Tốc độ hội tụ trong một số định lý giới hạn trung tâm theo trung bình của dãy biến ngẫu nhiên martingale

Hơn nữa việc nghiên cứu xấp xỉ phân phối chuẩn của tổng các đạilượng ngẫu nhiên đóng vai trò rất quan trọng, có ý nghĩa thúc đẩy việcnghiên cứu lý thuyết xác suất thống kê, ứng dụng thốn

ĐẠI H C ĐÀ NẴNG

LÊ TH THÚY QU NH

T C ĐỘ HỘI TỤ TRONG MỘT S

Đ NH LÝ GI I HẠN TRUNG TÂM THEO

TRUNG BÌNH C ỦA DÃY BIẾN NG U NHIÊN

MARTINGALE

LU N VĂN THẠC SĨ KHOA H C

ĐÀ NẴNG, 05/2015

ĐẠI H C ĐÀ NẴNG

LÊ TH THÚY QU NH

T C ĐỘ HỘI TỤ TRONG MỘT S

Đ NH LÝ GI I HẠN TRUNG TÂM THEO

TRUNG BÌNH C ỦA DÃY BIẾN NG U NHIÊN

L I CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu c a riêng tôi Các s li u,

k t qu nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng đư c ai công b trong b t kỳ công trình nào khác

Tác gi luận văn

Lê Th Thúy Qu nh

MỤC LỤC

MỞ Đ U 1

CH NG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN B 4

1.1 KHÔNG GIAN XÁC SU T 4

1.1.1 Phép thử 4

1.1.2 Không gian m u 4

1.1.3 Đ đo xác su t 4

1.2 BI N NG U NHIÊN VẨ CÁC TệNH CH T LIÊN QUAN 5

1.2.1 Bi n ng u nhiên 5

1.2.2 C u trúc c a bi n ng u nhiên 6

1.2.3 Hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên 6

1.2.4 Phân ph i chu n 9

1.2.5 Tính đ c lập 9

1.2.6 Khái ni m h u chắc chắn 9

1.2.7 Kỳ vọng 10

1.2.8 Phương sai 11

1.2.9 Đ l ch tiêu chu n 11

1.2.10 Kỳ vọng có điều ki n 11

1.2.11 Không gian Lp 13

1.3 MARTINGALE 13

1.3.1 Đ nh nghĩa 13

1.3.2 Các ví d 14

1.3.3 Các tính ch t 15

1.3.4 Hi u martingale 16

1.3.5 Đ nh lỦ Burkholder và Đ nh lỦ Fubini 16

1.4 CHU N Lp (0< p ≤ ∞) TRÊN KHÔNG GIAN HÀM PHÂN PH I XÁC

SU T C A CÁC BI N NG U NHIÊN CỐNG XÁC Đ NH TRÊN M T KHÔNG GIAN XÁC SU T 17

C H NG 2 X P XỈ PHÂN PH I CHUẨN Đ I V I TỔNG DÃY BIẾN NG U NHIÊN HIỆU MARTINGALE 22

2.1 Đ NH Lụ GI I HẠN TRUNG TÂM 22 2.2 T C Đ H I T TRONG M T S Đ NH Lụ GI I HẠN TRUNG TÂM THEO TRUNG BÌNH Đ I V I DẩY BI N NG U NHIÊN HI U MARTINGALE 23

KẾT LU N 40 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 QUYẾT Đ NH GIAO ĐỀ TÀI LU N VĂN (B n sao)

có thể áp dụng được định lý giới hạn trung tâm Bài toán “xấp xỉ phânphối chuẩn” cơ bản nhất là Định lý Berry-Essen Nội dung Định lý BerryEssen:

- Hướng thứ nhất: Ước lượng hằng số C Vì kích thước mẫu n tỉ lệthuận với hằng số C nên ước lượng hằng số C càng bé càng tốt (Essen

đã chỉ ra rằng C > √ 1

- Hướng thứ hai: Đánh giá xấp xỉ này với các khoảng cách khác chuẩn

sup, chẳng hạn như chuẩn Lp, khoảng cách tổng biến phân, khoảng cáchWasserstein, khoảng cách Kolmogorov- Smirnov, .

- Hướng thứ ba: Thay điều kiện ngặt nghèo về các đại lượng ngẫunhiên độc lập, cùng phân phối xác suất bằng các điều kiện yếu hơn nhưm-phụ thuộc, phụ thuộc âm, martingale,

- Hướng thứ tư: Xem xét xấp xỉ này cho trường hợp nhiều chỉ số.Trong luận văn này tôi nghiên cứu theo hướng kết hợp của hai hướnghai và ba (Nghiên cứu xấp xỉ của dãy martingale theo chuẩn L1)

Hơn nữa việc nghiên cứu xấp xỉ phân phối chuẩn của tổng các đạilượng ngẫu nhiên đóng vai trò rất quan trọng, có ý nghĩa thúc đẩy việcnghiên cứu lý thuyết xác suất thống kê, ứng dụng thống kê vào cuộcsống, đúc kết kinh nghiệm về giảng dạy xác suất và thống kê

Chính vì vậy, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là: Tốc độ hội tụ trongmột số định lý giới hạn trung tâm theo trung bình của dãy biếnngẫu nhiên martingale

2 Mục đích nghiên cứu

Đưa ra được một số kết quả mới về bài toán xấp xỉ phân phối chuẩnbằng dãy và trường martingale

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trungtâm đối với dãy biến ngẫu nhiên

3.2 Phạm vi nghiên cứu: Giải quyết bài toán xấp xỉ phân phối chuẩnđối với dãy biến ngẫu nhiên martingale theo chuẩn L1

4 Phương pháp nghiên cứu

- Tham khảo tài liệu, sau đó hệ thống kiến thức

- Khảo sát, phân tích, tổng hợp tài liệu để chuẩn bị cho đề tài

- Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn, đồng nghiệp

để thực hiện đề tài

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, những kýhiệu dùng trong luận văn và 2 chương:

Chương 1 Trình bày một số kiến thức cơ sở

Chương 2 Trình bày các kết quả chính của đề tài: Xấp xỉ phân phối

chuẩn đối với tổng dãy biến ngẫu nhiên hiệu martingale.

Trong xác suất, khái niệm phép thử là khái niệm cơ bản không cóđịnh nghĩa Ta có thể hiểu phép thử là việc thực hiện một nhóm các điềukiện cơ bản nào đó để quan sát một hiện tượng có xảy ra hay không.Phép thử được gọi là ngẫu nhiên nếu ta không thể dự báo trước chínhxác kết quả nào sẽ xảy ra khi ta thực hiện phép thử đó.

1.1.2 Không gian mẫu

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫunhiên được gọi là không gian mẫu Ta thường kí hiệu là Ω

Cho không gian mẫu Ω Ta chỉ xét 1 lớp F các tập con của Ω thỏamãn 3 điều kiện:

Cho F là σ-đại số trên Ω Một hàm tập hợp P : F → R được gọi là

độ đo xác suất nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau:

+ Với mọi A ∈ F, 0 ≤ P(A) ≤ 1

+ P(Ω) = 1

+ Nếu A1, A2, ,An, đôi một không giao nhau (Ai ∩ Aj = ∅ vớimọi i 6= j) thì,:

Bộ ba (Ω, F,P) gọi là không gian xác suất

1.2 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC TÍNH CHẤT LIÊN QUAN1.2.1 Biến ngẫu nhiên

Giả sử (Ω, F,P) là không gian xác suất đã cho

Định nghĩa 1.2.1 Hàm thực X = X(ω) xác định trên Ω lấy giá trịtrên R gọi là hàm F- đo được hoặc biến ngẫu nhiên nếu:

Ai = Ω thìvới (xi)i∈I ⊂ R,

X(ω) = X

xiIA i(ω)cũng là biến ngẫu nhiên Nó sẽ được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.Khi I hữu hạn, X được gọi là biến ngẫu nhiên đơn giản

1.2.2 Cấu trúc của biến ngẫu nhiên

Định lý 1.2.4 Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F,P).Khi đó:

a) Tồn tại dãy biến ngẫu nhiên rời rạc hội tụ đều đến X

b) Nếu X ≥ 0 thì tồn tại dãy biến ngẫu nhiên đơn giản (Xn) sao cho

1.2.3 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Giả sử X là biến ngẫu nhiên trên (Ω, F,P) và

F(X) = {X−1(B), B ∈ B(R)}

là σ-đại số sinh bởi X

Với X là biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F,P) nhận giá trị trên

R = (−∞; +∞)

Định nghĩa 1.2.5 Hàm số

FX(x) =P[X < x], x ∈ R

được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X.

Nhận xét

Theo định nghĩa, hàm phân phối của X là thu hẹp của độ đo xácxuất PX trên lớp các khoảng (−∞; x), x ∈ R

Từ đó, hàm phân phối F (x) ≡ FX(x) có các tính chất sau:

(i) Đơn điệu: x ≤ y ⇒ F (x) ≤ F (y)

(ii) Liên tục trái, có giới hạn phải tại mọi điểm

Do đó, hàm FX(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi P[X = x0] = 0

Từ định nghĩa hàm phân phối, ta còn có

P[a ≤ X < b] = FX(b)− FX(a),

P[a≤ X ≤ b] = FX(b + 0)− FX(a),

P[a < X < b] = FX(b)− FX(a + 0),

P[a < X ≤ b] = FX(b + 0)− FX(a + 0),

Biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối rời rạc khi và chỉ khi có một tập

S ={xi,1 ≤ i ≤ n ≤ ∞} hữu hạn hoặc đếm được sao cho P [X ∈ S] = 1.Nếu đặt pi = P [X = xi], i ≥ 1 thì rõ ràng

Ngược lại, nếu cho tập S = {xi, i ∈ I} không quá đếm được và tậpcác số {pi, i ∈ I} thỏa mãn điều kiện trên thì có một biến ngẫu nhiênrời rạc X với tập giá trị S và có bảng phân phối xác suất như trên.Đôi khi hàm số

px =



pi nếu x = xi

0 nếu x /∈ xi, i≥ 1

còn được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên rời rạc X

1.2.4 Phân phối chuẩn

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với các tham số

a, σ2(σ > 0) (còn viết X ∼ N(a, σ2)), nếu hàm mật độ của nó có dạng:

f (x) = 1

σ√2πe

1.2.6 Khái niệm hầu chắc chắn

Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là bằng nhau hầu chắc chắn(h.c.c) nếu tồn tại tập N ∈ F sao cho P(N ) = 0 và X(ω) = Y (ω) với

ω /∈ N Khi đó ta viết X = Y (h.c.c)

Một cách tổng quát, ta nói một tính chất nào đó xảy ra hầu chắcchắn trên Ω nếu nó xảy ra bên ngoài một tập N có xác suất không Khi

X = Y (h.c.c) ta bảo X tương đương với Y và viết X ∼ Y

1.2.7 Kỳ vọng

Cho biến ngẫu nhiên X xác định trên không gian xác suất (Ω; F;P)

Kì vọng của X, kí hiệu là E(X), được xác định bởi

E(X) =

Z

Ω

XdP.+ Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất

Định nghĩa 1.2.6 Giả sử (Ω, F,P) là không gian xác suất, G là

σ-đại số con của F, X là biến ngẫu nhiên khả tích Kỳ vọng điều kiệncủa biến ngẫu nhiên X với G đã cho là biến ngẫu nhiên M thỏa mãncác điều kiện sau:

(a) M là G- đo được,

M còn được ký hiệu là E(X|G) hoặc EGX

Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện

Ta luôn giả thiết (Ω, F, P) là không gian xác suất cố định, các biếnngẫu nhiên đều có kỳ vọng, G ⊂ F là σ-đại số con nào đó

a) Nếu c là hằng số thì E(c|G) = c(h.c.c)

b) X ≤ Y (h.c.c) ⇒ E(X|G) ≤ E(Y |G)(h.c.c)

c) −|X| ≤ X ≤ |X| ⇒ −E(|X||G) ≤ E(X|G) ≤ E(|X||G).

Từ đó suy ra điều cần chứng minh

Đó là điều phải chứng minh.

Với p > 0, ký hiệu Lp = Lp(Ω,F, P) là tập hợp các biến ngẫu nhiên

X, xác định trên (Ω, F, P) sao cho:

- Martingale trên, nếu

(i) Xn là Fn-đo được;

- Martingale, nếu có các điều kiện (i), (ii), và (iii”) với n = 1, 2,

E(Xn|Fn −1) = Xn−1;

Ta đưa ra định nghĩa:

Dãy {Xn,Fn, n ∈ N}, được gọi là martingale suy rộng (đối với {Fn, n ∈

N}), nếu:

(i) {Xn,Fn, n ∈ N} là dãy tương thích

(ii) Xn có kỳ vọng có điều kiện đối với Fn với mọi n ∈ N

(iii) Với m ≤ n, m, n ∈ N

E(Xn|Fm) = Xm.1.3.2 Các ví dụ

E(Sn|Fn −1) = E(Sn −1 + ξn|Fn −1) = Sn −1+ Eξn = Sn −1

Ví dụ 1.3.2 Giả sử (ξn, n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lậpvới Eξn = 1, n ∈ N

E(Xn|Fn −1) = E(Xn −1 × ξn|Fn −1) = Xn −1× Eξn = Xn −1

Ví dụ 1.3.3 Giả sử X là biến ngẫu nhiên nào đó có E|X| < ∞ và(Fn, n ∈ N) là dãy σ- trường con không giảm của A

Khi đó, dãy

Xn = E(X|Fn)

là dãy martingale đối với Fn, n ∈ N Thật vậy, vì An −1 ⊂ Fn ta có:

Xn −1 = E(X|Fn −1) = E(E(X|Fn)|Fn −1) = E(Xn|Fn −1).

Ví dụ 1.3.4 Dễ kiểm tra lại rằng, nếu (ξn, n ∈ N) là dãy các biếnngẫu nhiên không âm có kì vọng hữu hạn, thì các tổng riêng

Xn = ξ0 + + ξn

là dãy martingale dưới đối với Fn = σ(ξ0, , ξn)

Ví dụ 1.3.5 Nếu X = {Xn,Fn, n ∈ N} là martingale và g là hàmlồi với E|g(Xn)| < ∞, n ∈ N, thì {g(Xn),Fn, n ∈ N} là martingale dưới.Thật vậy, theo bất đẳng thức Jensen với m ≤ n ta có:

g(Xm) = g(E(Xn|Fm)) ≤ E(g(Xn)|Fm)

Ví dụ 1.3.6 Tương tự ta có: Nếu X = {Xn,Fn, n ∈ N} là tingale dưới và g là hàm lồi không giảm với E|g(Xn)| < ∞, n ∈ N, thì{g(Xn), Fn, n ∈ N} là martingale dưới

mar-1.3.3 Các tính chất

Tính chất 1.3.7 Nếu X = {Xn, Fn, n ∈ N} là martingale, thì hàmtrung bình EXn không phụ thuộc n ∈ N

Thật vậy, với m ≤ n ta có

EXm = E(E(Xn|Fm)) = EXn.Tính chất 1.3.8 Nếu X = {Xn, Fn, n ∈ N} là martingale dưới, thìhàm trung bình EXn không giảm theo n ∈ N

Thật vậy, với m ≤ n ta có

EXm ≤ E(E(Xn|Fm)) = EXn.Tính chất 1.3.9 Nếu X = {Xn, Fn, n ∈ N} là martingale, thì hàm

E|Xn|p, 1 ≤ p < ∞ không giảm theo n ∈ N

Thật vậy, do |x|p, 1 ≤ p < ∞ là hàm lồi, nên {|Xn|p, Fn, n ∈ N} làmartingale dưới Vì thế, từ tính chất 2 suy ra tính chất 3

1.3.4 Hiệu martingale

Dãy tương thích {ξn,Fn, n ∈ N} được gọi là hiệu martingale, nếu

E|ξn| < ∞ đối với mọi n ∈ N và E(ξn+1|Fn) = 0

Rõ ràng X = {Xn,Fn, n ∈ N} là martingale khi và chỉ khi {ξn,Fn, n ∈

N} là hiệu martingale, trong đó

1.3.5 Định lý Burkholder và Định lý Fubini

Bất đẳng thức sau đây được chứng minh bởi Burkholder [12]

Định lý 1.3.10 ([12]) Nếu (Sn,Fn, n ≥ 1) là dãy martingale và

p > 0 thì tồn tại hằng số dương C chỉ phụ thuộc p sao cho

E(max

(E[

trong đó X1 = S1, Xj = Sj − Sj −1 với j ≥ 2

Định lý 1.3.11 (Định lý Fubini, xem [1] và [9]) Giả sử (Ω1,F1, P1)

và (Ω2,F2, P2) là hai không gian xác suất Khi đó tồn tại duy nhất một

độ đo xác suất P trên σ- đại số F sinh bởi F1 × F2 sao cho với mọi

XdP2)dP1

1.4 CHUẨN Lp(0 < p ≤ ∞) TRÊN KHÔNG GIAN HÀMPHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊNCÙNG XÁC ĐỊNH TRÊN MỘT KHÔNG GIAN XÁC SUẤTTrong toàn bộ nội dung đề tài này luôn giả thiết (Ω, F, P) là khônggian xác suất đầy đủ Với X và Y là hai biến ngẫu nhiên có hàm phânphối xác suất lần lượt là FX và FY.

Ta nhắc lại hai chuẩn Lp (0 < p < ∞)và L∞ trên không gian hàmphân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên mộtkhông gian xác suất:

trong đó Λ1 là tập tất cả hàm 1- Lipsit từ R vào R

Ta có mối liên hệ giữa hai chuẩn L1 và L∞ như sau:

Định lý 1.4.2 Nếu hàm mật độ xác suất của Y bị chặn bởi hằng

số dương C thì,

kFX − FYk∞ ≤ 2pC kFX − FYk1.Đặc biệt nếu Y có phân phối chuẩn tắc với hàm phân phối xác suất Φ(x)thì,

P (X ≤ t)−P (Y ≤ t) = E(g1(X))−E(g1(Y ))+E(g1(Y ))−P (Y ≤ t).

Vì ε.g1 là hàm 1- Lipsit và E(g1(Y ))− P (Y ≤ t) ≤ Cε nên ta có:

E(ε.g1(X))− E(ε.g1(Y )) ≤ kFX − FYk (1.1)Tương tự như trên đối với hàm g2 ta có:

E(ε.g2(X))− E(ε.g2(Y )) ≤ kFX − FYk (1.2)Kết hợp (1.1) và (1.2) và Định lý 1.4.1 ta được điều phải chứngminh

Với f và g là các hàm số xác định trên R, ta định nghĩa tích chập

f ∗ g của f và g như sau:

Chứng minh Kết luận hiển nhiên đúng trong trường hợp 2p|X) ∞ =

Z ∞

−∞|Φ(t) − Φ(t − α)| dt + kFX+η − Φk1 (1.4)Trước hết ta xét biểu thức thứ nhất bên phải của của (1.4)

Mặt khác,

P (X + η ≤ t) =E(I(X ≤ t − a)P (η ≤ t − X|X))

+ E(I(t− a < X ≤ t + a)P (η ≤ t − X|X))+ E(I(X > t + a)P (η ≤ t − X|X))

≤ P (X ≤ t − a) + P (t − a < X ≤ t + a)+ E(I(X > t + a)P (η ≤ t − X|X))

≤ P (X ≤ t − a) + P (t − a < X ≤ t + a)+ γE((t− X)−2pI(X > t + a)),

nên ta có,

P (X + η ≤ t)−P (X ≤ t − a)

≤ P (t − a < X ≤ t + a)+ γE((t− X)−2pI(X > t + a))

Z ∞

−∞

(P (X ≤ t − a) − P (X + η ≤ t))+dt

≤ 2a + 2(2p − 1) γ

a2p −1 (1.7)Tiếp theo ta xét biểu thức thứ hai bên vế phải của (1.4)

Bổ đề 1.4.5 Cho ψ : R → R là hàm số thỏa mãn kψk∞ < ∞ và

kψ′k∞ < ∞ Với X là biến ngẫu nhiên tùy ý, ta có

|E(ψ(X))| ≤ kψ′k∞|FX − Φ|1 + kψk∞.Chứng minh Dễ dàng ta có

|E(ψ(X)) − E(ψ(N))| =

=

)dt

ϕ′′(t− Uλmm − θm

Xm

λms)

)dt+

ϕ′′(t− Uλmm − θ′m Zm

λms)

)dt

Chứng minh Lấy Z1, Z2, , Zn và η là các biến ngẫu nhiên độc lập cóphân phối chuẩn với kì vọng 0 và phương sai V ar(Zj) = V ar(η) = σ2.Đặt

Kết hợp (2.5) và (2.6), Định lý hoàn toàn được chứng minh

Hệ quả 2.2.4 Cho 0 < γ < ∞ Nếu (Xn; n ≥ 1) có cùng phân phốixác suất, E(|X1|3) ≤ γ và E(X2

n/Fn −1) = σ2 h.c.c thì tồn tại hằng số

C = C(σ, γ) ∈ (0, ∞) sao cho

kFn − Φk1 ≤ √C

n.

Định lý 2.1.2 (Định lý giới hạn trung tâm theo trung bình) Nếu(Xn; n ≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên độc... σ2 hữu hạn thì,

2.2 TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚIHẠN TRUNG TÂM THEO TRUNG BÌNH ĐỐI... VỚI

TỔNG DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN

HIỆU MARTINGALE< /h3>

2.1 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM

Cho (Xn; n ≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phốixác