Một số lớp bài toán về xác định dãy số không có đa thức đặc trưng

Các bài toán về ước lượng và tính giá trị các tổng, tíchcũng như các bài toán xác định số hạng tổng quát của dãy số là những bàitập phổ biến nhất.. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu đề tài

NGUYỄN ĐỨC QUY

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học:

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Đà Nẵng - Năm 2015

MỞ ĐẦU 1

1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA SAI PHÂN 3

1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của sai phân 3

1.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính 5

1.2 DÃY SỐ VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ 9

1.2.1 Dãy tuần hoàn, phản tuần hoàn cộng tính 9

1.2.2 Dãy tuần hoàn, phản tuần hoàn nhân tính 10

1.2.3 Dãy số đơn điệu 11

1.2.4 Dãy số bị chặn 11

1.2.5 Giới hạn của dãy số 12

1.3 TUYẾN TÍNH HÓA MỘT SỐ LỚP DÃY SỐ PHI TUYẾN 12

CHƯƠNG 2 CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH DÃY SỐ 17 2.1 XÁC ĐỊNH DÃY SỐ TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN HOÀN 17 2.2 XÁC ĐỊNH MỘT SỐ LỚP DÃY SỐ PHI TUYẾN 20

2.2.1 Phương pháp tách dãy 20

2.2.2 Phương pháp lượng giác hóa 24

2.2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 30

2.2.4 Phương pháp phương trình hàm 32

2.2.5 Phương pháp hàm lặp 38

2.3 MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC 40

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG LIÊN QUAN 45 3.1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ NGUYÊN 45

3.2 TÍNH TOÁN TỔNG VÀ TÍCH DÃY SỐ 49

3.3 TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TỔNG 53

3.4 MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 71QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từngđược ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

NGUYỄN ĐỨC QUY

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Chuyên đề dãy số và các vấn đề liên quan đến dãy số là một phầnquan trọng của đại số và giải tích toán học Các dạng toán liên quan đếndãy số thường khó và phức tạp Trong chương trình trung học phổ thông,những khái niệm về dãy số thường khó hình dung về cấu trúc đại số , trừutượng đối với hầu hết học sinh

Dãy số có vị trí đặc biệt quan trọng trong toán học, không chỉ như lànhững đối tượng nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắclực của giải tích toán học

Trong các kỳ thi học sinh giỏi khu vực, quốc gia, thi Olympic toánquốc tế, các bài toán liên quan đến dãy số cũng hay được đề cập và thườngthuộc loại khó Các bài toán về ước lượng và tính giá trị các tổng, tíchcũng như các bài toán xác định số hạng tổng quát của dãy số là những bàitập phổ biến nhất

Với những lí do trên, tôi chọn đề tài: "Một số lớp bài toán về xác địnhdãy số không có đa thức đặc trưng" để làm đề tài luận văn thạc sĩ củamình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu đề tài

Mục đích của luận văn là giới thiệu các phương pháp xác định dãy sốkhi không có đa thức đặc trưng cũng như các ứng dụng của dãy số trongcác bài toán đại số, giải tích, số học

Nhiệm vụ nghiên cứu là xác định được các dãy số nào có thể dùngphương pháp sai phân để tìm công thức tổng quát , những dãy số nàokhông thể tuyến tính hóa mà phải sử dụng các phương pháp khác để tìmcông thức tổng quát

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình, bài giảng của GS.TSKH NguyễnVăn Mậu, các diễn đàn toán học từ nguồn Internet Từ đó sưu tầm, phân

tích, tổng hợp các dạng toán có liên quan đề tài và trao đổi với thầy hướngdẫn các kết quả đang nghiên cứu.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các dãy số không thể xác định được do không

có đa thức đặc trưng, nên cần phải có phương pháp khác để giải quyết bàitoán này

Phạm vi nghiên cứu là dựa trên các dạng toán về dãy số thực thườngxuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi như thi Olympic 30-4, thi họcsinh giỏi quốc gia, các chuyên đề hội thảo hằng năm , từ đó tổng hợp

và phân dạng cụ thể

5 Nội dung của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 3 chươngChương 1 trình bày sơ lược các kiến thức cơ sở về toán tử sai phân,dãy số tuần hoàn, phản tuần hoàn cộng tính và nhân tính và một số tínhchất liên quan

Chương 2 trình bày các bài toán về xác định dãy số trong lớp dãytuần hoàn cộng tính và nhân tính, dãy phi tuyến, một số kỹ thuật biếnđổi sơ cấp để xác định dãy số

Chương 3 xét các ứng dụng và các bài toán liên quan về dãy số nhưcác bài toán tìm tổng tích, tính chia hết,

Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình củaGS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với

sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy

CHƯƠNG 1

NHỮNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA SAI PHÂN

1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của sai phânĐịnh nghĩa 1.1 ([3]-[5]) Cho hàm số y = f (x) xác định trên R, đặt

xk = x0+kh,(k ∈ N∗)vớix0 ∈ R, h ∈ R, bất kỳ, cho trước Gọiyk = f (xk)

là giá trị của hàm số f (x) tại x = xk Khi đó, hiệu số ∆yk := yk+1 − yk,(k ∈ N∗) được gọi là sai phân cấp 1 của hàm số f (x) Hiệu số ∆2yk :=

∆yk+1 − ∆yk = ∆∆yk, (k ∈ N∗) được gọi là sai phân cấp 2 của hàm số

f (x) Tổng quát, ∆iyk := ∆i−1yk+1− ∆i−1yk = ∆(∆i−1yk) (k ∈ N∗) đượcgọi là sai phân cấp i của hàm số f (x), (i = 1; 2; 3; ; n; )

Mệnh đề 1.1 [Biểu diễn sai phân theo giá trị của hàm số]

Sai phân mọi cấp đều có thể biểu diễn theo các giá trị của hàm số:

y0; y1; y2; ; yn; Chứng minh Ta có

∆yk = yk+1 − yk

∆2yk = ∆yk+1 − ∆yk

= yk+2 − yk+1 − (yk+1 − yk)

= yk+2 − 2yk+1 + ykBằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được:

Mệnh đề 1.2 [ Sai phân của hằng số]

Sai phân của hằng số bằng 0

Chứng minh Thật vậy, với y = f (x) = C = const ta có:

∆f (x) = C − C = 0

Hơn thế, sai phân mọi cấp của hằng số đều bằng 0

Mệnh đề 1.3 [Tính chất tuyến tính của sai phân]

Sai phân mọi cấp là một toán tử tuyến tính trên tập các hàm số Tức là

Sai phân cấp i của một đa thức bậc n

20) Giả sử khẳng định đúng với i = k < n, tức là ∆kxk = Pn−k(x) là đathức bậc n − k đối với x Khi đó

∆k+1xn = ∆(∆kxn)

= ∆k((x + h)n − ∆k(xn))

= Pn−k(x + h) − Pn−k(x)

= Pn−k−1(x)

là đa thức bậc n − k − 1 = n − (k + 1) đối với x

Vậy khẳng định cũng đúng với i = k + 1 Từ đó, theo nguyên lý quy nạp

toán học suy ra khẳng định đúng với mọi i ∈ N∗.

- Khi i = n thì ∆n(xn) là đa thức cấp n − n = 0 đối với x nên là hằng số

- Khi i > n thì

∆i(xn) = ∆i−n(∆n(xn)) = ∆i−nC (C = const) = 0

Vậy tính chất đã được chứng minh hoàn toàn

Mệnh đề 1.5 [Công thức sai phân từng phần]

∆(fkgk) = fk∆gk + gk+1∆fk.Chứng minh Ta có

∆(fkgk) = fk+1gk+1 − fkgk

= fk+1gk+1 − fkgk+1 + fkgk+1 − fkgk

= gk+1(fk+1 − fk) + fk(gk+1 − gk)

= fk∆gk + gk+1∆fk.Mệnh đề 1.6 [Tổng các sai phân]

n

X

k=1

∆yk = yn+1 − y1.Chứng minh

Định nghĩa 1.2 ([1]-[5]) Phương trình sai phân (cấp k) là một hệthức tuyến tính chứa sai phân các cấp tới k

f (yn; ∆yn; ∆2yn; ; ∆kyn) = 0 (1.1)

Vì sai phân các cấp đều có thể biểu diễn theo giá trị của hàm số nên(1.1) có dạng:

a0yn+k + a1yn+k−1+ · · · + akyn = f (n), (1.2)

trong đó a0; a1; ; ak, f (n) đã biết, còn yn, yn+1, , yn+k là các giá trịchưa biết.

Phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp

k

Nếu f (n) = 0 thì phương trình (1.2) có dạng

a0yn+k + a1yn+k−1 + · · · + akyn = 0 (1.3)

và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k

Nếu f (n) 6= 0 thì (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tínhkhông thuần nhất

Nghiệm của phương trình sai phân

Hàm số yn biến n thỏa mãn (1.2) được gọi là nghiệm của phươngtrình sai phân tuyến tính (1.2)

Hàm số ybn phụ thuộc k tham số thỏa mãn (1.3) được gọi là nghiệmtổng quát của (1.3)

Một nghiệmy∗nthỏa mãn (1.3) được gọi là một nghiệm riêng của (1.2)

- Trước hết, ta xét phương trình sai phân tuyến tính cấp một dạng

x1 = α, axn+1 + bxn = f (n), n ∈ N∗,trong đó a, b, α là các hằng số (a 6= 0) và f (n) là biểu thức của n chotrước

Nhận xét rằng các cấp số cơ bản như cấp số cộng và cấp số nhân lànhững dạng đặt biệt của phương trình sai phân tuyến tính

Ví dụ 1.1 Xác định số hạng tổng quát của một cấp số nhân biếtrằng số hạng đầu tiên bằng 9 và công bội bằng 3

Lời giải Nếu b = 0 thì dãy xn = 0, n = 1, 2,

Nếu b 6= 0, phương trình đặt trưng aλ + b = 0 có nghiệm λ = −b

a Nếu λ1, λ2 là các nghiệm thực khác nhau thì xn = Aλn1 + Bλn2, trong

đó A, B được xác định khi biết x1, x2

b Nếu λ1, λ2 là các nghiệm thực và λ1 = λ2 = λ thì xn = (A + Bn)λn,trong đó A, B được xác định khi biết x1, x2

Ví dụ 1.4 Tìm dãy số {xn} thỏa mãn điều kiện

x1 = α, x2 = β, axn+1+ bxn+ cxn−1 = A(n), n > 2, n ∈ N∗.trong đó a 6= 0, A(n) là đa thức theo n cho trước

Lời giải Giải phương trình đặc trưng aλ2+ bλ + c = 0xác định cácgiá trị của λ Nghiệm của phương trình có dạngxn = x0n+ x∗n, trong đó x0n

là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất axn+1+ bxn+ cxn−1 = 0

vàx∗n là nghiệm riêng của phương trình axn+1+ bxn+ cxn−1 = A(n), trong

đó A(n) 6= 0

Ta tìm nghiệm x0n của phương trình thuần nhất axn+1+ bxn + cxn−1 = 0theo ví dụ 1.3 với các hệ sốA, B chưa được xác định Nghiệmx∗n được xácđịnh:

- Nếu λ 6= 1 thì x∗n là đa thức cùng bậc với A(n)

- Nếu λ = 1 thì x∗n = n.f (n), trong đó f (n) là đa thức cùng bậc với A(n)

- Nếu λ = 1 là nghiệm bội thì x∗n = n2.f (n), trong đó f (n) là đa thức cùngbậc với A(n) Thay x∗n vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tìm được

x∗n Từ hệ thức xn = x0n+ x∗n và các giá trị x1, x2 ta tìm được các hệ số A,B

Ví dụ 1.5 Tìm dãy số {xn} thỏa mãn điều kiện

x1 = α, x2 = β, axn+1+ bxn+ cxn−1 = γ.ηn, n > 2, n ∈ N∗

Lời giải Giải phương trình đặc trưng aλ2+ bλ + c = 0, ta tìm được

λ Nghiệm phương trình có dạng xn = x0n+ x∗n, với x0n được tìm như trong

ví dụ 1.3 , các hệ số A, B chưa xác định, x∗n được xác định như sau

- Nếu λ 6= η thì x∗n = k.ηn

- Nếu phương trình có nghiệm đơn λ = η thì x∗n = kn.ηn

- Nếu phương trình có nghiệm kép λ = η thì x∗n = kn2.ηn Thay x∗n vàophương trình, sử dụng phương pháp đồng nhất các hệ số ta tìm được k

Lời giải Trong dạng này ta chỉ xét phương trình đặc trưng cónghiệm thực

Nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng

xn = x0n + x∗n, trong đó x0n là nghiệm tổng quát của phương trình tuyếntính thuần nhất, và x∗n là nghiệm riêng của phương trình tuyến tính khôngthuần nhất

Phương trình đặc trưng

aλ3 + bλ2 + cλ + d = 0

i Phương trình có ba nghiệm thực λ1, λ2, λ3 phân biệt Khi đó

x0n = a1λn1 + a2λn2 + a3λn3

ii Phương trình có một nghiệm thực bội 2 và một nghiệm đơn (λ1 = λ2 6=

λ3) thì

x0n = (a1 + a2n)λn1 + a3λn3iii Nếu phương trình có nghiệm bội 3(λ1 = λ2 = λ3) thì

x0n = (a1 + a2n + a3n2)λn1Gọi x∗n là một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuầnnhất

a) Xét A(n) là một đa thức theo n Ta có

- Nếu λ 6= 1 thì x∗n là đa thức cùng bậc với A(n)

- Nếu λ = 1 là nghiệm đơn thì x∗n = n.B(n)trong đó B(n) là đa thức cùngbậc với đa thức A(n)

- Nếu λ = 1 là nghiệm bội 2 thì x∗n = n2.B(n) trong đó B(n) là đa thứccùng bậc với đa thức A(n)

- Nếu λ = 1 là nghiệm bội 3 thì x∗n = n3.B(n) trong đó B(n) là đa thứccùng bậc với đa thức A(n)

b) Trường hợp A(n) = χηn Ta có

- Nếu λ 6= η thì x∗n = k.n.ηn

- Nếu λ = η là nghiệm đơn thì x∗n = k.ηn

- Nếu λ = η là nghiệm bội 2 thì x∗n = k.n2ηn

- Nếu λ = η là nghiệm bội 3 thì x∗n = kn3.ηn

1.2 DÃY SỐ VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ

1.2.1 Dãy tuần hoàn, phản tuần hoàn cộng tính

Số nguyên dương l bé nhất để dãy{un} thỏa mãn điều kiện (1.4) được gọi

là chu kỳ cơ sở của dãy

Ví dụ 1.7 Dãy số {un} với un = sin πn là dãy tuần hoàn cộngtính với chu kỳ 2 vì un = sin(nπ) thì un+2 = sin[(n + 2)π] = sin(nπ) =

Lời giải Xét dãy số {un} với un = sin(λn)

Ta chọn λ sao cho sin λ(n + 3) = sin(λn)

1.2.2 Dãy tuần hoàn, phản tuần hoàn nhân tính

Định nghĩa 1.6 ([1]-[5]) Dãy số {un} được gọi là dãy tuần hoànnhân tính nếu tồn tại số nguyên dương s(s > 1) sao cho

usn = un, ∀n ∈ N∗ (1.5)

Số nguyên dương s bé nhất để dãy số {un} thỏa mãn điều kiện (1.5) đượcgọi là chu kì cơ sở của dãy

Ví dụ 1.10 Dãy số {un} với un = sin(2π log2n)là dãy số tuần hoànnhân tính chu kỳ 2, vì un = sin(2π log2n) thì:

u2n = sin(2π log2(2n)) = sin(2π.(1 + log2n)) = sin(2π + 2π log2n) =sin(2π log2n) = un, ∀n ∈ N∗

Định nghĩa 1.7 ([1]-[5]) Dãy số {un} được gọi là dãy phản tuầnhoàn nhân tính nếu tồn tại số nguyên dương s(s > 1) sao cho

usn = −un, ∀n ∈ N∗

Ví dụ 1.11 Dãy số {un} với un = sin(π log3n)là dãy số phản tuầnhoàn nhân tính chu kỳ 3, vìun = sin(π log3n)thì:u3n = sin(π log3(3n)) =sin(π.(1 + log3n)) = sin(π + π log3n) = − sin(π log3n) = −un, ∀n ∈ N∗.1.2.3 Dãy số đơn điệu

- Mọi dãy số {un} giảm luôn bị chặn trên bởi u1

- Mọi dãy số {un} tăng luôn bị chặn dưới bởi u1

- Dãy số {un} được gọi là một dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa

bị chặn dưới Nghĩa là tồn tại một số M và một số m sao cho với mọi

n ∈ N∗, m ≤ un ≤ M

1.2.5 Giới hạn của dãy số

Định nghĩa 1.10 ([3]-[5]) Cho {un} là dãy số thực

- Dãy số{un}hội tụ về a(ahữu hạn) khin → +∞, ký hiệu là lim

n→+∞un = ahay lim un = a nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên n0 ∈ N∗ sao cho vớimọi n ≥ n0, thì |un − a| < ε

lim un = a ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0, |un − a| < ε

- Dãy số {un} tiến ra +∞ (theo thứ tự −∞) nếu với mọi A ∈ R, tồn tại

n0 ∈ N∗ sao cho với mọi n ≥ n0 thì un > A (theo thứ tự un < A)

- Dãy số có giới hạn được gọi là dãy hội tụ, dãy không hội tụ gọi là dãyphân kỳ

1.3 TUYẾN TÍNH HÓA MỘT SỐ LỚP DÃY SỐ PHI TUYẾNTuyến tính hóa một phương trình sai phân nghĩa là đưa một phươngtrình sai phân ở dạng phi tuyến về dạng tuyến tính Giả sử dãy số {un}thỏa mãn điều kiện:



u1 = α1; u2 = α2; ; uk = αk

un = f (un−1, un−2, , un−k) n; k ∈ N∗; n > kTrong đó f là một đa thức đại số bậc m hoặc phân thức, hoặc là biểuthức siêu việt Giả sử hàm số f (un−1, un−2, , un−k) có thể tuyến tínhhóa được, khi đó tồn tại các giá trị x1; x2; ; xk sao cho

un = x1un−1+ x2un−2+ · · · + xkun−k (1.6)

Để tìm x1; x2; ; xk trước hết ta xác định uk+1; uk+2; ; u2k Từ côngthức lặp đã cho ta có

Giải hệ phương trình này ta thu được nghiệm: x1; x2; ; xk Thay vào(1.6) ta sẽ được biểu diễn tuyến tính cần tìm.

an−2 ; ∀n > 2Hãy tuyến tính hóa, tìm số hạng tổng quát của dãy

Lời giải Giả sử an có thể biểu diễn tuyến tính là:

⇔

( α = 4

β = −1

γ = 0Vậy ta có:

Ta sẽ chứng minh dãy số {an} thỏa mãn đầu bài có biểu diễn tuyến tínhlà

a1 = a2 = 1; an = 4an−1 − an−2 với mọi n ≥ 3 (1.11)Thật vậy, với n = 3 ta có: a3 = 4.a2 − a1 = 4.1 − 1 = 3 do đó (1.9) đúngvới n = 3 Giả sử (1.9) đúng tới n = k tức là: ak = 4ak−1 − ak−2 (k ≥ 3)

= 16a

2 k−1 − 8ak−1.ak−2 + a2k−2 + 2

ak−1

= 15a

2 k−1 − 4ak−1ak−2 + a2k−1− 4ak−1ak−2 + ak−1ak−3

ak−1

(a2k−2 + 2 = ak−1ak−3)

= 15a

2 k−1 − 4ak−1ak−2 + ak−1(ak−1 − 4ak−2 + ak−3)

ak−1

= 15a

2 k−1 − 4ak−1ak−2

ak−1(ak−1 − 4ak−2 + ak−3 = 0)

= 15ak−1 − 4ak−2 = 4(4ak−1 − ak−2) − ak−1

= 4ak − ak−1.Vậy (1.9) cũng đúng tới n = k + 1 Theo nguyên lý quy nạp ta được (1.9)đúng với mọi n ∈ N; n ≥ 3

Từ (1.10) ta thấy ngay ∀n ∈ N∗ : an ∈ Z Ngoài ra, ta đã chứng minhđược:

an = 1

2

(3 − √5

3)(2 +

√3)n + (3 + √5

3)(2 −

√3)n



Ví dụ 1.13 Cho dãy số (un) thỏa mãn.

u1 = α; un+1 = aun +

q

bu2

n+ c với a2 − b = 1; α > 0; a > 1 (1.12)Hãy tuyến tính hóa dãy số trên

Đôi khi việc tuyến tính hóa phải thông qua bước đặt ẩn phụ mới cho

ta phương trình đặc trưng

Ví dụ 1.14 Cho dãy số {xn} được xác định như sau:

x1 = 1; x2 = a > 0; xn+2 = q3

x2n+1.xn(∀n = 1; 2; )

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số {xn}

Lời giải Ta thấy xn > 0, ∀n = 1; 2;

Đặt ln xn = un, ta được dãy số {xn} như sau:

u1 = 0; u2 = ln a; un+2 = 2

3un+1+

1

3un, ∀n = 1; 2; Xét phương trình đặc trưng:



−13



−13



−13





n

CHƯƠNG 2

CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH DÃY SỐ

2.1 XÁC ĐỊNH DÃY SỐ TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN

x0 = x2 = x4 = · · · = a

x1 = x3 = x5 = · · · = bnên

Bài toán 2.2 Xác định tất cả các dãy phản tuần hoàn chu kỳ 2

xn+2 = −xn, n = 0; 1; 2; Lời giải Ta có: xn+4 = −xn+2 = −(−xn) nên

x0 = x4 = x8 = · · · = a

x1 = x5 = x9 = · · · = b

x2 = x6 = x10 = · · · = −a

x3 = x7 = x11 = · · · = −b

Tiếp theo, ta xét các dãy số tuần hoàn nhân tính.

Bài toán 2.3 Xác định tất cả các dãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ2

x2n = xn, n = 1; 2; Lời giải Ta có

x4n + 3x2n = 5 ⇔ xn+ 3x2n = 5, n = 1; 2; (2.2)

Từ (2.2) và (2.1) ta có hệ phương trình



x2n + 3xn = 53x2n + xn = 5

Suy ra được: xn = 5

4, n = 1; 2; Thử lại ta thấy dãy thỏa điều kiện đầu bài

Bài toán 2.5 Xác định các dãy số {xn} thỏa điều kiện



xn+ 2x2n − 5x4n = bn, n = 1; 2;

x8n = xn, n = 1; 2; (2.3)

Trong đó {bn} là dãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 tùy ý cho trước.Lời giải Thay n bởi 2n vào (2.3) được

x2n + 2x4n − 5x8n = b2n ⇔ x2n + 2x4n− 5xn = bn, ∀n = 1; 2; Thay n bởi 4n vào (2.3) được

( xn + 2x2n − 5x4n = bn

−5xn+ x2n + 2x4n = bn2xn − 5x2n + x4n = bnXét định thức

xn = −1

2bnTrong đó {bn} là dãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 tùy ý cho trước

2.2 XÁC ĐỊNH MỘT SỐ LỚP DÃY SỐ PHI TUYẾN

Trong phần này ta nghiên cứu các dãy số không có đa thức đặc trưng

mà không thể tuyến tính hóa được, do đó cần có các phương pháp khác

Lời giải Khi d = 0 ta có xn+1 = 1

2xn, suy ra xn = (

1

2)

n−1a.Xét trường hợp d > 0 Nhận xét rằng nếu un, vn là các nghiệm của hệphương trình



un+1 = u2n+ dvn2

vn+1 = 2unvn, u1 = a, v1 = 1thì xn = un

vn là nghiệm của phương trình (2.4) Thật vậy, ta chứng minhbằng quy nạp như sau, khi n = 1 ta có

u2n

v2 n

Vậy xn+1 cũng là nghiệm của (2.4) Tức là khẳng định cũng đúng tớin + 1.Theo nguyên lý quy nạp toán học, khẳng định trên đúng với mọi n ∈ N∗.Như vậy để tìm nghiệm của (2.4) ta giải hệ

Thực hiện cộng theo vế các phương trình trong hệ ta thu được:

d)2n + (a −√

d)2ni

vn+1 = 1

2√d

h(a +√

h(a +√

un+1 −√dvn+1 = (un −√dvn)2Như vậy

un+1−√dvn+1 = (un −√dvn)2 = · · · = (u1 −√dv1)2n = (1 − a√

d)2nSuy ra

d)2n + (1 − a√

d)2ni

vn+1 = 1

2√d

h(1 + a√

d)2 n−1

− (1 − a√d)2 n−1 Bài toán 2.8 Tìm dãy số {xn} thỏa mãn các điều kiện

vn là nghiệm của phương trình Khi đó

xn+1 = un+1

vn+1 =

u2n + 9v2n2unvn =

u2n

v2 n

cũng là nghiệm của (2.6).

Như vậy để tìm nghiệm của (2.6), ta giải hệ



un+1 = u2n+ 9vn23vn+1 = 6unvn, u1 = 4, v1 = 1

Lần lượt cộng và trừ vế theo vế các đẳng thức của hệ trên ta thu được:

vn+1 = 7

2n − 16Vậy

xn = 3(7

2n−1 + 1)

72 n−1

− 1 .Bài toán 2.9 Xác định số hạng tổng quát của dãy số {xn} thỏa mãn

x0 = a, xn+1 = pxn + q

rxn + s, n ∈N, (2.7)trong đó p, q, r, s ∈ R là các số cho trước.

Lời giải Giả sử un, vn là nghiệm thỏa mãn điều kiện

= pun+1 + q(run+1 + svn+1) = pun+1 + qrun+ s.qyn

= pun+1 + qrun+ s(un+1− pun)Suy ra

un+2 − (p + s)un+1 + (ps − qr)un = 0Trong đó u1 = a, u2 = pa + qb

Như vậy, ta được phương trình

u1 = a, u2 = pa + qb, un+2− (p + s)un+1+ (ps − qr)un = 0, n > 2Giải phương trình ta tìm được un, thay vào (2.8) ta tìm được vn Từ đó

ta tìm được số hạng tổng quát của dãy số xn = un

vn.2.2.2 Phương pháp lượng giác hóa

Ta có thể sử dụng các công thức lượng giác quen thuộc của chươngtrình phổ thông như công thức nhân đôi, nhân ba để xác định số hạngtổng quát của lớp các dãy số

Bài toán 2.10 Cho dãy {un}:

(

u1 = 12

Giả sử un = cos2

n−1π3Lúc đó ta cần chứng minh: un+1 = cos2

nπ3Thật vậy,un+1 = 2u2n−1 = 2cos2(2

n−1π

3 , ∀n ≥ 1.

Bài toán 2.11 Cho dãy {un}:



u1 = 3

un = 2u2u−1 − 1, ∀n ≥ 2.Xác định công thức tổng quát của dãy {un}

uk+1 = 2u2k− 1

= 2

1

2)2n−1 + (3 − 2√

2)2n−1i.Bài toán 2.12 Cho dãy {un} thỏa điều kiện:

Lời giải Đặt un = pyn.

Khi đó

p.yn+1 = ap2.y2n+ b ⇒ yn+1 = ap.yn2 + b

pTìm p sao cho

( ap = 2b

p = −1

⇒

(

p = 2a

p = −b

thỏa ab = −2Nên đặt

un = 2

ayn = −byn.Khi đó: y1 = −α

b.và

−byn+1 = ab2yn2 + b ⇒ yn+1 = −abyn2 − 1 ⇒ yn+1 = 2yn2 − 1

Từ đây, bằng phương pháp lượng giác ta sẽ tìm được kết quả

Bài toán 2.13 Xác định công thức tổng quát của dãy số {un} thỏamãn



u1

un+1 = 4u3n− 3un, ∀n ≥ 1

Lời giải - Nếu |u1| ≤ 1 thì ∃α ∈ [0; π] để cos α = u1

Khi đó u2 = 4 cos3α − 3 cos α = cos 3α

u3 = 4 cos33α − 3 cos 3α = cos 32α

chứng minh quy nạp ta được un = cos 3n−1α

Dùng nguyên lý quy nạp ta chứng minh được

Nhận xét 2.4 Nếu {un} :



u1

un+1 = 4u3n+ 3un, ∀n ≥ 1thì đặt u1 = 1

2(a −

1

a),lúc đó chứng minh quy nạp ta được

(u1 +

un = 4u3n−1− 3un−1, ∀n ≥ 2

Lời giải Ta có

u1 =

√3

2 = cos

π6

u2 = 4cos3π

6 − 3 cos π

6 = cos 3

π6

un = 1

3

h(3 +√

10)3n−1 − (3 −√10)3n−1i

Bài toán 2.16 Xác định công thức tổng quát của dãy số{un} thỏa:



u1 = 2

un+1 = u3n + 3u2n− 3, ∀n ≥ 1 (2.9)Lời giải Đặt vn = un + 1, thì v1 = 1

Từ công thức truy hồi (2.9) ta có:

Theo kết quả bài (2.13) suy ra:

!3n−1

2 −

r54

!3n−1

⇒ un = 3 +

√52

!3n−1

+ 3 −

√52

1 − tanπ

3 tan

π8

1 − tan π

3 tan

π8

= tan(π

3 + 2

π

8)

un = tan(π

3 + (n − 1)

π

8), ∀n = 1; 2; 2.2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ

Một kỹ thuật rất hay nữa là ta sẽ dùng phương pháp đặt ẩn phụ đểchuyển đổi các bài toán không có đa thức đặc trưng về các dãy quen thuộcnhư cấp số cộng nhân, cấp số cộng nhân

Bài toán 2.18 Xác định số hạng tổng của dãy số {xn} thỏa mãn:

yn = un − 3

2 ⇒ yn+1 = un+1 − 3

2

xn = 2

5.2n−1 − 3.Bài toán 2.19 Xác định số hạng tổng của dãy số {xn} thỏa mãn:

3n+1 − 1.Bài toán 2.20 Xác định số hạng tổng quát của dãy số {xn} thỏamãn:

Ta chọn t thỏa mãn:

5t2 + 22t + 24 = 0 ⇒ t = −2 ⇒ y1 = 4và

yn = yn−15yn−1 + 3 ⇒ 1

11.3n−1 − 10

⇒ xn = yn− 2 = −22.3

n−1+ 2411.3n−1 − 10Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là:

xn = −22.3n−1+ 24

11.3n−1 − 10 .Nhận xét 2.5 Với ý tưởng của các bài giải trên, ta có thể giải đượcbài toán tổng quát như sau:

Cho dãy số {xn} thỏa mãn: x1 = α, xn = pxn−1+ q

Bài toán 2.21 Xác định các dãy số {xn} thỏa mãn điều kiện:

x2n = 3xn − 7, n = 1; 2; (2.10)Lời giải

y2n = 3yn, n = 1; 2; (2.11)Đặt yn = nlog2 3.un, thay vào (2.11) ta được:

(2n)log2 3.u2n = 3.nlog2 3.un, n = 1; 2;

⇔ u2n = un, n = 1; 2; (2.12)với (un) được xác định như bài toán 2.3:

un =



a2n+1 khi n = 2m + 1, m ∈ N∗

a2n+1 khi n = 2s.(2m + 1), m ∈ N, s ∈N∗ (2.13)trong đó a2n+1 tùy ý

Vậy

xn = 7

2 + n

log23.un,với un được xác định như (2.13)

Bài toán 2.22 Xác định các dãy số {xn} thỏa mãn điều kiện:

x2n+1 = 3xn, ∀n ∈ N (2.14)Lời giải Đặt n + 1 = m, m ∈ N∗ Khi đó (2.14) trở thành

x2(m−1)+1 = 3xm−1 ⇔ x2m−1 = 3xm−1, ∀m ∈ N∗ (2.15)Đặt ym = xm−1 thì (2.15) trở thành:

y2m = 3ym, ∀m ∈N∗ (2.16)Đặt

ym = mlog2 3

.um, m ∈ N∗.Lúc đó (2.16) thành

(2m)log2 3.u2m = 3.mlog2 3.um

⇔ u2m = um, ∀m ∈ N∗ (2.17)