Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp hàm vô tỷ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN THỊ THÙY TRANG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP HÀM VÔ TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG, 05/2015... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHAN THỊ THÙY TRANG

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ

TRONG LỚP HÀM VÔ TỶ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG, 05/2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHAN THỊ THÙY TRANG

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ

TRONG LỚP HÀM VÔ TỶ

Chuyên ngành : Phương Pháp Toán Sơ Cấp

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Giáo viên hướng dẫn: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

ĐÀ NẴNG, 05/2015

Tæi cam oan ¥y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi

C¡c sè li»u , k¸t qu£ n¶u trong luªn v«n l  trung thüc v  ch÷a tøng

÷ñc ai cæng bè trong b§t k¼ cæng tr¼nh n o kh¡c

T¡c gi£ luªn v«n

Phan Thà Thòy Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

6 Cấu trúc luận văn 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 HÀM ĐƠN ĐIỆU 3

1.2 HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY 10

1.2.1 Hàm phân thức chính quy một thức chính quy một biến 10

1.2.2 Hàm phân thức chính quy một thức chính quy nhiều biến 12

1.3 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 15

1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy 15

1.3.2 Bất đẳng thức Bunhiacovki 15

1.3.3 Bất đẳng thức Holder 16

1.3.4 Bất đẳng thức Mincovski 16

1.3.5 Bất đẳng thức Karamata 17

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ TRONG LỚP HÀM VÔ TỈ 18

2.1 MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC VỚI BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC 18

2.2 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG MỘT SỐ LỚP BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC 23

26

3.1 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 26 3.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 38

KẾT LU N 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LU N VĂN (BẢN SAO)

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

Möc ti¶u cõa · t i n y l  nghi¶n cùu v· vi»c x¥y düng :c¡c t½nh ch§tcõa h m chùa c«n thùc,c¡c d¤ng to¡n v· b§t ¯ng thùc v  cüc trà tronglîp h m væ t¿ v  mët sè ùng döng b§t ¯ng thùc v  cüc trà trong ¤i sè

v  l÷ñng gi¡c

3 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

3.1 èi t÷ñng nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu b§t ¯ng thùc v  h m sè èi vîi lîp h m væ t¿

3.2 Ph¤m vi nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu tø c¡c gi¡o tr¼nh, c¡c t i li»u v· b§t ¯ng thùc v  b ito¡n cüc trà cõa c¡c t¡c gi£ li¶n quan.

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Thu thªp c¡c t i li»u chuy¶n · v· b§t ¯ng thùc,cüc trà Kh£o s¡t,ph¥n t½ch, têng hñp t i li»u º h» thèng v  ph¥n lo¤i c¡c d¤ng to¡n v·b§t ¯ng thùc v  c¡c b i to¡n li¶n quan ¸n cüc trà,trao êi, th£o luªn,tham kh£o þ ki¸n cõa gi¡o vi¶n h÷îng d¨n º thüc hi»n · t i v  nghi¶ncùu c¡c t i li»u, gi¡o tr¼nh cõa GS.TSKH Nguy¹n V«n Mªu tø â trao

êi vîi th¦y h÷îng d¨n c¡c k¸t qu£ ang nghi¶n cùu

5 Þ ngh¾a khoa håc v  thüc ti¹n cõa · t i

· t i câ þ ngh¾a v· m°t lþ thuy¸t, câ thº sû döng nh÷ t i li»u thamkh£o d nh cho håc vi¶n, sinh vi¶n nghi¶n cùu v· b§t ¯ng thùc v  b ito¡n cüc trà

2.2 C¡c b i to¡n cüc trà trong mët sè lîp biºu thùc chùa c«n thùc Ch÷ìng 3 Mët sè ¡p döng trong ¤i sè v  l÷ñng gi¡c

3.1 Mët sè b i to¡n v· ph÷ìng tr¼nh chùa c«n thùc

3.2 Mët sè b i to¡n v· h» ph÷ìng tr¼nh chùa c«n thùc

3.3 Ùng döng trong l÷ñng gi¡c

K¸t luªn

CH×ÌNG 1

KI˜N THÙC CHU‰N BÀ

Ch÷ìng n y tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc v· ph¥n thùc (t½nh ch®n l´,

ìn i»u, lçi, lãm, ) v  mët sè d¤ng b§t ¯ng thùc cì b£n

Trong · t i n y th÷íng sû döng kþ hi»u I(a, b) ⊂ R l  nh¬m ng¦m

ành mët trong bèn tªp hñp (a, b), [a, b)(a, b] ho°c [a, b] vîi a < b

1.1 H€M ÌN I›U

Thæng th÷íng khi h m sè f(x) x¡c ành tr¶n tªp I(a, b) ⊂ R v thäa m¢n i·u ki»n :

ành ngh¾a 1.1 Gi£ sû vîi måi x1, x2 ∈ I(a, b), tø x1 < x2 suy ra

f (x1) ≤ f (x2), th¼ ta nâi r¬ng f(x) l  h m ìn i»u t«ng tr¶n I(a, b)

°c bi»t khi ùng vîi måi c°p x1, x2 ∈ I(a, b), ta ·u câ

f (x1) < f (x2) ⇔ x1 < x2th¼ ta nâi r¬ng f(x) l  mët h m ìn i»u t«ng thüc sü hay çng bi¸ntr¶n I(a, b)

Ng÷ñc l¤i, khi vîi måi x1, x2 ∈ I(a, b), ta ·u câ tø x1 < x2 suy ra

f (x1) ≥ f (x2), th¼ ta nâi r¬ng f(x) l  h m ìn i»u gi£m tr¶n I(a, b).Khi

f (x1) > (x2) ⇔ x1 < x2, ∀x1, x2 ∈ I(a, b)th¼ ta nâi r¬ng f(x) l  mët h m ìn i»u gi£m thüc sü hay nghàch bi¸ntr¶n I(a, b)

ành lþ 1.1 Gi£ sû h m sè f(x) câ ¤o h m tr¶n kho£ng (a, b)

1 N¸u f0(x) > 0 vîi måi x ∈ (a, b) th¼ h m sè f(x) çng bi¸n tr¶nkho£ng â

2 N¸u f0(x) < 0 vîi måi x ∈ (a, b) th¼ h m sè f(x) nghàch bi¸n tr¶nkho£ng â

C¡c ành l½ sau ¥y cho ta c¡c °c tr÷ng ìn gi£n kh¡c cõa h m

ìn i»u

ành lþ 1.2 H m f(x) x¡c ành tr¶n R+ l  mët h m sè ìn i»ut«ng khi v  ch¿ khi vîi måi c°p bë sè d÷ìng

L§y têng theo j (j = 1, 2, n), tø (1.2) ta thu ÷ñc (1.1)

Ng÷ñc l¤i vîi n = 2, tø (1.1), ta câ

f (x) + f (h) ≤ (1 + )f (x + h), ∀, h > 0 (1.3)Khi  → 0 ta thu ÷ñc f(x + h) ≥ f(x) hay f(x) l  mët h m ìn

hiºn nhi¶n ÷ñc thäa m¢n ùng vîi g(x) l  mët h m ìn i»u t«ng tr¶n

H» qu£ 1.1 Gi£ sû g(x) = f (x)

x l  h m ìn i»u t«ng trong[0, +∞) Khi â vîi måi d¢y sè d÷ìng v  gi£m x1, x2, xn, ta ·u câ

ành lþ 1.8 Gi£ sû r¬ng f(x) l  h m ìn i»u gi£m tr¶n [0, +∞)

v  {ak} l  mët d¢y t«ng trong (0, +∞) Khi â ta luæn câ

H» qu£ 1.2 Gi£ thi¸t r¬ng f(x) l  mët h m çng bi¸n tr¶n [0, +∞)

v  f(0) = 0 Gåi g(x) l  h m ng÷ñc cõa f(x) Khi â ta luæn câ

D§u b¬ng x£y ra khi v  ch¿ khi f(a) = b

Chùng minh Gåi S1 l  di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði x =

D§u b¬ng x£y ra khi v  ch¿ khi f(a) = b

ành lþ 1.11 Cho h m sè y = f(x) li¶n töc v  nghàch bi¸n tr¶n[0, b], ∀a ∈ [0, b] Khi â, ta luæn câ

H» qu£ 1.3 N¸u b = 1, f(x) li¶n töc v  nghàch bi¸n tr¶n [0, 1] th¼

∀a ∈ [0, 1], ta ·u câ

ành lþ 1.12 (B§t ¯ng thùc thù tü Chebyshev) Gi£ sû f(x) v g(x) l  hai h m ìn i»u t«ng v  (xk) l  mët d¢y ìn i»u t«ng

x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn.Khi â vîi måi bë trång (pj):

h(x) := αf(x)+βg(x)công l  h m ph¥n thùc ch½nh quy.

T½nh ch§t 1.3 N¸u f(x) v  g(x) l  c¡c h m ph¥n thùc ch½nh quy,th¼ h m sè

h(x) := f (g(x))

công l  h m ph¥n thùc ch½nh quy

T½nh ch§t 1.4 N¸u f(x) l  h m ph¥n thùc ch½nh quy, th¼ h m sè

h(x) := [f (x)]m, m ∈ N∗công l  h m ph¥n thùc ch½nh quy.

1.2.2 H m ph¥n thùc ch½nh quy nhi·u bi¸n

ành ngh¾a 1.3 H m sè f(x1, x2, , xn) ÷ñc gåi l  h m ph¥nthùc ch½nh quy tr¶n tªp

x1 > 0, x2 > 0, , xn > 0,N¸u

a1α1n + a2α2n + · · · + amαmn = 0

(1.18)

ành ngh¾a 1.4 Gi£ sû h m sè f(x1, x2, , xn)l  h m ph¥n thùcch½nh quy, tùc l  f(x1, x2, , xn) thäa m¢n i·u ki»n (1.17) - (1.18).Khi

÷ñc gåi l  c¡c ph¥n thùc th nh ph¦n bi¸n xj cõa f(x1, x2, , xn)

V½ dö 1.2 D¹ d ng kiºm chùng h m sè sau ¥y l  ph¥n thùcch½nh quy: f(x, y) = x− 1

V½ dö 1.3 D¹ d ng kiºm chùng h m sè sau ¥y l  ph¥n thùcch½nh quy: f(x, y) = 4x5y−9 + 5x4y4 + 8x−5y2,

m P k=1

2 x

m P k=1

k

= 1

D§u ¯ng thùc x£y ra khi x1 = x2 = = xn = 1

H» qu£ 1.4 Vîi méi h m ph¥n thùc ch½nh quy f(x1, x2, , xn)tr¶n tªp {x1 > 0, x2 > 0, , xn} > 0 ta ·u câ

= q − pq

p

= q − q = 1

i·u ph£i chùng minh

Tø ¥y, ta thu ÷ñc k¸t qu£ quan trång sau:

ành lþ 1.15 Måi h m ph¥n thùc d¤ng

Vîi måi bë sè (xi, yi) ta luæn câ b§t ¯ng thùc sau

D§u ¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi tçn t¤i hai sè A v  B khæng

çng thíi b¬ng khæng sao cho

D§u ¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi tçn t¤i hai sè khæng ¥m A v 

B, khæng çng thíi b¬ng khæng sao cho Aak = Bbk, k = 1, 2, , n

ta ·u câ

f (x1) + f (x2) + + f (xn) ≥ f (y1) + f (y2) + + f (yn)

B i to¡n 2.1 Cho a, b, c l  c¡c sè thüc d÷ìng v  thäa m¢n i·uki»n ab + bc + ca = abc Chùng minh :

y2 + 2z2 = py2 + z2 + z2 ≥ √1

3(y + 2z)

z2 + 2x2 = √

z2 + x2 + x2 ≥ √1

3(z + 2x)Cëng v¸ theo v¸ b§t ¯ng thùc ta ÷ñc:

B i to¡n 2.2 Cho x ≥ 1, y ≥ 1 Chùng minh r¬ng



B i to¡n 2.5 Cho a, b, c l  c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n i·u ki»n

2.2 CC B€I TON CÜC TRÀ TRONG MËT SÈ LÎP BIšUTHÙC CHÙA C‹N THÙC

B i to¡n 2.6 T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa h m sè

B i to¡n 2.7 Cho x, y l  c¡c sè thüc d÷ìng v  thäa m¢n i·uki»n : x + y = 1

T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc: P = √ x

1 − x +

y

√

1 − y.

B i gi£i

Câ thº t½nh y theo x: y = 1 − x v  chuyºn p v· h m sè bi¸n x.Ph²p th¸ l÷ñng gi¡c x = cos2α, y = sin2α cho ta ph²p bi¸n êil÷ñng gi¡c quen thuëc

°t u = sin α + cos α = √2 sin(α + π

4)th¼ P = cos α cos2α + sin α sin2α

Tø â h» (2.20) câ nghi»m ⇔ h» (2.21) câ nghi»m S thäa m¢n

i·u ki»n S2 ≥ 4P ⇔ ph÷ìng tr¼nh S2 − 2S − 3m = 0 câ nghi»m

0 ≤ S ≤ 4,i·u n y x£y ra khi v  ch¿ khi

x + 7 = 0 ⇔



x + 7 ≥ 03x − 1 = x + 7

⇔



x ≥ −72x = 8 ⇔

⇔ √x2 + 8 = 3√

x ⇔ √x2 + 8 = √

9x

x − 1 = −1

B i gi£i

i·u ki»n câ ngh¾a: x ≥ 1 Ta câ

√2x − 1 − 2√

B i to¡n 3.12 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

3 ≤ x ≤ 5

22x2 + x − 10 = 0

Thû l¤i ta th§y ch¿ câ x = 2 thäa m¢n i·u ki»n (3.22)

Vªy tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l  S = {2}

D¤ng 3 ÷a v· ph÷ìng tr¼nh chùa d§u gi¡ trà tuy»t èi

B i to¡n 3.14 (· thi v o lîp 10 tr÷íng chuy¶n L¶ Hçng Phong,TP.Hç Ch½ Minh, 2002-2003) Gi£i ph÷ìng tr¼nh

p

x + 3 + 4√

x − 1 +px + 8 − 6√

x − 1 = 5

B i gi£i i·u ki»n câ ngh¾a: x ≥ 1 Ta câ ph÷ìng tr¼nh ¢ chot÷ìng ÷ìng

B i to¡n 3.15 (Thi chån håc sinh giäi c§p huy»n, ti·n Giang, 2008

q

(√2x − 5 − 1)2 = 4

⇔ √2x − 5 + 3 +

√2x − 5 − 1

x ≥ 02x + 7 = x2

⇔ x = 1 + 2√2Vªy tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l  S = n1 + 2√

⇔

x = 32

⇔

x = 32Vªy tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l  S =

x2 − x − 2 = 2 ⇔ x2 − x − 2 = 4

⇔ x2 − x − 6 = 0

⇔ x = 3 ∨ x = −2Vªy tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l  :

−5

2 ,

52



.D¤ng 6 Vªn döng l÷ñng li¶n hñp

B i to¡n 3.20 (· thi lîp 10 chuy¶n To¡n -Tin, ¤i håc S÷ Ph¤m

x2 − 3x + 4 ≥ 0 (4)D§u b¬ng ð (1) v  (3), ð (2) v  (4) khæng çng thíi x£y ra Do â

B i to¡n 3.21 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

√5x + 6 + x = √

3x + 10 + 2

B i gi£i i·u ki»n câ ngh¾a: x ≥ −6

5 Tø ¥y ta câ :

√5x + 6 +√



u = 1 − vv(v2 − 4v + 3) = 0 ⇔



.Chó þ èi vîi ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng pn a − f (x) + pm b + f (x) = c.Thæng th÷íng ta °t u = pn

a − f (x), v = pm

b + f (x) º ÷a v· h»ph÷ìng tr¼nh



u + v = c

u3 + v2 = a + bGi£i h» n y º t¼m u, v Tø â t¼m ÷ñc tªp nghi»m cõa ph÷ìngtr¼nh c¦n gi£i

B i to¡n 3.23 (Thi chån håc sinh giäi to¡n lîp 9, TP.Hç Ch½Minh, 2008-2009) Gi£i ph÷ìng tr¼nh

câ S = 5 v  P = 4,suy ra (x, y) l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

X2 − 5X + 4 = 0Ph÷ìng tr¼nh n y câ hai nghi»m X1 = 1, X2 = 4.M°t kh¡c d¹ d ngkiºm tra ÷ñc x = 1, x = 4 l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho

Vªy tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l  S = {1, 4}

⇔ x = −3

Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l  S = {−3}

B i to¡n 3.25 (· thi v o lîp 10 Chuy¶n To¡n, HKHTN

B i gi£i i·u ki»n x ≥ 1

2.Ta câ ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng

Vªy tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l  S = {2}

B i to¡n 3.26 (Thi chån håc sinh giäi to¡n lîp 9, TP.Hç Ch½Minh, 2007-2008) Gi£i ph÷ìng tr¼nh

p döng b§t ¯ng thùc Cauchy cho hai sè khæng ¥m, ta câ

3.2 MËT SÈ B€I TON V— H› PH×ÌNG TRœNH CHÙAC‹N THÙC

y + 2√

x) = 3y√

2y − 1N¸u x > y th¼ ta câ 3x√2x − 1 > 3y√

2y − 1,suy ra

√xy(√

Lþ luªn t÷ìng tü công khæng x£y ra khi y > x

Do vªy ph£i câ x = y.Thay v o h» ¢ cho ta ÷ñc

B i to¡n 3.28 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau







2x3 + 3x2 − 18 = y2 + y2y3 + 3y2 − 18 = z2 + z2z3 + 3z2 − 18 = x2 + x



g(x) ≥ g(y)g(x) ≥ g(z) ⇒



g(x) ≥f(x)g(x) ≤ f (z)

Thû l¤i ta th§y x = y = z = 2 thäa h» ph÷ìng tr¼nh

K¸t luªn: H» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t (x, y, z) = (2, 2, 2)D¤ng 2 Vªn döng b§t ¯ng thùc

B i to¡n 3.29 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau

Theo b§t ¯ng thùc Cauchy, ta câ :

13x + 2y +

1

x + 2y + 2z =

2(2x + 2y + z)(3x + 2y)(x + 2y + 2z)

≥ 2(2x + 2y + z)2(2x + 2y + z)2

1

y + 2z + 2x ≥ 2

z + 2x + 2y1

13z + 2x

Thay v o h», ta câ

3 ,

670

3 ,

6703

Do â x2 + 2x − 6 ≥ 0 ⇔ x > √

7 − 1.K¸t hñp vîi i·u ki»n x3 − 6x + 5 ≥ 0 ta ÷ñc

6x2√

x3 − 6x + 5 ≤ (x2 + 2x − 6)(x3 + 4)Vªy (1) t÷ìng ÷ìng vîi

Vªy h» câ nghi»m (x, y) = (2, 1), (2, −1)

B i to¡n 3.31 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau :

B i gi£i i·u ki»n câ ngh¾a: x, y, z ≤ a

Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy -Schwarz, ta câ

B i gi£i i·u ki»n câ ngh¾a: −1 ≤ xi ≤ 1(i = 1, 2, , 2010)

x1 + x2 + + x2010 ≥ 1 (3.32)L¤i câ :

≤ 2010(2010 − x1 − x2 − − x2010)

n¶n

x1 + x2 + + x2010 ≤ 1 (3.33)

Tø (3.32)) v  (3.33)) suy ra x1 + x2 + + x2010 = 1 v  h» ¢ chot÷ìng ÷ìng vîi

T€I LI›U THAM KHƒO

[1] Tr¦n Nam Dông (2011), Ph÷ìng tr¼nh v  hìn th¸ núa, K y¸u

HQG Th nh phè Hç Ch½ Minh

[2] Nguy¹n ùc çng - Nguy¹n V«n V¾nh (1999),23 ph÷ìng ph¡p

chuy¶n · b§t ¯ng thùc v  to¡n cüc trà trong l÷ñng gi¡c,NXBTr´

[3] Nguy¹n ¸ - Vô Ho ng L¥m (2001), C¡c b i to¡n b§t ¯ng thùc

hay v  khâ,NXB Gi¡o döc

[4] Nguy¹n Xu¥n Li¶m (2008), Chuy¶n · v· b§t ¯ng thùc v  b§t

[8] Nguy¹n Vô Thanh (2000), 263 b i to¡n b§t ¯ng thùc chån låc,NXB

¤i håc Quèc Gia Th nh phè Hç Ch½ Minh

HQG Thnh phố Hỗ Chẵ Minh

[2] Nguyạn ực ỗng - Nguyạn Vôn Vắnh (1999),23 phữỡng phĂp

chuyản à bĐt ng thực v toĂn cỹc tr lữủng giĂc,NXBTr

[3]