Phần mềm toán học maple và ứng dụng trong dạy và học hình học giải tích

QUY TRÌNH DẠY HỌC MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH .... Mô phỏng tiến trình dạy học bài toán hình giải tích trong không gian .... Chương trình giải một số bài toán hình học giải tích t

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN

Đà Nẵng - Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

                       Nguyễn Trần Ngọc Trúc 

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU   1 

  1. Lý do chọn đề tài   1 

  2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu   2 

  3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu   2 

  4. Phương pháp nghiên cứu   2 

  5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài   2 

  6. Cấu trúc của luận văn   2 

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÌNH HỌC GIẢI TÍCH   3 

1.1. HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG   3 

  1.1.1. Tọa độ trong mặt phẳng   3 

  1.1.2. Phương trình đường thẳng   7 

  1.1.3. Phương trình đường tròn   11 

  1.1.4. Elip   12 

1.2. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN   13 

  1.2.1. Tọa độ trong không gian   13 

  1.2.3. Mặt cầu   20 

CHƯƠNG 2: GIỚI THIỆU PHẦN MỀM TOÁN HỌC MAPLE   21 

2.1.  GIỚI THIỆU VỀ PHẦN MỀM TOÁN HỌC MAPLE   21 

2.2. CẤU TRÚC VÀ GIAO DIỆN   21 

2.3. LƯU TRỮ VÀ TRÍCH XUẤT DỮ LIỆU   22 

2.4. CÁC THAO TÁC ĐẦU TIÊN   22 

  2.4.1. Nhập biểu thức   22 

  2.4.2. Các toán tử, hàm và hằng   23 

  2.4.3. Tính giá trị thập phân của biểu thức   23 

  2.4.4. Phép gán   23 

  2.4.5. Biến tự do và biến ràng buộc   24 

  2.5.1. Hàm khai triển biểu thức đại số   24 

  2.5.2. Hàm phân tích biểu thức thành thừa số   24 

  2.5.3. Hàm tối giản phân thức   24 

  2.5.4. Hàm đơn giản biểu thức   25 

  2.5.5. Hàm chuyển đổi dạng biểu thức  25 

2.6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH   25 

  2.6.1. Giải phương trình   25 

  2.6.2. Giải hệ phương trình   26 

2.7. MAPLE VỚI HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ   26 

  2.7.1. Định nghĩa hàm số   26 

  2.7.2. Vẽ đồ thị hàm số đơn giản   26 

2.8. GÓI LỆNH HÌNH GIẢI TÍCH   28 

  2.8.1. Gói lệnh hình giải tích trong hình học phẳng   28 

  2.8.2. Gói lệnh hình giải tích trong không gian   41 

2.9. LẬP TRÌNH TRÊN MAPLE   49 

  2.9.1. Lệnh nhập xuất dữ liệu   49 

  2.9.2. Xây dựng thủ tục   50 

  2.9.3. Lưu và nạp thủ tục   50 

  2.9.4. Các cấu trúc điều khiển   50 

CHƯƠNG 3:  ỨNG DỤNG MAPLE TRONG DẠY VÀ HỌC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH   52 

3.1. QUY TRÌNH DẠY HỌC MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI  TÍCH   52 

  3.1.1. Mô phỏng tiến trình dạy học bài toán hình giải tích trong hình  học phẳng   52 

  3.1.2. Mô phỏng tiến trình dạy học bài toán hình giải tích trong không 

gian   59 

3.2. XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH  HỌC GIẢI TÍCH  63 

  3.2.1. Chương trình giải một số bài toán hình học giải tích trong mặt  phẳng     63 

  3.2.2. Chương trình giải một số bài toán hình học giải tích trong hình  học không gian.   82 

CHƯƠNG 4: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM   112 

4.1. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN   112 

4.2. TIẾN HÀNH DẠY THỰC NGHIỆM   112 

4.3. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM   114 

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ   116  TÀI LIỆU THAM KHẢO 

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao)

2.10.  Đường phân giác của tam giác  36 2.11.  Đường tròn đi qua ba điểm  37 2.12.  Đường tròn đường kính AB  38 2.13.  Tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm  39 2.14.  Tiếp tuyến đi qua một điểm nằm ngoài đường tròn  39 2.15.  Đường tròn nội tiếp tam giác ABC  40 

3.3.  Minh họa đường cao BH  68 

3.5.  Hai đường thẳng vuông góc  70 3.6.  Hai đường thẳng song song  70 3.7.  Mô tả hình chiếu điểm lên đường thẳng  71 3.8.  Mô tả điểm đối xứng qua đường thẳng  71 3.9.  Mô tả giao điểm của hai đường thẳng  72 

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Việc  ứng  dụng  công  nghệ  thông  tin  trong  ngành  giáo  dục  đã  được Đảng, Nhà nước và Bộ giáo dục đặc biệt quan tâm. Công nghệ thông tin đóng vai trò như một công cụ mô phỏng sinh động cho các bài học phục vụ cho việc  dạy  và  học  của  người  dạy  và  người  học. Với  sự  xuất  hiện  ngày  càng nhiều  các  phần  mềm  toán  học  như  Mathematica,  Maple,  Cabri  Geometry, Geometer’s  Sketchpad,  Mathcad,…  với  chức  năng  phong  phú  và  khả  năng giải toán của phần mềm toán học với độ chính xác cao, thì người dạy học toán 

và làm toán phải biết tận dụng thế mạnh của phần mềm máy tính nhằm phục 

vụ cho nghiệp vụ của mình. Bên cạnh đó, việc ứng dụng phần mềm toán học 

ở trường phổ thông trung học còn hạn chế. 

Đặc biệt, trong môn hình học với đặc thù riêng chương trình Maple sẽ giúp ích rất nhiều trong việc dạy và giải một số bài toán hình học giải tích. Không những vậy, hình  học giải tích là một trong những vấn đề thường có mặt trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và các kỳ thi học sinh giỏi. Vì vậy, việc ứng dụng maple làm công cụ hỗ trợ trong dạy và học toán sẽ giúp cho học sinh trong việc tìm hướng giải của một số bài toán hình học giải tích. 

Với  thực trạng trên,  bên cạnh sự  phát triển của  công nghệ  thông  tin, việc  ứng dụng một số phần mềm dạy học  vào  giảng dạy là cần thiết. Phần mềm dạy và học toán nói chung, tính toán và lập trình giảng dạy học toán nói 

riêng, phần mềm toán học MAPLE là phần mềm đáp ứng các yêu cầu trên. 

Với  các  lý do  như  trên  cũng  như  dưới  sự  định  hướng của  thầy  Trần  Quốc 

Chiến, tôi đã chọn đề tài: “Phần mềm toán học MAPLE và ứng dụng trong dạy và học hình học giải tích” để nghiên cứu. 

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Tạo hứng thú cho học sinh khi học hình học giải tích bằng cách minh họa hình ảnh một cách trực quan bằng Maple. 

- Xây dựng phương pháp ứng dụng vào các bài toán và ứng dụng của Maple trong giảng dạy hình học giải tích một cách phù hợp. 

thống kiến thức để phục vụ cho đề tài

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

  Làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn về phần mềm maple và các ứng dụng của nó. 

Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy. 

6 Cấu trúc của luận văn

Nội dung luận văn ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn được chia thành bốn chương: 

O

i



b Tọa độ của vectơ và biểu thức tọa độ của toán vectơ

* Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục

Cho điểm M nằm trên trục (O;  i). Khi đó có duy nhất một số m sao cho 

OM mi . Số m gọi là tọa độ của M đối với trục (O;  i) (nó cũng là tọa độ của 

Số x gọi là tọa độ của  vectơ  u đối với trục (O;  i). 

* Độ dài đại số của vectơ trên trục

     Cho A, B nằm trên trục (O; i). Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a i. 

Ta gọi số a là độ dài đại số của AB đối với trục đã cho. 

Nhận xét

+ Nếu vectơ AB cùng hướng với vectơ ithì AB = AB 

+ Nếu vectơAB ngược hướng với vectơ i thì AB= AB 

+ Nếu hai điểm A và B trên trục (O;  i) có tọa độ lần lượt là a và b thì  AB = b   a 

Tính chất: AB BC AC   (hệ thức Salơ)

* Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ

Đối với hệ trục (O;  i; j), nếu  a=x i + y j thì  cặp số (x;y) là toạ độ của 

a. Ký hiệu a= (x ; y) hoặc a(x ; y) 

Tọa độ trọng tâm tam giác ABC: nếu A(x A ; y A ), B(x B ; y B ), C(x C ; y C). Khi 

đó tọa độ trọng tâm G(x G ; y G) được tính theo công thức: 

  3. Cho hai điểm A(x A  ; y A ), B(x B ; y B ). Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB  theo tỉ số k 1, thì M(x M  ; y M) có tọa độ là 

k

kx x

x A B

M  1  ;  

k

ky y

y A B

M  1       (nếu k = 1 thì M là trung điểm AB) 

4. Ba điểm A(x A  ; y A ) , B(x B  ; y B ), C(x C  ; y C) thẳng hàng  AB cùng phương với AC AC k AB k  ( ). 

 b

=  a 'b

* Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

Cho a  = (x, y), b = (x', y'); M(x M , y M ), N(x N , y N), ta có  a.b = x.x' + y.y'  

|a| =  x2+ y2  ;      cos (a,b) =  2 + 2 ' 2 + ' 2

' + '

y x y x

a Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của đường thẳng

* Vectơ chỉ phương của đường thẳng

(Với mỗi vectơ  AB0, đường thẳng AB được gọi là giá của vectơ AB) 

* Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Định nghĩa.  Một  vectơ  n  được  gọi  là  vectơ  pháp  tuyến của  đường 

thẳng d nếu  n 0 và giá của n vuông góc với d. 

Nhận xét

+ Nếu n là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d thì mọi vectơ k n, k0, cũng 

là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d. Do đó d có vô số vectơ pháp tuyến.       + Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n 

tuyến  n

=(a; b) là:    a.(x   x0) + b.(y   y0) = 0. 

Phương  trình  tổng  quát  của  đường  thẳng  đi  qua  hai  điểm  A(x A ;  y A), 

B(x B ; y B) là: (y By x x A)(  A) (  x B x y y A)(  A) 0   

Một số dạng đặc biệt

+ Đường thẳng by + c = 0 song song hoặc trùng trục Ox. 

c Phương trình tham số của đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng d qua M(x0; y0) và có vectơ chỉ 

f Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

* Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng Cho  đường  thẳng    có 

phương  trình  tổng quát  là ax  +  by +  c  =  0  và  một  điểm  M(x0;  y0). Khi đó 

b Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Định nghĩa Xét đường tròn (C): (x - a)2 + (y - b)2  = R2 có tâm I(a; b) và bán  kính R. Đường thẳng △: Ax + By + C = 0, (A2 + B2 > 0). Đường thẳng △ được 

gọi là tiếp tuyến với đường tròn (C) nếu △ có duy nhất một điểm chung với  (C) hay khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn. 

- Tiếp tuyến với đường tròn tại điểm M (x M ; y M): 

Ta có IM ⊥ △ nên △ là đường thẳng đi qua M (x M ; y M) và có vectơ pháp tuyến IM= (x M  – a; y M – b) nên đường thẳng △ có phương trình là:  

 (x M – a).( x – x M ) + (y M – b).(y – y M) = 0. 

Điểm M (x M ; y M) được gọi là tiếp điểm. 

- Xác định tiếp tuyến △ của đường tròn (C) đi qua điểm M (x M ; y M) cho trước nằm ngoài đường tròn. 

Đường thẳng △ đi qua M (x M ; y M) có phương trình tổng quát là: 

Vậy (E) = {M| MF1 + MF2 = 2a} 

+ Hai điểm cố định F1, F2 được gọi là tiêu điểm. 

+ Khoảng cách F1F2 = 2c được gọi là tiêu cự. 

+ Đường thẳng F1F2 được gọi tiêu trục. 

+ Các đoạn thẳng MF1; MF2 được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M.  Trong đó, MF1 = a cx

c Tâm sai và bán kính qua tiêu của Elip

     Một điểm M (x0; y0) ∈ (E) ta có tính chất MF1 = a + e.x0 và 

MF2 = a – e.x0 được gọi là bán kính qua tiêu điểm của (E). 

1.2 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

1.2.1 Tọa độ trong không gian

a Hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian

Định nghĩa. Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là 

hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian (hay còn gọi là hệ tọa độ trong 

không gian). Kí hiệu là Oxyz. 

Điểm O gọi là gốc của hệ tọa độ (gốc tọa độ), Ox gọi là trục hoành, Oy  gọi là trục tung, Oz gọi là trục cao. 

b Tọa độ của vectơ Hình 1.4 Hệ trục tọa độ Oxyz

Định nghĩa Trong  không  gian  tọa  độ  Oxyz  với  các  vectơ  đơn  vị  là 

, ,

i j k

  

 trên các trục, cho một vectơ u. Khi đó, có bộ ba số duy nhất (x; y; z) 

sao cho u xi y j zk    . Bộ ba số đó cũng được gọi là tọa độ của vectơ u đối 

với hệ tọa độ Oxyz và kí hiệu  u= (x; y; z) hoặc u (x; y; z)

0;0;1

k  

O 

z

x

y

1.2.2 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

a Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vectơ n 0 gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (∝) nếu giá của  n vuông góc với mặt phẳng (∝).  

Nếu n  là vectơ pháp  tuyến của  mặt phẳng(∝) thì k n  (k≠ 0) cũng là 

vectơ pháp tuyến của mặt phẳng(∝).       

Hình 1.5 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

b Phương trình tổng quát của mặt phẳng

+ A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ 0 khi và chỉ khi ( )   song song với trục Ox. 

+ A = 0, B = 0, C ≠ 0, D ≠ 0 khi và chỉ khi ( )   song song mặt phẳng (Oxy).  + A, B, C, D≠ 0, đặt  a D A , b D B ,c C D. Khi  đó( ) : x y z 1

1 2

1 2

1

D

D C

C B

B A

A     ⇔ (P) // (P’) 

2

1 2

1 2

1 2

1

D

D C

C B

B A

A    ⇔  (P) ≡ (P’)  Đặc biệt. (P)  (P’)  n n 1 2  0 A A B B C C ' '  ' 0    

d Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Định nghĩa Phương  trình  tham  số  của  đường  thẳng  ∆  đi  qua  điểm 

* Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d qua  M(x0; y0; z0) có vectơ chỉ phương a ( ; ; )a a a1 2 3 và (α): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến 

* Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Khoảng cách từ M(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 

* Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng  cách  từ  M  đến  đường  thẳng  (∆)  đi  qua  M0  và  có  vectơ  chỉ 

* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng ∆ và ∆’ chéo nhau với ∆ đi qua M(x0; y0; z0); có vectơ  chỉ  phương  a( ; ; )a a a1 2 3 ,  ∆’  đi  qua  M’(x’0;  y’0;  z’0);  có  vectơ  chỉ phương a' ( ' ; ' ; ' ) a a a1 2 3  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và 

∆’ được xác định bởi công thức: 

[ , '] '( , ')

[ , ']

a a MM d

* Góc giữa hai đường thẳng

Cho  đường  thẳng  ()  đi  qua    M(x0;  y0;  z0)  có  vectơ  chỉ  phương 

1 2 3

( ; ; )

a  a a a và  đường  thẳng  (’)  đi  qua  M’(x’0;  y’0;  z’0)  có  vectơ  chỉ phương  a' ( ' ; ' ; ' ) a a a1 2 3   Góc φ là  góc  giữa  hai đường  thẳng  và ’, φ được xác định bởi công thức: 

1.2.3 Mặt cầu

a Phương trình mặt cầu

Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R, kí hiệu S(I; R) có phương  trình là: (x - a)2  + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 

d = R ⟺ ∆ tiếp xúc (S) tại H. Ta nói ∆ là tiếp tuyến của mặt cầu S(I; R) tại H. 

d < R ⟺ ∆ cắt (S) bởi hai điểm A, B. 

CHƯƠNG 2

GIỚI THIỆU PHẦN MỀM TOÁN HỌC MAPLE

2.1 GIỚI THIỆU VỀ PHẦN MỀM TOÁN HỌC MAPLE

Maple là hệ thống tính toán trên các biểu thức đại số và minh họa toán học mạnh mẽ của công ty Warterloo Maple Inc. (http://www.maplesoft.com). Cài đặt Maple đơn giản và chạy được trên tất cả các hệ điều hành có cấu trúc linh hoạt để sử dụng tối ưu cấu hình của  máy và đặc biệt có phần trợ giúp (Help) dễ sử dụng. Maple cung cấp nhiều công cụ trực quan, các gói lệnh gắn liền với toán học phổ thông và đại học. Maple có thể thực hiện hầu hết các phép  toán cơ  bản trong  chương  trình toán học,  cung cấp  các công  cụ minh họa, hình học tĩnh và động. Mô phỏng các mô hình toán học mà con người ta khó có thể thực hiện được bằng cách thủ công. Maple cũng là một ngôn ngữ lập trình đơn giản và mạnh mẽ có khả năng tương tác với các ngôn ngữ lập trình khác, cho phép trích xuất ra các định dạng khác nhau như LaTex, Word, HTML, Maplet  Maple còn là công cụ soạn giáo án điện tử, trình diễn, soạn câu hỏi trắc nghiệm … 

2.2 CẤU TRÚC VÀ GIAO DIỆN

Sau khi khởi động Maple, đầu tiên mở một trang (Worksheet) mới bằng cách chọn New/File. Trên trang màn hình hiện cửa sổ làm việc của Maple với dấu nhắc [>.Dấu nhắc [> được gọi là prompt, sau đó ta có thể gõ các phép tính, công thức yêu cầu Maple thực hiện.  

Các dữ liệu được lưu trữ trong thư viện của Maple và được chia làm hai nhóm: Nhóm lệnh cơ bản và nhóm các gói lệnh. Muốn gọi gói lệnh phải nạp bằng >with(gói lệnh cần mở):. Giao diện của Maple dễ sử dụng, cho phép ta soạn thảo văn bản, gõ dạng công thức toán học. Sau khi gõ lệnh và ấn enter thực  hiện  lệnh  thì  kết quả  hiện  ra  ngay  sau  dưới dòng  lệnh.  Giao  diện  của phần Maple như sau: 

Hình 2.1 Giao diện Maple

2.3 LƯU TRỮ VÀ TRÍCH XUẤT DỮ LIỆU

Trang làm việc của Maple được lưu dưới dạng tệp (file) có phần mở rộng .mws. Lưu file dữ liệu bằng File/Save, và mở file có trên đĩa bằng cách File/Open. Ngoài việc lưu và mở như trên thì Maple còn chức năng trích xuất 

dữ  liệu  thành  các  định  dạng  khác  như  word,  latex,  HTML,  Maplet Trích xuất bằng các vào File/Export/<dạng dữ liệu cần xuất>. 

2.4 CÁC THAO TÁC ĐẦU TIÊN

2.4.1 Nhập biểu thức

Dữ liệu: Maple cho phép ta nhập ba loại dữ liệu : Lệnh, công thức và văn bản. Để chọn kiểu lệnh nhắp chuột vào nút [> ( hoặc nhấn tổ hợp phím Ctrl + M), để chọn kiểu công thức ta nhắp chuột nút Math ( hoặc Ctrl + R), để chọn kiểu văn bản nhắp chuột nút T ( hoặc Ctrl + T). 

Thực hiện lệnh: Mỗi lệnh trong Maple phải kết thúc bởi dấu chấm phẩy (;) hoặc dấu hai chấm (:). Nhấn Enter để thực hiện lệnh trên dòng con trỏ Nếu kết thúc bằng dấu chấm phẩy (;), thì kết quả hiển thị trên màn hình. 

Nếu kết thúc lệnh bằng dấu hai chấm (:), thì kết quả không hiển thị trên màn hình. Nhấn Shift + Enter để nối lệnh với dòng tiếp theo. 

2.4.5 Biến tự do và biến ràng buộc

Các biến  của Maple  ở hai trạng thái:  Biến tự  do  (biến  chưa  được  sử dụng), biến ràng buộc (biến đã được sử dụng). 

Lệnh  restart; Phục  hồi trạng  thái  khởi  động  trong đó,  giải phóng  các 

> restart;f:=(x^2-2)/(x-sqrt(2)); 

> normal(f); 

+ Hàm PerpendicularLine(d, A, l): phương trình đường thẳng d, đi qua A và  vuông góc với đường thẳng l cho trước. 

+ Hàm ParallelLine(d, A, l): phương trình đường thẳng d qua điểm A và song  song với đường thẳng l cho trước. 

Hình 2.5 Đường thẳng qua hai điểm A, B

b) Đường thẳng l được xác định bởi phương trình tổng quát eqn của nó: 

Hình 2.6 Hai đường thẳng vuông góc

d)  Viết  phương  trình  đường  thẳng  d  qua  điểm  A  và  song  song  với  đường  thẳng l cho trước: 

> ParallelLine(d, A, l); Equation(d, [x, y]); draw([l(style = line, color = green, thickness = 3), d(style = line, color = red, thickness = 3)], axes = none, printtext = true, title = `HINH VE MINH HOA`); 

>