

thành những lực có phương song song nhưng không trùng với trục của thanh

Giả sử ta có điểm đặt lực K(x,y) cách trọng tâm O một khoảng e Khoảng cách e được gọi là độ lệch tâm

Ta xét nội lực trên mặt cắt ngang

Vậy thanh chịu kéo (nén) lệch tâm sẽ bị biến dạng kéo (nén) và uốn đồng thời

b.Ứng suất trên mặt cắt ngang

N

M M

max

max

k

k n

Kx

(6-15)

Trong đó:

;

c Đường trung hoà

Từ định nghĩa về đường trung hoà ta rút ra phương trình đường trung hoà là:

(6-16)

Ta được phương trình đường trung hoà

(6-16')

Từ đây ta nhận thấy một số tính chất của đường trung hoà như sau:

- Đường trung hoà là một đường thẳng không đi qua trọng tâm mặt cắt ngang mà cắt trục x ở a và

cắt trục y ở b

- Từ (6-17) ta thấy a và b luôn luôn ngược dấu với xk và yk nên đường trung hoà không bao giờ đi

qua góc phân tư chứa điểm đặt lực

- Nếu điểm đặt lực nằm trên một trục thì đường trung hoà song song với trục kia

- Vị trí của đường trung hoà chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm đặt lực và hình dáng, kích thước

mặt cắt ngang thanh mà không phụ thuộc vào trị số lực P

- Khi điểm đặt lực di chuyển trên một đường thẳng không đi qua gốc toạ độ (trọng tâm mặt cắt)

thì đường trung hoà tương ứng sẽ xoay quanh một điểm cố định nào đó

- Nếu điểm đặt lực di chuyển trên một đường thẳng đi qua gốc toạ độ thì đường trung hoà sẽ di

chuyển song song với chính nó Nếu điểm đặt lực dịch gần vào trọng tâm thì đường trung hoà lùi ra xa

trọng tâm và ngược lại nếu điểm đặt lực dịch ra xa trọng tâm thì đường trung hoà tiến về phía trọng tâm

mặt cắt

Thí dụ 4: Cho một dầm thép được làm từ hai thanh chữ [, N012 ghép sát nhau, có sơ đồ chịu lực

như hình 6.8a Hãy xác định tải trọng cho phép [q], biết [s] = 16kN/cm2; l = 80cm

÷

÷ø

öç

çè

æ

++

=

i

xyi

y1F

P

2 y

k 2

x

k z

xyi

y

y

k 2

i

a=

-k

2 xy

i

b=

-1b

y

a

x

=+

Hình 6.12 Giải: Biểu đồ lực dọc Nz, mômen uốn Mx và My được biểu diễn như hình 6.8b, c, d Mặt cắt nguy

hiểm là mặt cắt tại ngàm với nội lực là:

y

2 max

x

z

ql2,0M

2

qlM

ql8N

y 1

2 0 1 y

3 x

x 1 x

cm1,242

,5

3,13.54,12,312b

JW

;FzJ2

J

cm3,1016

304.22h

JW

;J2

y x

M M N

M M N

-Vì vật liệu của dầm là vật liệu dẻo nên điều kiện bền sẽ là: max < [s] hay 107,06q < [s]

Vậy [q] =14,10-2 kN/cm = 14,9kN/m

Thí dụ 5: Một cột bằng gỗ chịu tá dụng của một lực nén đặt tại điểm K có toạ độ (3,-6)cm Bỏ

qua trọng lượng của cột Kiểm tra bền cho cột nếu biết P = 30kN,

1606

,107

3 2

2 y

3 2

2 x

cm2506

15.106

hbW

cm3756

15.106

bhW

2 max

Nếu tồn tại hai mômen uốn Mx và My thì ta luôn có và trục x, y, u, v… đều là trục

quán tính chính trung tâm Sự uốn của thanh tròn luôn là uốn đơn chứ không phải là uốn xiên

Hình 6.14

6.4.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang

Đối với thanh mặt cắt tròn, biến dạng uốn do Mu gây nên là uốn thuần tuý vì mặt phẳng tải trọng chứa Mu

là mặt phẳng quán tính chính trung tâm với đường tải trọng làm một trục quán tính chính trung tâm

Vì uốn thuần tuý nên đường trung hoà vuông góc với đường tải trọng

Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang được biểu diễn như hình 6.15 Ứng suất pháp lớn nhất sẽ có tại

các điểm xa đường trung hoà nhất, thí dụ như điểm A và điểm B ở hình 6.15 và có giá trị là:

(6-18)

Vì và với mặt cắt tròn Wu =Wx =Wy nên:

(6-19) Ngoài ứng suất pháp trên mặt cắt ngang của thanh còn có ứng suất tiếp do mômen xoắn Mz gây nên, với:

(6-20) Biểu đồ ứng suất này cũng được biểu diễn ở hình 6.15 ứng suất tiếp lớn nhất sẽ có ở các điểm trên chu

tuyến của mặt cắt và bằng

(6-21)

6.4.3 Điều kiện bền

Căn cứ vào biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn và xoắn

đồng thời ta thấy trên mặt cắt có hai điểm nguy hiểm là điểm A và điểm B, vì ở các điểm này vừa có ứng

suất pháp lớn nhất vừa có ứng suất tiếp lớn nhất

Hình 6.16

Trạng thái ứng suất của các phân tố này là trạng thái ứng suất phẳng, nên điều kiện bền của chúng

phải theo các lý thuyết bền

W

M

=s-

=

-2 y

2 x

2 x max

x

z z

max

W2

MW

=

max

2 max 3

(6-22)

Theo lý thuyết bền 4:

Thay từ (6-19) và (6-21) ta được:

(6-23)

Theo lý thuyết bền Mor:

Thay smax và tmax từ (6-19) và (6-21) được

Với điều kiện bền ở trên ta cũng có ba bài toán cơ bản Sau đây ta sẽ minh hoạ một trong ba bài toán cơ

bản này

Thí dụ 6: Một trục chịu lực như hình 6.12a Hãy kiểm tra bền của trục theo lý thuyết bền 3 biết:

đường kính trục d = 10cm, [s] = 16kN/cm2 Các đại lượng khác được cho như hình 6.12a

Hình 6.18 Giải: Ta có thể có sơ đồ hoá trục chịu lực như hình 6.12b

Với P1 = 20kN; P2 = 15kN

[ ]s

£++

=

z

2 y

2 x x 3

W1

[ ]s

£t+s

=

max

2 max 4

[ ]s

£+

2 x x 4

4

3MMW1

ùêë

2 x

2 y

2 x x

2

1MM2

1W1

[ ] [ ]k n

sa

s

=

M1 = P1.e1 = 120kNcm

M2 = P2.e2 = 120kNcm

Biểu đồ mômen uốn Mx và mômen xoắn được biểu diễn như hình 6.12c Từ biểu đồ ta thấy mặt cắt nguy

hiểm tại C với các trị số

Thanh tròn chịu lực tổng quát là thanh mà trên mặt cắt ngang tồn tại 6 thành phần nội lực: Nz, Qx,

Qy, Mz, Mx, My Nếu bỏ qua lực cắt và hợp thì chỉ tồn tại ba thành phần nội lực là: Nz, Mu,

Điều kiện bền của các phân tố nguy hiểm cũng tương tự như ở mục 6.4.3 ở đây ta không nhắc lại

nữa Từ điều kiện bền này ta cũng có ba bài toán cơ bản

u

M N

M N

W

M

=

t

Thí dụ 6: Xác định đường kính d trục bánh răng của một hộp giảm tốc theo lý thuyết bền số 3 Sơ

đồ của trục như hình 6.13a Bánh răng (1) có đường kính D1, tại chỗ khớp với bánh răng khác có lực:

Giải: Sơ đồ chịu lực của trục như hình 6.13b

Ở sơ đồ này các mômen tập trung có trị số:

Biểu đồ các thành phần nội lực được biểu diễn như hình 6.13 Từ biểu đồ ta thấy mặt cắt nguy hiểm là

mặt cắt tại bánh răng (1) với:

2

2 2

Nz = -460N

Mxmax = 10530Ncm

Mymax = 44700Ncm

Mz = 40400Ncm

Sơ bộ chọn đường kính của trục theo mômen uốn và mômen xoắn theo lý thuyết bền 3

Kiểm tra bền phân tố nguy hiểm khi kể đến lực dọc:

Vậy đường kính của trục sẽ là d = 5cm

[ ] [ ]

3767 /W

40400.16 40400.16

1616 /.125

Câu hỏi ôn tập

1 Định nghĩa thanh chịu lực phức tạp (uốn xiên, uốn và kéo (nén), uốn và xoắn, chịu lực

tổng quát) Nêu những ví dụ thực tế về thanh chịu lực phức tạp

2 Viết công thức tính ứng suất trên mặt cắt ngang của các trường hợp thanh chịu lực

phức tạp Giải thích rõ các đại lượng trong công thức

3 Cách xác định điểm có ứng suất lớn nhất trên mặt cắt ngang và trị số của ứng suất lớn

nhất trong trường hợp thanh chịu lực phức tạp

4 trình bày điều kiện bền và cách giải ba bài toán cơ bản trong các trường hợp thanh chịu

lực phức tạp

5 Những thanh nào thì không chịu uốn xiên? Vì sao?

6 Bài toán kéo (nén) lệch tâm có đặc điểm gì? Tại sao nói đường trung hòa trên tiết diện

thanh chịu kéo (nén) lệch tâm chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đặt lực mà không phụ thuộc vào độ lớn của lực?

BÀI TẬP Bài số 1

l/2 l/2

P

- Với số hiệu đã chọn tính độ võng tại đầu tự do

- Vẽ biểu đồ (sz) tại mặt cắt nguy hiểm

Cột bê tông có trọng lượng riêng g

chịu lực P đặt trùng với đường chéo của măt cắt

Xác định P để cột không phát sinh ứng suất kéo

Với trị số P đã xác định, hãy kiểm tra bền cho cột

Bài số 6

Kiểm tra bền cho cột bê tông chịu nén trong

hai trường hợp (a) và (b)

Biết: Lực đặt P tại điểm A

Cho: P = ql, với các dữ kiện l, a, [s] trên

Hãy xác định tải trọng cho phép?

x y

Xác định ứng suất tính toán theo thuyết bền 3, thuyết bền

4 và thuyết bền Mo cho thanh thép chịu lực P = 1 KN đặt

trong hai trường hợp:

a, P đặt tại A và tại B, 2P đặt tại C

z y

P

B A

l/2 l/2

P

18 cm

Chương 7: ỔN ĐỊNH CỦA THANH BỊ NÉN DỌC TRỤC 7.1 KHÁI NIỆM

7.1.1 Ổn định của thanh chịu nén dọc

Để có khai niệm về ổn định của một thanh bị nén dọc ta tiến hành một thí nghiệm sau đây: giả sử

ta có một thanh thẳng như hình 7.1 chịu nén đúng tâm bởi một lực P

Lúc đầu ta chọn P còn nhỏ và thanh ở vị trí thẳng đứng Dùng lực kích thích nhỏ, nhất thời đưa

thanh khỏi trạng thái thẳng đứng rồi bỏ lực kích thích đi Thanh sẽ chuyển động về vị trí ban đầu và sau

một thời gian đao động quanh vị trí thẳng đứng, thanh sẽ trở lại đúng vị trí ban đầu Ta nói trạng thái

thẳng đứng của thanh là trạng thái ổn định (hình 7.1a)

Hình 7.1

Tăng dần lực P đến một giá trị Pth và cũng đẩy thanh khỏi vị trí thẳng đứng bằng lực kích thích

nhỏ nhất thời thì thanh ở nguyên vị trí mới mà không trở lại vị trí ban đầu Ta nói trạng thái thẳng đứng

ban đầu của thanh là trạng thái phiếm định (hình 7.1b)

Tiếp tục tăng lực nén P lên sao cho thanh vẫn ở trạng thái thẳng đứng Ta dùng lực kích thích nhỏ

nhất thời đưa thanh ra khỏi vị trí thẳng đứng thì thấy thanh không thể trở về vị trí ban đầu mà tiếp tục

cong đi Ta nói trạng thái thẳng đứng ban đầu là trạng thái không ổn định (hình 7.1c)

Từ thí nghiệm trên ta thấy một thanh bị nén dọc sẽ mất ổn định từ khi lực nén đạt đến Pth và Pth

được gọi là lực tới hạn của thanh bị nén dọc

Vậy lực tới hạn của thanh bị nén dọc là lực nén nhỏ nhất làm cho thanh bị mất ổn định Thực tế

cho thấy rằng khi lực nén lớn hơn hoặc bằng lực tới hạn thì thanh sẽ bị mất ổn định Khi thanh bị mất ổn

định thì biến dạng của nó tăng lên rất nhanh và dẫn đến công trình bị phá huỷ Vì vậy khi thiết kế các

thanh bị nén dọc, ngoài yêu cầu về bền và cứng, còn phải đảm bảo cho thanh được ổn định Muốn thực

hiện được những mục tiêu trên ta phải biết được trị số lực tới hạn của thanh

Vì vậy một trong nhiệm vụ của việc tính ổn định của thanh là xác định được tới hạn

7.2 CÔNG THỨC ƠLE XÁC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN

7.2.1 Bài toàn Ơ le xác định lực tới hạn trong thanh hải đầu liên kết khớp

Bài toán của chúng ta như sau: hãy xác định lực tới hạn của một thanh hai đầu liên kết khớp (hình

7.2)

Khi lực nén đạt đến lực tới hạn P thì thanh sẽ bị cong về một phía xác định có độ cứng chống uốn nhỏ nhất

P < Pth P = Pth P > Pth

Giả sử ta xét một mặt cắt cách gốc toạ độ một khoảng là z, độ võng của mặt cắt này là y(z) và trên mặt

cắt sẽ có mômen uốn Mu (z) là:

Mu(z) = Pth.y(z) (a)

Giả sử khi mất ổn định thanh còn làm việc

trong miền đàn hồi, do đó có thể sử dụng được

phương trình vi phân của đường đàn hồi như

của dầm chịu uốn

Nghiệm của phương trình (d) là:

Ở đây C1 và C2 là các hằng số tích phân, được xác định bằng các điều kiện của bài toán

- Khi z = 0 thì y(0) = 0

- Khi z = l thì y(l) = 0

Thay vào nghiệm (e) ta được hệ phương trình

Vì khi mất ổn định thanh bị cong nên y(z) là hàm khác 0, nghĩa là C1 và C2 không thể đồng thời bằng 0

Từ điều kiện này ta rút ra:

-yEJ

P''

EJ

P

=a

î

í

ì

=a+a

=+

0C.lcosC.lsin

0C.1C

0

2 1

2 1

0lsinl

coslsin

10

=a-

=aa

(h) Với những giá trị khác nhau của k, lực tới hạn có những giá trị khác nhau tương ứng với dạng đường đàn

hồi khác nhau Người ta nhận thấy k đúng bằng số nửa bước sóng hình sin của đường đàn hồi khi thanh

mất ổn định

Vì lực tới hạn là lực nhỏ nhất mà thanh mất ổn định nên ta lấy k = 1 lúc đó

(7-1) Biểu thức (7-1) là công thức tính lực tới hạn trong trường hợp thanh hai đầu liên kết khớp cầu Công thức

trên còn gọi là công thức Ơle

7.2.2 Công thức Ơle tính lực tới hạn cho thanh chịu nén dọc

Biểu thức (7-1) là công thức lực tới hạn của thanh hai đầu liên kết khớp Với những thanh hai đầu

liên kết khác ta cũng có thể xác định được lực tới hạn bằng cách tương tự như bài toán Ơle, và kết quả

tìm được có thể viết dưới dạng chung như sau:

(7-2)

µ là một hệ số phụ thuộc vào liên kết ở hai đầu thanh

trong đó m là số nửa bước sóng hình sin của đường đàn hồi khi thanh mất ổn định Công thức (7-2) được gọi là công thức Ơle về lực tới hạn của thanh bị nén dọc

Sau đây là một số dạng liên kết thường gặp của thanh chịu nén dọc (hình 7.3)

H×nh 7.3

7.3 CÔNG THỨC ƠLE XÁC ĐỊNH ỨNG SUẤT TỚI HẠN PHẠM VI SỬ DỤNG CÔNG THỨC

7.3.1 Công thức Ơle tính ứng suất tới hạn

Khi lực nén đạt tới lực tới hạn, thanh vẫn thẳng, vẫn bị nén đúng tâm, nên ứng suất trên mặt cắt

ngang sẽ là:

2 min 2 2 th

l

EJk

=

2 min 2 th

l

EJ

P = p

( )2 min

2 ole

th

l

EJP

(i)

Ta có:

Trong đó imin = min( ix, iy) và là bán kính quán tính cực tiểu của mặt cắt ngang

và đặt ( l được gọi là độ mảnh của thanh chịu nén dọc) (7-2a)

Biểu thức (7-3) này là công thức ơle về ứng suất tới hạn Trong biểu thức trên ta thấy khi l càng lớn thì

ứng suất tới hạn càng nhỏ tức là thanh càng dễ mất ổn định Vì thế người ta gọi l là độ mảnh của thanh

Theo biểu thức (7-2a) ta thấy độ mảnh l của thanh phụ thuộc vào hình dáng, kích thước của thanh và

điều kiện liên kết ở hai đầu thanh chứ không phụ thuộc vào vật liệu thanh Mỗi thanh có một giá trị độ

mảnh xác l định

7.3.2 Phạm vi sử dụng của công thức ơle

Khi thành lập công thức ơle ta đã dựa trên cơ sở giả thiết rằng vật liệu của thanh còn làm việc

trong miền đàn hồi Vì vậy công thức ơle (7-2) hoặc (7-3) chỉ sử dụng được khi ứng suất trong thanh nhỏ

hơn giới hạn tỷ lệ Từ đó ta có điều kiện sau:

(stl là ứng suất tỷ lệ được xác định từ thực nghiệm.)

hay

Nếu ta đặt ; l0 được gọi là độ mảnh giới hạn, nó phụ thuộc hoàn toàn vào vật liệu

Thanh có l ³ l0 được gọi thanh có độ mảnh lớn Vậy công thức ơle chỉ sử dụng đối với thanh có độ

7.4 CÔNG THỨC TÍNH ỨNG SUẤT TỚI HẠN CỦA THANH KHI VẬT LIỆU LÀM VIỆC

NGOÀI MIỀN ĐÀN HỒI

Đối với những thanh có độ mảnh vừa và bé (l < l0) tức là thanh làm việc ngoài miền đàn hồi khi

mất ổn định thì cho đến nay chưa có một công thức lý thuyết nào hoàn chỉnh về lực tới hạn Vì vậy người

ta đã đưa ra một số công thức thực nghiệm để tính sth

a Thanh có độ mảnh vừa l1 ≤ l ≤ l0

( )l F

EJF

P

2 min

2 th th

J

=

l

=µ

min

il

2

2 ole th

El

p

=s

tl 2

2 ole

p

³l

tl

2 0

Es

p

=l

sth = a - bl (7-4)

Trong đó: a và b là những hằng số phụ thuộc vào vật liệu và được xác định bằng thực nghiệm, có

thể tìm trị số a, b trong các sổ tay kỹ thuật Sau đây là trị số của l0, a và b của một số vật liệu

Với thanh có độ mảnh bé thì sẽ bị phá hủy do mất độ bền trước khi thanh mất ổn định

Vì vậy người ta coi sth= s0

Trong đó s0 là ứng suất nguy hiểm về nén

Với vật liệu dẻo: s0 = sch

Với vật liệu dòn: s0 = sb

Như vậy ta có ba công thức để xác định sth Việc sử dụng công thức nào để xác định ứng suất tới hạn là

tuỳ thuộc vào độ mảnh của thanh

Hình 7.5

Hình 7.5 là đồ thị biểu diễn quan hệ giữa sth và l với những độ mảnh khác nhau Từ đồ thị ta nhận

thấy sth s0

Thí dụ 1: Tính ứng suất tới hạn và lực tới hạn của một thanh làm bằng thép CT5, mặt cắt ngang

của hình chữ I, N024, hai đầu liên kết khớp trong hai trường hợp:

Giải: Mặt cắt ngang của thép chữ I N024 có diện tích F = 34,8cm2; imin = iy = 2,37cm; E =

2.104kN/cm2 Liên kết của thanh ở hai đầu là liên kết khớp nên µ = 1

a) Trường hợp thanh dài l = 3m = 300cm thì độ mảnh là

Với vật liệu là thép CT3 Tra bảng có l0 = 100 so sánh ta thấy l > l0 nên ta sử

dụng công thức ơle (công thức (7-3)) để tính ứng suất tới hạn

Lực tới hạn của thanh sẽ là:

Pth = sth.F = 12,3.34,8 = 428kN

b) Trường hợp thanh có độ dài l = 2m = 200cm thì: Hình 7.6

Tra bảng với vật liệu là thép CT3 có l0 = 100, l1 = 70 so sánh thấy l1< l < l0

7.5.1 Điều kiện ổn định theo hệ số an toàn về ổn định

Để một thanh chịu nén dọc đảm bảo điều kiện ổn định thì ứng suất trong thanh không được vượt

quá ứng suất cho phép về ổn định [s]ôđ

Ở đây ứng suất cho phép về ổn định xác định theo biểu thức sau:

(7-7)

Kôđ là hệ số an toàn ổn định, thường người ta chọn trị số của nó lớn hơn n là hệ số an toàn về bền vì khả

năng mất ổn định thường xảy ra sớm hơn trước khi bị phá hủy do bền Vậy điều kiện ổn định sẽ là

(7-8)

6,12637,2

300.1i

4 2 2

2

6,126

10.2.14,3

l i

7.5.2 Ba bài toán cơ bản

Với điều kiện ổn định (7-8) ta cũng có ba bài toán cơ bản như sau:

a Bài toán kiểm tra

Với bài toán này người ta cho biết tải trọng, kích thước, hình dáng, vật liệu và liên kết của thanh, cho

trước hệ số an toàn Kôđ.Ta phải kiểm tra xem thanh có ổn định không?

Để giải bài toán này ta thực hiện trình tự sau:

- Tính độ mảnh của thanh theo công thức (7-2a)

- So sánh độ mảnh l vừa tính được với lo, l1 để chọn công thức tính sth

- Xác định ứng suất tới hạn sth theo công thức đã chọn

- Kiểm tra ổn định theo công thức (7-8) và kết luận

Thí dụ 2: Cho thanh mặt cắt ngang hình chữ nhật (bxh) = (10x15)cm , hai đầu liên kết khớp

(Hình 7.6), chịu nén đúng tâm bởi lực P = 200 kN( hình 7.6) Kiểm tra ổn định của thanh, biết Kôđ =2, vật

b Bài toán xác định tải trọng cho phép

Với bài toán này người ta cho biết hình dáng, kích thước, vật liệu, liên kết của thanh, hệ số an toàn ổn

định nhưng chưa biết lực nén Ta phải xác định lực nén lớn nhất tác dụng lên thanh mà thanh vẫn ổn định

Để giải bài toán này ta cũng tiến hành theo trình tự sau:

- Tính độ mảnh của thanh theo công thức (7-2a)

- So sánh độ mảnh l vừa tính được với lo, l1 để chọn công thức tính sth

- Xác định ứng suất tới hạn sth theo công thức đã chọn

- Xác định tải trọng cho phép từ điều kiện ổn định theo công thức (7-8)

min

102,89

l i

1,33 /150

(7-9)

Thí dụ 3 Cho một thanh thép có mặt cắt chữ I, No 18 một đầu ngàm, một đầu chốt, dài 3m Xác

định lực nén cho phép từ điều kiện ổn định biết lo= 100,l1 = 60, Kôđ =2, E = 2.104 kN/cm2

Giải: Tra bảng thép chữ I, No 18 có F = 23,8 cm2 , imin = iy = 1,99cm

Độ mảnh của thanh là

Ta thấy l>lo nên ứng suất tới hạn tính theo công thức Ơle

Hình 7.8

c Bài toán xác định kích thước mặt cắt ngang của thanh

Với bài toán này người ta cho trước tải trọng, chiều dài, hình dáng mặt cắt ngang, vật liệu, liên

kết của thanh, hệ số an toàn ổn định Ta phải xác định kích thước mặt cắt ngang nhỏ nhất của mặt cắt

ngang thanh sao cho thanh vẫn ổn định

Từ công thức về điều kiện ổn định (7-8) ta thấy diện tích mặt cắt ngang F và ứng suất tới hạn sth đều phụ

thuộc vào kích thước mặt cắt ngang, cho nên ta phải sử dụng phương pháp gần đúng đúng dần để xác

định kích thước mặt cắt ngang thanh

Trước hết ta giả thuyết rằng thanh còn làm việc trong miền đàn hồi và sử dụng công thức Ơle về

lực tới hạn

và giả sử rằng

Ta rút ra được

Từ Jmin có thể tính được kích thước mặt cắt ngang Bây giờ ta nghiệm lại kết quả bằng cách xác định độ mảnh l

- Nếu l>lo thì kích thước vừa tìm được là kết quả của bài toán

- Nếu l<lo thì ta tính lại ứng suất tới hạn theo công thức (7-4) hoặc (7-6)

Từ điều kiện ổn định (7-8) ta tính được diện tích và sau đó là kích thước mặt cắt ngang

[ ]

ôd

th

F P K

l i

EJ( l)

P[ ]=

K

2 ôd

( )

P l K J

E

µp

=

ôd 1

- Nếu l1 không chênh lệch nhiều so với l thì kích thước vừa tính được là kết quả bài toán

- Nếu l1 khác xa l thì ta lấy trị số trung bình cộng và tiếp tục tính như trên cho đến khi nào độ

mảnh mới và cũ không khác xa quá 5% là được

Thí dụ 4 : Cho một thanh thép tròn có sơ đồ chịu lực như hình 7.8 Với P= 50kN, l = 1 m, Kôd =

4, lo= 100,l1 = 60, E = 2.104 kN/cm2

Xác định đường kính mặt cắt ngang

Giải: Giả sử thanh làm việc trong miền đàn hồi nên

Đường kính mặt cắt ngang thanh

Bán kính quán tính

Độ mảnh của thanh Hình 7.9

Vậy đường kính mặt cắt ngang thanh là d = 5,36cm

7.6 TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA THANH CHỊU NÉN DỌC THEO QUY PHẠM ( Sử dụng hệ số

j)

7.6.1 Điều kiện bền và điều kiện ổn định

Như ta đã biết ở chương 2, một thanh chịu nén đúng tâm thỏa mãn điều kiện bền thì:

(7-10) Trong đó:

son là ứng suất nguy hiểm về nén

n là hệ số an toàn về bền

Do son được chọn bằng thực nghiệm nên [s]n coi như đã được cho trước bằng thực nghiệm

Mặt khác để thanh thỏa mãn điều kiện ổn định thì

(7-11) Trong đó : sth phải được xác định căn cứ vào độ mảnh của thanh

Từ hai điều kiện trên có thể thấy rằng khi tính toán về bền ta đã có ứng suất cho phép [s]n cho

sẵn, còn khi tính toán về ổn định ta phải xác định [s]ôd và sth Vấn đề đặt ra là làm thế nào để có thế sử

dụng [s]n cho việc tính toán ổn định của thanh

Để làm được việc trên ta đặt tỉ số [s]ôd trên [s]n bằng một hệ số j

(7-12)

4 ôd

( ) 50(2.100) 4

40,573,14 2.10

P l K

E

µp

min

4 64 4 64.40,57

5,363,14

µ

n[ ]

th n K