Bài tập xác suất thống kê có lời giải đầy đủ

Tài liệu tham khảo về bài tập xác suất thống kê có lời giải trang bị cho các bạn có thêm kinh nghịêm trong các kỳ thi sẵp tơi,chúc các bạn thành công trong học tập cũng nhưng công việc.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP HO CHi MINH

KHOA TOAN - THONG KE

BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ

Lei sá¿ dâ«

Lÿ thuyết xác suất nghiền itu qui hột cửa cất hiện HữJng m nhiều Dựa vive những Hhồnh tựu của lý thuyết xác suấi, thống kế oán lí khu học ea quyé dink trên eợ sử những thống từx thụ thập từ thực tế: Hơn 300 năm phát iển, đếp nay nội dung và phương phảp của xác suất thống kế sất phong phú và được ấp dụng tôn rãi trong rất nhiều lĩnh vực Vì vậy việc học tập, nghiên cứu mn xắc sử thống kẽ tử thành nhủ cấu không thể thiếu đối vải sinh

Cuổn sách nhằt giúp cho sinh viên biỂu rõ các khái niễn

công thức cơ bản và các phường pháp của gác suất để nghiên cửu cổ tượng ngẫu nhiên những hiỆn tưởng như vây rất UhưỜng gấp trong kinh tế, đặc biết là kinh tế thị trường, Ngài rà cuốn sách còn nhầm nẵng cao năng ìc Lư duy, khả năng độc lập nghiên cửu vũa sinh viến

whe

Nowa đổi tưng bạn đọc là xinh viêo rường Đạt học Kun

ch cũng giớp ich cho những ai ong cổng việc, ương nghiên cu phải xử lý một khối lượng lỏn thêng n, số

Cie bài tập được sấp xếp theo lig chưng, IẪu mỗi chương c phần tôm lắt lý thuyết nhằm Lo điện kiến chị sinh viên cả thể áp dụng nhữog kiến thức đã học dưđi dang ngấn mụn nhất để vận dụng giải Bãi Lip một cách nhanh chóng, Cổ một xố bài tập đước giải một

ch trọn vện với mục địch để sệnh xiên lầm quen với cách giải, cách trình bây kh gi các bi tập me sui thang kê, Ngài rà cũng có ác hài tập chúng tôi chỉ hướng dẫn cách giải vì địt ra đáp số với mặc dich để eác bạn sinh viên tự giải cố như xây wife han mới cã thể kiểm ta niứe độ hiểu hài cũa HÌnh vã hư bổ ng những kiến thức thiểu hut hoae diéw chinks ahitng ch hiểu chứt Chi công,

để giữ cũc bạn sinh viên hình dụng được và hiết cách giải cấc để thì iền xác suất thãng kẻ, chúng tôi nêu một sŸ vợ hài giải chi tiết để sặc ban tham kho

1G nhuing kỳ thỉ mớn xác suấi thống kế trong những năm

ấn đầy, chủng tối nhận thấy còe kh4 nhiều ban chư ii các trình

để th có khá nhiều dạng khác nhan và những: cha ăn cận tết cưng tôi hy vong gilp ce hin vinh viên tìm được phướng phất› học tập tốt hấi và đại kết quả cu khí thì môn này,

Shin dip ety chúng lũ: xin chân ;hành cảm ơn tất và những gỉ đã

° nồi dung vã tữ chức cho cuốn sảch dược ra mất bạn

Hùnh phí? Hỗ Chỉ Minh thẳng (M2010)

Tác giả

ne ate tin xúc tụ

thương 1 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỔ VÀ CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

“Trông thl tế lì cổ thé gap các loại hiếp cố sau đầy:

a= Hiển cố chắc chẩa (kỹ hiệu là QY La hiến cũ nhất định sẽ xảy

ạ khi thực hiện phếp thứ,

b- Biến cố Khang thé (ky liệu là Øy là

xây ra khi thực hiện phẻj› thử

n cũ ngẫu nhiền: Là biỂn cổ cỏ thể xảy ra hung cling cd the

ab tap Xie suit Thang kế

II- Bịnh nghĩa cổ điển của xác suất

& Dink nghĩa: Xác suất của biển cổ A là tỷ sổ gia số trường họp

Ể sửy rà khi thực

hiện phếp thử

“Ta ký hiệu P(A) là xác suất của biến cế A:

ñ là số trường hợp đồng khả nãng có thể xây ra khí thực biện phép thứ:

mà số tưững hợp thuận lợi cho A, Thủ

Hường 1: de sna ea fe cog thie tink se suất

5- Những khái miệm cầu giải tích tổ hợp

+ Qui tắc nhân

Nếu đối tượng A có thể được chọn bằng mị cách,

chọn A In có nạ cách chọn đối tượng B Khi đó số cách chow A và E là với mỗi cách

Tỉằng quái: Nếu chọn k đối tưởng thì số cách chon k đổi tượng sẽ là

(tụ là số cách chọn đối tượng thi)

Sạn chế của định nghĩa cổ điển

Định nghĩu sổ điển e6 ưu điểm là công thức tính tất đơn gid, Hon chế củu định nghĩa này lì chỉ áp dung để tính xác suất khi phép thử có thể phấn tch được thành những trường bớp đồng Khả năng và cức trường hợp thuận lợi cho biến cổ cắn tính xắc suất Các trường hợp tây phả: l các số hữu han Các phép thử như > Tune đổng xu, tung xúc ado, chọn đâm a phn Wt

edu cũa định nghĩa cổ điển,

III- Định nghĩa thống kẽ của xác suất

Khi thực hiền một phép thử a lần ta thấy có k lẫn hiến cổ A xấy rà thì tý số Ö được gọi] tần suất cũa biển cố A

8

hướng Ì: Xác suấi của biển cổ và cúc công Huật nh xác xuất

Khi số phép thử tầng lên và được thực hiền trong những điễu kiện

alr shau th tấn suất của biển cổ sẽ dao đông ngây cảng ït hơn xung quanh một số không đổi nào đó, Số không đổi này li Xác suất ca biển

ei ds

Định nghĩa: Xác suất xắy ra biến cổ A khi thực hiên phép thử là

nôi sổ p không đổi mà tần suất xuất hiện biển cổ ong n hếp thử sẽ

bi tụ theo xác suất về p khi tăng lên vô hạn,

Trong thực tế, khi số phép thử khả lửa, ta có thể lấy tấn suất làm

gid trị gắn dúng cho xác suất của biến cố dó, Tức ta có P(A) = [(A} khi

-a khá lớn

* Chai ÿ: Khẫi niệm hội tụ theo xác suất của tắn suất có nghĩa lã với

"môi £ đường là luôn cố:

LimPÍf(A) =p|<e)=1

liNitrrnuưnibitwrpftainn IV- Mếi quan hệ giữa các biến cổ

Định nghĩa †; Hai biến cố À và B được gọi là hai biến cổ rưưng

“đương (kỹ hiệu là A = H) nếu A xảy ra thì B cũng xẩy ra và ngược lai

‘Binh nghĩa 2: Tủng của hai biến cế Á và B là mất biến cố , kỷ hiểu

BB AUB hoặc A + B, biển cổ nầy xảy ra khi và chỉ khi có ÍL nhất một

trong hai biến cỗ A, l xảy ra,

Tang quất: Ty của n biển cố Ai, Áy, , Á; là một bì

od này xây rà khi và chỉ khi có ít nhất một Hong n biến cố Ái, À3

Để ký hiệu tổng của n hiển cổ ta có

À IOÁy k2, kIÂy hay UA)

sử dụng các ký hiệu sau!

aids adeeb A:

audi Thống lê

Định nghĩa 3: Tích của hai biển cố A và B là một biển cố, ký hiệu

là A CB hoặc AB, biến cố này xẩy ra khi và chỉ khỉ Á xây rà và B xây ta

Ay la một biến cố,

ến Ai, Az, Ay Adu

Tổng quát: Tích của n biến cổ Ay, A

biển cổ nãy xảy ra khi và chỉ khi cả bi

xây rẻ

Để ký hiệu tích cửa m biến cố te có thể dàng các ký hiệu sau

ALAIN An hay OA, Ai-Ai Ahay TA,

"Định nghĩa 4: Hai biển cổ A va B được toi là xung tiếc nhau nếu chúng không thể đồng thời xảy ra tung một phép thử Tức AB = Ø

Tổng quất: Các biến, sợi là xung khắc tăng đội nếu bất kỳ hai với nhau

Dink nghĩa 5: Biến c

à xung khếc và Av2 A =@

"Ta có thể định nghĩa biển cố dối lập cách khác như sau:

Biến cố * không sấy ra biến cổ A" được gọi là biến cố đối lập với biển cổ A, ký hiệu là Á

A

l0

XChhafng U: Xác suấi của hiểu cổ và các công thậc nh sóc vaấi

BIÊU ĐÔ VENN

+ An (BOO) =(ANB) ACzAN BAG

+AU BOO ={AU BAU C)

“An (8U Q)=(A o B) t2 (Án C)

_Bài tập Nee sh Thing Ke

PUA, UA UA) = PLAY) PAS + ont POA)

He qua: Néw A vi A là hai hiến cố đối lập nhau thì:

P(A)=1-PIA)

#- Nếu A, B là hai biến cổ không xung khắc thì

P(A UB) = P(A) + P(B)— P(AB)

Xếu Ai, Ay ERR SN xuay khác tì

P(A, + PAG) # PAS) PALA) =

=P(AVAg) = POA) + PALAZAS)

4 PUA, UA, UA, UA) = PA) PASI PCA PCA)

=POA,A,)— PUA AQ) PCA AG) = KALA) POZA) POAVAQ) + PUAAVAS) HPA) AZAY)4 PAA)

4 PIAZASAG)~PAAYA SAD)

+ Trường hợp

_Chuefng [: Xác sud eta biển cổ và các cũng thức tính ác xuất

VỊ- Công thức nhãn xác suất

sa) Xác suất có điều kiện: Xá 9

kiện biến cố B đã xây ra được gọi là xác s

ký hiểu là: P(A/B)

Để tnh xác suất có điều kiến, tủy theo từng trưởng hợp t có thể cdùng định nghĩa cổ điển hoặc ap dụng công thức sau:

PAB) PB)

L của biển cố A được tính với điều

điều kiện của Á,

P(A/B) Voi điều kiến 4B) > 0

+ ái hiển cổ A, B độc lập khi và chỉ khi

P(A/B) =P(A) và P(B/A) = P(B)

ð) Nếu biến

©) Nếu biển

P(AB) = P(B).P(A/B) Ting qua: NEw Az phy thude Ay; Ax phy thuBe AyAz; 5 Ay phụ

thuộc A/Äz Â,-, tì PEA GAs y= POA, YPCA3/ Ay only AGA,

iu A, Bl hai bien ed d@e lap, this

PAB) = P(A).P(B)

Teng quét: NEv Az dic Wp Với Ay; A: độc lập vải AIAgc óc Aw

độc lập với AIÀx Ai th

PUA A yoo g) PCA, PLAS PIA PA)

_ Bài tập Xác suấi Thống kệ

'Vi Công thie Bernoulli

“Thực hiện n phếp thử đc lập, trong mdi phép thử chỉ có thể xây ra một rong hai trường húp: Hoặc xây rì biển cổ A, hoặc không xây rà biến cố Á; Xác suất xấy ra biến cổ A tong mỗi phép thử đều bằng p hac su A không xấy nụ đều bằng l=p =

tong phép thử biến cố Á xảy ra đúng k lần

II: Công thức xác suất đầy đủ

CCho không gian mẫu § và Ai,

Các biển cổ Ái, A¿, A, được

chúng thỏa mãn 2 điêu kiện:

Pm) = SPA, POH A,)

IX- Công thức Bayes

"Vi các giả thiết như phần cô xúc suất đầy đủ, ta thêm một kiện là phép thử đã được thực hiền và biến cố B đã xảy ra Khi

thường 1: Mức siất của biến cổ vũ các cũng thác nh xúc suất

B- BÀI TẬP

L.A: Mit Ốp cổ 50 snh viên (ong đố cổ 30 nam và 20 nữ) Chọn ngẫu hiên mi nhủm gồm 4 ảnh viền Tĩnh các xác mt

(a) G5 2 nam tong 864 ảnh viên được chọn?

4h] G ít nhất một snh viên năm tung sổ # ảnh viên được chọn?

) G nhiều nhất 2 ánh viên im tong xố 4 ảnh viên được chan?

(4) Không có nh viên nam trong số 4 dảnh viên được chọn?

tố tường hợp đối xứng có thể xẫy rà ong phép thờ là

n=C‡, =230300 (0) Goi A ti biển cố có 2 nam tong số4 ảnh viên được chon Sting

n 230300 (€) Gọi C là biển cố có nhiều nhất 2 nam trong 4 sinh viên được chọn Số trường hợp thuận lợi cho Cả:

\ =C + Cụ Củ +Cặ Củ =121695

‘Tati pc #0: Có 4 cách chọn cịÑ each chow a vi Ñ cách chọn by Viay af cde chon SV ahe Hi: 4x 8x 8 =256

Sa tng hap dai xing e6 thế xảy ra khi thực hiện phép thử là

n=12+256= 328 Goi A Bi bia ed bấm ngẫu nhiên một lần được đúng số cn gọi Ta thấy chỉcô môi trường hợp thud i cho A Vay:

1 P(A)= al sT3

4.3: Xép ng nhiên 10 người thành một hàng agang Tĩnh xúc xấi để

i gi A 98 r

6

Cluaing, 1: Nike eu cia biẩt cố tô các công thức tính vúc siẩi

(41Đững cạnh ha; (bì Không đứng cạnh nhau

E] Đng cách nhau ] người, (4) Đứng cách nhau 5 người

(ĐÈ người ð 8 loa khúc nhau; [Taine ạt học TRả vii]

€)A, Hồ căng toa { THƯ VIÊN

(0A,ÊEAôeaenoue, L_ PHÒNG MEN

(S)A, BỞ cũng mộ toa, ngoài m không có sĩ khác,

th) 0018144, @)001; @)0J; () tmtutlsilørgffueimn)

if

1.5: Mi phiin wutiag 06 60 công nha, ong đó có 40 nt vA 20 nan, Tỷ 1g cng nin ng i nghigp phd thdng uung hoc i 154%; Gm WE này đổi

vi nan bi 20%, Gap ngẫu nhiền một công nhìn của phần xuting, Ti ie

bản tốt nghiệp phổ thông tung học?

Vậy

Một phần xưởng có 60 công nhân, trong đó có 41 nữ và 20 nam Tỷ

16 cng nhân nữ tối nghiệp phố thông mg học lề 151%: Côn tỷ lý này đối

vi nam 20 Gặp ngẫu nhiên 2 công nhân cũa phân xưởng Tìm xác

uất để có ít nhất một người tốt nghiệp phổ thông trung học tung sổ 2

Bap?

idl: Goi C la bién cố có ít nhất một công nhân tốt nghiệp PTTH trong số

hai người gap, Vay © li biến cố không có người nàu tối nghiệp PTTH

“Số công nhân chưa tối nghiệp TTH là: 60 ~ (6 +4)=50

Bx snh viên cùng làm bài thí Xác siất lầm được bài của ảnh viên A

R 08 của snh viên B1à 07; của snh viên Cli 0,6 Tìm xác suất của các, biển cổ:

au)

Is

Chương 1+ Nếc ải của biết cổ vả cúc cũng thức tính sóc wad

(2) C0 hai ảnh viên lầm dược bài?

(b) Nết có hai snh viên Hai được bài, tìm xác suất để sinh viên A Không lâm được hài?

GH: (a) Gyi Ay, A2 Ashäfng đa lì các biến cổ sinh viên A, B, C làm đưc bài; D 1 hiển cifc6 hai anh viên lâm được bắt Ta thẩy:

Một hộp dựng 3 bì đồ và 7 bì xanh Lấy ngẫu nhiền ữ hộp sx một bí

Nếu bỉ lấy mì mẫu đỏ thì bỏ vào hộp một hì xanh Nếu bi lẾy m mâu anh

thì bỏ vào hộp một bí mâu đỏ, Sau đó tứ hộp ta tấy tiếp mì một bi,

Iq) Tìm xác siất để bỉ lấy mì lẳn su là bí đồ?

(o) Nếp hai bi lấy đấy ần thứ nhất và lấn thể ha) cũng màu, Tìm xác si để tai bì này cùng mẫu xanh?

Giầi: &a) Gọi Á là biến cố bị My m lần dẫu l bị đồ, sự is A sẽ là biến cố

th ẩy m lên đầu là bì xanh, B1à biển cổ bi lấy et tấn sau lá bí đố VÌ A và

9

Hải wip Nie wt Thing KE

P(BỊ= P(A)P(B/A) + PAJP(BJA),

bì Gọi C3 biến cố hai bí lấy mì cũng mà

cũng màu xanh; Cạ biến cố hat bì lấy mì cùng mầu đỏ Ta có:

1L8: Chỉa ngẫu nhiền 9 bấp ah: (ương đó có 3 hộp kém phẩm chất) thành

3 phẩn, mỗi nhẫn 3 hộp Tĩnh xác siất để mỗi phẩn tử 1 hộp kém phẩm chit?

GIA: Gọi A; = 1,2 3) là biến cố phần thử có 1 hộp sữa kếm phan ett,

‘A.B bign cố mỗi phần cỏ Ì hộp kém phẩm chất Tạ có:

A=A\A, Aaphu thuộc Á.) Ấp dạng công thức nhân xác suất, la cổ:

thứ nhất là BÚ Nếu đạt mẫn thử abãi thì xác suất đạt yêu cầu môn thứ

"ai là 60 Nếu không đại môn thứ nhất thì xác sửấi dạt yêu cầu môn thứ hai là 30%, Hay tính các xác giấU

(a) Sin viên này đạt yêu cầu cả hài môn?

(b) Sinh viên nãy đạt yêu cầu môn thử hai!

e) Sinh viên này đạt yêu cầu ft nhất một môi

(1) Sinh viên nây không đạt yêu cầu cả hai môn?

1.11: Mớt lỗ hàng cố 40 sỉn phẩm loại A và 10 sỉn phẩm loại B Lấy

phẩm

ogi Brung sổ

chưa kiểm tì

4.12: MBL ap 06 100 sinh viến, tung đố có 5Ú ảnh viên học giỗi Anh

văn, 45 ánh viên học giòi Pháp vân, 1U anh viên học giỏi cả Anh văn và

Pháp vân

ả) Gặp ngẫu nhiên mỖi sinh viên của Hg Tính các xác mấc

1- Sinh viên này hoe gidi it nhất một ngoai ngữ?

2- Sinh viên này chỉ giỏi Ot goat nga?

3- Sinh viên này chỉ gi Anh van?

b) Gập ngẫu nhiên 2 4nb viến của lập Tĩnh các xác sui

1- Hài Snh viên này đỀu học giỗi nhất một ngoại ngữ”

a

đập Móc audi Thống Kỳ

'3- Hai ảnh viên nảy đễu không học piổi ngoại ngữ?"

3-Hại ảnh viên này đều chỉ giỏi Anh văn”

1,18: G3 anh viều nhưng chỉ cỗ 2 vẻ đi xem ca nhạc Họ lm 3 lá thăm) trong đó cô hai thăm e6 đánh du Mỗi người lần lượt rất môt lĩ thăm Nổu sĩ tật được thăm cố đảnh dấu tủ đước vẽ để đi xem ca nhạc: Hãy chững mình sự công hìng của cách lầm nãy,

GIBE: Goi A, Aa Ayiuing tng là các biểu cố ánh viên thử nhất, thứ hai,

thữbn rũ ước thăm cố đánh dấu, Ta cổ: Pay-3

PA.) = PCA, IPOA,/A,) 4+ PCAL)PCA (AL)

P(A,)= P(A, Ar U AER PPA) =

"Fa thay P(A) = POA = PAS) Tie khổ năng nit duye thấm có dấu của ba người như nhau, Vì ấy cách lâm nảy là công Đằng

tưởng dẫn: Gọi A lä biến cổ: "tong mốt gi? cả 3 máy sĩa xuất được it nhất l4 sin phẩm dại tên chuẩn” Bi biển cố "ưong một giờ cã 3 mấy sẵn xuất được 1Š sìn phẩm đạt iều chuẩn” C à biển cố "ương một gi?

vi 3 mấy sẵn xuất được L3 sin phẩm đại tiêu chuẩn", Tà 06: A = BU C (8, Cxune kfc),

‘Au, Arn Ar tướng ông là cắc biến cổ máy thử nhất, thứ hai, thử ba sẵn

‘adage 5 sẵn phẩm dạt iễu chuẩn tong môi giữ, Ta cố:

2,

ĐỊC)~P(A,)P(A „]P(B,) + P(Á,JP(B,)PIA,)+ P(B,)P(A;)P(A,)

“Ấn đụng công thức Bemoul, ta nh được

P(B,)=033805, P(B,)=04096: P(B,)=036015:

Vậy: P(C)=0.128

4.18: Hop thử nhất có 8 chai huố (tong đồ có 3 chai kẽm phẩm chất) Hộp thứ bai có 5 chui thuốc (ong đồ có 2 chai kẽm phẩm chất) Lấy ngẫu

“hiên ừ mỗi hộp m một chai

(b) Tìm sắc suất lấy được một chai ốt và một chai kém phẩm chất? (€) Nếu lấy được một chai tối và một chai kếm phẩm chải Tìm xác siất để chai kẻm phẩm chất là của hộp thứ nhất"

Bip st: a2) BeOS ©) % @ > © a9

1 Hộp thử nhất có 8 chai thuốc (ong đó có 3 chai kém phẩm chất) Hộp thứ hai có 5 chai thuốc (rong đồ cổ 2 chai kém phẩm chấu Chọn

ngìu nhiên một hộp tôi hộp đã chọn lấy ngẫu nhiên ta haichai ._, (a) Tìm xác suất ấy đượ 2 chai thuốc tốt?

) Tim xác mất lấy được một chai tốt và một chai kêm phẩm chất? (€) Nếu lấy được mỗi cha tốt và một chai kếm phẩm chất Tìm xác siết hốp thử nhất được chọn?

dp v6 (a) 22 (uy 12 @ 2 Đáp số biện (bì TỔ É)

1.17: Hộp thữ nhất có 13 sin phẩm, Hộp thứ hai vũ 12 sa phẩm (ưang mỗi hộp củ shột phế phẩm) Lấy ngẫu nhiên 1 sỉn phẩm ở hộp thứ nhất bỏ Vào hộp thử hai tồi eủ đã tứ hộp thứ hai ấy ngẫu nhiên m mt sin phim Tin xác siết HỆ được phế phẩm,

GÌ: Gọi AI là hiển cố sn phẩm lấy ở hộp thứ ai là sẵn phẩm của hộp thế nhấi bồ vào

A:lä biến cố sin nhằm là "HH te

LAi,.A2là mỗthệ biển cổ đấy để vì xung khắc

“Trong một hộp có 12 bỏng đèn, tung để cố 3 bông hẳng Lấy ngẫu

cú thờ tự không boàn hi 3 bóng để dũng, Tìm xấc xiấi để:

ống đều hồng"

g đều không hổng?

018 Nếu có một viên trắng thì mục tiêu bị tiều diệt với xác suất là Ô,

"Nếu có hai viên trúng tì mục tiêu bị uêu diệt với xác suất lồ (16; Nếu có

t ngẫu nhủ vo bi, nh xác si để HỆ được bì xanh?

Hướng dẫn: Cụ A, (i= 1, 2.3) là biển cỡ chọn du hộp thứ: B là biển

cổ ly được hai bí xanh tứ bộp đã chọn Ấp dụng công thứ: xắc si đầy

đã cõ: B(B)= Š) P.AI)P(BIÁ,)~TT

Vi Bai xdy a sip lung công thức TRuyos tà ínồ đưực

25

Đáp sĩ:08125

ố 3 hộp, mỗi hộp có 5 sản phẩm Hộp thứ nhấi có sio phẩm loại

B, Hộp thứ hai có 2 sẵn phẩm loa Bị Hộp thứ ba có 3 sin phẩm loi B Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một si phẩm

(a) Tim xác siất để lấy được 3 sỉn phẩm loại BP

(B)Nếu có một sẵn phẩm loại B ương 3 in phẩm lấy m, tim xắc suất

để sin phẩm kui B8 của hộp thứ nhấ

Bap vita) ©; to) tiệc: đỒ nã

Chetan 1: ĩc xuỗi của bit k8 vie eke cg tte Hah se aut

1.88: Cũ 3 hộp, mỗi hập cĩ 5 si phẩm Hộp thứ nhất sĩ 1 sìn phẩm loại

1 Hếp thứ hai cĩ 2 xin phẩm loại H; Hiệp thứ ba cĩ 3 sẵn phẩm ki B, Chon ngẫu nhiền một hộp tồi từ hộp đã chọn lấy ngẫu nhiền m 1 sim phẩm (ấy khơng hồn lại)

a] Tìm xác siế tể lốy được 3 sỈn phẩm lon B2

b) Nếu cĩ một sẵn phẩm loại H rong 3 sie ple Hy aay lìm

1 piip sia) ~| Dip sila) 5+ 9)

"Mi hộp cĩ 6 sin phdor hada tộu khơng hiết chất Maing ela eae sin phim wong hop này, Mọi giá thiết vé af sẵn phẩm tốt cố trung hộp

được xem là đồng khả năne Lấy ngẫu nhiền khơng hoằn bi tử hơp m 3

xin phẩm để kiểm le Ủũ thấy cĩ 2 sẵn phẩm tối Theo hạn Dị

nhiều sỉn phẩm tốt ciHữ5BxzugrlShfursTlgtiTB, hộp? Vĩ su?

ng ddim: 1.2, 6) 1â biển cố uuag hộp co 1 sin phir

181i ise "e2 nẵn phẩm ti ưng 3 sin phẩm

Hy mì từ hập để kiến ta” Ấn dung cơng thức xác siất đẩy dồ, t ah dale PCB) 0135 Dũng cơng hức Bayes tụ £ tính dược:

(a)Tim xic suất để ly dược phể phẩm? Nêu ý nghĩ: thựt lẾ của xác siết này!

(h)Nết ly được mũjagpqtfgoaffeiltanotsraufÖn phẩm đố do phân xưởng não sin xuất) Wi mu?

A và 3 sẵn phẩm lau B), Lấy ngẫu nhi tử mỗi hộp ml 3 sin phẩm,

(anh xúc sấi có 3 sin ph losïA trang 4 sửn phẩm ấy n2

(b)Nếất trong 4 sỉn phẩm lấy m cổ 1 sìn phẩm loại B Tìm xác

sin phi hi Bevin hap hứ nhất?

1.30: Mét cing iy ah Jung hat Roh thức quảng co là quảng cáo lsên đãi

nh banh vi quing eso inin tivi Giả sử có 25% Xhách hàng biết được thông ún quảng cần qui tu và 34 khách hàng hi đực thông n quảng cần gi đầiphất thanh và khích hàng biếi được thông Uì quảng cáo

3w

‘ing Me wa clit Bin owe eng Hae int ae ah

te cả hai hình t

Khách hãng quảng cầu Tìm xấu sất để chụn ngẫu nhiễn mI

tgười đổ biết dược thông tin guảng cáo

.Đâp ví: 049

1.81: Mãi phần xưỜng vd š tnây, rong nuốt giữ mỗi máy sữa xuất được 4

in phẩm, Xác suấ để snáy thể nh, thứ bai thở ha su suất mến phẩm Jogi A tug ứng tà 0.7.0.8:0.9 Tim xd siấi để Hung một gi3cä 3 máy

‘sin suất dược ít nhất | 1 sín phẩm loại A1

vũng Hộp thứ hai eó 5 viên phẩn văng vã 5 viên phấn đủ, Hộp thứ bu cõ

1ũ viên phấn trắng Chơn ngẫu nhiền một viên phấn đ hộp thử nhất hã

sing hộp thứ bai, si ii từ hập thứ hai tú tổ ngẫu nhiền: một viền phẩn hổ sang hộp thứ bu, SẦỤHitsteaggfbiørolSffïi: nhiên một viên phẩn

i vio bop hi ph, Tim xặc si để hộp thử nhất có 5 viên ph: trắng

n phĩn vàng sun khi bỏ viên phĩn lờ bập thể ha vàu hộp thứ phấi?

xu 20% và phần xường 4 sản xuất I0fE sin phẩm của toàn xỉ nghiệp Tỷ

củ các phân nating Ì, 2, 3, 4 ưng ứng lš L%; 29%; 39:49 ign một sín phẩm đo nhã thấy sia xuất

(a) Tim xsie suit dé sỉn phẩm lấy m kiểm tea là sỉn phẩm tối”

(b)Cho biết sỉn phẩm lấy m kiểm um lì phể phẩm Tĩnh xác xuấi để

phẩm đỡ do phần sưng Ì xi xuất"

Đặp vi lạ) (I8: (B192

Moi giả Huết vể sĩ sỉn phẩm lí

năng, Sau kiu chun ngẫu nhiền 6 sìn phẩm ti

1⁄86; Một l0 hàng có 50 sín phẩm Thùng đồ có 2 sản phẩm loại B, sổ côn lại là lưại A Người tụ kiểm trì là hằng theo cách iu: Lấy ngẫu nhiên Không huàn lại từ lô băng rẻ từng sic phẩm để kiểm trụ cho tiến Khi phát

mm đữ 3 sẵn phẩm loại thì việc Liểm Imt dừng lạ, Tĩnh sắc suất để việc kiểm tr dừng lại su khi kiỂM tạ sỉn phẩm thứ tư,

Bap a —

m

Cường 2: Đại hnpng ngẫu tiền rà gu li phần phỏi xác rất

thương 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VẢ QUI LUẬT PHÂN PHỔI XÁC SUẤT

A- TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1- Định nghĩa và phân loại đại lượng ngẫu nhiên

Định nghĩa: Khi thực hiền một nhép thổ, bằng một quy tức (hay một hìm) ta có thể gắn các gií bã bằng số cho những kết quả cũn một phép thử, Các giá ñfỤ2Ÿ9zuenjblrpTìinfindạï lượng ngẫu nhiền Thự vậy khi thực hiền phép th

và chí một giá Hị rore SỐ các giá bị mã nó có thể nhận Việc đại

tieu thể lš một biến cố

ấu đại lượng ngẫu nhiền được ký hiểu lã: X, Y Z- Hote X

Mae MEY Ya coos .L

dai lwing ngẫu nhiên sẼ nhận một

lượng ngẫu nhiên nhã một

lượng ngẫu nhiên X đươc kỷ hiểu lã Xạ Xa .u

b- Phân loại đại lượng ngẫu nhiên

« Đại lượng ngẫu nhiễu rửi rạc: Nếu tập hợp cúc gỉ tr mã nổ có

3- Qui luật phân phối xác suất

thiết lập qui luật phân phổi xác stất cho một dai lượng ngẫu

tu evi thé ding: ang phd pig sat hog ane nhấn phối xic

a Bang phân phổi xác su,

thiết lập qai lui phân phối xác siất cho đại lượng ngẫu nhủ

Giả sử đại lượng ngẫu nhiên rời rục X cổ thể nhận một ong các

ii Ỉ? XI, Xa Ma WH ee ae: SL tưởng Ứng pụ Pa Đi Tốc

(OK =) = 1.3 n) Ring phần phối xác mất của X cổ

b- Hàm phân phối xác suất

Hầm phần ghối xúc suất cứ thể thiết lập cho cả ĐINN rửi mịc và DUNN liên tuc

+ Định nghĩa: Hàm phân phổi

X ]Ný hiệu lã EQx)| là xáe suất để X nhân ghi tị nhỏ hơn 4

FOE PK <x

Riit của dại lượng ngẪU nhiên

+ Tĩnh chấi:

i) 0<Egi<l

il) FOX) BS him khẳng giấm!

naan 3: Đại ng ngẫu nhiễu tà quả luật phân phối xác suất

Hé qué 1: Pa <X <b) = F(b)- Fla)

He gud 2: Xie sud Aé DUNN lién we thận giá tị Xắc định

ceo inate lun bitng 0

HB qué 3: Néu X Mi DUNN fen twe th

Pla SX <b) =Pla <X <b)=P(a SX <b)=Pa<X <b)

c- Ham mat 46 xe suat

+ Định nghĩa: Hàm mặt đã xác siất của ĐỤNN liên Iue X, ký hiệu lä fx), thỏa mãn các điều kiện sau

FO) = Š xp,

Nếu X là ĐLNN liền tục có hàm một độ xắc siất là ftX)Mì

3

soe Per

+ Tĩnh chất

DEO=C (Cli hing số)

i) BO = CER) (Cla dey

iit) x) SEK, }

iV) Nếu Xụ Xs , Xu là các ĐỊNN độc lập đủ:

E(X,X, X,) = EQX,)E(X,) BÓX, )

+ Ý nghĩa: Kỳ vọng toán của một đại lượng ngẫu nhiền chính Wh

giá tị rung bình của đại lượng ngẪu nhiên đó

.hưưng 3+ Đi lưyng ng nhiệt tà qui tu phân phố xá su

+ Ý nghữa: Phương sử thực chất là sử sỸ bình phướng túng hình Phương su của mỗi đại tượng ngẫu nhiên phẩn nh niức đổ sử lệch iữa các gí t của một đại lượng ngẫu nhiên s với giá tr trung hình, c- Độ lệch chuẩn

Đồ lộch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X [kỹ hiệu ØỢX) hoặc Øy] được định nghĩt

x)= vary Chi ý: Độ lech chuŸn cửa đai lượng ngẫu nhiên có đơa vị do trồng với đơn vị đọ của ĐỰNN đó,

ủ- Giá trị tin chắc nhất

Nếu X là ĐUNN rồi nụ thì gửi tị ta chắc nhất của X |kỷ hiểu ModDX] là giế ti của X dog với xác aiất lớn nhất rong bằng phân

Nữu X l ĐỊNH bên tực HP D00) BH uị của X mã ti đồ hàm, mất đổ đạt giá tì cực đại

“Chữ ÿ: Mad(X ) có thể nhần nhiều giá tị khác nhau

B- BÀI TẬP

Ø1 Một xa thủ có 4 viên đạn, Anh ta bẩn lấn lượt tửng viền cho đến

Khi trống mục tiều huậc hết cả viến thì hồi, Tìm qui luật phần phối

xúc suất của số viên đan đã hấn? Biết xác sấi bến trúng mục tiêu của mỗi viên là 0,7,

Giải: Gọi X là số viên dan đã bẩn X là ĐLNN rời rạc có thể nhấn một trong ắc giữ ti 1, 2, 3, 4 Để lập bảng nhấn phối xác suất củu X t5 cắn nh các xác aiết PỊX = Lh PX =2); PQX =3) và POK =A)

Goi À,(L=1,2,3)1à biển cố lần bắn thứ ¡ ng mức tiêu

PIS =1)= PIAL

2.2 Một hộp đựng 5 chai thuốc rong đố cổ một chai thuốc giã Người

ta lẩn lượt kiểm ứa từng chai cho đến khi phát hiện rà chai thuốc giỉ

thì ngững kiểm tr (giã sử các chai thuốc phải qua kiểm tr mới xác đình 1ã chai thuốc gid hay chai thuốc tố), Tm qui luật phn phi sic tết của số chai thuốc được kiểm ta?

Hướng dẫn:

(A) Gọi A; § = 1, , 3) l biển cổ sản phẩm lấy lữ hộp thứ ¡ lí xin phẩm tối

36

CCiuiỜng 3: Đại lưng ä qui luật đi xú

Ta c6: — BAI=09 PA2)=08 — PAj=07: Gọi X là sỡ sin phẩm tối cổ tmng 3 stn phim My ra, X it BLN

ii me cổ thể nhận môt trong ede wid ti 0,12,

"Từ đó t lập bảng phân phối của X

(b) Ky hiểu Bị (j= 1,2, 3)là biển cố chọn được hộp j

Bị, Bạ, Bị là mỗi hế biến cố đẩy đủ và xung khc

POX =1)= P(A, A: Av UAV, As UA

504

Gọi Y là số phế phẩm có trong 3 alu phẩm lấy mì, Y là DINN mạc cổ thể nhận một ong các giá trị 0, 1,2, 3 Ấp đụng cũng thức xác suất đầy đi ta tính được các xác suất:

Chil ¥ Bs PCV =2/B,)=P(Y =3/B,)=P(Y=3/8,)=0

”

Tài p Xúc xiấi 1hổiuy kỳ

Sau khi tính các xác mất PỢY =k) với k =0, 1,2, 3 theo công thức xác siấi đẩy đủ đã nêu ở ưên,t lập bằng phần phấi xác suất của Y'

8.4 Có 3 kiến hàng Kiện thứ nhất có 9 sỉn phẩm loại A vả | sỉn

phẩm loại B: Kiện thử bai cứ 5 sin phẩm laại A và § sin phẩm loại B; Kiện thứ ba có Usin phẩm loại A và 9 sin phẩm loni B,

(6) Chọn ngẫu nhiền một kiện rồi từ kiện đã chọn lẩy ngu nhiều không hoàn hị m 2 sỉn phẩm thì được 2 sỉn phẩm loại A Lấy liếp từ kiến đã chọn m 2 sỉn phẩm Tìn qui luật phân phối kếc sốt cửa sf sin phẩm loại À cổ rong 2 sin phẩm lấy mẩn mơ?

() Chọn ngẫu nhiên 2 kiên rỗi từ bai kiện đã chọn lấy ngẫu nhiền

không hoàn lại tử mỗi kiện m 1 sỉn phẩm Tìm qui luật phân phối xác

suftciia af sin phẩm loi A sổ ương 2 sẵn phẩm lấy ma?

Giải: (a) Gọi A; Œ= l¡ a én thik is,

Cli bign e6 liy due 2 sin phim loai À từ kiện đã chon,

Ấp dụng công thức xác suất đây đủ, ta cót

(b) Gọi A ¡;là biển cố chọn được kiện thử nhất và kiện thứ hai:

iến cổ chọn được kiến thứ nhất và kiện thứ ha;

25 Có 3 kiện hàng, Kiện thứ nhất có 10 ain phẩm loại ; Kiên thứ hai

có 5 sẵn phẩm loại | và S sin phẩm loại I; Kiến thứ ba cổ 10 sin phẩm loại Hi

) Từ mỗi kiện lấy ngẫu nhiên mì 3 sin phẩm Tim qui luật phân

€ aiất của xố sin phẩm loại 1có trong 9 sin phẩm lấy m?

26 GS 3 kiện hàng Kiện thử nhất có 8 sỉn phẩm loại A va 2 sin phẩm loại B; Kiến thử hai có 5 sản phẩm loại A và 5 sin phẩm loại B; Kiến thứ ba có 3 sẵn phẩm loại A và 7 sỉn phẩm loại B

(a) Chọn ngẫu nhiên một kiện tổi từ kiện đã chọn lấy ngẫu nhiền không hoàn lại mì 2 sỉn phẩm thì được 2 sỉn phẩm loại A Ly tiếp từ

4n