§µnh r»ng muèn cã häc sinh giái th× ThÇy ph¶i ®äc nhiÒu,lµm nhiÒu, trang bÞ nhiÒu kiÕn thøc kü n¨ng cho häc sinh.Trong khi trß ( thËm chÝ c¶ ThÇy ) cha t×m ®îc lêi gi¶i cña mét bµi t[r]
Trang 1C NG C C B Ù Á ẠN TRẺ DẠY TOÁN THCS BèNH THỊNH!
-*** -I
Dạy cho học sinh bài tập này rồi đến bài tập khác nếu chỉ chú ý đến số lợng mà thiếu dạy
t duy thì nhiều khi vô ích Đành rằng muốn có học sinh giỏi thì Thầy phải đọc nhiều,làm nhiều, trang bị nhiều kiến thức kỹ năng cho học sinh.Trong khi trò ( thậm chí cả Thầy ) cha tìm đợc lời giải của một bài toán thì việc hớng dẫn cho trò nghiên cứu lời giải thông qua tài liệu là điều cần làm Điều đó sẽ có ý nghĩa khi chúng ta hiểu đựơc các khâu “ chốt ” có tính quyết định của lời giải Kèm theo đó là phải có thái độ nhận xét , phê phán hoặc không thoã mãn những điều còn hạn chế theo nhiều nghĩa : ví dụ nh lời giải còn cha đợc tự nhiên, hoặc cha có tính tổng quát, vv Để rồi từ đó tìm cách khắc phục, hoặc tìm ra lời giải tốt hơn
đi đến những bài toán tổng quát hơn Sau đây là những ví dụ nhằm minh hoạ cho các ý tởng trên nhằm góp phần rền luyện năng lực giải toán cho hoc sinh
II Các ví dụ.
Bài toán sau đây bạn đã từng gặp với nhiều cách giải :
Bài toán I Cho 3 số thực a, b , c thoã mãn:
3
2 , , 0
c b a
c b a
Chứng minh P=a2 b2 c2
.
5
Truớc hết chúng ta xét một lời giải sau của bài toán 1
Lời giải1.
Do vai trò bình đẳng nh nhau của a, b, c nên ta có thể giả sử: abc Từ đó ta có :
2 1 3
3 abc a a (1)
) 0 (
2 2 2 2 2
2
9 6
2 2
Dễ thấy dấu “ = ‘’ trong bài toán 1 xẩy ra khi và chỉ khi ( a; b; c ) = ( 2;1; 0 ) ( có một số bằng 2, một số bằng 1 và một số bằng 0 ) Rõ ràng lời giải rất ngắn gọn! Đọc kỹ lời giải ta rút đợc một số nhận xét sau
Nhận xét 1 : - Khâu chốt quyết định ở lời giải 1 là:
2) Sử dụng tính bình đẳng của các biến.
1) đa ra đợc đánh giá : b2 c2 bc2(*)
dấu ‘ = ‘’ ở (*)
0
0
c b
3) Với b và c không bằng 0 lúc đó (*) không xây ra đẳng thức hay nói cách khác lời giải bài toán sẽ ra sao? ta xét bài toán 2 sau đây.
Bài toán II Cho 3 số thực x, y , z thoã mãn:
12
5
;
; 3
z y x
z y x
Chứng minh
P = x2 y2 z2 50
Ta sẽ tìm cách đa về giả thiết trên đoạn có cận trái là 0 để sủ dụng (*) với lời giải sau đây
Lời giải: Đặt:
3 3 3
z c
y b
x a
Do 3x , y , z 5 0 a;b;c 2 và a+ b + c = 3
Theo bài toán 1 ta sẽ có:
2
2
2
50
2
2
2
x y z Dễ thấy dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ( x; y ; z ) = ( 5;4;3 ) ( có một số bằng 5, một số bằng 4 và một số bằng 3 )
Nhận xét 2 Theo dõi qua trình giải các bài toán trên ta thấy rằng bất đẳng thức tổng quát
cho sự mở rộng (*) là: x k a1k a2k a n k x a1 a2 a nk x 0;a i 0.(k N )
Dấu “ = ”
0
0 3
i
a a
a
a
(**) Bất đẳng thức này có thể chứng minh dễ dàng Từ đó ta có thể đề xuát bài toán tổng quát sau:
Bài toán tổng quát
Trang 2Cho n+1 số x;a1;a2; a n ( n> 2)ãthoã mãn:
a n
b a b
b a a
a x
n i a a
x
n i
1
)
; 1 (
; 0
;
2
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x k a1k a2k a n k với k là số tự nhiên ;
.
2
k
Với giả thiết của các bài toán trên nhng nếu thay P bằng các biểu thức khác mà các biến
có vai trò bình đẳng thì ta sẽ đợc lớp các bài toán tơng tự nhng đầy tính sáng tạo khi giải
nó
Bài toán III.
Cho 2 phơng trình:
x c
bx
ax2 (*) và aax2bxc2bax2bxccx (**) Chứng minh rằng:
1) PT (*) có nghiệm PT (**) có nghiêm.
Lời giải:
Thật vậy giả sử (*) có nghiệm tức là tồn tại x0:ax02 bx0cx0 Suy ra:
2 0 0
2 0 0
2
nghiệm x0.Từ đó ta có mệnh đề 1) đợc chứng minh
Bây giờ có thể ra cho học sinh 2 câu hỏi sau:
Câu hỏi 1: Tìm điều kiện của a,b, c để phơng trình (**) có nghiệm?
Câu hỏi 2: Tìm điều kiện của a,b, c để phơng trình (**) vô nghiệm?
- Sai lầm của học sinh trả lời câu hỏi 1 là : “ Điều kiện để (**) có nghiệm là phơng
trình (*) có nghiệm
- Sai lầm của học sinh trả lời câu hỏi 2 là: “ Điều kiện để (**) vô nghiệm là phơng
trình (*) vô nghiệm
Thực ra mệnh đề 1) mệnh đề: “ Phơng trình (**) vô nghiệm PT (*) vô
nghiệm”
Nh vậy việc trả lời 2 câu hỏi trên là cha có cơ sở
Với 2 câu hỏi trên thực chất là tìm đk cần và đủ của a, b, c để phơng trình (**) vô
nghiệm ( có nghiệm)
Nh vậy lời giải trên không có hiệu lực để trả lời các câu hỏi 1) và 2) Ta phải đi tìm một
h-ớng khác để giải
Để giải (**) ta đa (**) về hệ đối xứng bằng cách đặt : yax2 bxc.Khi đó (**) tơng
đơng với:
) 2 ( 0 1
) 1 ( 0
) 1 )(
(
2
2 2
2 2
y c bx ax
b ay ax
y c bx ax
y x b
ay ax y x
y c bx ax y
c bx ax
x c by ay
Vậy (**) vô nghiệm
vn
vn
) 2 (
) 1 (
(1)
) 3 ( 0 ) 1 (
ax
y x
Vô nghiệm
) ( 4 ) 1 ( 0 0
; 1
; 0 0
) 1 (
2
ac b
a c b a vn
c b
x
ax
4 4 ) 1 ( 0 ) 1 ( 4 ) 1 ( )
0 ( 0 1 )
(
1
; 0 )
2
ac b
ac b
a vn
a b
a x a ab x a
b a vn
Kết hợp cả 2 trờng hợp trên ta có: “ Điều kiện cần và đủ để phơng trình (**) vô nghiệm là
Trang 3
4
)
1
(
0
;
1
;
0
2 ac
b
c
b
a
Chú ý rằng đây cũng chính là điều kiện cần và đủ để (*) vô nghiêm Nhng kết
luận của học sinh ở trên kia là một sự “ hú hoạ “ mà thôi
Từ đó ta có 2 mệnh đề đúng sau : “ pT (**) vn PT (* ) vn ” và “ PT (**) có nghiệm (*)có nghiêm.”
Từ kết quả này ta có thể sáng taọ nhiều bài toán về giải phơng trình rất hấp dẫn
II Các ví dụ áp dụng.
Ví dụ 1 Giải phơng trình: x2 x 22 x2 x 2 2 x.(1) có dạng (**)
Ta xét phơng trình : x 2 x 2 x. (2) có dạng (*) ở đây a=1; b = -1; c=2
Do (2) x2 2x 2 0vô nghiệm vậy (1) vô nghiệm
Ví dụ 2 Giải phơng trình : 4 2 3 4 2 4 4 0
Trớc hết ta viết x4 2x3 4x2 4x 4 0 x4 2x3 4x2 5x 4 x.Bây giờ ta tìm các
số m và n sao cho: x4 2x3 4x2 5x 4 x2mxn2mx2 mxnn
Bằng cách đồng nhất các hệ số của các đa thức ở 2 vế ta có hệ:
2 1 4
5 2
4 2
2
2
2
2
2
n m n
mn
n
m
mn
n
m
m
m
Do phơng trình x2 x 2 x x2 2x 2 0 Đây cũng là nghiệm của (3) Từ đó:
( 3) x2 2x 2x2 2 0 x1 1 3 ;x2 1 3 ;x3 2 ;x4 2
Ví dụ 3 Phơng trình sau đây có nghiệm hay không:
x 2 x 12 2x 2 x 1 1 x.
Đkiện x 0
.(*) 1 ) 1 2 ( 2 )
1
2
(t2 t 2 t2 t t
Xét phơng trình: t2 2t 1 t ( 2 1 0
t t ) vô nghiệm nên (*) vô nghiệm Vậy
ph-ơng trình đã cho vô nghiệm
III Kết luận Trên đây là những câu chuyện dạy học toán theo lối suy nghĩ tôi đã từng
làm Hiện nay tài liệu toán thật nhiều Nhng ý tởng dạy và rèn luyện t duy thì phải thực
hiện theo những con đờng không phải theo kiểu chạy tìm giữa biển ,bởi các bài toán cũng
mênh mông nh biển cả
Bài viết dừng lại ở đây
Sau đây là một số bài tập tự giải mà quá trình hình thành trong quá trình suy luận ở trên
Một số bài tập.
1 Cho 3 số thực a, b , c thoã mãn:
3
2
; 0 , ,
c b a
c b a
Chứng minh: 4 4 4 17
2 Cho 3 số thực a, b, c thoã mãn:
6
3
;
; 1
c b a
c b a
Chứng minh rằng 3 3 3 36
a
3 Cho 4 số thực a, b, c, d thoã mãn :
8
4 , , , 0
d c b a
d c b a
Chứng minh: a) 2 2 2 2 32
a
Trang 4b) 3 3 3 3 128
a
4.Cho 3 số thực a,b , c thoã mãn :
3
2
; 0 , ,
c b a
c b a
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 (b c) b2 (a c) c2 (a b) 2abc
( Đs: MaxP = 6 )
5.Cho 4 số thực a, b , c ,d thoã mãn:
8
4
; 0
;
;
;
d c b a
d c b a
Tìm giá trị lớn nhất của P =
) (
2 ) (
) (
) (
)
2 b c d b c d a c d a b d a b c abc bcd cda dab
(Đs: Max P = 128)
6 Giải các phơng trình sau:
0 9 9
8 x x
x
7 Tìm m để phơng trình sau vô nghiệm: 2 42 2 2 ( 1 ) 4 4 0
x
(Nguyễn Tiến Minh THPT Hồng Lam )