Đạo hàm và ứng dụng trong giải toán trung học phổ thông

NGUYỄN THỊ LIÊN ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học:

NGUYỄN THỊ LIÊN

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015

NGUYỄN THỊ LIÊN

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HẢI TRUNG

Đà Nẵng – Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan:

Những nội dung được trình bày trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Lê Hải Trung

Mọi tài liệu trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và trung thực Nếu có sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Liên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 1

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Cấu trúc luận văn 2

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 3

1.2 Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM 4

1.3 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 5

1.4 CÁC ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH 8

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 14

2.1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÍNH TỔNG VÀ TÌM HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC 14

2.2 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIỚI HẠN 17

2.3 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ 20

2.3.1 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 0 ( ; 0 0 ) ( ) M x y  C 20

2.3.2 Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A( xA, yA) cho trước 22

2.4 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 26 2.4.1 Dạng 1 27

2.4.2 Dạng 2 29

2.4.3 Dạng 3 31

2.4.4 Dạng 4 31

2.4.5 Dạng 5 32

2.5 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 37

2.6 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 44

2.7 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 53

2.7.1 Sơ đồ khảo sát chung của các hàm số 53

2.7.2 Khảo sát hàm đa thức bậc ba 54

2.7.3 Khảo sát hàm đa thức bậc bốn trùng phương 55

2.7.4 Khảo sát hàm phân thức dạng: 57

2.8 ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 58

2.8.1 Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình 58

2.8.2 Ứng dụng đạo hàm để giải bất phương trình 65

2.8.3 Ứng dụng đạo hàm để giải hệ phương trình 69

KẾT LUẬN 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng của giải tích, việc nắm vững các công thức, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm sẽ giúp chúng ta tìm ra những hướng giải quyết một số vấn đề của toán học một cách mới lạ và độc đáo

Ở bậc Trung học phổ thông, việc giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và chứng minh các bất đẳng thức thường hay dùng một số phương pháp giải như: biến đổi tương đương, dùng ẩn phụ, phương pháp hình học, Trong việc giải quyết các vấn đề nêu trên thì việc sử dụng phương pháp đạo hàm tỏ ra hiệu quả và đơn giản hơn

Nội dung các bài toán được giải bằng phương pháp đạo hàm rất gần với thực tế và việc lý luận để giải các bài toán này luôn đem lại sự hấp dẫn, lý thú

và đầy bất ngờ Điều này thu hút sự quan tâm ngày càng nhiều của các học sinh giỏi toán và là các chủ đề trong chương trình bồi dưỡng học sinh tham gia các kỳ thi Olympic và quốc gia Vì vậy, ứng dụng đạo hàm trong giải toán THPT chứa đựng nhiều tiềm năng lớn có thể khai thác để bồi dưỡng cho học sinh khá và giỏi Các bài toán được vận dụng đạo hàm để giải quyết ngày càng xuất hiện nhiều trong các đề thi Đại học, Cao đẳng

Với thực trạng đã nêu trên, và được sự gợi ý của thầy giáo Lê Hải Trung,

tôi lựa chọn đề tài “Đạo hàm và ứng dụng trong giải toán THPT” cho luận

văn thạc sĩ của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu đạo hàm và ứng dụng đạo hàm trong giải toán THPT, xem xét một lớp bài tập giải bằng phương pháp đạo hàm và bồi dưỡng cho học sinh giỏi toán ở phổ thông

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn có sử dụng các kiến thức thuộc các chuyên ngành:

Giải tích, Đại số

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu về đạo hàm của hàm số một biến và ứng dụng

- Nghiên cứu về các ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán trong chương trình THPT

5 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn được chia thành 2 chương

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Chương này trình bày sơ lược những kiến thức cơ sở về đạo hàm cùng các quy tắc tính đạo hàm, các định lý trung bình, … để làm tiền đề cho chương sau Các chi tiết liên quan có thể xem trong [6], [8], [9],…

Chương 2 Ứng dụng đạo hàm trong giải toán trung học phổ thông

Chương này trình bày ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán trong chương trình THPT Các chi tiết liên quan có thể xem trong [1], [5], [10], [11],…

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này trình bày sơ lược những kiến thức cơ sở về đạo hàm cùng các quy tắc tính đạo hàm, các định lý trung bình, … để làm tiền đề cho chương sau Các chi tiết liên quan có thể xem trong [6], [8], [9],

1.1 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y f x( )xác định trên tập D và điểm

( ) ( ) lim

0

( ) ( ) '( ) lim

Định nghĩa 1.2 Hàm số y f x( ) gọi là có đạo hàm trên đoạn ( , )a b

nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên đoạn ( , ).a b

Nhận xét 1.1 Đạo hàm của hàm số tại điểm x0(nếu có) là một hằng số Nhận xét 1.2 Hàm số có đạo hàm tại x0thì liên tục tại x0

1.2 Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM

Cho hàm số y f x( ) có đồ thị (C), một điểm M 0 cố định thuộc (C) có

hoành độ x0 Với mỗi điểm M thuộc (C) khác M0, ta kí hiệu x Mlà hoành độ của nó và k M là hệ số góc của cát tuyến M 0 M

Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn

M 0 T đi qua M0 và có hệ số góc k0là vị trí giới hạn của cát tuyến M 0 M khi M

di chuyển dọc theo (C) dần đến M0 Đường thẳng M 0 T được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm M0, còn M0 gọi là tiếp điểm

Giả sử hàm số f có đạo hàm tại điểm x0 Tại mỗi vị trí của M trên (C), ta

Nếu hàm số y f x( )có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M x0( 0, (x ))f 0 có phương trình là:

  

   (1.7)

Hệ quả 1.1 Có thể mở rộng công thức trên cho tổng hay hiệu của nhiều

hàm số như sau: Nếu các hàm số u v, , ,wcó đạo hàm trên J thì ta có

Đặc biệt, nếu k là hằng số thì: k u x ( ) ' k u x '( ). (1.10)

Công thức (1.9), (1.10) có thể viết gọn là:

( ) ' ' '( ) ' '

Chú ý rằng khi h tiến tới 0 thì y cũng tiến tới 0, cho nên sau khi chia

hai vế của biểu thức trên cho h, rồi cho h tiến tới 0, khi đó từ định nghĩa của

đạo hàm ta suy ra điều phải chứng minh

Định lý 1.5 Nếu hàm số x f y( ) có đạo hàm tại y0( , )a b và

'( )

g x

f y

 (1.18)

nên lấy đạo hàm cả hai vế và áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp cho vế phải ta đƣợc:

0 0 )

1  f g x'[ ( )] '(g x

Để ý rằngy0 g x( )0 , ta có ngay điều cần chứng minh

Định nghĩa 1.3 Giả sử f x( ) có đạo hàm tại mọi x thuộc một khoảng nào đấy Khi đó f x'( ) là một hàm số xác định trên khoảng đó

Nếu hàm số f x'( )có đạo hàm thì đạo hàm này gọi là đạo hàm cấp hai của f x( ), kí hiệu là f "( )x Tức là: f ''( )x [ '( )]'f x

Nếu hàm số f"( )x có đạo hàm thì đạo hàm này gọi là đạo hàm cấp ba của f x( ), kí hiệu là f "'( )x Tức là: f '''( )x [ ''( )]'f x

Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp n – 1 được gọi là đạo hàm cấp n Đạo hàm cấp n của f x( )kí hiệu là: ( )

( )

n

f x

Vậy: f( )n ( )x [f(n1)( )]'x (1.19)

1.4 CÁC ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH

Cho f x y( , )xác định trên D là tập mở chứa M x y0( ,0 0)

Định nghĩa 1.4 M x y0( ,0 0)là điểm cực đại địa phương của f nếu

Khái niệm cực tiểu địa phương cũng được định nghĩa tương tự

Tính chất 1.2 Cực đại địa phương và cực tiểu địa phương được gọi

chung là cực trị địa phương

Định nghĩa 1.5 M x y0( ,0 0)là điểm cực đại toàn cục của f trên D nếu

Khái niệm cực tiểu toàn cục cũng được định nghĩa tương tự

Tính chất 1.3 Cực đại toàn cục và cực tiểu toàn cục được gọi chung là

cực trị toàn cục

Định lý 1.7 (định lý Fermat) Cho hàm số f xác định trên khoảng (a, b)

Nếu hàm số f x( )đạt cực trị địa phương tại c và f '(c)tồn tại thì f '(c)  0.

Chứng minh Ta chứng minh định lý trong trường hợp cực đại địa

phương, trường hợp cực tiểu địa phương chứng minh hoàn toàn tương tự

Giả sử rằng hàm số f c( )là giá trị cực đại địa phương của hàm f trên (a,b),

Từ hai điều trên ta suy ra f '(c)  0 Điều phải chứng minh

Định lý 1.8 (định lý Rolle) Nếu f x( ) liên tục trên đoạn [a, b], có đạo hàm trong khoảng (a, b) và f a( )  f b( ) thì tồn tại c( , )a b sao cho f c'( )  0

'( ) 0, ( , )

f x   x a b

Giả sử f x( ) const,  x ( , ).a b trên đoạn [a, b] Vì f x( ) liên tục trên đoạn

[a,b] nên f([ , ]a b )[ ,m M], với mM Ta có f a( ) m hay f a( ) M

Ta xét trường hợp m f a( )

Do m f a( )  f b( ) và m f([ , ]a b )nên  c (a b, )sao cho f c( ) m Ta

sẽ chứng minh f c'( )  0

Với h đủ nhỏ để c h (a b, )ta có:

Hệ quả 1.4 Nếu hàm số f x( ) có đạo hàm trên (a, b) và f x'( ) vô nghiệm trên (a, b) thì f x( )có nhiều nhất một nghiệm trên (a, b)

Hệ quả 1.5 Nếu hàm số f x( ) có đạo hàm trên (a, b) và f x'( ) có nhiều nhất n nghiệm (n là số nguyên dương) trên (a, b) thì f x( ) có nhiều nhất

(n + 1) nghiệm trên (a, b)

Định lý 1.9 (định lý Lagrange) Nếu hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trên (a, b) thì tồn tại c( a,b ) sao cho f(b) – f(a) =

liên tục trên [a, b], có đạo hàm trên khoảng (a,b) và F(a) = F(b)

Theo định lý Rolle tồn tại c( a,b )sao cho F c'( )  0 Mà:

f(a)), B (b, f(b)), khi đó trên cung AB phải có ít nhất một điểm C(c, f(c)) có hoành độ c( a,b ) sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại C song song với đường thẳng AB

Định lý 1.10 Cho hàm số f x( )có đạo hàm trên khoảng (a,b)

Nếu f x'( )    0, x ( , )a b thì f x( )đồng biến trên (a, b)

Nếu f x'( )    0, x ( , )a b thì f x( )nghịch biến trên (a, b)

Nếu f x'( )    0, x ( , )a b thì f x( ) là hàm hằng trên (a, b)

Chứng minh Giả sử f x'( )    0, x ( , )a b và x x1, 2 ( , );a b x1x2, theo

định lý Lagrange, tồn tại c ( ,x x1 2)sao cho 2 1

2 1

( ) ( ) '( ) f x f x

Mà f '(c)   0 f x( 1)  f x( 2)  f x( ) đồng biến trên (a, b)

Nếu trong giả thiết của định lý Lagrange ta thêm vào giả thiết f x'( )

đồng biến hoặc nghịch biến trên [a, b] thì ta có thể so sánh f b( ) f a( )

g b g a





 Do g x( )  0, x ( , )a b , nên theo định lý Rolle ta

phải có g(a) ≠ g(b) Vậy giá trị k là xác định

Xét hàm số F x( )  f x( ) k g x ( ) Ta thấy F(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên (a, b) cho bởi

Định lý Lagrange là hệ quả của định lý Cauchy (trong trường hợp g(x) = x)

Định lý 1.12 (định lý về dấu của tam thức bậc hai)

Cho hàm số: f x( ) ax2bx c a (  0)

+ Nếu  < 0 thì ( ) f x luôn cùng dấu với a

+ Nếu  = 0 thì ( ) f x luôn cùng dấu với a (trừ

2

b x a

  )

+ Nếu  > 0 thì ( ) f x có hai nghiệm x1, x2và trong khoảng hai nghiệm thì ( ) f x khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì ( ) f x cùng dấu với a

Định lý 1.13 (Định lý Viet) Cho phương trình:

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG GIẢI TOÁN

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chương này trình bày một số ứng dụng của đạo hàm để giải quyết các bài toán trong chương trình THPT, chẳng hạn như ứng dụng đạo hàm để tính tổng, tìm giới hạn, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, khảo sát hàm số,… Các chi tiết liên quan có thể xem trong [1], [5], [10], [11],…

2.1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÍNH TỔNG VÀ TÌM HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC

Nhờ đạo hàm ta có thể tính được một số tổng (hoặc chứng minh đẳng thức) mà các số hạng thường có dạng 1 k k

!

k k

f a

Nhận xét 2.1 Khi trong tổng có một phần hệ số đứng trước tổ hợp tăng

dần hoặc giảm dần từ 1,2,3,…,n hay n,…,3,2,1 tức là số hạng đó có dạng k

n kC hoặc k n k k 1

Khi trong tổng có một thành phần hệ số đứng trước tổ hợp có dạng là tích của hai số nguyên dương liên tiếp, tức là 1.2, 2.3, …, (n – 1)n hay

1 3 2 2 1

n( n ), , , hay 1 2 , 2 2 , …, n 2

(không kể dấu) tức có dạng k k(  1)C a n k n khay tổng quát hơn k k  1C a n k n k b k thì ta có thể dùng đạo hàm đến cấp 2 để tính Cụ thể, với đa thức:   0 0 1 1

1 n 2.1 n n 1 n n n n .

n n b a bx   C a  b  n n C b x 

Đến đây ta gần như giải quyết xong, chỉ việc thay a, b, x bởi các hằng số thích hợp

f ( x )  ( x x )   ( x x ) a) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong đa thức

1

'(0)

2014 2015 1 1!

Lời giải Ta có khai triển:

30 0 1 2 2 3 3 29 29 30 30

(1 x) C C xC x C x   C x C x (2.3) Đạo hàm hai vế của (2.3), ta đƣợc:

2.2 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIỚI HẠN

Dựa vào định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm và các tính chất của đạo hàm ta có thể tính được một số giới hạn ở dạng vô định

Định lý 2.1 (định lý L’Hospital) Nếu các hàm f(x) và g(x) có đạo hàm

trên một lân cận của điểm x 0 và f x( 0) g x( )0  0, g'(x0)  0, khi đó:

0

0 0

'( ) ( )

lim ( ) '( )

Ứng dụng đạo hàm tìm giới hạn ta còn gọi là phương pháp L’Hospital,

áp dụng cho các bài toán tìm giới hạn dạng 0

Lời giải Dùng biểu thức liên hợp để trục căn thức, sau đó phân tích đa

thức thành nhân tử và thu gọn đưa về dạng xác định để tính giới hạn

Lời giải Dùng biểu thức liên hợp để trục căn thức, sau đó phân tích đa

thức thành nhân tử và thu gọn đưa về dạng xác định để tính giới hạn

2 3 3

2 3 3

lim lim ; (0) g(0) 0.

( ) 1

Nhận xét 2.2 Ví dụ 2.6 thuộc dạng chứa hai loại căn thức không đồng

bậc, do đó giải quyết vấn đề bài toán ta cần thêm bớt số hạng hợp lí để tách thành tổng hai giới hạn, mà mỗi giới hạn chỉ còn một loại căn thức Để tính tiếp bằng cách nhân lượng liên hợp hoặc sử dụng phương pháp L’Hospital ở

Nhận xét 2.3 Do cả tử và mẫu cùng chứa căn thức nên ta chia cả tử và

mẫu cho x – x 0 , ta biến đổi làm xuất hiện dạng (1.2), sau đó sử dụng phương

 

Đưa giới hạn về dạng (1.2) với y = f(x) là một hàm lượng giác nào đó

2.3 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ

Cho hàm số y f(x) (C) xác định trên khoảng J

2.3.1 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M x y0( ;0 0)  ( )C

Phương trình tiếp tuyến có dạng: y f x'( )(0 x x 0) y0 (2.12) với f '(x0)là hệ số góc của tiếp tuyến

Ví dụ 2.9 Cho hàm số y = f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x – 5 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết:

a) Tại điểm M(0, – 5)

b) Tại điểm có hoành độ x = 1

c) Tại điểm có tung độ y = – 5

'( ) 3 6 2

f x  x  x

a) Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(0,– 5) có f '(0)  2 nên ta có

phương trình tiếp tuyến theo (2.12) là y = 2x – 5

b) Với x = 1 ⟹ y = – 5 ⟹ N(1, – 5) ∈ (C) có f '(1)   1

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm N (1,– 5) theo (2.12) là:

y = – x – 4 c) Với y 0 = – 5, ta có: 3 2

Phương trình tiếp tuyến tại điểm N(1, – 5) là y = – x – 4

Phương trình tiếp tuyến tại điểm B( 2, – 5) có f '(2)  2là y = 2x – 9

Ví dụ 2.10 Cho hàm số y = f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x – 5 (C) Viết phương

trình tiếp tuyến của (C), biết:

a) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 11

b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 26x + 3

c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = – 1

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(– 3, – 65) là y = 11x – 32

b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 26x + 3 nên có hệ số góc k = 26

Phương trình tiếp tuyến tại điểm F (4, 15) là y = 26x + 89

c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 5

2

y  x x nên có hệ số góc của tiếp tuyến là k = 2

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A( 0, – 5) là y = 2x – 5

Phương trình tiếp tuyến tại điểm B( 2, – 5) là y = 2x – 9

2.3.2 Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A( x A , y A ) cho trước

Cách 1 Gọi M(x 0 , y 0) là tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng y f x'( )(0 xx0)  y0

Tiếp tuyến đi qua A nên ta thay tọa độ của A vào phương trình tiếp tuyến

(2.12) tìm (x 0 , y 0) Từ đó viết được phương trình tiếp tuyến

Cách 2 Viết phương trình đường thẳng (d) qua A có hệ số góc là k:

y x  x  x (C) Viết phương trình tiếp

tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đi qua ( , )4 4

Điều kiện tiếp xúc :

 và M x y( , 0 0 )  ( )C Tiếp tuyến tại

M cắt các tiệm cận của đồ thị hàm số (C) tại hai điểm A, B Chứng minh rằng

M là trung điểm AB

Lời giải Vì M x y( ,0 0)  ( )C nên tọa độ của 0

0 0

Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến (d) và tiệm cận đứng x = 1, suy ra tọa

độ điểm A là nghiệm của hệ :

4

7 (1, )

1 1

0 0

1 2 1

7 1

 , tìm điểm M ( )C sao cho tiếp

tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác

2 0

0

2 2

( , 0)

0 0

0

0 2

Tam giác OAB vuông tại O ; OA = 2 2

4 những điểm mà từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị (C)

Lời giải Điểm M nằm trên đường thẳng y = – 4 nên M( m , – 4)

Tiếp tuyến qua M có dạng : yk x m(  ) 4 

Điều kiện tiếp xúc :

3 2

Để từ M có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị (C) thì g(x) = 0 phải có

hai nghiệm phân biệt khác 2

2

2

(4 3 ) 8(8 6 ) 0 (2) 24 12 0

24 12 0

4, 4 ' 3 2.

m m m m

2.4 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Nếu hàm số y f ( x ) liên tục trên đoạn [a, b] và đồng biến (hoặc nghịch

biến) trên khoảng (a, b) thì hàm số này đồng biến (tương ứng nghịch biến)

trên đoạn [a, b]

Nếu hàm số y f ( x ) có đạo hàm trên khoảng J và phương trình f x'( )= 0

có hữu hạn nghiệm trên J thì f ( x ) đồng biến trên J ⇔ f x'( )    0, x J.

f ( x ) nghịch biến trên J ⇔ f x'( )    0, x J.Nếu y' ax2 bx c a(  0) thì:

0,' 0,

So sánh các nghiệmx1, x2của tam thức bậc haig x( ) ax2 bx c với số 0:

2.4.1 Dạng 1 Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) đơn điệu trên tập xác

định (hoặc trên từng khoảng xác định)

yx  m x  m  x đồng biến với mọi x

m

y     Tìm m để hàm số

đã cho nghịch biến với mọi x

Ví dụ 2.17 Cho hàm số yx3 3x2mx 4 Tìm tất cả các giá trị của

tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng(  ;0)

Lời giải Tập xác định: D  Ta có: y3x26x m và y có

3(m 3)

  

Nếu m 3 thì  0  y    0, x  hàm số đồng biến trên R 

3

m  thoả bài toán

Nếu m 3thì 0 phương trình y 0có hai nghiệm phân biệt

1 , 2 ( 1 2 )

x x x x Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng (  ,x1),(x2,  )

Vì hàm số đồng biến trên khoảng(  ,0), nên suy ra:



 30

2 0.

m m

2.4.2 Dạng 2 Tìm điều kiện để hàm số

( )

y f x ax bx cxd đơn điệu trên (a, b)

S P

S P

a) Tìm m để hàm số (2.23) nghịch biến trên khoảng K  ( , 2)

b) Tìm m để hàm số (2.23) nghịch biến trên khoảng K (2,  )

a) Ta có: y' (  m2 1)x2 2(m 1)x 2

  

2 2

a

S P

m

m m

a

  

2 2

a

S P

Vậy    1 m 1 thì hàm số (2.23) nghịch biến trong khoảng(2,  )

2.4.3 Dạng 3 Tìm điều kiện để hàm số y f x( ) ax3bx2cxd đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng l cho trước

f đơn điệu trên ( ;x x1 2)  y'  0có 2 nghiệm phân biệt ( ;x x1 2)

Sử dụng định lý 1.13 đưa (2.25) thành phương trình theo m

Giải phương trình thu được và so sánh với điều kiện (2.24) để chọn nghiệm

g t adt  a d e tad  ae be dc

a) (2.26) đồng biến trên khoảng (  , ) 

S P

S P

Trường hợp 1 Trường hợp 2

Nếu f x( )   0 g x( ) h m( ) (2.30) Nếu bpt:f x( )  0 không đưa được về dạng

(2.30) thì ta đặt: t x  Khi đó bpt:f x( )  0 trở thành: g t( )  0, với:

g t adt  a d e tad  ae be dc a) (2.26) nghịch biến trên khoảng (  , ) 

S P

S P

x mx m y

m x



a) Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (  ,1)

b) Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1,  )

Lời giải Tập xác định: D \ 2{ m }

S P

4 2 0

4 1 0.

m m m





   

Vậy với m  2 3 thì hàm số đã cho nghịch biến trên(  ,1)

b) Yêu cầu bài toán tương đương với:

S P

4 2 0

4 1 0

m m m

Vậy với m 2 3 thì hàm số đã cho nghịch biến trên(1,  )

Nhận xét 2.1 Các bài toán trên sử dụng định lý về dấu của tam thức

bậc hai để giải quyết, ngoài cách giải trên ta có thể giải bài toán theo một cách khác bằng phương pháp biến thiên hàm số

b) Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1, 2)

Lời giải Tập xác định: D \ 1}{

Ta có:

2

2 2

2 4 3 ' , ( ) 2 4 3 ( 1)