Rèn luyện kĩ năng giải toán hình học thông qua dạy học các bài toán thực tế cho học sinh khối 9 ở trường THCS nguyệt ấn

Trong vài năm trở lại đây nhiều kì thi như thi Học sinh giỏi, thi Olympic toánhọc dành cho lứa tuổi cấp THCS, thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT của một số tỉnhthành của nước ta thì các bài

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN 1

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 1

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2

3 Các biện pháp và các giải pháp giải quyết vấn đề 2

3.1 Dạng 1: Bài toán thực tế sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 2

3.2 Dạng 2: Bài toán thực tế trong đường tròn 5

3.3 Dạng 3: Bài toán thực tế trong hình học không gian 9

3.4 Dạng 4: Các bài toán thực tế trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 13

4 Hiệu quả của sáng kiến 18

PHẦN III: KẾT LUẬN 19

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài.

Đổi mới phương pháp dạy học đang thực hiện bước chuyển từ chương trìnhgiáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quantâm đến việc học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm học sinh vận dụng được cái

gì qua việc học Tuy nhiên việc xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập có nội dungthực tế không phải ở chủ đề nào cũng có thể thực hiện được một cách khả thi và cóhiệu quả Hiện nay, trong sách giáo khoa môn Toán cấp trung học cơ sở những bàitoán hình học có nội dung thực tế chưa nhiều và chưa thực sự gần gũi với thực tiễncuộc sống

Trong vài năm trở lại đây nhiều kì thi như thi Học sinh giỏi, thi Olympic toánhọc dành cho lứa tuổi cấp THCS, thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT của một số tỉnhthành của nước ta thì các bài toán hình học liên quan đến yếu tố thực tế rất haythường xuyên đề cập Thông thường các bài toán hình học thực tế này thường nằm ởmức độ thông hiểu (đối với các kì thi tuyển sinh vào lớp 10) hoặc nằm ở mức độ vậndụng, vận dụng cao trong các kỳ thi học sinh giỏi hay Olympic toán Theo như sựtheo dõi cũng như thực dạy của tôi thì đại đa số học sinh hiện nay thường rất ái ngạithậm chí hay bỏ qua những bài toán có nội dung này Không phải do yêu cầu bài toán

có nội dung quá khó mà vấn đề chính là các em ít được tiếp cận cũng như việc rènluyện của giáo viên trên lớp cho các em học sinh về các dạng toán này chưa được bàibản nên gây trở ngại rất nhiều cho các em khi bắt tay vào giải quyết các bài toán này.Nội dung chính của các bài toán này đòi hỏi các em học sinh phải phát hiện ra cácdạng hình học, các tính chất hình học quen thuộc ẩn chứa qua từng dữ kiện của bàitoán Tuy vậy, đây không phải là điều đơn giản đối với các bạn học sinh có sức họctrung bình, thậm chí là các bạn khá giỏi nếu như nội dung có liên quan đến nhữngvấn đề đòi hỏi hiểu sâu về bản chất của sự việc hay hiện tượng Chính vì vậy, vớimong muốn các em học sinh có thêm các phương pháp học tập tốt về nội dung toán

học này, tôi đã thực hiện làm sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Rèn luyện kĩ năng giải toán Hình học thông qua dạy học các bài toán thực tế cho học sinh khối 9 ở trường THCS Nguyệt Ấn”.

2 Mục đích nghiên cứu.

Mục đích nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm này là để nâng cao chấtlượng giảng dạy bộ môn Toán, đặc biệt là nội dung luyện kĩ năng giải toán Hình họcthông qua dạy học các bài toán thực tế cho học sinh, từ đó phát triển tối đa tư duysáng tạo cho học sinh

3 Đối tượng nghiên cứu.

Sáng kiến này nghiên cứu về: Lí luận, phương pháp dạy học môn Toán, chươngtrình Toán THCS, thói quen, hành vi, cảm hứng, chất lượng của học sinh khi học mônToán

4 Phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu lí thuyết về phương pháp dạy học, chương trình dạy học và ápdụng vào thực tiễn, sau đó đúc kết kinh nghiệm

PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rấtnhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, cũng như trong sản xuất và đờisống Với vai trò đặc biệt, toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, gópphần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn Các bài toán thực

tế giúp học sinh thấy được ý nghĩa và giá trị của toán học và nhờ đó mà học sinhhứng thú hơn, tích cực hơn trong học tập Việc khai thác tốt bài toán có nội dung thực

tế ở nhiều chủ đề khác nhau của toán học nói chung và hình học nói riêng mục đíchchính là rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng sẵn sàng ứng dụng toán học vàothực tiễn cuộc sống Việc rèn luyện này cho học sinh là điều cần thiết đối với sự pháttriển của xã hội và phù hợp với mục tiêu giáo dục của toán học

Toán ứng dụng thực tế có một vị trí đặc biệt trong toán học, không chỉ như lànhững đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như một công cụ đắc lực của các

mô hình của hình học giải tích, đại số Nếu giáo viên biết cách tăng cường tổ chứccho học sinh giải các bài toán có nội dung thực tế thì sẽ gây hứng thú học tập cho họcsinh, giúp học sinh có ý thức, thói quen nhìn các vấn đề trong cuộc sống xung quanhmình “dưới con mắt của toán học”, biết vận dụng kiến thức toán học để tìm tòi giảiquyết các vấn đề thực tiễn một cách sáng tạo Từ đó góp phần nâng cao chất lượngdạy học môn toán ở phổ thông

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Để đánh giá được khả năng của các em học sinh đối với các dạng toán hình họcthực tế và có phương án tối ưu truyền đạt tới học sinh, tôi đã ra một đề toán gồm 2câu cho 100 em học sinh khối 9 trường THCS Nguyệt Ấn năm học 2019 - 2020 thựchiện trong 30 phút Kết quả thu được như sau:

Dưới điểm 5 Điểm 5 đến dưới 8 Điểm 8 – 10

- Qua việc kiểm tra đánh giá khi học sinh năm học trước khi chưa được ápdụng sáng kiến vào quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh không có phương pháp giảidạng toán hình này hiệu quả Lời giải thường dài dòng, không chính xác, hiểu sai vấn

đề đôi khi còn ngộ nhận, mặc dù câu 2 trong để toán trên là bài tập được tác giả tríchdẫn trong sách giáo khoa

- Về phía giáo viên một số người cho rằng chỉ cần dạy cho học sinh thi vàoTHPT đạt được điểm 8 theo các cấu trúc đề thi các năm trước là hoàn thành nhiệmvụ Chính vì suy nghĩ đó nên một số giáo viên chưa chịu tìm tòi, suy nghĩ đào sâukiến thức, cập nhật xu hướng ra đề thi mới để trang bị cho các em một mảng kiếnthức của phần chuyên đề trong đó phải kể đến dạng toán hình học thực tế để các emđạt được kết quả cao hơn trong các kỳ thi học sinh giỏi, chuyên, THPT từ đó mở racho các em nhiều cơ hội hơn trong quá trình học tập; cũng như lòng say mê nghiêncứu khoa học muốn được tìm tòi, sáng tạo hơn nữa

3 Các biện pháp và các giải pháp giải quyết vấn đề.

3.1 Dạng 1: Bài toán thực tế sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

3.1.1 Kiến thức cần nhớ:

* Các hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuơng tại A,

đường cao AH Khi đĩ ta cĩ

cạnh huyền

 

;cạnh kềcos

cạnh huyền

 

cạnhđốitan

cạnh kề

 

;

cạnh kềcot

sơng (vị trí H) sau đĩ đi theo

đường mịn ra đầu đường (vị trí

A), cuối cùng đi thẳng đến trường

(vị trí B) theo hình vẽ bên

a) Hãy tính quãng đường từ nhà đến trường mà bạn Kiệt đã đi?

b) Người ta đã xây dựng cây cầu HM để giúp đỡ cho các bạn đi học dễ dàng hơn.Vậy bạn Kiệt đã tiết kiệm bao nhiêu thời gian biết rằng bạn luơn đi với vận tốc4km/h? (Làm trịn đến phút)

b) Quãng đường từ nhà đến trường khi đi qua cầu:BC2,25 4 6,25  km

Thời gian bạn Kiệt đi trên quãng đường BC là

256,25 : 4

16

 (giờ)Thời gian bạn Kiệt đi trên đường cũ là

4110,25 : 42

16

 (giờ)

Thời gian bạn Kiệt tiết kiệm khi đi qua cầu HM là

41 25

1

16 16  (giờ)

Ví dụ 2 Một người đứng ở địa điểm A

và cách xa chân B của một tòa nhà 115

mét ngắm nhìn đỉnh C của tòa nhà với

góc nhìn 39 (so với phương nằm

ngang) Chiều cao từ mặt đất đến tầm

mắt (điểm M ) của người đó là 1,63m

a) Em hãy cho biết tòa nhà cao bao nhiêu tầng? Biết rằng mỗi tầng cao 3,2m (không

a) MCH vuông tại H có CH MH tanCMH 115.tan 39 93,13 (m)

Chiều cao của tòa nhà là 93,13 1,63 94,76  (m)

Số tầng của tòa nhà là 94,76 :3,2 30 (tầng)

b) CDH vuông tại H có DH CH.cotCDH 93,13.cot 54 68 m

Quãng đường người đó đi được là 115 68 47   m

Người đó phải đi ít nhất số bước chân là 47 : 0,6 79 (bước)

Ví dụ 3 Hai học sinh Nam (vị trí N) và Toàn

(vị trí T ) đang đứng ở mặt đất bằng phẳng

cách nhau 120m thì nhìn thấy một máy bay

trực thăng điều khiển từ xa (vị trí M ) Biết

góc “nâng” để nhìn thấy máy bay tại vị trí của

Nam là 50 và góc “nâng” để nhìn thấy máy

bay tại vị trí của Toàn là 38

Hãy tìm khoảng cách từ Nam đến máy bay (NM ) và khoảng cách từ Toàn đến máybay (TM ) (ghi kết quả gần đúng chính xác đến hai chữ số thập phân).

 

47,52

73,92cos50 cos50

Ví dụ 4 Để đo chiều cao của một ngọn núi, các nhà địa chất đã thực hiện 2 phép đo ở

hai vị trí khác nhau ở chân núi Vị trí đầu tiên các nhà địa chất đứng cách chân núi400m và đo được 1 góc có số đo 25 từ mặt đất đến đỉnh núi Vị trí thứ hai cách vịtrí đầu tiên 500m và đo được một góc mới có số đo 20

Để tính toán ra chiều cao của ngọn núi các nhà

địa chất đã dựng hình vẽ

Em hãy dựa vào hình vẽ và tính toán ra chiều

cao thật của ngọn núi (làm tròn đến hàng đơn

vị)

Lời giải

Đặt tên các điểm như hình vẽ

ACH vuông tại H có

Vậy chiều cao thật của ngọn núi là 829,2m

Ví dụ 5 Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu

sáng gắn trên tường cho một phòng triển lãm

Thiết bị này có góc chiếu sáng là 20 và cần

đặt cao hơn mặt đất là 2,5m Người ta đặt thiết

bị này sát tường và căn chỉnh sao cho trên mặt

đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường 2m

Hãy tính độ dài vùng được chiếu sáng trên

mặt đất

Lời giải

Đặt tên các điểm như hình vẽ.

ABC vuông tại A có

Độ dài cùng được chiếu sáng trên mặt đất là DCAD AC 4,16 2 2,16   m

3.2 Dạng 2: Bài toán thực tế trong đường tròn.

3.1.1 Kiến thức cần nhớ:

* Đường kính và dây cung

- Đường kính là dây cung lớn nhất

- Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

- Đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm đường tròn thì vuông gócvới dây ấy

Tiếp tuyến của đường tròn

Đườngthẳng a là

tiếp tuyếncủa O R; 

 aOM

tại M

AB và AC là haitiếp tuyến củađường tròn  O

Góc ở tâm; Góc nội tiếp; Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung; Góc có đỉnh ở bêntrong đường tròn; Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Công thức tính độ dài đường tròn, cung tròn, diện tích hình tròn, hình quạt tròn

3.2.2 Các ví dụ

Ví dụ 1 Vinasat-1 là vệ tinh viễn thông địa tĩnh đầu tiên của Việt Nam được phóng

vào vũ trụ lúc 22 giờ 17 phút ngày 18 tháng 4 năm 2008 (giờ UTC) Dự án vệ tinhVinasat-1 đã được khởi động từ năm 1998 với tổng mức đầu tư khoảng hơn 300 triệuUSD Việt Nam đã tiến hành đàm phán với 27 quốc gia và vùng lãnh thổ để có được

vị trí 132 độ Đông trên quỹ đạo địa tĩnh

Hãy tìm khoảng cách từ vệ tinh Vinasat-1 đến mặt đất Biết rằng khi vệ tinhphát tín hiệu vô tuyến đến một điểm xa nhất trên mặt đất thì từ lúc phát tín hiệu đếnmặt đất cho đến lúc vệ tinh thu lại được tín hiệu phản hồi mất khoảng thời gian là0,28s Trái Đất được xem như một hình cầu có bán kính khoảng 6400km (Ghi kếtquả gần đúng chính xác đến hàng đơn vị), giả sử vận tốc sóng vô tuyến là 3.10 m/s.8

Vị trí xa nhất trên Trái Đất có thể nhận tín hiệu từ vệ tinh là vô số điểm M (với AM

là tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn tâm O)

Vì AM là tiếp tuyến của  O tại M  OM  AM tại M .

Xét AMO vuông tại M có OA2 OM2 MA2 64002 420002 1804960000

Ví dụ 3 [BT 43, SGK Toán 9 tập 1, tr96] Vào khoảng năm 200 trước Công

nguyên, Ơ-ra-tô-xten, một nhà Toán học và thiên văn học Hi Lạp, đã ước lượng được

“chu vi” của Trái Đất (chu vi đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau:

1) Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy

Mặt Trời chiếu thẳng các đáy giếng ở thành

phố Xy-en (nay gọi là Át-xu-an), tức là tia

sáng chiếu thẳng đứng

2) Cùng lúc đó ở thành phố

A-lếch-xăng-đri-a cách Xy-en 800km, một tháp cao

25m có bóng dài trên mặt đất dài 3,1m

Điểm S tượng trưng cho thành phố Xy-en, điểm A tượng trưng cho thành phố

A-lếch-xăng-đri-a, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng AB.

Từ hai quan sát trên, em hãy tính xấp xỉ “chu vi” của Trái Đất

Lời giải

Xét ABC vuông tại A, có

3,1

CB SO  ACB AOS 7,069 (hai góc so le trong)

Độ dài cung AS bằng 800km ứng với số đo 7,069

Chu vi Trái Đất P ứng với số đo 360

Vậy chu vi Trái Đất là

360.800

40717,069

P

(km)

Ví dụ 4 Dây Cu-roa là một trong những bộ phận truyền được sử dụng rộng rãi trong

công nghiệp Nó có một hình dạng đường dài, đen, liên tục (làm từ dầu mỏ) Bề mặtngoài mịn màng, có thể được tùy chỉnh và bên trong gập ghềnh (vì mục đích dính vào

bề mặt của puly tương ứng) Dây cu-roa chính hãng với độ đàn hồi tối đa giúp hoạtđộng ổn định trong điều kiện khắc nghiệt

Chiều dài dây cu-roa được xác định theo công thức:

a) Tính chiều dài của dây cu-roa

b) Gọi AB là chiều dài của một đoạn dây cu-roa, trong đó ,A B lần lượt là tiếp

điểm trên của dây cu-roa với hai đường tròn tạo bởi mặt cắt của 2 pu-ly.Tính AB

b) Vẽ O C' OB (C OB )

Xét tứ giác CABO' có C   A B 90 

 Tứ giác CABO' là hình chữ nhật

 AB O C  cm (vì O ABC' là hình chữ nhật)

Ví dụ 5 Một quả cầu gỗ có bán kính là R5cm được đặt trên

một cái đế bằng gỗ có dạng là một nửa mặt cầu bán kính 2

R

Hãytính khoảng cách từ mặt đất đến điểm cao nhất của mặt cầu gỗ

Lời giải

Đặt tên các điểm như hình vẽ

Gọi H là trung điểm AB, dây AB không qua tâm O

 OH AB (liên hệ giữa đường kính và dây cung)

Có 2.2 

R

(AB là đường kính)Xét OAB có OA OB AB R  OAB đều

3.3 Dạng 3: Bài toán thực tế trong hình học không gian.

3.3.1 Kiến thức cần nhớ.

Công thức tính diện tích và thể tích hình trụ, hình nón, hình cầu, hình nón cụt

Ví dụ 1 Để tổ chức sinh nhật cho con gái,

chị Thanh đã đặt thợ làm bánh tại cửa hàng

Bakery với yêu cầu bánh được làm hai tầng

Diện tích bề mặt để trang trí tầng trên là 2 15.15 .152 675cm2

Diện tích bề mặt để trang trí tầng dưới là:

Ví dụ 2 Để đo đường kính của một ống trụ tròn, người ta sử dụng một thước kẹp đo

đường kính ngoài, đường kính trong, chiều dài của ống rồi suy ra thể tích ống BạnTuấn ước lượng thể tích ống này chỉ bằng: “Giấy, mực, thước thẳng, com-pa và kiếnthức toán” bằng cách như sau: Bôi mực lên miệng ống tròn in trên tờ giấy trắng (hìnhvẽ), lấy 3 điểm A, B, C trên vòng ngoài, vẽ các trung trực ,a b của AB, AC Xác

định tâm O đường tròn, suy ra hai bán kính ,R r của hai đường tròn, dùng thước

thẳng đo chiều dài h của khối Hãy tính thể tích khối tròn trên, biết rằng

Ví dụ 3 Hộp phô mai hình trụ có đường kính đáy 12,2

cm và chiều cao 2,4 cm

a) Biết rằng 8 miếng phô mai được xếp nằm sát bên

trong hộp và có độ dày của giấy gói từng miếng không

đáng kể Hỏi thể tích của một miếng phô mai là bao

nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

b) Người ta gói từng miếng phô mai bằng loại giấy đặc

biệt Giả sử phần miếng phô mai được gói chiếm 90%

giấy gói Em hãy tính diện tích giấy gói được sử dụng

cho một miếng phô mai

Lời giải

a) Thể tích của 8 miếng phô mai là .6,1 2,4 280,62  cm3

Thể tích của 1 miếng phô mai là 280,6 :8 35,1 cm3

b) Phần diện tích gói của một miếng phô mai bằng tổng của hai lần diện tích hìnhquạt, hai lần diện tích hình chữ nhật và

Ví dụ 4 Trong thí nghiệm sự giãn nở vì nhiệt

của chất rắn, thầy giáo môn Vật lý đã sử dụng

một vòng sắt có đường kính 3cm và một quả

cầu có thể tích 114,17cm3

a) Quả cầu có thể lọt qua vòng sắt không? Vì

sao?

b) Để quả cầu sắt có thể lọt qua vòng sắt thì thầy giáo cần phải giảm thể tích của quả

cầu đi bao nhiêu phần trăm? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)