De thi hoc sinh gioi lop 9

a) Chøng minh tø gi¸c AEDH lµ h×nh b×nh hµnh... Gäi I lµ trung ®iÓm cña BD.[r]

Phòng Giáo dục & Đào tạo

_ Đề thi học sinh giỏi năm học 2009 – 2010

Môn toán 9

Thời gian làm bài 150 phút

(không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 01 trang

Họ và tên thí sinh: Chữ ký giám thị 1

Số báo danh: Chữ ký giám thị 2

Bài 1 (4 điểm):

Cho biểu thức

x

A



    với x0; x 9; x 16 a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên

Bài 2 (4,5 điểm) Cho hệ phơng trình ( x, y là ẩn, a là tham số):

2

x ay







a) Giải hệ phơng trình theo tham số a

b) Tìm số nguyên a lớn nhất để hệ phơng trình có nghiệm (x0, y0) thoả mãn bất đẳng

Bài 3 ( 3,5 điểm):

Cho biết:

   

  và x > 0; y > 0 Chứng minh rằng: x z  z y  x y

Bài 4 (5 điểm):

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O đờng kính AC Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = 3AB F là giao điểm của DC với đờng tròn tâm O (B và F cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là đờng thẳng AC) Đờng thẳng Dy vuông góc với DC tại D, cắt tiếp tuyến Ax của đờng tròn tâm O tại E H là giao điểm của AF với BC, M là giao

điểm của DH với AC

a) Chứng minh tứ giác AEDH là hình bình hành

b) Chứng minh tam giác BED là tam giác cân

c) Gọi N là giao điểm của DM với BF Chứng minh BN.MF = NF.BM

Bài 5 (3 điểm):

Cho ABC, BAC  2  00  900

; AD là tia phân giác của BAC(D BC ). Chứng minh rằng:

a)

1

2

ABD

b)

sin

BC

AB AC

 

================== Hết =================

Chính thức

Phòng Giáo dục & Đào tạo Đáp án Đề thi học sinh giỏi năm học 2009 – 2010

Môn toán 9

Bài 1 (4 điểm):

a) Rút gọn biểu thức A

Với x0; x 9; x 16 ta có:

x

A







0,5 đ

   

4

x

x



b) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên

Với x là số nguyên và x0; x 9; x 16 thì A có giá trị là số nguyên khi và

Do đó 4 x nhận các giá trị -3; -1; 1; 3 0,5 đ

Khi đó x nhận các giá trị 49; 25; 9; 1 0,75 đ Vì x 9 nên a nhân các giá trị 1; 25; 49. 0,25 đ

Bài 2 (4,5 điểm) Cho hệ phơng trình ( x, y là ẩn, a là tham số):

2

x ay







a) Giải hệ phơng trình theo tham số a

Từ pt (1) ta có x = 2 - ay thay vào pt (2) ta đợc (2 + a2)y = 2a - 1 0,5 đ

Vì a2+ 2 0 với mọi a nên 2

a

Vậy với mọi giá trị của a Hệ phơng trình luôn có nghiệm duy nhất:

2

2

4

a x a y











 



0,5 đ

b) Tìm số nguyên a lớn nhất để hệ ph ơng trình có nghiệm (x 0 , y 0 ) thoả mãn bất

đẳng thức x 0 y 0 < 0.

(1) (2)

x E

A

N I

B H

F D

Vì a2+ 2 > 0 với mọi a, hệ phơng trình có nghiệm (x0, y0) thoả mãn:

4 0

a

a

 



 

 

 (3) hoặc

4 0

a a

 





 

Giải (3) ta đợc

4 1 2

a a

 











Giải (4) ta đợc -4 < a <

1

Hệ phơng trình có nghiệm (x0, y0) thoả mãn x0y0 < 0  - 4 < a <

1

2 (5) 0,25 đ

=> Số nguyên lớn nhất thoả mãn (5) là a = 0 0,25 đ

Bài 3 ( 3,5 điểm):

Cho biết:

   

  và x > 0; y > 0 Chứng minh rằng: x z  z y  x y

   

  và x > 0; y > 0 => z < 0 và xy + yz + xz = 0 0,5 đ

=> z2= z2+ xy + yz + xz = z(x + z) + y(x + z) = (x + z)(y + z) (1) 0,5 đ

Từ

   

  =>

0

y z

     

  => y z 0

yz





Mà yz < 0 nên y + z > 0 => x + z > 0

0,25 đ

0,25 đ

Vì z < 0 nên từ (1) => x z y z      z 0,5 đ

(x + z) + (y + z) + 2 x z y z     

Vì x + z và y + z là những số dơng nên ta có:

 x z  y z  2  x y 2 0,25 đ

D N

M

A

Bài 4 (5 điểm):

a) Tứ giác AEDH là hình bình hành

Kéo dài DH cắt AC tại M

Chỉ ra đợcEA AC DM;  AC AF; DC (0,75 đ)

Chỉ ra đợc AE//DH; AH//DE (0,25 đ)

Suy ra tứ giác AEDH là hình bình hành (0,25 đ)

b) Tam giác BED là tam giác cân

Tứ giác AEDH là hình bình hành => DE = AH (0,25 đ)

AD = 3AB và I là trung điểm của BD => AB = BI = ID (0,25 đ)

Tứ giác AEDH là hình bình hành => DE // AH => EDI HAB (0,25 đ)

Suy ra DIE ABH mà ABH 900=>DIE900=> EIBD (0,25 đ)

BED

 có EI vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến nên BED cân (0,25 đ) c) Chứng minh BN.MF = NF.BM

Chứng minh

(0,5 đ)

ADH vàMDB có

DM DB ; Chung D => ADH MDB (0,25 đ)

=> DAH DMB (1) (0,25 đ)

Tơng tự nh chứng minh trên ta có DMF DCH (2) (0,25 đ)

Mà DAH DCH (cùng phụ với ADC) (3) (0,25 đ)

Từ (1); (2); (3) => DMF DMB=> MN là tia phân giác của góc BMF (0,25 đ) BMF có MN là đờng phân giác => BN BM BN MF NF BM

Bài 5 (3 điểm):

a)

1

2

ABD

Kẻ BM vuông góc với AD tại M

AD là phân giác của BAC => BAD =DAC = 0,25 đ

Chỉ ra đợc

1 2

ABD

Chứng minh đợc BM = AB.sin (2) 0,25 đ

Từ (1); (2) =>

1

2

ABD

0,25 đ

b)

sin

BC

AB AC

 

Kẻ CN vuông góc với AD tại N

Có đợc BM = AB.sin ; CN= AC.sin => BM + CN = (AB + AC).sin 0,5 đ

=> (AB + AC).sin  BC =>

AB AC

AB AC  AB AC => sin

BC

AB AC

0,25 đ

* Chú ý:

1, Trong từng câu:

+ Học sinh giải cách khác hợp lý, kết quả đúng cho điểm tơng ứng.

+ Các bớc tính, hoặc chứng minh độc lập cho điểm độc lập, các bớc liên quan với nhau đúng đến đâu cho điểm đến đó.

2, Điểm toàn bài là tổng điểm các phần đạt đợc không làm tròn.