Hình học không gian lớp 11 bao gồm rất nhiều bài tập thuộc các chương: đại cương về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian – quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian với các dạng bài tập như: Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng, Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng Chứng minh 3 đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, trước tiên cần tìm hai điểm chung khác nhau nằm trên cả hai mặt phẳng Sau đó, nối hai điểm này lại để tìm ra giao tuyến cần thiết.
Bài 1 Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau Lấy một điểmSkhông thuộc mặt phẳng(ABCD) Xác định giao tuyến của
1 Mặt phẳng(SAC)và mặt phẳng(SBD).
2 Mặt phẳng(SAB)và mặt phẳng(SCD).
3 Mặt phẳng(SAD)và mặt phẳng(SBC).
Từ (1) và(2) suy ra SH là giao tuyến của hai mặt phẳng(SBD)và(SAC).
2 Gọi K là giao điểm của hai đường thẳngCDvàAB.
Từ (3) và(4) suy ra SK là giao tuyến hai mặt phẳng(SAB)và(SCD).
3 Gọi L là giao điểm của hai đường thẳngADvàBC.
Từ (5) và (6) suy ra SL là giao tuyến hai mặt phẳng(SAD)và(SBC).
Bài 2 Cho tứ diện ABCD Gọi I, Jlần lượt là trung điểm các cạnhAD, BC.
1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(IBC)và mặt phẳng(J AD).
2 Lấy điểmMthuộc cạnhAB,Nthuộc cạnhACsao choM,Nkhông là trung điểm. Tìm giao tuyến của mặt phẳng(IBC)và mặt phẳng(DMN).
1 Do giả thiết I ∈ ADnên I ∈ (J AD).
Tương tự, ta có J ∈ (BCI)∩(ADJ) (2).
Từ (1) và(2) suy ra I J là giao tuyến của hai mặt phẳng(BCI)và(ADJ).
2 GọiElà giao điểm của hai đường thẳngDM vàBI.
Tương tự, gọi F là giao điểm củaDN vàCI suy raF∈ (BCI)∩(MND) (4).
Từ(3)và(4)suy ra EFlà giao tuyến hai mặt phẳng(BCI)và(MND).
Bài 3 Cho tứ diện ABCD Lấy các điểm Mthuộc cạnhAB, Nthuộc cạnh ACsao cho
MN cắtBC GọiI là điểm bên trong tam giácBCD Tìm giao tuyến của
1 Mặt phẳng(MN I)và mặt phẳng(BCD).
2 Mặt phẳng(MN I)và mặt phẳng(ABD).
3 Mặt phẳng(MN I)và mặt phẳng(ACD).
1 GọiHlà giao điểm của MNvàBC.
Do I là điểm trong 4BCD nên I ∈
Từ (1) và (2) suy ra I H là giao tuyến của hai mặt phẳng(MN I)và(BCD).
2 Giả sử E là giao điểm của hai đường thẳngI HvàBD.
Từ (3) và(4) suy ra ME là giao tuyến hai mặt phẳng(ABD)và(MN I).
3 Tương tự, gọi F là giao điểm của hai đường thẳng I H và CD Ta suy ra ®F∈ CD
Từ (5) và (6) suy ra NF là giao tuyến của hai mặt phẳng(ACD)và(MN I).
Bài 4 Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình thang có cạnhABsong song vớiCD Gọi
I là giao điểm củaADvàBC Lấy điểm Mthuộc cạnhSC Tìm giao tuyến của
1 Mặt phẳng(SAC)và mặt phẳng(SBD).
2 Mặt phẳng(SAD)và mặt phẳng(SBC).
3 Mặt phẳng(ADM)và mặt phẳng(SBC).
Từ (1) và (2) suy ra SH là giao tuyến của hai mặt phẳng(SAC)và(SBD).
2 DoI là giao điểm của hai đường thẳngADvàBC.
Từ (3) và (4) suy ra SI là giao tuyến hai mặt phẳng
3 Do giả thiết ta có ®I ∈ AD
Vì M ∈ SC nên M ∈ (SBC) Do đó M ∈ (ADM)∩
Từ (5) và (6) suy ra I M là giao tuyến của hai mặt phẳng(ADM)và(SBC).
Bài 5 Cho hình chópS.ABCD đáy là hình bình hành tâmO Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của cạnhBC,CD, SA Tìm giao tuyến của
(MNP)và(SAB). a) b) (MNP)và(SBC).
(MNP)và(SAD). c) d) (MNP)và(SCD).
GọiF= MN∩AB,E =MN∩AD
(vì MN, AB, AD⊂(ABCD))
Từ (1)và(2)suy ra (MNP)∩(SAB) PF.
Từ(3)và(4)suy ra(MNP)∩(SAD) PE.
Trong(SAB) GọiK =PF∩SB Ta có ®K∈ PF⊂(MNP)
K∈ SB⊂(SBC) ⇒K ∈ (MNP)∩(SBC) (5). Mặt khác ®M∈ (MNP)
Từ(5)và(6)suy ra(MNP)∩(SBC)= MK.
Trong mặt phẳng (SAD) Gọi H = PE∩ SD Ta có ®H ∈ PE⊂(MNP)
Từ(7)và(8)suy ra(MNP)∩(SCD)= NH.
Trong bài 6, cho tứ diện SABC, với M thuộc cạnh SB, N thuộc cạnh AC, và I thuộc cạnh SC, cần lưu ý rằng MI không song song với BC và NI không song song với SA Nhiệm vụ là tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNI) với các mặt (ABC) và (SAB).
Trong(SBC), gọiK =MI∩BC.
Từ(1)và(2)suy ra(MN I)∩(ABC)= NK.
Từ(3)và(4)suy ra(MN I)∩(SAB)= MJ.
Bài 7 Cho tứ diện ABCD,Mlà một điểm bên trong tam giácABD,Nlà một điểm bên trong tam giác ACD Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau
(AMN)và(BCD). a) b) (DMN)và(ABC).
Trong(ABD), gọiE = AM∩BD.
Trong(ACD), gọiF = AN∩CD.
Từ(1)và(2)suy ra(AMN)∩(BCD)
Trong(ABD), gọiP=DM∩AB.
Trong(ACD), gọiQ= DN∩ AC.
Từ(3)và(4)suy ra(DMN)∩(ABC)=PQ.
Trong tứ diện ABCD, hãy xem I là điểm thuộc cạnh AB, J là điểm nằm trong tam giác BCD, và K là điểm trong tam giác ACD Nhiệm vụ là xác định giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với các mặt của tứ diện.
GọiM=DK∩AC,N =DJ∩BC,H = MN∩K J.
GọiP= H I∩BC,Q= PJ∩CD, T =QK∩ AD.
Theo cách dựng điểm ở trên ta có
DẠNG 0.2 Tìm thiết diện của hình(H)khi cắt bởi mặt phẳng(P)
Thiết diện là phần chung của mặt phẳng(P)và hình(H).
Xác định thiết diện là quá trình tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình (H) Đầu tiên, ta xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) với một mặt phẳng (α) thuộc hình (H), vì giao tuyến này thường dễ tìm Sau đó, kéo dài giao tuyến này để nó cắt các cạnh khác của hình (H), từ đó xác định được các giao tuyến tiếp theo Đa giác được giới hạn bởi các đoạn giao tuyến này sẽ tạo thành thiết diện cần tìm.
Bài 9 Cho hình chópS.ABCD GọiMlà một điểm trong tam giácSCD.
1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SBM)và(SAC).
2 Tìm giao điểm của đường thẳngBMvà(SAC).
3 Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng(ABM).
Trong(SCD), gọi N =SM∩CD.
Trong(ABCD), gọi AC∩BN =O.
Từ(1)và(2)suy ra(SAC)∩(SBN)=SO.
3 Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi(ABM).
Trong(SAC), gọiI = AH∩SC Ta có ®I ∈ AH ⊂(ABM)
I ∈ SC ⊂(SCD) ⇒ I ∈(SCD)∩(ABM) (3). Mặt khácM∈ (SCD)∩(ABM) (4).
Từ(3)và(4)suy ra(SCD)∩(ABM)= I M.
Trong(SCD), gọiJ = I M∩SD Khi đó(SAC)∩(ABM) = AJvà(SBC)∩(ABM)=BI. Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác ABI J J.
Bài 10 Cho tứ diện ABCD Trên AB, AC lấy 2điểm M, N sao cho MN không song songBC GọiOlà một điểm trong tam giác BCD.
1 Tìm giao tuyến của(OMN)và(BCD).
2 Tìm giao điểm của DC, BDvới(OMN).
3 Tìm thiết diện của(OMN)với hình chóp.
Trong(ABC), gọiH = MN∩BC.
Từ(1)và(2)suy ra(BCD)∩(MNO)=HO.
Trong(BCD), gọiI = BD∩HO.
3 Tìm thiết diện của(OMN)và hình chóp.
.Vậy thiết diện cần tìm là tứ giácMN J I.
Bài 11 Cho tứ diện SABC Gọi M ∈ SA, N ∈ (SBC), P ∈ (ABC), không có đường thẳng nào song song.
1 Tìm giao điểm của MNvới(ABC), suy ra giao tuyến của(MNP)và(ABC).
2 Tìm giao điểm của ABvới(MNP).
3 Tìm giao điểm của NPvới(SAB).
4 Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng(MNP).
Chọn mặt phẳng phụ(SAH)chứa MN.
Trong(SBC), gọi H=SN∩BC.
Từ(1)và(2)suy ra(SAH)∩(ABC) =AH.
Trong(SAH), gọiI = MN∩AH.
Từ(3)và(4)⇒(MNP)∩(ABC)= PI.
Trong(ABC), gọiK= AB∩PI.
Trong(MNK), gọiL =PN∩ MK Ta có ®L ∈ PN
4 Trong(ABC), gọi J ∩PI Khi đó(MNP)∩(SBC)= JN.
Trong(SBC), gọiQ=SC∩JN Ta có
(MNP)∩(SAB)= MK (MNP)∩(SBC)= IQ
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MQJK.
Bài 12 Cho tứ diện SABC Gọi I, J, K lần lượt là 3 điểm nằm trong ba mặt phẳng (SAB),(SBC),(ABC).
1 Tìm giao điểm của I J với(ABC).
2 Tìm giao tuyến của(I JK)với các mặt của hình chóp Từ đó suy ra thiết diện của (I JK)cắt bởi hình chóp.
Trong(SAB), gọiM =SI∩AB.
Trong(SBC), gọiN =SJ∩BC.
Suy ra(SI J)∩(ABC)= MN.
2 Tìm giao tuyến của(I JK)và(ABC).
H ∈(I JK)∩(ABC) ⇒ HK =(I JK)∩(ABC).
Trong(ABC), gọiD =HK∩BCvàE= HK∩AC.
Ta cóJ ∈(I JK)∩(SBC) (1) Mặt khác ®D ∈ HK ⊂(I JK)
Từ(1)và(2)suy raDJ =(I JK)∩(SBC).
Trong(SBC), gọiF =DJ∩SB Ta có ®F ∈ DJ ⊂(I JK)
Từ(3)và(4)suy raFI =(I JK)∩(SAB).
Trong(SAB), gọiL =FI∩SA Ta có ®L∈ FI ⊂(I JK)
L∈ SA⊂(SAC) ⇒ L=(I JK)∩(SAC) (5). Trong(ABC), gọiE= HK∩AC Ta có ®E ∈ HK ⊂(I JK)
Từ(5)và(6)suy raLE=(I JK)∩(SAC).
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giácDFLE.
Bài 13 yêu cầu xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, với các điểm M, N, I lần lượt nằm trên ba cạnh AD, CD và SO Để tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MN I), cần phân tích vị trí và mối quan hệ giữa các điểm này trong không gian.
Trong(SAB), gọiR=KQ∩SA.
Trong(SBC), gọiP =QH∩SC.
Vậy thiết diện là ngũ giác
Bài 14 Cho hình chópS.ABCD Gọi M, N, Plần lượt là trung điểm lấy trên AB, AD vàSC Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(MNP).
Trong (ABCD), gọi E = MN ∩ DC, F MN∩BC.
Trong(SCD), gọiQ =EP∩SD.
Trong(SBC), gọiR =EP∩SB.
Vậy thiết diện là ngũ giácMNPQR.
DẠNG 0.3 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta có hai có hai cách làm
Trong bài toán này, chúng ta có một mặt phẳng (Q) chứa một đường thẳng d và một đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P) Giao điểm của hai đường thẳng không song song d và a chính là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P).
Để tìm giao tuyến a với mặt phẳng (P), bạn cần xác định một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d Giao điểm giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) sẽ chính là giao điểm của đường thẳng d với giao tuyến a mà bạn đã xác định.
Bài 15 Cho tứ diệnABCD GọiM,Nlần lượt là trung điểm của ACvàBC.Klà điểm nằm trên BDsao choKD