Các nguyên lý và kỹ thuật cơ bản trong tổ hợp

Lý do chọn đề tài Trong những năm qua, Tổ hợp đã trở thành một phần căn bản trong các giáo trình cho học sinh và sinh viên các trường THPT và đại học trên thế giới.. Trong luận văn này

Tôi xin cam đoan

Những nội dung được trình bày trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Duy Thái Sơn

Mọi tài liệu trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và trung thực tên tác giả, tên công trình, thời gian và địa điểm công bố

Nếu có sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Trần Đức Vinh

MỞ ĐẦU 1

  1. Lý do chọn đề tài 1 

  2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu  1 

  3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu  2 

  4. Phương pháp nghiên cứu 2 

  5. Giả thuyết khoa học 2 

  6. Cấu trúc luận văn 3 

CHƯƠNG 1: HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP .4

   1.1. Hai nguyên lý đếm cơ bản  4 

  1.2. Hoán vị  9 

    1.3. Hoán vị vòng tròn  18 

    1.4. Tổ hợp  24 

    1.5. Nguyên lý đơn ánh và song ánh  29 

    1.6. Chỉnh hợp  34 

    1.7. Một số bài toán ứng dụng cơ bản  46 

CHƯƠNG 2: HỆ SỐ NHỊ THỨC VÀ HỆ SỐ ĐA THỨC 65

    2.1. Định lý nhị thức  65 

    2.3. Tam giác Pascal  80 

    2.4. Đường đi ngắn nhất trong một lưới hình chữ nhật  82 

    2.5. Một số thuộc tính của các hệ số nhị thức  90 

    2.6. Định lý đa thức và các hệ số đa thức  94 

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 103

TÀI LIỆU THAM KHẢO 104

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao) .105

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

  Trong những năm qua, Tổ hợp đã trở thành một phần căn bản trong các giáo trình cho học sinh và sinh viên các trường THPT và đại học trên thế giới. Các nguyên lý và kỹ thuật trong Tổ hợp ngày càng có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác, đặc biệt là trong khoa học máy tính và lý thuyết toán tử. Các bài toán trong Tổ hợp không chỉ thách thức các nhà nghiên cứu mà còn xuất  hiện  rất  thường  xuyên  trong  các  cuộc  thi  Toán  học,  đặc  biệt  là  kỳ  thi Olympic Toán học quốc tế (IMO).    

  Tuy nhiên, hiện nay tài liệu tiếng Việt về Tổ hợp chưa nhiều. Trên thực 

tế,  giáo  viên  THPT  ở  nước  ta  chưa  được  đào  tạo  bài  bản,  chuyên  sâu  về  tổ hợp.  Sinh  viên  và  học  sinh  Việt  Nam  thường  tỏ  ra  lúng  túng  trước  các  bài toán Tổ hợp. Trong luận văn này, tôi sẽ cố gắng tìm hiểu các nguyên lý và kỹ thuật (từ cơ bản đến nâng cao) thường dùng khi giải các bài toán về Tổ hợp. Bản thân là một giáo viên phổ thông, tôi hi vọng sẽ khám phá được nhiều điều thú vị khi rèn luyện các kỹ năng Tổ hợp. Mong rằng luận văn này - sau khi được  hoàn  thành  -  sẽ  cung  cấp  thêm  một  tài  liệu  về  Tổ  hợp  đáp  ứng  được phần  nào  lòng  yêu  thích  Toán  học  của  học  sinh,  phục  vụ  cho  công  tác  bồi dưỡng học sinh giỏi.  Đồng thời đây cũng là một tài liệu để mọi người quan tâm đến Tổ hợp tham khảo.   

  Với những lý do trên, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Duy Thái Sơn, tôi chọn “Các nguyên lý và kỹ thuật cơ bản trong Tổ hợp” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Thạc sĩ của mình. 

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

  Tôi  mong  muốn  tìm  kiếm  được  nhiều  tài  liệu  từ  các  nguồn  khác  nhau, nghiên cứu kỹ càng các tài liệu đó, cố gắng lĩnh hội đầy đủ các kiến thức về 

Tổ hợp liên quan đến đề tài. Từ đó, trình bày các kiến thức này trong luận văn theo một thể khép kín.  

Trong luận văn này, tôi cũng cố gắng tìm tòi lời giải cho các bài toán (theo mức độ từ dễ đến khó) thu thập được từ nhiều nguồn khác nhau, đặc biệt 

là từ những kỳ thi Olympic Toán học và tôi hy vọng luận văn có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh, sinh viên và giáo viên. 

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  3.1. Đối tượng nghiên cứu: Các nguyên lý và kỹ thuật trong Tổ hợp.   3.2. Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức về Tổ hợp được dùng để giảng dạy  cho  học  sinh  chuyên  Toán  ở  các  trường  THPT,  các  bài  toán  tổ  hợp thường gặp trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán trong nước và Quốc tế. 

4 Phương pháp nghiên cứu

  - Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo và các tài liệu  trên  internet  có  liên  quan  đến  đề  tài  của  luận  văn)  để  lĩnh  hội,  trau  dồi kiến thức về Tổ hợp và tập hợp các bài toán phục vụ cho yêu cầu của đề tài. 

  - Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn khoa học. 

5 Giả thuyết khoa học

  Xây dựng một giáo trình có tính hệ thống, khép kín và có thể giảng dạy với thời lượng chấp nhận được cho học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông và cho sinh viên toán tại các trường đại học. 

  Xây dựng được một hệ thống các bài toán (cũ và mới) với các  mức độ khó dễ khác nhau. 

6 Cấu trúc luận văn

  2.6. Định lý đa thức và các hệ số đa thức. 

CHƯƠNG 1

HOÁN VỊ VÀ TỔ HỢP

1.1 Hai nguyên lý đếm cơ bản:

  Trong cuộc sống hằng ngày, chúng ta thường phải liệt kê “các sự kiện” như sắp xếp các đối tượng theo một cách nào đó, phân chia các đối tượng theo một điều kiện nhất định, phân phối các đối tượng theo một đặc điểm kỹ thuật, v.v… Ví dụ, chúng ta có thể gặp phải bài toán đếm có dạng như sau: 

“Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 chàng trai và 3 cô gái trên một hàng sao cho không có hai cô gái nào đứng cạnh nhau?”

“Có bao nhiêu cách chia một nhóm 10 người thành 3 nhóm gồm một nhóm 4 người, một nhóm 3 người, một nhóm 2 người và giữ lại một người?”

Đây là hai bài toán đếm rất đơn giản liên quan đến những gì mà chúng ta gọi 

là  “hoán  vị”  và  “tổ  hợp”.  Trước  khi  chúng  ta  giới  thiệu  trong  ba  phần  tiếp theo  của những  gì gọi là hoán vị  và  tổ hợp, chúng  ta  nêu hai  nguyên  tắc  cơ bản trong tất cả các bài toán đếm. 

Nguyên lý cộng (Addition Principle (AP))

Giả sử có: 

1

n  cách thực hiện phương án E1,  2

n  cách thực hiện phương án E2,         

k

n  cách thực hiện phương án E k,  

trong  đó k 1.  Nếu  cách  thực  hiện  mỗi  phương  án  E i  không  phụ  thuộc vào mọi cách thực hiện phương án E j  (1i j, k i,  j) thì số cách để thực hiện ít nhất một trong các phương án E E1,   2,  , hoặc E k xảy ra là: 

i i

1 4 4 0 4 8 21.

i i

  2/  Người  ta  có  thể  phân  chia  bài  toán  trên  thành  các  trường  hợp  tương ứng với  x 2 0,1, 2,3, 4,5,  từ đó tìm  ra  được  số  cặp x y,   thỏa mãn  yêu  cầu bài toán trong mỗi trường hợp và áp dụng nguyên lý (AP) tìm ra được đáp số mong muốn. 

Nguyên lý nhân (Multiplication Principle (MP))

  Giả sử công việc E  bao gồm  r  công đoạn  E E1, 2, , E r, và: 

    Có n1 cách thực hiện công đoạn E1, 

    Có n2 cách thực hiện công đoạn E2, 

        

    Có n r cách thực hiện công đoạn E r. 

       1 2

1 r

r i i

  Sử  dụng  ngôn  ngữ  của  lý  thuyết  tập  hợp,  ta  có  một  dạng  tương  đương của nguyên lý nhân như sau: 

Giả sử 

1 1

{

}

1 ,

0a 3,0 b 1,0 c 2. Theo đó số ước dương của 600 là số cách để tạo thành  bộ  ba  a b c, ,   trong  đó  a {0,1, 2,3},b{0,1},c {0,1, 2};   vậy  theo nguyên lý (MP), số ước dương cần tìm là 4  2 3 24.  

Nhận xét

  Bằng cách sử dụng nguyên lý nhân (MP), một cách tổng quát ta thu được kết quả sau: 

Nếu một số tự nhiên n được phân tích thành tích của các thừa số nguyên tố,

2 1

1k 2k k r

r

nguyên dương, thì số ước dương của n bằng:

1

1

r i i

Giải

  Bài toán này có thể được chia thành các trường hợp rời nhau bằng cách xét a 1, 2, ,99. 

Với ak 1, 2, ,99 ,  thì số cách chọn của  b  là 100k, và của  c  cũng là 

100k. Như vậy theo nguyên lý (MP) thì số cách chọn bộ ba a b c, ,   k b c, ,  thỏa  mãn  yêu  cầu  là  100k100k  100k2.  Vì  k   có  các  giá  trị 

n k

n n n k

1.2 Hoán vị

  Trong phần mở đầu của mục 1.1, chúng ta đã đề cập đến bài toán: “Có

bao nhiêu cách sắp xếp 5 chàng trai và 3 cô gái trên một hàng sao cho không

có hai cô gái nào đứng cạnh nhau?”. Đây là ví dụ tổng quát về bài toán sắp 

xếp các đối tượng khác nhau theo một điều kiện nhất định nào đó. 

  Cho tập hợp Aa1,a2, ,a n gồm  n   phần tử phân biệt. Với  0 r n, 

một r-hoán vị của tập  A  là một cách sắp xếp  r  phần tử bất kỳ của  A trên một 

hàng. Khi r n, một n-hoán vị của tập  A được gọi đơn giản là một hoán vị của  A 

 1 2   1

n r

P n n n n r   1.2.1 Nếu chúng ta sử dụng kí hiệu giai thừa: n!n n 1 2.1,  thì ta được: 

!

!

n r

n P

  Bước 1. Chọn một 2-hoán vị của a e i o u, , , ,  và rồi đặt nguyên âm thứ nhất  vào  vị  trí  thứ  nhất,  nguyên  âm  thứ  hai  vào  vị  trí  thứ  năm  (xem  hình 1.2.2). 

  Bước  2.  Chọn  một  3-hoán  vị  của  E\a e i o u, , , ,   và  rồi  đặt  các  phụ  âm thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng vào các vị trí thứ hai, thứ ba, thứ tư (xem hình 1.2.2). 

  Như vậy, theo quy tắc nhân (MP), số từ gồm 5 chữ cái thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 

3

5 2 21

   i  3 nữ đứng liền nhau (nghĩa là không có nam nào ở giữa hai nữ)?    ii  Hai vị trí đầu và cuối là nam và không có hai nữ nào ngồi kề nhau? 

Giải

   i  Xem 3 nữ tạo thành một khối, thì số cách sắp xếp 7 nam và khối này trên một hàng là 7 1 !   Trong khối này, 3 nữ có thể hoán vị cho nhau, theo 3! cách. Vậy theo nguyên lý (MP), số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 

3! 241 8!  920     ii  Trước tiên, chúng ta xem xét cách sắp xếp 7 nam, sau đó sắp xếp 3 

nữ. Có 7! cách sắp xếp 7 nam. Vì vị trí đầu và cuối phải là nam, nên ứng với mỗi cách sắp xếp 7 nam thì có 6 vị trí xen giữa hai nam để sắp xếp 3 nữ.   

  Như vậy, ứng với mỗi cách sắp xếp 7 nam, sẽ có 6 cách sắp xếp cho nữ thứ nhất, 5 cách sắp xếp cho nữ thứ hai và 4 cách sắp xếp cho nữ thứ 3. Vậy 

Ví dụ 1.2.4.  

  Giữa số  20000  và  70000 , hãy tìm số các số nguyên chẵn trong đó các chữ số không được phép lặp lại. 

3 4 P 4032, 

số chẵn như vậy. 

Trường hợp 2 a 1  3,5

  Trong trường hợp này, a1 có 2 cách chọn, a5 có  5  cách chọn và a a a2 3 4 lại có P38 cách chọn. Theo nguyên lý (MP), ta có: 

8 3

4

4 4! 24

1 2 3 4 1

,

i i



      theo nguyên lý (AP), ta có: 

4 4 4 4

1 2 3 4 1

4 12 24 24 64

i i

1 10 2 100 3 1000 4

            Trước tiên, chúng ta tính 1. Rõ ràng, tổng của các chữ số hàng đơn vị trong tập S1 là: 

1 3 5 7 16.       Trong S2 có P13 số mà các chữ số hàng đơn vị tương ứng là 1,3,5,7,  nên tổng các chữ số của hàng đơn vị của các số trong S2 là: 

3

1 (1 3 5 7) 3 16 48

P           Trong S3 có P23 số mà các chữ số hàng đơn vị tương ứng là 1,3,5,7,  nên tổng các chữ số của hàng đơn vị của các số trong S3 là: 

3 3

  Trong S2 gồm 12 số ta chia thành 6 cặp có tổng bằng nhau và đều bằng 

88 là: 13,75 , 15,73 , 17,71 , 35,53 ,        

  Tương tự như vậy, trong 24 số trong S3 và S4 có 12 cặp có tổng tương ứng là 888  và 8888  Do đó: 

3 cách sắp xếp của  , ,a b c được chỉ ra trong hình 1.3.1 có thể xem như là các hoán vị: 

bca cab

abc

b

c a

c

a b

b c

a

(2) (3)

từ 2 cách sắp xếp còn lại qua một phép quay; nghĩa là, vị trí tương đối của các đối tượng là không thay đổi qua phép quay. Trong trường hợp như vậy, thì 3 cách sắp xếp như hình 1.3.2 không khác gì nhau. Một cách tổng quát, 2 hoán 

bca cab

abc

b

c a

c

a b

b c

Cần lưu ý rằng, mỗi 3-hoán vị vòng tròn của A đưa đến một tập con duy nhất. 

Ví dụ:  

4 3

248

con  như  vậy  của  r r-hoán  vị  của  A   tương  ứng  với  một  r-hoán  vị  vòng  tròn 

của  A  Vì tất cả r-hoán vị của  A có thể được chia thành những tập con, nên ta có: 

n

n r r

P Q

Giải

   i  Mỗi cách sắp xếp bất kì là một hoán vị vòng tròn của 8 phần tử, nên 

số cách sắp xếp bằng số hoán vị vòng tròn của 8 phần tử. Do đó, cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 

G1 có thể sắp xếp vào giữa B3 và G2, giữa G2 và B4, giữa B4 và B5, giữa B5 và 

G3, giữa G3 và B2. Như vậy ta có 5 ( 7 2) vị trí để sắp xếp G1 vào. Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 

5 3 0

6  60    Chúng ta có thể có cách giải khác nếu sử dụng Nguyên lý Bù trừ được đưa ra dưới đây: 

Nguyên lý Bù trừ (Principle of Complementation (CP))

Nếu A  là một tập con của tập hữu hạn U , thì  

  Bây giờ, ta cho {B ,1 G1} đứng cạnh nhau và xem như là một phần tử, khi 

đó số cách sắp xếp trên một bàn tròn gồm 7 vị trí là hoán vị vòng tròn của 7 phần tử là: 

7 1 ! 6!      Mỗi cách sắp xếp như thế lại có 2 cách sắp xếp {B ,1 G1} đứng cạnh nhau, như vậy  số  cách  sắp  xếp  5  nam  và  3  nữ trên  một  bàn  tròn  sao  cho {B ,1 G1} đứng cạnh nhau là: 

2! 4

6 14    Vậy theo nguyên lý (CP), số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 

7! 1440 3600. 

   iii  Đầu tiên ta sắp xếp 5 nam ngồi trên một bàn tròn, số cách sắp xếp chính là số hoán vị vòng tròn của 5 phần tử, như vậy có: 

5 1 ! 4!      Ứng với mỗi cách sắp xếp 5 nam ngồi trên một bàn tròn, sẽ có 5 vị trí để đặt nữ G1, tiếp theo sẽ có 4 vị trí để đặt G2, và còn lại 3 vị trí để đặt G3, xem hình 1.3.4 

n 1 !  Mỗi cặp vợ chồng lại có thể hoán vị cho nhau, mà có n cặp nên số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 

C    và C  n n  n n 1 Chú ý:  

  Để  cho  thuận  tiện,  chúng  ta  hãy  xem  bảng  1.4.1  của  C n r,  với 

0 r n   Ví  dụ,  nhìn  vào  bảng  chúng  ta  để  ý  mối  quan  hệ  giữa 9

  Mỗi  tập  con  S   gồm  r   phần  tử  của tập  A  hoặc  chứa phần  tử  “1”  hoặc 

không. Nếu 1 S  thì số cách tạo ra tập  S  là  C n r11. Nếu 1 S  thì số cách tạo ra 

Nhận xét

  Trong cách chứng minh thứ hai, chúng ta gắn vào một bài toán liệt kê và đếm  chúng  theo  hai  cách  khác  nhau,  trong  đó  tạo  ra  một  sự  bình  đẳng  liên quan  giữa  hai  biểu  thức  khác  nhau.  Đây  là  cách  hữu  ích  để  chỉ  ra  tính  đặc trưng trong tổ hợp. 

Ví dụ 1.4.2.  

  Trong  ví  dụ  1.1.4,  chúng  ta  đã  biết  sẽ  có  27  chuỗi  nhị  phân  có  độ  dài bằng 7. Hỏi  có bao nhiêu  chuỗi nhị phân như vậy  mà  chứa 3  chữ số  0 và 4 chữ số 1? 

Giải

  Để tạo ra một chuỗi nhị phân có độ dài bằng 7: 

       (1)    (2)    (3)    (4)    (5)    (6)    (7)    

  Trước tiên chúng ta lựa chọn 3 vị trí để đặt 3 chữ số 0, sau đó còn 4 vị trí còn lại để đặt 4 chữ số 1. Có C73 cách để đặt 3 chữ số 0, và C44 cách để đặt 4 chữ số 1. Như vậy số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán là C 73 35.  

Nhận xét

   i  Trong ví dụ trên, chúng ta cũng có thể lựa chọn cách đặt 4 chữ số 1 trước, khi đó sẽ có kết quả là C74  Và theo công thức 1.4.2 ta có: 

1.5 Nguyên lý đơn ánh và song ánh

  Giả  sử  một  nhóm  gồm  n   sinh viên tham  dự  một  bài giảng  trong  giảng 

đường  gồm  200  chổ  ngồi.  Với  giả  thiết  không  có  bất  kỳ  sinh  viên  nào  ngồi hơn  một  chổ  và  cũng  không  có  hai  sinh  viên  ngồi  chung  một  chổ.  Nếu  biết rằng,  mỗi  sinh  viên  ngồi  một  chổ  thì  chúng  ta  sẽ  có n 200.  Hơn  nữa,  nếu giảng  đường  không  còn  chổ  trống,  thì  chúng  ta  chắc  chắn  rằng n 200  mà không  cần  đếm  số  sinh  viên.  Đây  là  một  ví  dụ  minh  họa  cho  hai  nguyên  lý đơn giản mà chúng ta sẽ nêu ra. Trước khi làm điều đó, chúng ta sẽ nhắc lại một vài định nghĩa như sau: 

  Cho  ,A B  là hai tập hợp hữu hạn. Một ánh xạ  f : AB từ A vào B. Khi đó: 

   i   f  được gọi là đơn ánh (hay 1-1) nếu: 

 iii   f  được gọi là song ánh nếu  f  vừa đơn ánh và vừa toàn ánh. 

Hình 1.5.1

Nguyên lý đơn ánh (The Injection Principle (IP))

Cho  ,A B là hai tập hợp hữu hạn. Nếu có một đơn ánh từ A vào  ,B  thì:  

Nguyên lý song ánh (The bijection Principle (BP))

Cho  ,A B là hai tập hợp hữu hạn. Nếu có một song ánh từ A vào  ,B  thì: 

Ví dụ 1.5.1 Một  học  sinh  muốn  đi  từ  góc  X  đến  góc  Y  xuyên  qua  các  con 

phố như đã được đưa ra ở hình 1.5.1. Hỏi có bao nhiêu đường đi ngắn nhất để 

học sinh đó đi từ X đến Y?

      Y                      

là  đại  diện  cho  đoạn  ngang  và  số  ‘1’  là  đại  diện  cho  đoạn  dọc,  thì  mỗi  con đường trong tập A có thể biểu diễn duy nhất bởi một chuỗi nhị phân có độ dài bằng 7 trong đó 4 chữ số 0 và 3 chữ số 1 (trong ví dụ ở hình 1.5.1 đường đi ngắn nhất từ X  đến Y là đường in đậm và được biểu diễn là 1001100). Bằng 

cách biểu diễn này, rõ ràng một con đường được định nghĩa bởi một ánh xạ  f  

đi từ tập A đến tập B là tập tất cả các chuỗi nhị phân có độ dài bằng 7 trong 

đó có 4 chữ số 0 và 3 chữ số 1. Dễ thấy rằng, ánh xạ  f  là một đơn ánh và một  toàn  ánh  nên  ánh  xạ  f   là  một  song  ánh  từ  tập  A  đến  tập  B   Do  đó,  theo nguyên lý (BP) và ví dụ 1.4.2, chúng ta có  A  B C73 35. 

Nhận xét

  Trong bản đồ đường đi ở hình 1.5.1 gồm một mạng lưới  5 4  hình chữ nhật.  Một  cách  tổng  quát,  nếu  có  một  mạng  lưới m1  n1  hình  chữ nhật  bao  gồm m 1  đường  dọc  và n 1  đường  ngang,  thì  số  đường  đi 

  Quan sát thấy s i và s i1 không liên tiếp, tất cả các số trong  f S  là phân biệt. Như vậy,  f S B , và  f  là một ánh xạ từ  A vào  B  Dễ thấy,  f  là đơn 

Ví dụ 1.6.3.  

  Tìm số hoán vị của 5 chữ cái:  ,   ,   ,   ,   a a a b c   

Giải

  Gọi    là  số  hoán  vị  của  5  chữ  cái  trên.  Ví  dụ,  một  trong  số  chúng  có 

dạng là  abaac  Bây giờ, chúng ta hãy tưởng tượng rằng 3 chữ cái  a  là phân 

3 2 2

a a