Hàm sinh mũ và ứng dụng giải bài toán đếm trong tổ hợp

Tuy nhiên, cho đến khoảng giữa thế kỉ XVII, lí thuyết toán rời rạc mới được hình thành như một ngành toán học bằng một loạt các công trình nghiên cứu nghiêm túc của các nhà toán học xuất

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KH TRẦN QUỐC CHIẾN

Đà Nẵng – Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Duyên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

3 Mục đích nghiên cứu 1

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp và cách tiếp cận nghiên cứu 2

6 Tính mới và sáng tạo 2

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

CHƯƠNG 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP 4

1.1 NGUYÊN LÍ CỘNG VÀ NGUYÊN LÍ NHÂN 4

1.1.1 Nguyên lí nhân 4

1.1.2 Nguyên lí cộng 5

1.2 CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN 7

1.2.1 Chỉnh hợp lặp 7

1.2.2 Chỉnh hợp không lặp 8

1.2.3 Hoán vị 9

1.2.4 Tổ hợp 9

1.3 CẤU HÌNH TỔ HỢP MỞ RỘNG 10

1.3.1 Hoán vị lặp 10

1.3.2 Tổ hợp lặp 12

1.3.3 Phân hoạch thứ tự tổ hợp 13

1.3.4 Phân hoạch không thứ tự 15

1.4 PHÂN HOẠCH CỦA TẬP HỢP SỐ STERLING LOẠI HAI VÀ SỐ BELL 16

CHƯƠNG 2 HÀM SINH MŨ 18

2.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA 18

2.2 CÁC ĐỊNH LÝ 21

2.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SINH MŨ 23

2.3.1 Các hàm sinh bằng nhau 23

2.3.2 Phép nhân hàm sinh mũ với một hằng số 23

2.3.3 Phép cộng các hàm sinh mũ 24

2.3.4 Phép nhân các hàm sinh mũ 25

2.3.5 Phép lấy đạo hàm hàm sinh mũ 26

2.3.6 Phép lấy nguyên hàm, tích phân hàm sinh mũ 27

2.4 PHƯƠNG PHÁP ĐẾM SỬ DỤNG HÀM SINH MŨ 27

2.4.1 Nội dung phương pháp đếm sử dụng hàm sinh mũ 27

2.4.2 Phương pháp đếm số cách chọn r phần tử từ một tập hợp n phần tử 28

2.5 MỘT SỐ HÀM SINH MŨ THƯỜNG GẶP 29

2.6 MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN CỦA HÀM SINH MŨ 30

2.6.1 Thiết lập hàm sinh mũ của một dãy số đã cho 30

2.6.2 Xác định dãy số khi đã cho hàm sinh mũ của nó 31

2.6.3 Xác định số hạng a r của dãy số( )a r r khi biết hàm sinh của ( )a r rlà tổng/hiệu/tích các hàm sinh mũ quen thuộc 33

2.6.4 Chứng minh một đẳng thức bằng hàm sinh mũ 35

2.6.5 Giải công thức truy hồi tuyến tính bằng hàm sinh mũ 36

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG HÀM SINH MŨ GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM TRONG TỔ HỢP 39

3.1 SỐ CÁC MẤT THỨ TỰ CỦA MỘT TẬP HỢP 39

3.2 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SINH MŨ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HOÁN VỊ 44

3.3 BÀI TOÁN ĐẾM SỐ DÃY R SỐ HẠNG LẤY TỪ TẬP N PHẦN TỬ.49

3.4 ĐẾM SỐ PHƯƠNG ÁN PHÂN PHỐI N VẬT KHÁC NHAU VÀO M Ô

PHÂN BIỆT 52

3.5 ĐẾM SỐ CÁC PHÂN HOẠCH CỦA TẬP HỢP, SỐ STERLING LOẠI HAI .55

3.6 SỐ BELL 60

3.8 SỐ FIBONACCI VÀ SỐ LUCAS 68

KẾT LUẬN 75

TÀI LIỆU THAM KHẢO 76 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tư duy về toán rời rạc ra đời rất sớm Tuy nhiên, cho đến khoảng giữa thế kỉ XVII, lí thuyết toán rời rạc mới được hình thành như một ngành toán học bằng một loạt các công trình nghiên cứu nghiêm túc của các nhà toán học xuất sắc như Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler…

Lí thuyết tổ hợp là một phần quan trọng của toán rời rạc, chuyên nghiên cứu sự phân bố các phần tử vào các tập hợp Thông thường các phần tử này là hữu hạn và việc phân bố chúng phải thỏa mãn những điều kiện nhất định nào

đó Mỗi cách phân bố như vậy được gọi là một cấu hình tổ hợp Một trong những vấn đề đầu tiên của việc nghiên cứu tổ hợp là đếm (có thể liệt kê) xem

có bao nhiêu cấu hình được tạo ra với những quy tắc đã nêu? Để đếm chính xác, ta phải phân biệt được các cấu hình dựa vào các luật xây dựng chúng Vì vậy có thể xem các bài toán đếm là những bài luyện tập đầu tiên để ta có thể làm quen với tư duy tổ hợp Bài toán đếm có nội dung rất phong phú kể cả dạng phát biểu lẫn cách giải Một trong những phương pháp giải bài toán đếm phải kể đến đó là ứng dụng hàm sinh ( hàm sinh thường và hàm sinh mũ) để giải Phương pháp này đã đưa bài toán tổ hợp về bài toán sử dụng các tính chất của hàm số để giải Những điều này đã gây hứng thú cho tôi Vì vậy mà tôi đã chọn nó làm hướng nghiên cứu chính cho luận văn của mình với tên đề

tài là: Hàm sinh mũ và ứng dụng giải bài toán đếm trong tổ hợp

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán đếm trong tổ hợp Hàm sinh mũ và ứng dụng hàm sinh mũ giải một số bài toán đếm trong tổ hợp

3 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu hàm sinh mũ cùng các ứng dụng của nó Thông qua đó

giúp chúng ta giải các bài toán đếm tổng quát cũng như chứng minh được nhiều công thức mà có thể sử dụng vào giải các bài toán đếm trong phạm vi cho phép Từ đó có thể xây dựng phương pháp này cho các em học sinh vận dụng vào quá trình học tập chuyên đề tổ hợp

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đọc, nghiên cứu hàm sinh mũ cùng các ứng dụng của nó Nêu phương pháp và giải các bài toán đếm bằng cách sử dụng hàm sinh mũ

5 Phương pháp và cách tiếp cận nghiên cứu

Trong phạm vi của đề tài có sử dụng các kiến thức thuộc các lĩnh vực hàm số, chuỗi lũy thừa, dãy số, phương trình, tổ hợp ,… Phương pháp nghiên cứu là đi từ lí thuyết về hàm sinh mũ, từ việc xây dựng phương pháp giải các bài toán đếm tổng quát nhằm giúp học sinh tư duy tốt hơn trong quá trình học tập của mình

6 Tính mới và sáng tạo

Có những bài toán đếm được giải bằng nhiều cách khác nhau, và cũng

có những bài toán đếm nếu sử dụng các phương pháp hàm sinh mũ thì giải ngắn gọn, đơn giản Thông qua các bài toán mang tính tổng quát, chúng ta có thể đưa ra nhiều bài toán áp dụng rất hiệu quả

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có giá trị về mặt thực hành, vận dụng một số tính chất về hàm sinh mũ để giải toán Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo giúp giáo viên tổng quát hóa hay cụ thể hóa một số bài toán trong lĩnh vực tổ hợp đồng thời xây dựng được phương pháp giải chung cho từng dạng toán đó

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, tài liệu tham khảo thì nội dung của luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1 Đại cương về tổ hợp: trình bày một số kết quả cơ bản về tổ hợp

CHƯƠNG 1

ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP

Trong chương này, tác giả trình bày một số quy tắc đếm cơ bản và các định nghĩa liên quan trong các bài toán đếm Các kiến thức trong chương

1 có thể xem tại các tài liệu [1], [3], [5], [7], [8]

1.1 NGUYÊN LÍ CỘNG VÀ NGUYÊN LÍ NHÂN

1.1.1 Nguyên lí nhân

Ví dụ 1.1.1

Bé Linh có 5 cái nón khác nhau, 7 bộ quần áo đi học khác nhau, 6 đôi dép khác nhau Mỗi sáng đi học, bé Linh chọn cho mình một bộ trang phục gồm 1 mũ, 1 bộ quần áo và 1 đôi dép Hỏi bé Linh có bao nhiêu cách chọn một bộ trang phục để đi học?

Giải: Số cách chọn có thể được tính như sau:

5 (cách chọn một cái mũ) * 7 (cách chọn một bộ quần áo) * 6(cách chọn một đôi dép) = 210 (cách thực hiện)

Nguyên lý nhân: Giả sử một cấu hình tổ hợp được xây dựng qua k

bước, bước 1 có thể thực hiện n1 cách, bước 2 có thể thực hiện n2 cách,

bước k có thể thực hiện n k cách Khi đó số cấu hình tổ hợp là:

1 2 k

Ví dụ 1.1.2

Cho tập S = {x1; x2; ; x k } Đếm số tập con của S

Giải: Mỗi tập con của S có thể được xây dựng trong n bước kế tiếp như

sau:

- Nhặt hoặc không nhặt x1: có 2 cách thực hiện

- Nhặt hoặc không nhặt x2: có 2 cách thực hiện

- Nhặt hoặc không nhặt x k: có 2 cách thực hiện

Như vậy, số tập con là: 2.2 .2 = 2k

Điều kiện : eÎ{0,2,4,6,8} và các chữ số a,b,c,d,e khác nhau, thuộc X

Do đó ta có cách giải như sau:

b) Chọn 1 nam có 15 cách, chọn 1 nữ có 17 cách Để chọn 2 học sinh gồm 1 nam và 1 nữ, có 15 17 = 255 cách

c) Chọn 2 học sinh giỏi trong 10 học sinh giỏi :

Chọn em thứ nhất có 10 cách, chọn em thứ hai có 9 cách, tuy nhiên cả 2 học sinh này cùng đi cắm trại không phân biệt thứ tự trước sau nên số cách chọn là : 10.9 : 2 = 45

Một chỉnh hợp chập k của n có thể xem như một phần tử của tích Đề - các

X k với X là tập n phần tử Như vậy số tất cả các chỉnh hợp lặp chập k của n là

AR(n,k) = n k

Ví dụ 1.2.1

Tính số ánh xạ đi từ tập X có k phần tử vào tập Y có n phần tử

Giải : Mỗi ánh xạ từ X vào Y tương ứng là một bộ có thứ tự k thành

phần của n phần tử của Y, các phần tử có thể lặp lại Như vậy số ánh xạ đi từ

Giải : Mỗi kết quả là một chỉnh hợp lặp chập 5 của 10, vậy có 105 cách



1.2.2 Chỉnh hợp không lặp

Định nghĩa 1.2.2: Một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử khác

nhau là một bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho, các thành

phần không được lặp lại

Một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử có thể được xây dựng qua n bước kế tiếp như sau:

Giải : Mỗi đơn ánh từ X vào Y tương ứng với một chỉnh hợp không lặp

chập k của n Như vậy có A(n;k) = n.(n – 1) … (n – k + 1)



Ví dụ 1.2.4

Tổ toán trường THPT Nguyễn Thái Bình có 14 giáo viên, trong đó có

1 phó hiệu trưởng, tất cả đã giảng dạy từ 3 năm trở lên Ông hiệu trưởng có bao nhiêu cách bổ nhiệm 1 tổ trưởng và 1 tổ phó, biết phó hiệu trưởng không làm các chức vụ này

Giải: Mỗi cách chọn ra 1 tổ trưởng và 1 tổ phó, biết phó hiệu trưởng

không làm các chức vụ này, là một chỉnh hợp không lặp chập 2 của 13 phần

tử Như vậy số cách chọn là: A(13;2) = 156 cách

1.2.3 Hoán vị

Định nghĩa 1.2.3: Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách

sắp xếp thứ tự các phần tử đó

Hoán vị có thể coi như trường hợp riêng của chỉnh hợp không lặp chập

k của n, trong đó k = n Vậy số các hoán vị của n phần tử là:

a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

b) Có bao nhiêu cách xếp sao cho 5 nữ đứng cạnh nhau?

Định nghĩa 1.2.4: Một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một

bộ không kể thứ tự gồm k thành phần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho

Giải :

Chọn 4 người nhóm I có C(7;4) cách, chọn 5 người nhóm II có C(25;5) cách, chọn 1 người nhóm III có C(24;1) cách Vậy ông hiệu trưởng có C(7;4) C(25;5).C(24;1) cách phân công 10 giáo viên làm công tác chủ nhiệm 10 lớp

thành 1 hàng ngang Hỏi có bao nhiêu cách?

Giải :

Xếp 5 bi xanh vào 15 vị trí: có C(15;5) cách, xếp 7 bi đỏ vào 10 vị trí còn lại: có C(10;7) cách, xếp 3 bi vàng vào 3 vị trí cuối cùng: có C(3;3) cách Vậy có

C(15;5) C(10;7).C(3;3) 15! 10! 3! . 15!

5!10! 7!3! 3!0! 5!7!3!



Định nghĩa 1.3.1: Hoán vị lặp là hoán vị trong đó mỗi phần tử được ấn

định một số lần lặp lại cho trước

Định lí 1.3.1: Số hoán vị lặp của k phần tử khác nhau, trong đó phần tử

thứ nhất lặp n1 lần, phần tử thứ hai lặp n2 lần,… , phần tử thứ k lặp n k lần là

1 2

1 2

! ( ; , , , )

Có 20 bông hoa hồng, trong đó có 5 hoa vàng, 7 hoa đỏ và 8 hoa trắng

Có bao nhiêu cách cắm 20 bông hoa đó vào 20 bình hoa đánh số từ 1 đến 20

Giải :

Số cách cắm hoa theo ycbt là số hoán vị lặp 3 phần tử, hoa vàng lặp 5 lần, hoa đỏ lặp 7 lần, hoa trắng lặp 8 lần, đáp số là: P(20;5,7,8) = 99.768.240

Không dùng hoán vị lặp, ta giải như sau: Cắm 5 hoa vàng có C(20;5) cách, cắm 7 hoa đỏ vào 15 bình còn lại: có C(15;7) cách, cắm 8 hoa trắng vào

Lập luận tương tự ví dụ 17, ta có định lí sau:

Định lý 1.3.2: Giả sử X có n phần tử khác nhau Khi đó số tổ hợp lặp

Mỗi bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình tương ứng 1 – 1

với một cách chọn 10 phần tử, trong đó phần tử kiểu i lặp lại x i lần, i = 1,…,4

Vậy số bộ nghiệm là số tổ hợp lặp chập 10 của 4 Vậy ta có số nghiệm là

Mỗi bộ nghiệm nguyên dương {x1;x2;x3;x4} của phương trình (1) là

tương ứng 1 – 1 với bộ nghiệm nguyên không âm {y1;y2;y3;y4} của phương

tập S Ì X có r phần tử Một phân hoạch {S S1 ; ; .; 2 S k}có thứ tự của S gọi là một phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X Nếu r = n thì gọi là phân hoạch thứ tự của X

Cho các số nguyên dương n n1; ; ;2 n kthỏa n1+n2 + +n k =r

Số các phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X dạng {S S1 ; ; .; 2 S k}

với |S1| = n1; |S2| = n2; ;|Sk| = n k , được kí hiệu là C n n n( ; , , , 1 2 n k)

Một cấu hình tổ hợp kiểu này được xây dựng qua các bước sau:

Bước 1: chọn n1 phần tử của X cho S1 có C(n;n1) khả năng

Bước 2: chọn n2 phần tử của X \ S1 cho S2 có C(n – n1;n2) khả năng

Bước k: chọn n k phần tử của X \ (S1ÈS2È È S k-1) cho S k có

-C n n n n được gọi là hệ số đa thức (C(n;n1) là hệ số nhị thức)

Ví dụ 1.3.6

17 cảnh sát đi làm nhiệm vụ bằng 5 xe khác nhau theo thứ tự có số chỗ ngồi tương ứng là 4,3,3,4,1 Hãy xác định số cách chở bằng 5 xe trong đó có 2 cảnh sát đi bằng phương tiện khác

Giải:

Mỗi cách chở là một phân hoạch thứ tự tổ hợp chập 15 của 17 với số

phần tử trong mỗi tập con tương ứng là 4,3,3,4,1 Vì vậy số cách chở là (17;4,3,3, 4,1) 17! 8.576.568.000

4!3!3!4!1!2!



1.3.4 Phân hoạch không thứ tự

Định nghĩa 1.3.4: Cho X là một tập gồm n phần tử khác nhau, các số

nguyên dương n1; n2; …, n k và p1,p2, …,pk thỏa n1.p1 + n2.p2 + … + n k p k = n Một hệ thống các tập con của X gồm p1 tập lực lượng n1, p2 tập lực lượng n2,

…, p k tập lực lượng n k gọi là phân hoạch không thứ tự của X

Mỗi phân hoạch không thứ tự của X với p1 tập lực lượng n1, p2 tập lực

lượng n2, , p k tập lực lượng n k sẽ sinh ra p1!p2! p k! phân hoạch có thứ tự của

X với p1 tập lực lượng n1, p2 tập lực lượng n2, , p k tập lực lượng n k Mặt khác

1 1 2 2

( ; , , , , , , , , , )k k

tập lực lượng n1, p2 tập lực lượng n2, ., p k tập lực lượng n k Từ đó suy ra đpcm

Ví dụ 1.3.7

a) Số cách chia 18 sinh viên vào 3 lớp A,B,C, mỗi lớp 6 sinh viên, là

số phân hoạch thứ tự tổ hợp chập 6 của 18 phần tử, vậy có

18!

(18;6;6;6)

6!6!6!

Số cách chia 18 sinh viên thành 3 nhóm, mỗi nhóm 6 sinh viên, là số phân hoạch không thứ tự chập 6 của 18 phẩn tử, vậy có

Định nghĩa 1.4.1: Cho X là một tập gồm n phần tử khác nhau

1) Một phân hoạch của một tập hữu hạn X thành k phần (khối) là một họ các tập con khác rỗng X1;X2; … ;X k của X thỏa các tính chất sau:

2) Số tất cả các phân hoạch thành k phần của một tập X có n phần

tử được gọi là số Sterling loại hai và được kí hiệu là Sn,k

0

n

n n k k

phân lớp các phân hoạch theo khối có chứa tập hợp {x n} hay không

Nếu {x n} là một khối của phân hoạch, chúng ta cần chia tập hợp

{x x1 ; ; ; 2 x n-1} thành k – 1 phần, làm việc này có S n – 1;k – 1 cách làm

Nếu {x n } không là một khối của phân hoạch, thì x n phải được chứa

trong một khối với ít nhất một phần tử khác của tập hợp Có S n – 1;k cách phân hoạch {x x1 ; ; ; 2 x n-1} thành k phần, và x n có thể nằm trong bất cứ một trong

các phần này Do đó có k.S n – 1;k cách làm trong trường hợp này

CHƯƠNG 2

HÀM SINH MŨ

Trong chương này, tác giả trình bày các nội dung về hàm sinh mũ, bao gồm: các định nghĩa, các định lí, các tính chất, một số hàm sinh mũ đơn giản, phương pháp đếm bằng hàm sinh mũ và một số ứng dụng của hàm sinh mũ

vào giải toán Các kiến thức trong chương này có thể xem thêm tại các tài liệu

dấu cho tương ứng với số hạng a n của dãy số Chúng ta không cần phải quan tâm tới sự hội tụ của các chuỗi này

ii) Quy tắc viết tương ứng giữa dãy số và hàm sinh mũ

i trong hàm sinh mũ tương ứng

iii) Hàm g(x) là hàm sinh thường của dãy ( )a r r thì g(x) là h.s.m của dãy

( ! )r a r r Ngược lại, hàm G(x) là h.s.m của dãy ( )a r r thì G(x) là hàm sinh

thường của dãy

!

r r

a r

Ví dụ 2.1.3 Cho dãy số 0!,1!, 2!,3!, 4!, , !n … Xác định hàm sinh mũ của dãy số đó

x

x Vậy hàm sinh mũ của dãy số đã cho là ( )

1

= -

hiệu của một chuỗi lũy thừa

Hàm số f là hàm sinh mũ của dãy đan dấu 1;-1;1;-1; (-1) k;

n n x

2.2 CÁC ĐỊNH LÝ

§ Định lý 2.2.1

i) Nếu G(x) là hàm sinh của dãy (ar)r thì x G x'( ) là hàm sinh của dãy( )ra r r

ii) Nếu G(x) là hàm sinh mũ của dãy ( )a r r và H(x) là hàm sinh mũ của

dãy ( )b r r thì pG x( ) +qH x( ) là hàm sinh mũ của dãy (pa r +qb r r) , "p q, Î R

iii) Nếu G(x) và H(x) lần lượt là hàm sinh mũ của dãy ( )a r r và ( )b r r thì

G(x) H(x) là hàm sinh mũ của dãy tích chập nhị thức ( )

Vậy x G x'( ) là hàm sinh mũ của dãy( )ra r r

ii) Nếu G(x) là hàm sinh mũ của dãy ( )a r r và H(x) là hàm sinh mũ của

Vậy, pG x( ) +qH x( ) là hàm sinh mũ của dãy (pa r +qb r r) , "p q, Î R

iii)Nếu G(x) là hàm sinh mũ của dãy ( )a r r và H(x) là hàm sinh mũ của

hàm sinh mũ của dãy ( )c r r với ( )c r r= ( )

=å =å được gọi là bằng nhau nếu

a n = b n với mọi n nguyên không âm

Từ Định lí 2.2.1, ta có thể suy ra được các tính chất: phép nhân hàm

sinh mũ với hằng số, phép cộng các hàm sinh mũ, phép nhân hai hàm sinh

mũ Trong các phần 2.3.2; 2.3.3; 2.3.4 ta sẽ trình bày cụ thể hơn như sau:

2.3.2 Phép nhân hàm sinh mũ với một hằng số

Thực ra chúng ta đã thực hiện phép nhân hàm sinh mũ với x trong Định

Nhân G(x) với k = – 1 ta được:

Vậy – 1.G(x) là hàm sinh mũ của dãy ( )-a r r

Ta dễ dàng tìm được quy tắc sau:

n x n

Vậy G x H x( ) ( )là hàm sinh mũ của (a r r) (b r r)

Quy tắc 3 (Quy tắc xoắn)

2.3.5 Phép lấy đạo hàm hàm sinh mũ

Đối với một chuỗi lũy thừa, ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng tại mọi điểm nằm trong tập hợp hội tụ của nó Nhưng vì đối với hàm sinh mũ, ta không quan tâm đến tính chất hội tụ hay không của nó, nên khi lấy đạo hàm hàm sinh mũ, ta không cần kiểm tra điều kiện

!

n x n

2.3.6 Phép lấy nguyên hàm, tích phân hàm sinh mũ

Đối với một chuỗi lũy thừa, ta có thể lấy tích phân từng số hạng trên mọi đoạn nằm trong tập hợp hội tụ của nó Cũng vậy, đối với hàm sinh mũ, ta không quan tâm đến tính chất hội tụ hay không, nên khi lấy nguyên hàm, tích phân hàm sinh mũ, ta không cần kiểm tra điều kiện

2.4.1 Nội dung phương pháp đếm sử dụng hàm sinh mũ

Giả sử với mỗi tập hữu hạn N, ta có một tập S(N) các vật mà ta muốn đếm Có nghĩa là tập các vật cần đếm S(N) phụ thuộc vào N Các vật của S(N)

có thể xem như là « được gắn nhãn » hay « được đỡ » bởi tập N Vì vậy tập N

có thể được xem là tập giá (hay ngắn gọn là giá) của S(N)

Nếu M và N là các tập hữu hạn khác nhau, tức là N ¹ M thì ta luôn giả thiết rằng S(N) Ç S(M) = Æ Hơn thế nữa, nếu |N| = |M| thì ta cũng giả thiết

2.6 MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN CỦA HÀM SINH MŨ

2.6.1 Thiết lập hàm sinh mũ của một dãy số đã cho

Ví dụ 2.6.1 Tìm hàm sinh mũ của các dãy số sau:

2.6.2 Xác định dãy số khi đã cho hàm sinh mũ của nó

Ví dụ 2.6.3 Giả sử g(x) là hàm sinh thường của dãy ( )a r r Xác định dãy

- là hàm sinh mũ của dãy 0 ( ; ) ( )!

2.6.3 Xác định số hạng a r của dãy số( )a r r khi biết hàm sinh của

( )a r rlà tổng/hiệu/tích các hàm sinh mũ quen thuộc

Ví dụ 2.6.8 Xác định số hạng a r của dãy số( )a r r sinh bởi hàm sinh mũ

k

=

Với nội dung câu hỏi ví dụ 2, ta có một cách giải khác ở bài toán 10 –

chương 3, hàm sinh mũ của dãy ( )a r r , a r số các dãy r phần tử từ tập hợp n

=

= ì

ï

= í

= ï

¥ -

¥ -