De thi thu Toan THPT Tran Nguyen Han

[r]

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT TRẦN NGUYÊN HÃN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG LẦN II NĂM 2011

Môn thi : TOÁN - khối A

Thời gian làm bài : 180 phút không kể thời gian giao đề

I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 3

1

x y x







2 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm I1;1 và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N

sao cho I là trung điểm của đoạn MN

Câu II (2,0 điểm)

1 Giải phương trình sin 2 cosx x 3 2 3 cos3x3 3 cos 2x8 3 cosxsinx3 3 0

2 Giải hệ phương trình  3 3

2 2

9

x y xy

x y







Câu III (2,0 điểm)

1 Cho x, y là các số thực thoả mãn x2xy4y2  3.

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức: M x38y39xy

2 Chứng minh 2 2 2 1 

2

ab bc ca a b c

a b b c c a       

   với mọi số dương ; ;a b c

Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' ' có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A

đến mặt phẳng (A’BC) bằng

2

a

Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

II PHẦN RIÊNG(3,0 điểm): Tất cả thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: A hoặc B

A Theo chương trình Chuẩn

Câu Va (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng qua M 2;1 và

tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Giải bất phương trình 1 log 2xlog2x2log 26 x

2 Tìm m để hàm số y x 33(m1)x22(m2 7m2)x2 (m m có cực đại và cực tiểu 2)

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu khi đó

B Theo chương trình Nâng cao

Câu Vb (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) , cho điểm 3;1

2

M  

  Viết phương trình chính

tắc của elip đi qua điểm M và nhận F1 3;0 làm tiêu điểm

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Giải hệ phương trình

1

2x 3y

y x x y











2 Tìm trên mặt phẳng tọa độ tập hợp tất cả các điểm mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến

đến đồ thị hàm số 2 2 2

1

x x y

x



 và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT TRẦN NGUYÊN HÃN

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG LẦN II NĂM 2011

Môn thi : TOÁN - khối A

Thời gian làm bài : 180 phút không kể thời gian giao đề

Sự biến thiên:

 Giới hạn và tiệm cận: lim 1; lim 1 1

 2

4

1

x

 BBT:

-

+

+

1

1 y y' x

Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 1 , 1;  

Và không có cực trị

0,25 đ

Ý 1 (1,0đ)

Đồ thị: ĐT cắt Ox tại (3;0), cắt Oy tại (0;-3) và đối xứng qua 1;1

4

2

-2

x = -1

y = 1 y

x O

0,25 đ

Gọi d là đường thẳng qua I và có hệ số góc k d y k x:    1 1

Ta có: d cắt ( C) tại 2 điểm phân biệt M, N : 3 1

1

x

x





có 2 nghiệm PB khác 1

0,25 đ

Câu I

(2,0đ)

Ý 2 (1,0đ)

Hay: f x kx22kx k   có 2 nghiệm PB khác 14 0  0,25 đ

http://www.VNMATH.com

 

1 4 0

f



      

   



Mặt khác: x M x N   2 2x I  I là trung điểm MN với  k 0 0,25 đ KL: PT đường thẳng cần tìm là y kx k   với 1 k0 0,25 đ

Chú ý: Có thể chứng minh đồ thị ( C) có I là tâm đối xứng, dựa vào

đồ thị ( C) để kết luận kết quả trên

2

2sin cos 6sin cos 2 3.cos 6 3cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0 2cos ( 3cos sin ) 6.cos ( 3cos sin ) 8( 3cos sin ) 0

0,50 đ

2

2

( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0

3 cos sin 0

cos 1

x

x



0,25 đ

Ý 1 (1,0đ)

2

k

x k



  









0,25 đ

Ta có : x y2 2  9 xy  3 0,25 đ

Khi: xy , ta có: 3 x3y3 và 4 x3. y3   27 Suy ra: x3; y3 là nghiệm PT X24X 27 0  X  2 31

0,25 đ

Vậy ngiệm của PT là x32 31,y 32 31 Hayx32 31,y 3 2 31 0,25 đ

Câu II

(2,0đ)

Ý 2 (1,0đ)

Khi: xy  , ta có: 3 x3y3   và 4 x3. y3 27 Suy ra: x3; y3 là nghiệm PT X24X 27 0( PTVN) 0,25 đ

Ta đặt t x 2y, từ giả thiết suy ra

3

t

xy 



Điều kiện 2 30

5

t 

0,25 đ

M x  y  xy x y  xy x y  xy

  t3 3t2  6t 9 f t  0,25 đ

Câu III

(2,0đ)

Ý 1 (1,0đ)

 Xét hàm f(t) với 2 30 2 30

 , ta được:

  35 12 30   35 12 30

min f t  ; max f t 

Ta có:

2 2

a b a b   ab  

Tương tự:

2

b

b bc

b c  

2

c

c ca

c a  

Ý 2 (1,0đ)

Cộng (1), (2), (3), ta có:

2

ab bc ca a b c

a b b c c a       

0,25 đ

Gọi M là trung điểm BC, hạ AH vuông góc với A’M

'

BC AM

BC AA M BC AH

BC AA



2

a

Mặt khác: 12 1 2 1 2 ' 6

4 '

a AA

Câu IV

(1,0đ)

KL:

3 ' ' '

16

ABC A B C

a

Gọi d là ĐT cần tìm và A a   ;0 ,B 0;b là giao điểm của d với Ox,

Oy, suy ra: :d x y 1

a b  Theo giả thiết, ta có: 2 1 1,ab 8

a b   0,25 đ Khi ab8 thì 2b a 8 Nên: b2;a 4 d x1: 2y  4 0 0,25 đ Khi ab 8 thì 2b a  8 Ta có:

Với b  2 2 2d2: 1  2x 2 1 2y  4 0

0,25 đ

Câu Va

(1,0đ)

Với b  2 2 2d3: 1  2x 2 1 2y  KL 4 0 0,25 đ ĐK: 0 x 6 BPT  2   2

Ý 1 (1,0đ)

So sánh với điều kiện KL: Nghiệm BPT là 2 x 6 0,25 đ

Ta có y' 3 x26(m1)x2(m27m 2) 0,25 đ

HS có CĐ, CT khi phương trình 3x26(m1)x2(m27m2) 0 có hai nghiệm phân biệt Hay m 4 17 hoặc m 4 17

0,25 đ

Chia y cho y’ ta có yy x q x'( ) ( )r x( ) ;

Toạ độ điểm cực trị là nghiệm của hệ '( ) 0 ( )

'( ) ( ) ( )

y x

y r x

y y x q x r x





 



Câu VIa

(2,0đ)

Ý 2 (1,0đ)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìn là 0,25đ

http://www.VNMATH.com

( 8 1) ( 5 3 2)

y  m  m x m  m  m PTCT elip có dạng:

a b

Ta có:

2 2

3 1 4







4

b b   b  th b   kth 0,25 đ

Câu Vb

(1,0đ)

Do đó: a2 4 KL:

1

y2 x x2 y y x y x    1 0 y x y,   1 x 0,50 đ

Khi: y  thì 1 x 2

6

Ý 1 (1,0đ)

Khi: y x thì 1

2 3

2

3

x

x  x     x

 

Gọi M(a;b) là một điểm thoả mãn đề bài Khi đó đường thẳng qua M

có dạng y k x a (   ) b

Sử dụng điều kiện tiếp xúc cho ta hệ

2







0,25 đ

Lấy (1) – (2) ta có 1 1 (1 ) 

Kết hợp với (*) cho ta

2

1

1

1

2

k

k

k













0,25 đ

Để từ M kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị hàm số thì hệ phương trình trên phải có 2 nghiệm phân biệt k k sao cho 1, 2 k k1 2   1

Hay

2

2

1 0

1 4

( 1)

1 0

a

a b

a

a b







0,25 đ

Câu VIb

(2,0đ)

Ý 2 (1,0đ)

Vậy tập hợp điểm M thoả mãn yêu cầu bài toán thuộc đường tròn

 2 2

x y  trừ bỏ đi 4 giao điểm của đường tròn này với 2 đường thẳng : x = 1 và –x + y + 1 = 0

0,25 đ

-HẾT -