De tai phuong phap ham so giai va bien luan phuongtrinh he phuong trinh

Góp phần nâng cao hiệu quả học tập, đào tạo.[r]

ĐỀ À

PHƯƠNG PHÁP

Trong chương trình Đại số - Giải tích bậc THPT vấn đề giải và biện luận phương trình , hệ phương trình có một vị trí quan trọng Nó xuyên suốt chương trình của bậc học

Lớp các bài toán giải và biên luận phương trình , hệ phương trình rất đa dạng và phong phú Để giải các bài toán này học sinh phải huy động hầu như tất các các kiến thức cơ bản của Đại số - Giải tích , phải sử dụng nhiều phương pháp , thủ pháp khác nhau Do đó đòi hỏi học sinh phải có năng lực vận dụng linh hoạt , sáng tạo

Để đạt được yêu cầu đó mỗi học sinh phải có sự tích cực rèn luyện , tích lũy kiến thức , kinh nghiệm với sự say mê tìm tòi , phát hiện

Trong phạm vi chuyờn đề này chỉ nêu một trong các phương pháp giải và biện luận phương trình , hệ phương trình đó là phương pháp ứng dụng sự biến thiên của hàm số Gọi tắt là phương pháp hàm số

A CƠ SỞ

Cơ sở của phương pháp hàm số trong giải và biện luận phương trình , hệ phương trình là các mệnh đề sau ( Mỗi mệnh đề được xem là một định lý)

Mệnh đề 1:

Phương trình ax + b = 0 có nghiệm khi và chỉ khi a ≠ 0 hoặc a = b =0 và vô nghiệm khi và chỉ khi a = 0 và b ≠ 0

Mệnh đề 2:

Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ) có nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥0 và vô nghiệm khi và chỉ khi Δ < 0

Mệnh đề 3:

Phương trình f(x) = k có nghiệm x thuộc D khi và chỉ khi k thuộc tập giá trị của f(x) trên D

Mệnh đề 4:

Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong (a,b)

Mệnh đề 5:

f(x) liên tục trên [a,b] , phương trình f(x) = k có nghiệm khi và chỉ khi m ≤ k ≤ M

min , f x f x

m

b

a và M  maxa, b



Mệnh đề 6:

f(x) liên tục trên [a,b] , có đạo hàm trong (a,b) và f(a) = f(b) thì phương trình f'(x) = 0

có ít nhất một nghiệm trong (a,b)

Mệnh đề 7:

f(x) liên tục và đơn điệu trong (a,b) thì phương trình f(x) =k có nhiều nhất một nghiệm trong (a,b)

Hệ quả :

Nếu f(x) có n khoảng đơn điệu trong D thì phương trình f(x) = k có nhiều nhất n

nghiệm trong D

Mệnh đề 8:

Nếu f(x) và g(x) liên tục trên D và sự đơn điệu của chúng ngược nhau ( một hàm số

đồng biến , một hàm số nghịch biến ) thì phương trình f(x) = g(x) có không quá một nghiệm trong D

Mệnh đề 9:

Hàm số f(x) đơn điẹu trong (a,b) , u và v thuộc (a,b) thì f(u) = f(v) khi và chỉ khi u = v

Mệnh đề 10:

Nếu f(x) = ax 3 + bx 2 + cx +d (a ≠ 0) Xét phương trình f(x) = 0 (1)

a) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi f(x) có cực trị và hai số cực trị trái dấu nhau ( y ct y cđ < 0)

b) Phương trình (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi hàm số f(x) có hai cực trị trong đó có một cực trị bằng 0 ( y ct y cđ = 0)

c) Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hàm số không có cực trị hoặc có cực trị cùng dấu

Mệnh đề 11:

Phương trùnh f(x) = k vô nghiệm khi và chỉ khi k không thuộc tập giá trị của hàm số Mệnh đề 12:

f(x) liên tục trên [a,b] phương trình f(x) =k vô nghiệm khi và chỉ khi

B CÁC BÀI TOÁN

Các phương trình phải vận dụng phương pháp hàm số để giải và biện luận thường là các phương trình không mẫu mực hoặc các phương trình không thể dùng phương pháp ''cổ

điển'' để qui về phương trình bậc nhất , bậc hai hoặc các phương trình '' cơ bản''

Phương pháp hàm số thường sử dụng để giải các bài toán sau

I BÀI TOÁN 1: Giải phương trình dạng f(x) = k (1)

*Khảo sát hàm số y = f(x) (xác định các khoảng đơn điệu)

*''Nhẩm ''nghiệm của phương trình (1)

*căn cứ vào kết quả khảo sát hàm số để xác định tập nghiệm của phương trình

Ví dụ 1 Giải phương trình 3 x + 4 x = 5 x (1)

mina,bf(x) k   f(x)

k

b a, max

và 



f(x) nghịch biến trên R nên (1) có không quá một nghiệm, x0 = 2 là nghiệm của (1)  phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

Ví dụ 2 3x + 5x = 6x + 2 (2)

(2)  3x

+ 5x - 6x - 2 = 0 (2') xét hàm số y = f(x) = 3x + 5x - 6x - 2 D = R

y' = 3x.ln3 + 5x.ln5 - 6

y'' = 3x(ln3)2 + 5x(ln5)2

y'' > 0 với mọi x thuộc R → y' là hàm đồng biến trên R

và f'(0).f'(1) < 0

Suy ra bảng biến thiên của hàm số f(x)

x y' - 0 +

y

m thử thấy (1) có hai nghiệm là x = 0 , x = 1

Căn cứ sự biến thiên của hàm số và kết quả trên thì phương trình có đúng hai nghiệm

là x = 0 và x =1

II BÀI TOÁN 2: Giải phương trình dạng f(u) = f(v) (1)với f(t) là hàm số đơn điệu trên D ( u,v  D)

Theo tính chất hàm đơn điệu nên (1)  u=v (2)

Ví dụ 1 Giải phương trình: (1)

Giải

Xét hàm số f(t) = 3t +t D = R

f'(t) = 3t.ln3 + 1 , f'(t) > 0 với  t R  f(t) đồng biến trên R vậy

(1)  2x2 - 5x + 1 = 4x - 1  2x2 - 5x + 2 = 0  x = 1

2 hoặc x = 2

Ví dụ 2 Giải và biện luận phương trình :

Giải

Xét hàm số f(t) = 5t + t D = R

4 5

x x

 

 

3

0 ) (x f' : (0,1) x











 x0









x

x 1 5 4

3 )





x 2(x2 2x

3

3 2

( )1 3 2x2 x 12x2  x 1 3 4x14x -1 (2)

5 5

5 )

1 ( 2 )

2 ( 5

5 )

1 ( 2 5

5 )

2 ( 5

2 2

2 2













































mx mx

m x m x

m x m x

m x m x

mx m

x m x

(1)

(1)

 t R f'(t) = 5t ln5 + 1 > 0 vậy f(t) đồng biến trên R

nên (2)  x2 - (m - 2)x + m = mx

 x2 - 2(m - 1)x + m + 5 = 0 ( Đây là phương trình bậc 2

nên vấn đề giải và biện luận dành cho học sinh)

Ví dụ 3 (1)

Giải

Chứng minh f(x) đồng biến trên R và f(1) = 4 nên (2) có nghiệm duy nhất t = 1 Suy

ra (1) có nghiệm duy nhất x = 2

III.BÀI TOÁN 3: Tìm m để phương trình f(x) = m có nghiệm trong D

* Phương phỏp

* khảo sát hàm số f(x) trên D

* Xác định tập giá trị của hàm số trong D

* Suy ra điều kiện đối với m

Ví dụ 1 Tìm m để phương trình có nghiệm

Giải:

1

log (x 1) log (4 x 2)

t

Đặt t log (x 1) x 3

3

t t (1) t log (4 - x 2)2 2 3 1 4 (2)

t t Xet f(t) 2 3 1

m 1 x x 1 x

x2   2  

*

2 1 2

f

x f

X et hàm số (x) x x 1 x x 1 ; D R

2x 1

* (x)

( )

0

  



x

1 K h i x (a) lu ô n th ỏ a m ãn

2

K h i x (a) 0 x

V ậ y x 0 lim

Su y ra

(a) 1 x 2 x 1

x 2 x 2

1 2x

1 x 2 x 1

x 2 x 2

1 2x









































2

2 1 0

)

(

2

2 1 0

)

(

x x

f

x x

f

Ta có bảng biến thiên sau

x y' - 0 +

y 2

Suy ra tập giá trị của hàm số là [2;+∞) Vậy với m ≥ 2 phương trình có nghiệm Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Giải Ta có bảng biến thiên sau

x y ' + 0 -

y

-1 1

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi -1 < m ≤ 10 Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x4 + mx3 - (2m + 1)x2 + mx + 1 = 0 (1)

Giải: Do x = 0 không phải là nghiệm của (1)

   

    0

( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 1 0 1 1 x x x x x x y x y y                           2 x x x 3 m x

m Xet hàm số f(x) D R y

lim lim

   

3 1

10

( )1 x2                       2 2 1 1 m(x ) - 2m - 1 0 2 x x 1 Đặt t x Đk t 2 (*)

x

3 - t (2) m t ( - , - 2] (2 , )

t 2

3 - t

xt hàm số f(t) t ( - , - 2] (2 , ) e

t 2

f 4t3





2 2

- t (t) f (t) 0 t 1 v t 3

(t 2)

Ta có bảng biến thiên sau

t - -2 1 2 3 +

f'(t) - - 0 + + 0 -

f(t) + + -6

-2 - -

Phương trình (1) có nghiệm x  R  (2) có nghiệm t sao cho

t ≥ 2  m ≥ v m ≤ -6 Ví dụ 4: Tìm a để phương trình sau có nghiệm cos6x + sin6x = asin2x  (1)

Giải

(1)  3sin22x + 4asin2x - 4 = 0 (2)

Đặt sin2x = t Đ/k 0 ≤ t ≤ 1 Ta có bảng biến thiên sau

t 0 1

y ' -

y +

Phương trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t  (0,1]  m ≥

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Giải ( y 0 x lim

0 t với 0 y

4 3 -y (0,1] t

3t -y ặt Đ 3t -2) 2 2                   2 1 4 4 4 4 t t a t (1)

0 3 ) 2 ( 5 ) 4 ( 2 2x2  m x m  x  4 1 4 1 4 1  ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( 2 2 2 2 4 5 2 3 2 1 2 2 5 2 1 2 5 5 4 m x m x x x m x x x x x                         2 2 2x (2)

(1) x 3 (*)

5 ( x không phải là nghiệm)

2 xet hàm số f(x) x [3, )

2(x

f (x)

)2









x 1

f (x) 0 lim

x 4

Ta có bảng biến thiên sau

x - 1 3 4 +

f'(x) + 0 - 0 - 0 +

f(x) 4 +

3

(1) có nghiệm  (2) có nghiệm x [3, +)  m ≥ 3

IV.BÀI TOÁN 4:

Xác định điều kiện để phương trình f(x) = k có đúng n nghiệm (n N)

* Phương phỏp

Khảo sát hám số y = f(x) xác định các khoảng đơn điệu

- Xác định giao các tập giá trị của hàm số trong các khoảng đó

- Suy ra điều kiện cần tìm

Ví dụ1: Tìm m để phương trình sau

2 x2 - 5x + 4 = x2 -6x +m (1)

a) đúng 4 nghiệm d) có một nghiệm duy nhất b) đúng 3 nghiệm e) vô nghiệm

c) đúng 2 nghiệm Giải (1)  2 x2 - 5x + 4 - x2 +6x = m (2)

Đặt f(x) = 2 x2 - 5x + 4 - x2 +6x

x - 1 2 8

3 4 +

x2 - 4x + 8

-3x2 + 16x + 8

f(x) + 40

3 +

5 8 Căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số

a) (1) có 4 nghiệm  5 < m <

b) (1) có 3 nghiệm  m = 8 c) (1) có 2 nghiệm  m > hoặc m < 8

d) (1) có 1 nghiệm  m = 5 e) (1) vô nghiệm  m < 5

2 5

( )



2

x 4x 8 khi x 1 hoặc x 4 2

3x 16x 8 khi 1 x 4

3 40

3 40

Ví dụ2 : Tìm m để phương trình sau đây có 4 nghiệm

Giải

Ta có bảng biến thiên sau

x - 0 1 2 +

f'(x) - + - +

f(x) + 1 +

0 0

(1) có 4 nghiệm  0< < 1  < m2 + m + 1 < 1  -1 < m < 0 Ví dụ 3 : Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm thuộc

(4 - 6m)sin3x + 3(2m - 1)sinx + 2(m - 2)sin2xcosx - (4m - 3)cosx = 0 (1)

Giải Do cosx = 0 không thỏa mãn (1) (1)  tg3x - (2m + 1)tg2x + 3(2m - 1)tgx - (4m - 3) = 0 (2)

Đặt tgx = t với x   t [0,1] (2) t3 - (2m + 1) t2+ 3(2m - 1)t - (4m - 3) = 0  (t - 1)(t2 - 2mt + 4m - 3)= 0 (1) có đúng một nghiệm trong  (4) không có nghiệm trong [0,1)  lo g ( 2 1 3 x                           2 2 2 2 2 2 2 1 3 x 2 x m m 1 ( 1 )

( 1 ) x m m 1 ) ( 2 )

x 2 x k h i x 0 h o ặ c x 2

f ( x ) x 2 x

2 x x k h i 0 x 2

) 1 m m2  ( log 3 1 3 1 ] [ 4 , o      4 , 0 (4)

m 2) -2(t t (3) 1 t (3)

0

3 4m 2mt t

2 2















]

[

4

,

o

[ , )

4 3

0 1 2

t

t t

 



2 t xet hàm số f(t) 2(t - 2) t [0,1)

2 t

f (t) ; f (t) 0 với

Ta có bảng biến thiên sau

t 0 1

f'(t) +

f(t) 1

(4) không có nghiệm trong [0,1)  m < hoặc m  1 Ví dụ 4: Tìm a để phương trình x3 - x2 + 9ax - a = 0 có 3 nghiệm dương Giải: Ta có bảng biến thiên sau x - 0 1/9 1/3 +

y' + 0 - - 0 -

y 0 +

- - -

Căn cứ sự biến thiên của hàm số trong (0, +) thì không tồn tại a sao cho phương trình có 3 nghiệm dương V BÀI TOÁN 5: Chứng minh rằng f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong (a,b) * Phương phỏp 1

- Chứng minh f(x) liên tục trên [a,b] Cho ,   (a,b) - Chỉ ra f().f()≤ 0 * Phương phỏp 2

- Chọn F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên D - Xác định a, b D sao cho F(a) = F(b) - áp dụng định lí Roll để suy ra điều phải chứng minh Ví dụ 1: 4 3 4 3 ( ) }) ( ) 1 1 9 9 3 3 2 1 9 1 9 1 9 1 x a x x x x                              x x x 2 2 2 x x 1 xet h àm số y ( D R \ { 9 -2 x(3 x - 1 ) 1 y y 0 x 0 v x

3 lim y - lim y lim y

Chứng minh rằng phương trình a(x - b)(x - c) +b(x -a)(x - c) + c(x - a)(x - b) = 0 (1) luôn có nghiệm với  a,b,c

Giải

Đặt f(x) = a(x - b)(x - c) +b(x -a)(x - c) + c(x - a)(x - b) ; f(x) liờn tục trờn R f(a).f(b).f(c) = -3a2b2c2(a - b)2(a - c)2(b - c)2 ≤ 0  trong 4 số f(a) , f(b) , f(c) có ít nhất một số không âm và một số không dương giả sử là f(), f() ; ,  {a, b ,c ,d} ( ) ; f().f()≤ 0  Điều phải chứng minh

Ví dụ 2:

Chứng minh rằng  a,b,c,d phương trình acos4x + bcos3x + ccos2x + dcosx = 0 (1) luôn có nghiệm trong (0; )

Giải

f(x) = acos4x + bcos3x + ccos2x + dcosx

Thì F'(x) = f(x) và F(0) = F() = 0  F(x) = 0có ít nhất một nghiệm trong (0, )

Ví dụ 3:

Cho m > 0 và a, b, c thỏa mãn:

Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm trong (0,1)

Giải

f(0) = f(1) = 0 (gt)

f'(x) = axm + 1 + bxm + cxm -1

áp dụng định lí Roll  x0(0,1) sao cho ax0m + 1 +bx0m + cx0m - 1 = 0

 ax02 + bx0 + c = 0  x0 là nghiệm của phương trình (1)

VI BÀI TOÁN 6: Chứng minh phương trình f(x) = k không có nghiệm trong D

Phương phỏp

* Khảo sát hàm số y = f(x) để xác định tập giá trị của f(x) trên D

* Chỉ ra k không thuộc tập giá trị đó

Ví dụ 1:

Cho n  N , n chẵn , a > 3 chứng minh rằng phương trình

(n + 1)xn +2 -3(n + 2)xn +1 + an + 2 = 0 (1)

Giải: Đặt f(x) = (n + 1)xn +2 -3(n + 2)xn +1 + an + 2 D = R

f'(x) = (n + 1)(n + 2)xn +1 -3(n + 2)(n + 1)xn = (n + 1)(n + 2)xn(x - 3)

f'(x) = 0  x = 0 hoặc x = 3 Do n = 2k (k  Z)

Ta có bảng biến thiên sau

x - 0 3 +

f'(x) - 0 - 0 +

x d x

c x

b

2 3 sin 3 4



4

a F(x)

và

0 m

c 1 m

b 2 m

a











m

cx 1

m

bx 2

m

ax f(x)  m 2  m 1  m













 y lim

x

f(x) + +

m

m = an +2 - 3n + 2 > 0 (gt) Vậy (1) vô nghiệm

Ví dụ 2:

Cho a > 0 , n  N chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm

(1)

Giải: Xột

D = R

f'(x) = x2n + 1 - xn + 1 + x = x(x2n - xn + 1)

Ta có bảng biến thiên sau

x - 0 +

y' - 0 +

y + +

a Võy: miny = a > 0 nên (1) vô nghiệm

R









 y

lim

x

0 a 2

x 2 n

x 2 2n

















 x2n 2  xn 2  x2  f(x) 2n 2 n 2 2 a

2 3

4 2

* MỘT SỐ BÀI TẬP RẩN LUYỆN

Bài 1. Giải và biện luận phương trỡnh :

Bài 3. Giải phương trỡnh :

Bài 4 Giải bất phương trỡnh: (3x – 9x) ( x 3 - 2) > 0

Bài 5 Giải hệ phương trỡnh:

Ta đó gặp 6 bài toán trong các lớp các bài toán giải và biện luận phương trình , hệ phương trình bằng phương pháp hàm số Qua đó ta thấy ứng dụng của phương pháp hàm số rất phong phú và có vai trò quan trọng trong chương trình đại số và giải tích của bậc THPT nhất là trong quá trình ụn luyện thi đại học , bồi dưỡng học sinh khá , giỏi Nếu học sinh nắm vững phương pháp hàm số không những phát huy được năng lực tư duy cho học sinh mà còn gây cho học sinh hứng thú , say mê trong quá trình học tập nói chung và môn toán nói riêng Gúp phần nõng cao hiệu quả học tập, đào tạo