Chuyên đề ôn thi thpt quốc gia môn toán 2021

Tính xác suất P để trong 3 số tự nhiên được chọn không có 2 số tự nhiên liên tiếp Câu 1.45.. Cho tập hợp X gồm các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau có dạng abcdef ˙Từ X lấy ng

Trang 2

Phần 1 Đại số và Giải tích 2

1 Tổ hợp - Xác Suất 2

A Kiến thức cần nhớ 2

1 Hai quy tắc đếm cơ bản 2

2 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp 2

3 Tính xác suất 4

B Bài tập mẫu 4

C Bài tập tương tự và phát triển 4

1 Mức độ 1 5

2 Mức độ 2 7

3 Mức độ 3 8

4 Mức độ 4 15

2 Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân 20

1 Cấp số cộng 20

2 Cấp số nhân 20

1 Mức độ 1 22

2 Mức độ 2 25

3 Hàm số 29

1 Tính đơn điệu của hàm số 29

2 Điểm cực trị của hàm số 30

3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 31

4 Tiệm cận của đồ thị hàm số 32

5 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 33

6 Sự tương giao đồ thị 33

7 Đạo hàm của hàm số hợp 33

Trang 3

8 Lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x) khi biết đồ thị hàm số y = f0(x) 33

9 Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) = f (x) + u(x) khi biết đồ thị hàm số y = f0(x) 33

1 Mức độ 1 34

2 Mức độ 2 60

3 Mức độ 3 116

4 Mức độ 4 161

4 Lô - ga - rít 206

1 Các công thức thường dùng để giải phương trình - bất phương trình lô-ga-rít 206

2 Các công thức thường dùng để giải phương trình - bất phương trình mũ 206

3 Hàm số mũ 207

4 Hàm số lô-ga-rít 207

5 Giới hạn đặc biệt 208

6 Đạo hàm 208

7 Áp dụng tính đơn điệu 208

8 Lãi đơn 208

9 Lãi kép 209

1 Mức độ 1 210

2 Mức độ 2 214

3 Mức độ 3 228

4 Mức độ 4 257

5 Nguyên hàm - Tích phân - Ứng dụng 273

1 Định nghĩa nguyên hàm 273

2 Tính chất nguyên hàm 273

3 Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp 273

4 Một số phương pháp tính nguyên hàm 274

5 Nguyên hàm của hàm ẩn 275

6 Định nghĩa tích phân 276

7 Tính chất tích phân 276

8 Phương pháp đổi biến số 277

9 Phương pháp tích phân từng phần 278

Trang 4

1 Mức độ 1 279

2 Mức độ 2 285

3 Mức độ 3 297

4 Mức độ 4 322

6 Số phức 336

1 Định nghĩa 336

2 Số phức liên hợp 336

3 Biễu diễn hình học 336

4 Môđun của số phức 336

5 Các phép toán trên tập số phức 336

6 Căn bậc hai của số thực âm 337

7 Giải phương trình bặc hai trên tập số 337

8 Điểm biểu diễn số phức 337

9 Nhận xét 337

1 Mức độ 1 338

2 Mức độ 2 345

3 Mức độ 3 355

4 Mức độ 4 363

Phần 2 Hình học 370 1 Góc, khoảng cách trong không gian 371

1 Góc giữa hai đường thẳng 371

2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 372

3 Góc giữa hai mặt phẳng 373

1 Mức độ 1 374

2 Mức độ 2 375

3 Mức độ 3 381

4 Mức độ 4 393

Trang 5

2 Khối đa diện 395

1 Thể tích khối chóp 395

2 Thể tích lăng trụ 395

3 Tỉ số thể tích 395

4 Các diện tích đa giác thường gặp 396

1 Mức độ 1 397

2 Mức độ 2 400

3 Mức độ 3 406

4 Mức độ 4 416

3 Khối tròn xoay 424

1 Mức độ 1 425

2 Mức độ 2 429

3 Mức độ 3 440

4 Mức độ 4 463

4 Hình học không gian Oxyz 469

1 Tọa độ vec-tơ và tọa độ điểm 469

2 Đường thẳng 470

3 Mặt phẳng 471

1 Mức độ 1 473

2 Mức độ 2 488

3 Mức độ 3 507

4 Mức độ 4 524

Trang 6

TRUNG TÂM DẠY HỌC PHÂN HÓA

LE HOANG EDUCATION THÔNG BÁO TUYỂN SINH CÁC LỚP TOÁN - LY - HÓA - VĂN - SINH - ANH

F Chuyên ôn luyện vào các trường TOP 1.

F Nhóm giáo viên hàng đầu trong lĩnh vự luyện thi THPT Quốc gia.

F Chọn lớp để học những phương pháp giải đề mới - hiệu quả nhất.

Trang 7

• Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì n(A ∪ B) = n(A) + n(B).

Trang 9

• Nếu hai biến cố A, B xung khắc thì P (A ∪ B) = P (A) + P (B).

• Nếu các biến cố A1, A2, A3, , A k xung khắc nhau thì

P (A1∪ A2∪ A3 ∪ A k ) = P (A1) + P (A2) + + P (A k)

• Công thức tính xác suất biến cố đối Xác suất của biến cố A của biến cố A là

P A = 1 − P (A).

• Quy tắc nhân xác suất

• Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P (AB) = P (A) · P (B).

• Một cách tổng quát, nếu k biến cố A1, A2, A3, , A k là độc lập thì

1 Dạng toán: Đây là dạng toán dùng quy tắc đếm hoặc tính số tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị.

2 Hướng giải: Chọn 2 học sinh bất kỳ trong số 10 học sinh, số cách chọn bằng số tổ hợp chập

2 của 10 phần tử là C2

10

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Chọn 2 học sinh bất kỳ trong số 10 học sinh, số cách chọn bằng số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử là

C210

C BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

Trang 10

1 Mức độ 1

Câu 1.1. Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu đen đượcđánh số từ 7 đến 9 Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?

Câu 1.2. Lớp 12A có 43 học sinh, lớp 12B có 30 học sinh Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh từ lớp 12A

và 12B Hỏi có bao nhiêu cách?

Trang 11

Câu 1.12. Có bao nhiêu hình vuông trong hình dưới đây?

1cm 1cm

Câu 1.13. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?

Câu 1.14. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ở góc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt; cứ thế

ở các góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt (các điểm không nằm

trên các trục toạ độ) Trong 14 điểm đó ta lấy 2 điểm bất kỳ và nối chúng lại, hỏi có bao nhiêu đoạn

thẳng cắt hai trục toạ độ, biết đoạn thẳng nối 2 điểm bất kì không qua O.

Câu 1.15. Cho tập hợp số A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Hỏi có thể lập thành bao nhiêu số có 4 chữ số

khác nhau và chia hết cho 3?

Trang 12

Câu 1.21. Từ thành phố A tới thành phố B có 3 con đường, từ thành phố B tới thành phố C có 4 con đường Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A tới C qua B?

Câu 1.29. Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt A1, A2, , A10 trong đó có 4 điểm A1, A2, A3,

A4 thẳng hàng, ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh đượclấy trong 10 điểm trên?

Câu 1.30. Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinhlớp 12C Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biễu diễn trong lễ bế giảng Hỏi có baonhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?

Trang 13

Câu 1.33. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và khôngchia hết cho 5?

Câu 1.34. Một đoàn tàu có bảy toa đỗ ở sân ga Có năm hành khách bước lên tàu Có bao nhiêutrường hợp có thể xảy ra về cách chọn toa tàu của năm hành khách, biết rằng không có toa nào chứanhiều hơn một hành khách?

Câu 1.41. Gọi X là tập các số tự nhiên có 5 chữ số Lấy ngẫu nhiên hai số từ tập X Xác suất để

nhận được ít nhất một số chia hết cho 4 gần nhất với số nào dưới đây?

Câu 1.42. Gọi A là tập các số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Từ A

chọn ngẫu nhiên một số Xác suất để số được chọn có mặt chữ số 3 và chữ số 3 đứng ở chính giữalà

Trang 14

Câu 1.43. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Gọi B là tập hợp các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ A Chọn thứ tự 2 số thuộc tập B Xác suất để 2 số được chọn có đúng một số có

Câu 1.44. Chọn ngẫu nhiên 3 số tự nhiên từ tập hợpM = {1; 2; 3; ; 2019} Tính xác suất P để

trong 3 số tự nhiên được chọn không có 2 số tự nhiên liên tiếp

Câu 1.45. Xét tập hợp A gồm tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau Tính xác suất để số

được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước

Trang 15

Câu 1.53. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số

1, 2, 3, 4, 5 Chọn ngẫu nhiên từ S một số Tính xác suất để số được chọn là số chia hết cho 6.

Câu 1.54. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số Chọn ngẫu nhiên từ S một phần tử Xác

suất để số được chọn chia hết cho 7 và có số hàng đơn vị bằng 1

Câu 1.55. Cho một bảng ô vuông 3 × 3

Điền ngẫu nhiên các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vào bảng trên (mỗi ô chỉ điền một số) Gọi A là biến cố

“Mỗi hàng, mỗi cột bất kì đều có ít nhất một số lẻ” Xác suất của biến cố A bằng

Câu 1.56. Cho tập hợp X gồm các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau có dạng abcdef ˙Từ

X lấy ngẫu nhiên một số Xác suất để số lấy ra là số lẻ và thỏa mãn a < b < c < d < e < f là

Câu 1.57. Gọi S là tập các số tự nhiên có 5 chữ số Chọn ngẫu nhiên từ tập S một phần tử Xác

suất để số chọn được chia hết cho 7 và có số hàng đơn vị là 1 là

Trang 16

Câu 1.61. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Lấy ngẫu nhiên một số từ S Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là lẻ

Câu 1.62. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có bảy chữ số Xác suất để số được chọn

số có các chữ số cách đều chữ số chính giữa thì giống nhau

Câu 1.63. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ

số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Lấy ngẫu nhiên một số từ S Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là

Câu 1.67. Gọi A là tập các số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ các chữ số

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Từ A chọn ngẫu nhiên một số Tính xác suất để số được chọn có hai chữ số 2 và 6

Câu 1.68. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập

A = 1; 2; 3; 4; 5; 6 Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S Tính xác suất để số được chọn có tổng 3 chữ

Câu 1.69. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt được lấy từ các số

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Chọn ngẫu nhiên một số từ S Tính xác suất để chọn được số chỉ chứa 3 số

Trang 17

Câu 1.71. Một túi đựng 10 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 10 Rút ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ túi

đó Xác suất để tổng số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 5 bằng

Câu 1.73. Có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chọn từ tập A =

{1; 2; 3; 4; 5} sao cho mỗi số lập được luôn có mặt chữ số 3?

Câu 1.74. Trên đường thẳng d1 cho 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 song song với đường

thẳng d1 cho n điểm phân biệt Biết có tất cả 175 tam giác được tạo thành mà 3 đỉnh lấy từ (n + 5) điểm trên Giá trị của n là

Câu 1.75. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có sáu chữ số

và thỏa mãn các chữ số của mỗi số là khác nhau và chữ số hàng nghìn lớn hơn 2?

Câu 1.77. Cho đa giác đều A1A2A3 A30 nội tiếp trong đường tròn (O) Tính số hình chữ nhật

có các đỉnh là 4 trong 30 đỉnh của đa giác đó

Câu 1.78. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0, không có hai chữ số 0nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần?

Câu 1.79. Từ các chữ số thuộc tập hợp S = {1; 2; 3; ; 8; 9} có bao nhiêu số có chín chữ số khác

nhau sao cho chữ số 1 đứng trước chữ số 2, chữ số 3 đứng trước chữ số 4 và chữ số 5 đứng trước chữ

Trang 18

Câu 1.81. Cho một đa giác đều 2n đỉnh (n ≥ 2, n ∈ N) Tìm n biết số hình chữ nhật được tạo ra

từ bốn đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác đó là 45.

Câu 1.82. Hai bạn An và Bình cùng 7 bạn khác rủ nhau đi xem bóng đá 9 bạn được xếp vào 9 ghếthành một hàng ngang Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 9 bạn sao cho An và Bình không ngồicạnh nhau?

Câu 1.83 (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BGD 2019-1020). Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang

Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B bằng

Câu 1.84. Một hộp đựng thẻ được đánh số từ 1, 2, 3, , 8 Rút ngẫu nhiên hai lần, mỗi lần một

thẻ và nhân số ghi trên hai thẻ với nhau, xác suất để tích nhận được là số chẵn là

Câu 1.85. Một hộp đựng thẻ được đánh số từ 1, 2, 3, ., 9 Rút ngẫu nhiên hai lần, mỗi lần một

thẻ và nhân số ghi trên hai thẻ với nhau, xác suất để tích nhận được là số chẵn là

Trang 19

Câu 1.90. Một hộp kín có 5 bút bi màu xanh khác nhau và 10 bút bi màu đỏ khác nhau Lấy ngẫunhiên 3 bút bi Xác suất để lấy được 1 bút bi xanh và 2 bút bi đỏ là

Câu 1.95. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ

số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính

Câu 1.98. Trong một trò chơi điện tử, xác suất để An thắng trong một trận là 0, 3 (không có hòa).

Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó

Trang 20

Câu 1.100. Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh đượcđánh số từ 1 đến 5; có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh

số từ 1 đến 3 Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp, tính xác suất để 2 viên bi được lấy vừa khác màuvừa khác số

Câu 1.107. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số (không nhất thiết khác nhau) được lập

từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 Chọn ngẫu nhiên một số abc từ S Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn a ≤ b ≤ c.

Câu 1.108. Có 60 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 50 Rút ngẫu nhiên 3 thẻ Tính xác suất để tổng các

số ghi trên thẻ chia hết cho 3

Trang 21

201 mặt phẳng phân biệt.

Câu 1.114. Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngangsao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng nhưvậy?

Trang 22

Câu 1.119. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khácnhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị?

Câu 1.124. Một túi đựng 10 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 10 Rút ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ túi

đó Xác suất để tổng số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 bằng

C3 10

Câu 1.125. Có 60 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 50 Rút ngẫu nhiên 3 thẻ Tính xác suất để tổng các

số ghi trên thẻ chia hết cho 3

Trang 23

Câu 1.130. Gọi M là tập tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau và có dạng

a1a2a3a4a5a6 Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn, đồng thời thỏa mãn a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > a6

Câu 1.132. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số (không nhất thiết khác nhau) được lập

từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Chọn ngẫu nhiên một số abc từ S Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn a ≤ b ≤ c.

Câu 1.133. Gọi X là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8, 9 Lấy ngẫu nhiên một số trong tập hợp X Gọi A là biến cố lấy được số có đúng hai chữ

số 1, có đúng hai chữ số 2, bốn chữ số còn lại đôi một khác nhau, đồng thời các chữ số giống nhau

không đứng liền kề nhau Xác suất của biến cố A bằng

Câu 1.136. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt được lấy

từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 8, 9 Tính xác suất để chọn được số lớn hơn số 2019 và bé hơn số 9102

Trang 24

Trên mặt phẳng Oxy, ta xét một hình chữ nhật ABCD với các

điểm A(−2; 0), B(−2; 2), C(4; 2), D(4; 0) (hình vẽ) Một con châu

chấu nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật

sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có tọa độ

nguyên (tức là điểm có cả hoành độ và tung độ đều nguyên) Tính

xác suất để nó đáp xuống các điểm M (x; y) mà x + y < 2.

O

A

D I

Câu 1.139. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp Gọi P là tích của ba số ở

ba lần tung (mỗi số là số chấm trên mặt xuất hiện ở mỗi lần tung), tính xác suất sao cho P không

Câu 1.140. Gọi S là tập các số có 7 chữ số đôi một khác nhau Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính

xác suất để số chọn được có các chữ số 3, 4, 5 đứng liền nhau và các chữ số 6, 9 đứng liền nhau

Trang 25

Nếu cấp số cộng (u n ) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát u n được xác định

bởi công thức u n = u1 + (n − 1)d với n ≥ 2.

 Tính chất

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai

số hạng đứng kề với nó, nghĩa là u k = uk−1 + u k+1

Nếu cấp số nhân (u n ) có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát u n được xác định

bởi công thức u n = u1 · q n−1 với n ≥ 2.

 Tính chất

Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích

của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là u2

k = u k−1 · u k+1 với k ≥ 2.

 Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân (u n ) với công bội q 6= 1 Đặt S n = u1+ u2+ · · · + u n Khi đó S n= u1(1 − q

n)

 Cấp số nhân lùi vô hạn

• Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q sao cho |q| < 1.

Trang 26

• Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Cho (u n) là cấp số nhân lùi vô hạn có

công bội q Khi đó tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức

• Bài toán khác liên quan tổng của cấp số cộng

• Điều kiện để dãy số thành cấp số cộng

• Điều kiện để nghiệm của phương trình lập thành cấp số cộng

• Toán đố, toán thực tế, liên môn về cấp số cộng

• Nhận dạng, khai triển cấp số nhân

• Xác định u1, q, n, u n , S n của cấp số nhân (cụ thể)

• Xác định u n , S n của cấp số nhân (tổng quát)

• Bài toán khác liên quan tổng của cấp số nhân

• Điều kiện để dãy số thành cấp số nhân

• Điều kiện để nghiệm của phương trình lập thành cấp số nhân

• Toán đố, toán thực tế, liên môn về cấp số nhân

• Bài toán liên quan đến cấp số nhân lùi vô hạn

• Toán tập hợp cả cấp số nhân và cấp số cộng .

Trang 27

B2 Kết quả công sai d = u n+1 − u n.

Trang 28

Câu 2.8. Cho cấp số nhân (u n ) vói u1 = −2 và công bội q = 3 Khi đó u2 bằng

Câu 2.9. Cho cấp số nhân (u n ) với số hạng đầu u1 = −3 và công bội q = 2

3 Số hạng thứ năm củacấp số nhân bằng

Trang 29

Câu 2.21. Cho cấp số cộng (u n ) có u1 = 28 và công sai d = −6 Hỏi −32 là số hạng thứ mấy của

Câu 2.24. Cho cấp số cộng (u n ) có công sai d và S n là tổng n số hạng đầu của cấp số cộng Công

thức nào sau đây là đúng?

Câu 2.26. Cho cấp số nhân (u n ) biết u n = 2n

, ∀n ∈ N∗ Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp

Trang 30

Câu 2.33. Công thức nào sau đây đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d?

B Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là cấp số cộng với công sai bằng 1

C Một cấp số cộng có công sai dương là dãy số tăng

D Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương

Câu 2.37. Trong các dãy số hữu hạn dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?

Câu 2.38. Cho cấp số nhân (u n ) có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = −2 Số hạng thứ 5 của cấp

số nhân (u n) bằng bao nhiêu?

Câu 2.40. Cho một cấp số cộng có u1 = −1; d = −2 Hãy chọn kết quả đúng.

A Dạng khai triển −1, 0, 1, 2, 3, B Dạng khai triển −1, 0, 2, 3, 4,

C Dạng khai triển −1, −3, −5, −7, D Dạng khai triển −1, 1, 3, 5,

Câu 2.41. Cho cấp số cộng (u n ) có u1 = −0,1, d = 0,1 Tìm số hạng thứ 7 của cấp số cộng này.

Trang 31

Câu 2.44. Cho cấp số cộng (u n ) với u1 = −21 và công sai d = 3 Tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp

Câu 2.47. Cho cấp số nhân (u n ) với u1 = −1

2; u7 = −32 Công bội q của cấp sổ nhân đã chobằng

Câu 2.51. Cho cấp số nhân (u n ) có u1 = 1 và u2 = 6 Hãy tìm công bội q của cấp số nhân đã

Trang 32

Câu 2.56. Cho cấp số cộng (u n ) có u27+ u2 = 83 Khi đó tổng 28 số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Trang 33

A a2+ c2 = 2ab + 2bc. B a2+ c2 = 2ab − 2bc.

Câu 2.68. Xác định a để ba số 1 + 3a, a2+ 5, 1 − a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

2

Câu 2.69. Xác định x để ba số x − 2, x + 1, 3 − x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Trang 34

D ẠNG 3 HÀM SỐ

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Tính đơn điệu của hàm số

Định lí 1.

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f0(x) ≥ 0, ∀x ∈ K.

b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f0(x) ≤ 0, ∀x ∈ K.

Định lí 2.

a) Nếu f0(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số f đồng biến trên K.

b) Nếu f0(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số f nghịch biến trên K.

c) Nếu f0(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số f không đổi trên K.

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng Khi đó

phải có thêm giả thiết “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó” Chẳng hạn:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và f0(x) > 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a; b].

Ta thường biểu diễn qua bảng biến thiên như sau

a) Nếu f0(x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f0(x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.

b) Nếu f0(x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f0(x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.

Trang 35

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y = f (x) trên tập xác định

Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm x0 ∈ (a; b).

 Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) < f (x0) với mọi x ∈ (x0 − h; x0 + h) và x 6= x0 thì ta nói

hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x0

 Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) > f (x0 ) với mọi x ∈ (x0− h; x0+ h) và x 6= x0 thì ta nói

hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x0

b Chú ý:

• Hàm số y = f (x) có đạo hàm đổi dấu từ − sang + tại x = x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại

x = x0, giá trị cực tiểu y = y(x0).

• Hàm số y = f (x) có đạo hàm đổi dấu từ + sang − tại x = x0 thì hàm số đạt cực đại tại

x = x0, giá trị cực đại y = y(x0)

• Nếu hàm số y = f (x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm

cực tiểu) của hàm số; f (x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu

là yCĐ ( yCT ), còn điểm M (x0; f (x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thịhàm số

• Các điểm cực đại và các điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giátrị cực tiểu) được gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số

Trang 36

3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

a Định nghĩa

Cho hàm số y = f (x) xác định trên miền D.

X Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên D nếu:

c Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục trên một đoạn Giả

sử hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] Khi đó, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm f trên đoạn [a; b] ta làm như sau:

 Tìm các điểm x1; x2; ; x n thuộc (a; b) sao cho tại đó hàm số f có đạo hàm bằng hoặc không

Trang 37

Quy tắc trên chỉ được sử dụng trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất của hàm số trên một đoạn

Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng

(nửa khoảng) thì ta phải tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm f (x) rồi dựa

vào nội dung của bảng biến thiên để suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

hàm f (x) trên khoảng (nửa khoảng) đó.

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) có thểkhông tồn tại

Với bài toán đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn phụ

4 Tiệm cận của đồ thị hàm số

a Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất

một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn

b Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất

một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

 Nếu m < n (C) có tiệm cận ngang y = 0.

 Nếu m = n thì (C) có tiệm cận ngang y = a m

b n.

Trang 38

− Phương trình (∗) được gọi là phương trình hoành độ điểm chung của (C) và (C0).

− Số nghiệm của (∗) chính là số điểm chung của hai đồ thị

− Nếu (∗) vô nghiệm thì hai đồ thị không có điểm chung

8. Lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x) khi biết đồ thị hàm số y = f0(x)

B1 Xác định giao điểm của đồ thị hàm số y = f0(x) với trục hoành.

B2 Xét dấu của hàm số y = f0(x), ta làm như sau

• Phần đồ thị của f0(x) nằm bên trên trục hoành trong khoảng (a; b) thì f0(x) > 0,

x ∈ (a; b).

• Phần đồ thị của f0(x) nằm bên dưới trục hoành trong khoảng (a; b) thì f0(x) < 0,

x ∈ (a; b).

9. Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) = f (x) + u(x) khi biết đồ thị hàm số y = f0(x)

B1 Đạo hàm g0(x) = f0(x) + u0(x) Cho g0(x) = 0 ⇔ f0(x) = −u0(x).

B2 Xác định giao điểm của đồ thị hàm số y = f0(x) và đồ thị hàm số y = −u0(x).

B3 Xét dấu của hàm số y = g0(x), ta làm như sau

Trang 39

• Phần đồ thị của f0(x) nằm bên trên đồ thị −u0(x) trong khoảng (a; b) thì g0(x) > 0,

Định lí: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f0(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f (x) đồng biến trên K.

b) Nếu f0(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K.

Trong khoảng từ (−1; 0) đạo hàm f0(x) < 0 với mọi x ∈ R nên hàm số đã cho nghịch biến.

Trang 40

C Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3; +∞).

D Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; 3)

Câu 3.3. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R \ {−1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có

bảng biến thiên như hình sau Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1)

B Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞)

C Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; +∞)

D Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1)

Câu 3.4. Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Định dạng
Số trang	542
Dung lượng	7,19 MB