Có rất nhiều soạn giả đã khái niệm chứng minh như sau: “Chứng minh là quá trình suy nghĩ để xác định rằng: phán đoán nào đó là đúng, bằng cách dựa vào những phán đoán khác đã được thừa n[r]
Trang 1I MỞ ĐẦU:
1 Cơ sở và lí do chọn đề tài:
Trong quá trình dạy học bộ mơn Tốn ở bậc THCS, đặc biệt là chương trình Tốn lớp 9 hiện hành; việc thực hiện đúng quy trình một bài tốn chứng minh là một việc làm hết sức quan trọng và cần thiết, gĩp phần giúp cho học sinh luơn cĩ được cảm giác, trực giác tốn học tốt Đặc biệt là rèn luyện tư duy logic, lý luận chặt chẽ, khả năng sáng tạo và trí thơng minh khi giải bài tốn chứng minh, nhất là chứng minh một bài tốn hình học
Tuy nhiên, khi tiến hành giải một bài tốn chứng minh, chúng ta thường dễ mắc phải một số sai lầm, ngộ nhận trong các bước suy luận logic, nhầm lẫn giữa suy luận
và suy diễn, giữa kiểm tra mệnh đề và chứng minh mệnh đề; đơn thuần chỉ sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp, chưa đào sâu các phương pháp chứng minh độc đáo khác, thậm chí nhiều khi cịn áp đặt và cứng nhắc khi giải tốn chứng minh,…
Từ những cơ sở lí luận và nhận thức nêu trên, bản thân luơn cố gắng tìm tịi và nghiên cứu tài liệu, tích lũy nhiều kinh nghiệm trong quá trình dạy học để viết nên
một Sáng kiến kinh nghiệm cĩ đề tài: “ Những vấn đề cần thiết giúp dạy học hiệu quả tốn chứng minh trong chương trình Tốn 9 ” Với mục đích đưa ra được
những vấn đề cần thiết và then chốt nhất; nhằm xây dựng những giải pháp thiết thực
và hữu hiệu để việc giảng dạy dạng tốn chứng minh ở lớp 9 đi đúng hướng, gĩp phần nâng cao chất lượng bộ mơn trong từng học kì và năm học
2 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:
a/ Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh khối 9 Trường THCS Đại Đồng:
b/ Phạm vi nghiên cứu:
- Các tiết dạy theo thời khĩa biểu chính khĩa và Tự chọn
- Các bài tốn chứng minh trong nội vi chương trình lớp 9 và Tốn THCS
- Tham khảo các tài liệu như: Sách giáo khoa, sách giáo viên, tài liệu chỉ đạo về chuẩn kiến thức của Bộ GD&ĐT, tài liệu bồi dưỡng thường xuyên,…
Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng
Trang 2- Thực hiện các tiết chuyên đề trong tổ chuyên mơn để đúc rút kinh nghiệm.
- Tập trung nghiên cứu về khái niệm, yêu cầu, phân tích và các phương pháp chứng minh Đi sâu nghiên cứu về phương pháp phân tích đi lên, chứng minh bằng phương pháp phản chứng
3 Kế hoạch nghiên cứu:
a/ Nghiên cứu tài liệu:
Để thực hiện đề tài này, xuyên suốt trong những năm học qua, tơi đã tích cực tham khảo và nghiên cứu các tài liệu liên quan đến chủ đề của sáng kiến kinh nghiệm, nghiên cứu các bài tốn chứng minh cĩ trong chương trình Tốn THCS nĩi chung và chương trình Tốn 9 nĩi riêng; chắt gĩp những nội dung, những kinh nghiệm quan trọng về việc giải tốn chứng minh, lập kế hoạch trình bày Sáng kiến kinh nghiệm một cách hợp lí và cĩ trình tự
b/ Nghiên cứu thực tế:
- Trải qua nhiều năm giảng dạy bộ mơn tốn 9, bản thân đã đúc rút được nhiều kinh nghiệm từ đồng nghiệp, từ thực tế trên lớp về việc dạy học các bài tốn chứng minh, ghi chép lại những điều cần thiết để làm sao tiết dạy sau thực hiện tốt hơn, hiệu quả hơn tiết dạy trước
- Với những tiết dạy cĩ dạng tốn chứng minh, tơi thường xuyên thăm dị, tìm hiểu mức độ nắm bắt và vận dụng giải tốn của học sinh, điều chỉnh cách dạy cho đúng hướng và hợp lí hơn
- Thực hiện chuyên đề về dạy bài tốn chứng minh trong tổ chuyên mơn, nhằm thể nghiệm đề tài qua thực tiễn và tranh thủ tiếp thu những ý kiến đĩng gĩp của giáo viên bộ mơn trong tổ
4 Phương pháp:
-Phối kết hợp nhiều phương pháp trong quá trình nghiên cứu như:chứng minh,gợi mở,đàm thoại, thuyết trình,đặt, nêu và giải quyết vấn đề
-Sử dụng sách giáo khoa ,các tài liệu tham khảo,cùng với việc kết hợp khảo sát chất lượng học tập thực tế của học sinh qua các phiếu thăm dị,các bài kiểm tra
II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng
Trang 3Để thể hiện tốt và cĩ hiệu quả việc giảng dạy bài tốn chứng minh, chúng ta cần trang bị cho mình những vấn đề cần thiết sau:
1 Khái niệm chứng minh:
Một phép chứng minh là một dãy hữu hạn các mệnh đề A ,A , ,An1 2 Trong đĩ mỗi một A (k n)k hoặc là một tiên đề, hoặc là một giả thiết, hoặc là một định lí đã biết, hoặc là một mệnh đề được suy ra từ một hoặc một số các mệnh đề khác bằng suy luận hợp logic Mệnh đề An được gọi là mệnh đề cần chứng minh
Cĩ rất nhiều soạn giả đã khái niệm chứng minh như sau: “Chứng minh là quá trình suy nghĩ để xác định rằng: phán đốn nào đĩ là đúng, bằng cách dựa vào những phán đốn khác đã được thừa nhận là đúng” – Hồng Chúng (Mấy vấn đề logic trong giảng dạy Tốn học NXB Giáo dục, 1962); hoặc “Chứng minh là thao tác logic dùng
để lập luận tính chân thực của phán đốn nào đĩ nhờ các phán đốn chân thực khác
cĩ mối liên hệ hữu cơ với phán đốn ấy” – Vương Tất Đạt (Logic học Sách bồi dưỡng thường xuyên chu kỳ 1997 – 2000)
Ta cần lưu ý rằng: Trong Tốn học, vấn đề kiểm tra, thực nghiệm và vấn đề chứng minh tuy rằng cĩ một sự liên hệ nào đĩ nhưng lại là hai vấn đề khác nhau hồn tồn Bởi vậy, khi chứng minh định lí hay chứng minh một bài tốn thì phải dùng suy luận, khơng dùng thực nghiệm (thực nghiệm chỉ giúp phát hiện cách chứng minh)
2 Các yêu cầu của một chứng minh:
Bất kì một chứng minh nào cũng gồm cĩ 3 phần:
Luận đề: Mệnh đề cần chứng minh
Luận cứ: Các mệnh đề đúng đã biết như tiên đề, định nghĩa, định lí,…
Luận chứng: Các quy tắc kết luận logic
Mỗi một chứng minh phải đạt 3 yêu cầu sau:
Yêu cầu 1: Luận cứ phải chân thực Những tiền đề dùng trong chứng minh phải đúng đắn
Yêu cầu 2: Luận chứng phải chặt chẽ Các phép suy luận dùng trong chứng minh phải là các phép suy luận hợp logic
Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng
Trang 4a
C H
B
A
Yêu cầu 3: Khơng được đánh tráo luận đề Khơng được thay thế mệnh đề cần chứng minh bằng những mệnh đề khơng tương đương với nĩ
Sau đây là một số ví dụ về những sai lầm do vi phạm những yêu cầu cần thiết khi thực hiện một chứng minh:
Ví dụ 1: (Sai lầm do vi phạm yêu cầu 1)
Bài tập 16/trang 12 – SGK lớp 9, tập 1: Chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” sau đây:
Giả sử con muỗi nặng m (gam), cịn con voi nặng V (gam) Ta cĩ:
Cộng cả hai vế với 2mV, ta cĩ:
Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được:
m V 2 V m 2
Do đĩ: m V V m
Từ đĩ ta cĩ: 2m = 2V, suy ra m = V Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!)
Sai lầm trong chứng minh trên đây là do ngộ nhận, đưa vào ứng dụng một mệnh
đề sai, đĩ là: A2 A, dẫn đến sai lầm cho rằng:
m V 2 V m 2 nên cĩ được m V V m (!)
Ví dụ 2: (Sai lầm do vi phạm yêu cầu 2)
Chứng minh định lí 4/trang 67 – SGK lớp 9, tập 1: “Trong một tam giác vuơng, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo
Ta cĩ:
Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng
a h b c
ah bc (2)
Trang 5Do (2) đúng nên (1) đúng Vậy định lí đã được chứng minh.
Sai lầm trong chứng minh này là sai lầm về luận chứng, suy luận khơng hợp logic, vi
phạm quy tắc Modusponens: A B,A
B
(A kéo theo B, A đúng thì B đúng), ở đây lại
dùng quy tắc sai: A B,B
A
(A kéo theo B, B đúng thì A đúng), đĩ là một sai lầm rất phổ biến đối với học sinh chúng ta hiện nay; bởi vậy giáo viên phải thường xuyên uốn nắn, sửa sai cho học sinh trong từng tiết dạy (để cách chứng minh trên trở thành đúng, ta cĩ thể thay dấu " " bằng dấu " " hoặc chứng minh như SGK lớp 9, tập 1/trang 67)
Ví dụ 3: (Sai lầm do vi phạm yêu cầu 3)
Giải phương trình:
Giải:
Phương trình (2) cĩ 2 nghiệm là: x1 1; x2 3
Vậy phương trình (1) cĩ 2 nghiệm là: x1 1; x2 3
Sai lầm trong bài làm này là người giải đã đưa vào các bước biến đổi khơng tương đương, do khơng đặt điều kiện của phương trình Tức là người giải đã tùy tiện chứng minh phương trình (1) và phương trình (2) là hai phương trình tương đương với nhau, dẫn đến phương trình đã cho dư nghiệm Để khắc phục sai sĩt này, giáo viên tập cho học sinh cĩ thĩi quen thử lại nghiệm sau khi giải xong phương trình, nhờ
đĩ học sinh sẽ phát hiện ra mình đã quên đặt điều kiện của bài
Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng
2 2
2
2 2
(1)
x 4x 3 0
( )2
Trang 63 Phân tích một chứng minh:
Để thực hiện tốt một chứng minh thì việc đi phân tích chứng minh đĩ đĩng một vai trị khá quan trọng Ta cĩ thể hiểu rằng: phân tích một chứng minh là chỉ ra được trong phép chứng minh này, chúng ta sẽ sử dụng những
mệnh đề nào, những phép suy luận nào? Thường ta phân tích một
chứng minh bằng hai phương pháp:
Phương pháp1:
Khai thác triệt để giả thiết bài tốn, liệt kê cụ thể các vấn đề cần
thiết cho chứng minh Cĩ thể nắm bắt cách phân tích này bằng sơ đồ bên:
( cĩ A ắt cĩ A1, cĩ A1 ắt cĩ A2, … , cĩ An-1 ắt cĩ An, cĩ An ắt cĩ B tức là
cĩ được điều cần phải chứng minh )
Phương pháp 2:
Phân tích đi lên từ kết luận của bài tốn (cách phân tích này rất hay
và quan trọng, giúp cho học sinh hiểu được mối quan hệ logic giữa điều
cần phải chứng minh và điều cần để chứng minh, phát triển tư duy suy luận,
ĩc sáng tạo và chủ động cao khi giải một bài tốn chứng minh
Tuy nhiên khơng phải chứng minh nào cũng dùng phương pháp này được)
Sơ đồ bên là sơ đồ của mơt phân tích đi lên:
( Muốn chứng minh được B thì cần phải chứng minh được B1,
muốn chứng minh được B1 thì cần phải chứng minh được B2, …
muốn chứng minh được Bn-1 thì cần phải chứng minh được Bn,
muốn chứng minh được Bn thì cần cĩ GT A )
Dựa vào hai cách phân tích trên đây, giáo viên cho học sinh trình bày lại hồn chỉnh bài tốn chứng minh, bằng cách bổ túc những cơ sở, luận cứ và các thuật ngữ thường dùng như: “Ta cĩ”, “Ta lại cĩ”, “Vì”, “Bởi vì”, “Do đĩ”, “Nên”, “Cho nên”,
“Mà”, “Mặt khác”, “Hay”, “Suy ra”, “Tức là”, “Vậy”,…
Cùng một chứng minh, nhưng cĩ thể cĩ nhiều cách phân tích khác nhau Cho nên
cứ sau mỗi phân tích giáo viên nhắc học sinh phải tự đặt ra câu hỏi là: cĩ cịn cách phân tích nào khác nữa khơng? Nhờ vậy chúng ta sẽ tìm ra được nhiều cách chứng
Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng
GT A A1 A2 An
KL B
KL B B1 B2 Bn
GT A
Trang 7O B
M
C
A
minh khác nhau, trên cơ sở đĩ giáo viên chọn lựa ra cách chứng minh phù hợp nhất với thực lực của lớp để giải cho học sinh
Ví dụ 1:
Khi giải bài tập 22/trang 76 – SGK lớp 9, tập 2:
“Trên đường trịn (O) đường kính AB, lấy điểm M (M khác A và B) Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đĩ tại C Chứng minh rằng ta luơn cĩ:
MA2 = MB.MC”
a) Phân tích theo phương pháp 1: (Khai thác giả thiết bài tốn)
Giáo viên cho học sinh đọc kỹ đề, chú ý kết luận của bài: MA2 = MB.MC; rồi cĩ thể lập luận rằng: đây là dạng chứng minh hệ thức tích, nên ta thường dùng phương pháp chứng minh hai tam giác đồng dạng (đặc biệt là trường hợp gĩc gĩc), hoặc là dùng các hệ thức lượng trong tam giác vuơng để giải Từ đĩ giáo viên cho học sinh
vẽ hình, định hướng cách giải theo lập luận trên
Hướng dẫn học sinh thực hiện chứng minh trên bằng phương pháp chứng minh hai tam giác đồng dạng:
2
Xét AMB và CMA
Ta có: ?
Ta có tỉ lệ thức: ?
Hướng dẫn học sinh thực hiện chứng minh đã cho bằng phương pháp dùng các hệ thức lượng trong tam giác vuơng:
Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng
Trang 8B
M
A C
Qua một số phân tích trên, rõ ràng cách phân tích dựa vào hệ thức: “Trong một tam giác vuơng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh gĩc vuơng trên cạnh huyền” là cách làm phù hợp nhất đối với bài tốn đã cho b) Phân tích theo phương pháp 2: (Phân tích đi lên) Cách 1:
Cách 3: Cách 2: Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng 2 1 2 Cm : MA MB.MC
MA MB Cm: MC MA
Cm : MAB MCA Cm : C A (Do )
Cm: A B (Do )
Cm : AMB CMA (AMB do
CMA do )
2 0 0 0 0 Cm: MA MB.MC
Cm: AM BC (M BC); ABC vuơng
Cm: AMB 90 ; BAC=90
(AMB=90 do ; BAC=90 do )
2 2 2 2 2 2 2 2 Cm: MA MB.MC
Mà: MA AB MB (Theo )
Cm: AB MB MB.MC
Ta có: AB MB.BC (Theo )
Cm: MB.BC MB MB.MC
2 2 2
Cm: MB.BC MB.MC MB
Cm: MB.(BC MC) MB
Cm: MB.MB MB Điều này luôn đúng 2 2 2 Xét ABC
Ta có: ?
1 1 1 AM là đường cao
AM AB AC
1 Suy ra: ?
AM 2 2 1 1 BM.BC BN.BC
MA MB.MC(đpcm) ?
MA2 MB.MC(đpcm)
Trang 9D N
M
C B
A
Ví dụ 2 :
Phân tích đi lên đối với bài tốn: “Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, trong đĩ B
nằm giữa A và C Vẽ tam giác đều DAB và tam giác đều EBC sao cho D và E ở về
cùng một phía đối với đường thẳng AC Gọi M và N lần lượt là trung điểm của DC và
AE
Chứng minh rằng tam giác BMN là tam giác đều” (Trích đề thi học sinh giỏi tốn
lớp 9 tồn quốc, năm 1982)
Phân tích:
Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng
0
Cm : BMN đều
Cm : BM=BN và NBM 60
1 Cm : BMC BNE
Co ùđược : BC=BE (gt)
E C
Cm :
MC NE
Cm : ABE DBC
AB BD
Co ùđược:
(gt)
BE BC (gt)
Đủ điều kiện (g.c.g)
0
2 Cm: NBM 60
mà NBM NBE EBM
Cm: NBE MBC (Suy ra từ BNE BMC, cmt)
Trang 10E B
S O
D
C
A
( bài này cũng cĩ thể phân tích bằng nhiều cách khác)
4 Chứng minh trực tiếp:
Khi chúng ta thực hiện một chứng minh xuất phát từ một mệnh đề đúng cho trước bằng các phép suy luận hợp logic, để chứng minh tính chất đúng đắn của kết luận, thì ta nĩi rằng ta đã chứng minh trực tiếp mệnh đề đã cho (đây là chứng minh phổ biến nhất trong chương trình Tốn THCS, đa phần giáo viên bộ mơn thực hiện thành thạo và hiệu quả phương pháp chứng minh trực tiếp Chính vì vậy, nội dung SKKN sẽ khơng đi sâu phương pháp này)
Ví dụ :
Bài tập 39/trang 83 – SGK lớp 9, tập 2: “Cho AB và CD là hai đường kính vuơng gĩc của đường trịn (O) Trên cung nhỏ BD lấy một điểm M Tiếp tuyến tại M cắt tia
AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở S Chứng minh ES = EM”
Giải:
5 Chứng minh gián tiếp:
Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng
sđCA sđBM
MSE (góc có đỉnh ở trong (O)) (1)
2
(do CME là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
Theo giả thiết: CA CB (3) (do AB CD)
Từ (1), (2) và (3) ta có: MS
E CME. Vậy tam giác ESM cân tại S, hay ES = EM(đpcm)
Trang 11a) Phương pháp loại dần:
(Phương pháp này sử dụng khơng nhiều trong chương trình Tốn THCS)
Ví dụ 1 : Trong các số sau, số nào khai phương được? (chỉ cĩ một lựa chọn đúng):
A 64; B 4000; C 6241 ; D 41;
Giải:
Khơng chọn A vì 64 là số âm nên khơng thể khai phương được
Khơng chọn B vì 4000 cĩ số chữ số 0 tận cùng lẻ nên khơng thể khai phương được Khơng chọn D vì 41 là số nguyên tố nên khơng thể khai phương được
Vậy chọn C chắc chắn đúng
Ví dụ 2 :
Một trường THCS chọn bốn em học sinh lớp 9 cĩ tên là Trâm, Mai, Hoa, Lan dự thi học sinh giỏi 19/4 tỉnh Bình Thuận Kết quả cĩ ba em đạt các giải nhất, nhì, ba và một em khơng đạt giải, khi mọi người ở trường hỏi kết quả các em trả lời như sau: Trâm: em đạt giải nhì hoặc ba
Mai: em đã đạt giải
Hoa: em đạt giải nhất
Lan: em khơng đạt giải
Biết rằng trong đĩ cĩ ba bạn nĩi thật và một bạn nĩi đùa Hãy cho biết học sinh nào đã nĩi đùa, học sinh nào đạt giải nhất và học sinh nào khơng đạt giải?
Giải:
Nếu Trâm nĩi đùa thì cả ba bạn Mai, Hoa, Lan đều nĩi thật Như vậy cả Trâm và Hoa đều đạt giải nhất Điều này vơ lí (vì chỉ cĩ một em đạt giải nhất), vậy Trâm đã nĩi thật
Nếu Mai nĩi đùa thì cả ba bạn Trâm, Hoa, Lan đều nĩi thật Như vậy cả Mai và Lan đều khơng đạt giải Điều này vơ lí (vì chỉ cĩ một em khơng đạt giải), vậy Mai đã nĩi thật
Nếu Lan nĩi đùa thì cả ba bạn Trâm, Mai, Hoa đều nĩi thật Như vậy cả bốn bạn đều đạt giải Điều này vơ lí (vì chỉ cĩ ba em đạt giải), vậy Lan đã nĩi thật
Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng