chuyen de he phuong trinh bat phuong trinh

Tức là (*) là bất phương trình bậc hai với m có nghiệm.. Tìm a hệ bất phương trình sau có nghiệm:.. Thực chất của việc giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc cao là việc hạ [r]

BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

A MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN:

•Ta kí hiệu x = (x1,…, xn) với x1,…, xn là các biến Khi đó biểu thức f(x1,…,xn) được viết gọn là f(x)

•Bất phương trình là hai biểu thức chứa biến nối với nhau bởi dấu bất đẳng thức

•Trong bất phương trình f(x) g(x) (*), thì x được gọi là ẩn số hoặc biến số của bất phương trình (*); Nếu các giá trị của các biến x1, x2, …,xn thuộc tập K thì (*) được gọi là bất phương trình của n ẩn x1, x2, …,xn trên K Tập con S của Kn

được gọi là tập xác định của bất phương trình (*) nếu f(a) và g(a) có nghĩa vói mọi a ∈ S

• Nếu a S làm cho f(a) ≤ g (a) đúng, thì a được gọi là một ngiệm của bất phương trình (*) Nếu b ∈ S mà f(b) ≤ g (b) không xảy ra thì b không là nghiệm của (*)

•Giải bất phương trình (*) trên tập con T của S là đi tìm tập hợp tất cả các nghiệm của (*) nằm trong T Gỉa sử L là tập nghệm của (*) thì L có thể là tập hữu hạn hay vô hạn Nếu L = thì ta nói bất phương trình vô nghiệm trong T

B.CÁC LOẠI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH.

1 Dạng ax +b>0 (bất phương trình bậc nhất một ẩn)

Phương pháp giải: a>0 thì tập nghiệm D={x∨x >−b

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn luôn là một khoảng

hoặc nửa khoảng đóng hoặc mở

Giải: Nghiệm là miền giới hạn bởi ∆ ABC trừ các biên

Nhận xét: khi giải hệ bất phương trình bâc nhất thì ta giải từng bất phương trình và

lấy giao của các miền nghiệm Tương tự với hệ bất phương trình nhiều ẩn.

- Chỉ xét m≥ 0

- (4) được biểu diễn bởi (0 ;√m)

Hệ có nghiệm ⟺ OH ≤√m ≤ max{OA , OB ,OC} =OA=√20

Xét trường hợp tương tự với T là phương trình xác định ellip

6 Tìm điều kiện cần và đủ hệ bất phương trình sau có nghiệm:

{−ax−by<0 cx +dy <0

x>0 , y>0

(a , b , c , d >0)

Lời giải:

⟹¿ Giả sử hệ đã cho có nghiệm {x0 >0

y0> 0 thoả mãn { a x0 −b y0<0

−c x0+d y0< 0Suy ra {a x0 <b y0

d nên hệ đã cho luôn có nghiệm

Vậy điều kiện cần và đủ hệ có nghiệm là ad−bc<0.

trong đó a ≠ 0 được gọi là bất phương trình bậc hai một ẩn.

Một bất phương trình bậc hai một ẩn đều đưa được về dạng

Ta nhận được nghiệm của bất phương trình bậc hai như sau:

1 Giải bất phương trình sau: 2 x2−3 x +1 ≤0

2 Giải và biện luận bất phương trình:

f ( x )=(m−1) x2+2(2 m−5 ) x +(m−1) ≥0 (1)

Giải:

Nếu a=m−1=0 ⟺m=1 ⟹ f(x) =−6 x ≥ 0⟺ x ≤0.

Nếu a ≠ 0 ⟺ m≠ 1 thì f (x) là tam thức bậc hai

(*) Tìm m tập nghiệm bất phương trình thoả mãn tính chất nào đó

3 Tìm m bất phương trình sau nghiệm đúng với ∀ x ≥1

f ( x )=(m−1) x2

+2(2 m−5 ) x +(m−1)>0

Giải:

*) Nếu a=m−1=0 ⟺m=1 ⟹ f (x) =−6 x >0⟺ x <0 Vậy m=1 không thoả mãn

*) Nếu a ≠ 0 ⟺ m≠ 1 thì f (x) là tam thức bậc hai

bất phương trình nghiệm đúng với ∀ x ≥1 chỉ có thể xảy ra một trong hai khả năng sau:

Đáp số: −3 ≤m ≤1.

2 Tìm m sao cho cos 2 x+mcos x +4 ≥0 ∀ x

3 Tìm a nhỏ nhất để bất phương trình sau thoả mãn với ∀ x ∈[0;1]

2 Bất phương trình tương đương:

Hai bất phương trình (hoặc một bất phương trình và một phương trình) là tươngđương nếu tập hợp nghiệm của chúng là trùng nhau

Ví dụ: Xác định a, b sao cho phương trình x2 −2 (a−b) x +b 2

−a2 = 0 (1) tương đương với bất phương trình x2+2 (a+ b) x+ b2−a2≤ 0 (2)

Giải (II’) ta tìm được t suy ra được nghiệm của (I).

BÀI TẬP VẬN DỤNG:

4 y

2

≤ 0

+) Nếu a<0 ta thấy hệ (I) vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm

+) Nếu a>0 thì cặp ( x , y )=(0,0) và (x , y )=(√a , 0) là nghiệm của hệ Vì vậy

hệ luôn có nhiều hơn hai nghiệm

+) Nếu a=0 ta có hệ {(x + y

2)

2 + 3

Bài 3: Tìm các giá trị của tham số a hệ sau có nghiệm:

x02+6 x0y0+9 y02≤ −4

1+a ⟺ (x0+3 y0)2≤ −4

1+a .

Từ đó suy ra vế phải không âm nên a+1<0 ⟹ a←1.

Vậy điều kiện cần hệ có nghiệm là a←1.

Kết luận: Điều kiện cần và đủ hệ trên có nghiệm là a←1

Vậy hệ đã cho có nghiệm

Kết luận: Vậy a←5

2 .

4.2.Hệ bất phương trình đối xứng bậc hai:

Dùng phương pháp tham biến:

Đặt {x + y =u xy=v ; điều kiện u2−4 v ≥ 0 Ta được hệ:

{u2 −2 v ≤1v ≥ u ⟺{u2 −2(u+a)≤1v =u+a (a≥ 0)⟺{(v =u+a ;a ≥ 0 u−1)2≤ 2+2 a ⟺{1−√2+2 a ≤u ≤ 1+ v=u+a ;a ≥ 0√1+2a

Kết hợp với điều kiện u2−4 v ≥ 0 ta được: u2−4(u+a)≥ 0 ⟺[u ≥ 2+2√1+a

u ≤ 2−2√1+a

+) Nếu 1−√2+2 a ≤2=2√1+a ⟺ 0 ≤ a ≤1

2+√2 thì:

{1−√2+2 a≤ u ≤2−2 v=u+a √1+a

+) Nếu 1−√2+2 a>2−2√1+a ⟺ a>1

2+√2 thì hệ đã cho vô nghiệm

*) Bài toán tìm điều kiện của tham số hệ bất phương trình đối xứng hai ẩn x,y có nghiệm duy nhất.

Ta nhận xét rằng vai trò của x,y là bình đẳng nên nếu ( x , y )=(α , β ) là nghiệm của hệ thì ( x , y )=( β , α ) cũng là nghiệm của hệ Vậy điều kiện hệ có nghiệm duynhất là α=β

Ví dụ: Xác định m hệ sau có nghiệm duy nhất {x2

+2 y ≤ m

y2+2 x ≤ m

Giải:

Giả sử (α , β ) là nghiệm của hệ thì (β ,α ) cũng là nghiệm của hệ đã cho nên

hệ đã cho có nghiệm duy nhất thì α=β

Thay vào hệ đã cho ta có: {α2

+2 β ≤ m

β2+2 α ≤ m ⟺ α2

+2 α−m≤ 0(1) (1) có nghiệm duy nhất ⟺ ∆ '

= 0⟺m=−1 Thay vào hệ đã cho ta được: {x2 +2 y ≤−1

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất tương đương với m=−1

III.BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.

Thực chất của việc giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc cao là việc

hạ bậc đưa về bất phương trình có bậc thấp hơn và dễ giải hơn Với loại này ta thường sử dụng phương pháp hàm số hoặc tam thức bậc hai

Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình sau đây:

Gợi ý:

Nhận xét:

Do 4 x3+bx=1

2[(4 x

3 +a x2+bx+c)−(−4 x3+a x2−bx +c )] nên ∀ x ∈[−1;1] thì:

Thay x=1→|4+a−3+c|≤ 1 ⟹ a+c ≤ 0.

Thay x=−1 →| −4+a+3+c|≤ 1⟹ a+c ≥ 0

(1) T1=[−1 ;1

3] Xét f ( x )=x3−3 x +1 trên T1

f '

1

27 Vậy f ( x )>0 ∀ x∈T1

Kết luận: tập nghiệm của hệ là: D=T1

Ví dụ 6: Tìm m hệ sau có nghiệm :(I ){3 x2

(I)có nghiệm tương đương với 0>−3 m ⟺ m>0

(II)có nghiệm tương đương với 289 ←3 m ⟺m←28

27.Đáp số: [m← m>028

Hiển nhiên a3−2 a−2=0 có duy nhất một nghiệm thực a0>1.

Vậy nghiệm của hệ là: { 1≥ a ≥ 0 x=±√a

|y|≤√42 a+1

hoặc { 1<a ≤√a0

|y|≤√42 a+1

*) Bài tập đề nghị:

1.Tìm điều kiện đối với a,b bất phương trình f ( x )=3 x4 +8 x 3

+a x2 +b ≥0 có nghiệmtrong đoạn [−1;1]

IV.BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Khi giải bất phương trình vô tỷ, ta luôn sử dụng các mệnh đề sau đây:

Có rất nhiều phương pháp giải bất phương trình và hệ bất phương trình vô tỷ trong

đó các phương pháp thường gặp là biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, đánh giá và một số phương pháp không mẫu mực Việc giải hệ bất phương trình được thông qua giải các bất phương trình hoặc thông qua mối quan hệ giữa các bất phương trình

1.Phương pháp biến đổi tương đương:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau:

⟺(x−2)2≥ 0 Điều này luôn đúng.

Hệ bất phương trình đã cho tương đương với:

√x2−4 x +3 ≤|x−√4 x−4|⟺ x2

−4 x+3 ≤(x−√4 x−4)2⟺ 2 x√4 x −4 ≥ 7−8 x

Với x=1 : (2)⟺0 ≥−1 luôn đúng nên x=1 là nghiệm

Với x ≥ 3 :(2) ⟺ (7−8 x)<0 luôn đúng nên x ≥ 3 là nghiệm

Vậy D=¿∪{1 }

Ví dụ 3: Giải và biện luận: √x+√2 ax−a2

+√x−√2 ax−a2≤√2 a;

7 Giải và biện luận theo a bất phương trình: 2 x +√a2

Xét u=v ⟹√2 x−1=x +2 ⟺ x2

−6 x +5=0⟺[x=1 x=5 .

Vậy tập nghiệm của (1) là D=¿¿{1;5 }

Ví dụ 3: Tìm m hệ bất phương trình sau vô nghiệm

b) Tìm m bất phương trình nghiệm đúng với ∀ x ∈[14;1].

8 Tìm a bất phương trình sau có nghiệm: √1−x+√x ≤ a

Đó là các phương pháp hàm số, đồ thị, hình học, đánh giá, phương pháp cần và đủ…

Ta thường sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc vẽ đồ thị hàm số Tuỳ thuộc vào tính chất của bài toán mà ta có cách làm phù hợp

Ví dụ 2: Giải và biện luận theo tham số a>0 bất phương trình:

Từ bảng biến thiên ta có bất phương trình tương đương với

f (−a)≤ f ( x ) ≤ f (2 a) ⟺−a ≤ x≤ 2 a

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là D=[a ;2 a].

Ví dụ 3: Tìm a bất phương trình sau có nghiệm: √a−x +√a+x >a.

Giải:

Đặt {v=√a−x ≥ 0

u=√a+ x ≥ 0

Khi đó bất phương trình trở thành: {u2u+v >a (1)+v2=2 a(2)

(1) là tập hợp các điểm nằm phía trên đoạn AB của đường thẳng (∆ ): u+ v=a (2) là tập hợp các điểm thuộc cung CD của đường tròn (C ):u2

Ngoài ra còn sử dụng vector và toạ độ.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau:

2+

1 2

⟺ x ≠ 0.

Vậy D=R {0}¿

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình √x−1+√x−3≥√(2 x−3) 2 +2 x−2

Giải:

Giải bất phương trình ta suy ra x=5

Vậy bất phương trình có nghiệm là D={5}

3.3 Phương pháp điều kiện cần và đủ:

Phương pháp này tỏ ra khá hiệu quả cho lớp dạng toán: “Tìm điều kiện ” Dạng 1: Bất phương trình có nghiệm duy nhất

Dạng 2: Bất phương trình nghiệm đúng với ∀ x ∈ D

Dang 3: Bất phưong trình tương đương hoặc một bất phương trình khác

Ví dụ 2: Tìm a để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất {√x +1+√y ≤ a

nên suy ra với a<1 thì hệ đã cho vô nghiệm

Vậy a ≥ 1 là điều kiện cần để hệ có nghiệm

có vô số giá trị của y thoả mãn nên hệ có vô số nghiệm

Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì a=1

Chú ý: Với cách lập luận tương tự như trên giải bài toán “Tìm a để hệ bất

2 +2 x−6)

⟹ 6 x2

√x3−6 x +5 ≤(x2+2 x−6)(x3+ 4)

1 Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương:

Ta sử dụng các phép biến đổi tương đương sau:

Dạng 1: Với bất phương trình a f (x)<a g(x ) ⟺[ {f ( x )<g(x ) a>1

a) Giải bất phương trình đối với m=1.

b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với ∀ x ∈(0 ;2)

Giải:

Vì (√3−√2)<1 nên bất phương trình tương đương với:

x2 +1<3 x−m⟺ f ( x )=x2 −3 x+ 1+ m< 0.

a) Với m=1 ta được: x2 −3 x+2<0⟺1<x <2 Vậy với m=1 nghiệm của bất phương trình là 1<x<2.

b) Để bất phương trình nghiệm đúng với ∀ x ∈(0 ;2)

b) (x−3) 2 x2

−7 x

> 1 c) 4

√x x ≤ x4√x

2 Giải và biện luận bất phương trình:

m+3

¿ ¿4 x2+m√1+m<(m2+6 m+9) (m+√1 +m)x

Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta có thể logarit theo cùngmột cơ số cả hai vế của bất phương trình

Dạng 1: Với bất phương trình a f (x)<b(b>0)⟺

[ {f (x )<log a>1 a b

{f (x )>log 0<a<1 a b

a) 2x3x−15x−2> 12 b) 9x+ 9x +1+ 9x +2< 4x+4x +1+ 4x+2 .

Bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp chuyển các bài toán đã cho về bất phương trình đại số quen biết đặc biệt là các bất phương trình bậc 2 hoặc các hệ bất phương trình

Vậy nghiệm của bất phương trình là [0;1)

Cho bất phương trình:

2 (m2

−1 )x−2x−4 m+3

<(2−m2)x +3−4 m a) Giải bất phương trình với m=2 ;

b) Tìm m để bất phương trình vô nghiệm

+t đồng biến trên Vậy bất phương trình được viết dưới dạng:

f[(m2− 1)x]<f (x −4 m+3 )

⟺(m2−1)x<x −4 m+3

⟺(m2 −2)x+4 m−3 <0 a) Với m=2 ta có : x+5<0 ⟺ x←5 Vậy với m=2 bất phương trình có tập nghiệm: ( −∞ ,−5 ).b) Bất phương trình (1) vô nghiệm tương đương với bất phương trình

Vậy (1) nghiệm đúng với ∀ x tương đương với (2) nghiệm đúng với

Miền xác định D=(0 ;+∞) Đạo hàm: y '=2t−t2

2 Xác định các giá trị của m để bất phương trình sau nghiệm đúng

∀ x thoả mãn điều kiện |x|≥1

+) Tính chất đối xứng của phương trình

+) Lựa chọn điểm thuận lợi+) Đánh giá

Bước 3: Kiểm tra điều kiện cần và đủ Trong bước này cần có được một số

Bất phương trình nghiệm đúng với ∀ x ∈[1 ;3]

suy ra nghiệm đúng với x=1 , x=2 tức là ta có:

Giả sử hệ có nghiệm (u0, v0) suy ra (v0, u0) cũng là nghiệm của hệ.

Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần và đủ là u0=v0 Khiđó:

u02 +(u0+ 1) 2≤m ⟺ 2u02+2 u0−m+1 ≤ 0(1)

Ta cần chứng minh (1) phải có nghiệm duy nhất ⟺ ∆=0 ⟺ m=1

2 Vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm là m=1

2 (sin x +cos x )=2√2 sin(x + π

4)≥ 2√2 Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

Thay (3) vào (2) thấy thoả mãn

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x= y=0.

3 Cho bất phương trình: 2x

+ 2 sinx ≤ 1+√1−m2.

a) Giải bất phương trình khi m=0

b) Giải và biện luận bất phương trình theo m