Phương tích và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng

Kiến thức về chúng cũng kháđơn giản và dễ hiểu, nhưng lại có nhiều ứng dụng để giải các bài toán về chứngminh các đẳng thức hình học, tìm tập hợp các điểm cùng thuộc một đường tròn,điểm

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG

Đà Nẵng - Năm 2015

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn của PGS.TS Trần Đạo Dõng Các kết quả của luận văn là trung thực

và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác

Đà Nẵng, tháng 11 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Tấn Ninh

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do lựa chọn đề tài 1

2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

6 Cấu trúc của luận văn 2

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 4 1.1 PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN 4

1.2 TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN 7

1.3 TÂM ĐẲNG PHƯƠNG CỦA BA ĐƯỜNG TRÒN 12

1.4 THỂ HIỆN TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES 15

1.4.1 Phương tích trong hệ tọa độ Descartes 15

1.4.2 Trục đẳng phương trong hệ tọa độ Descartes 15

1.4.3 Tâm đẳng phương trong hệ tọa độ Descartes 16

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TÍCH,TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG VÀ TÂM ĐẲNG PHƯƠNG VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG 17 2.1 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TÍCH 17

2.1.1 Các bài toán chứng minh đẳng thức hình học 17

2.1.2 Các bài toán về quan hệ thẳng hàng 21

2.1.3 Các bài toán về điểm cố định, tập hợp điểm thuộc đường tròn 23 2.1.4 Các bài toán về quan hệ vuông góc 30

2.2 ỨNG DỤNG CỦA TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG 34

2.2.1 Các bài toán về quan hệ thẳng hàng, đồng quy 34 2.2.2 Các bài toán về điểm cố định, tập hợp điểm thuộc đường tròn 41

2.3 ỨNG DỤNG CỦA TÂM ĐẲNG PHƯƠNG 542.3.1 Các bài toán về quan hệ thẳng hàng, đồng quy 542.3.2 Các bài toán về điểm cố định, tập hợp điểm thuộc đường tròn 62

KẾT LUẬN 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

Kí hiệu Tên gọi

(O, R) Đường tròn tâm O bán kính R

(O) Đường tròn tâm O

(ABC) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

∆ABC Tam giác ABC

(AB) Đường tròn đường kính AB

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong các đề thi học sinh giỏi Toán phổ thông trung học cấp tỉnh, thành phố,cấp quốc gia và các kỳ thi olympic toán quốc tế và khu vực, bên cạnh những bấtđẳng thức, những hệ phương trình, hay những bài toán số học, tổ hợp, ta khôngthể quên được một dạng toán quen thuộc, vô cùng thú vị và cũng xuất hiệnthường trực hơn cả, đó chính là những bài toán hình học phẳng Nhìn xuyênsuốt qua các bài toán ấy, ta sẽ phát hiện ra sự xuất hiện của những đường tròn,những tam giác, tứ giác; cùng với sự kết hợp đặc biệt, chúng đã tạo ra nhiều vấn

đề thật đẹp và thật hấp dẫn

Phương tích, trục đẳng phương và tâm đẳng phương là các công cụ khá hữuhiệu để giải quyết các bài toán hình học phẳng Kiến thức về chúng cũng kháđơn giản và dễ hiểu, nhưng lại có nhiều ứng dụng để giải các bài toán về chứngminh các đẳng thức hình học, tìm tập hợp các điểm cùng thuộc một đường tròn,điểm cố định, các bài toán về quan hệ thẳng hàng, đồng quy, vuông góc, Sửdụng các tính chất về phương tích, trục đẳng phương và tâm đẳng phương đểgiải các bài toán hình học phẳng này thường cho lời giải khá hay và dễ hiểu.Được sự định hướng của PGS.TS.Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài “Phươngtích và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng” làm đề tài luận văn thạc sĩ củamình với mong muốn tìm hiểu về phương tích, các kiến thức liên quan và vậndụng để giải một số bài toán hình học phẳng trong chương trình Toán trung họcphổ thông, đặc biệt trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán

2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu, hệ thống các khái niệm và tính chấtcủa phương tích, trục đẳng phương và tâm đẳng phương, từ đó ứng dụng để giảimột số dạng toán hình học phẳng trong chương trình Toán phổ thông trung học.Với mục tiêu nêu trên, luận văn được chia thành 2 chương:

Chương 1 tôi trình bày các khái niệm, các tính chất cơ bản về phương tích,trục đẳng phương và tâm đẳng phương.

Chương 2 tôi trình bày ứng dụng của phương tích, trục đẳng phương, tâmđẳng phương vào giải một số bài toán hình học phẳng trong chương trình phổthông trung học

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các kiến thức về phương tích, trục đẳngphương và tâm đẳng phương, các ứng dụng của chúng trong giải một số dạngtoán hình học phẳng

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các bài toán chứng minh quan hệ thẳnghàng, đồng quy, xác định điểm cố định, chứng minh tập hợp điểm thuộc đườngtròn và tính các đại lượng hình học, trong hình học phẳng thuộc chương trìnhphổ thông trung học

4 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập các bài báo cáo khoa học, các chuyên đề và tài liệu của các tác giảnghiên cứu các kiến thức liên quan đến phương tích, trục đẳng phương và tâmđẳng phương

Thu thập các bài toán trong các đề thi học sinh giỏi liên quan đến phươngtích, trục đẳng phương và tâm đẳng phương, giải các bài toán đó nếu chưa cólời giải tham khảo hoặc giải bằng phương pháp khác

Trao đổi, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn, các bạn đồng nghiệp

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề nâng cao trong hình học phẳngthuộc chương trình Toán trung học phổ thông

Phát huy tính tự học và sáng tạo của học sinh

6 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận

Chương 1 trình bày các khái niệm, các tính chất cơ bản về phương tích, trụcđẳng phương và tâm đẳng phương.

Chương 2 trình bày ứng dụng của phương tích, trục đẳng phương, tâm đẳngphương vào giải một số bài toán hình học phẳng trong chương trình phổ thôngtrung học

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi trình bày một số định nghĩa, định lý và các

hệ quả của phương tích, trục đẳng phương và tâm đẳng phương trong chương trình Toán trung học phổ thông để làm cơ sở cho chương sau Các kiến thức trình bày trong chương được tham khảo từ các tài liệu [3], [4], [6].

1.1 PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN

Định lý 1.1.1 ([3] , Định lý) Cho đường tròn (O; R) và một điểm M cố

định Một đường thẳng thay đổi qua M và cắt đường tròn tại hai điểm A và B thì tích vô hướng−→

MI+−→IB) = (−→

MI+−→IA)(−→

MB không đổi trong định lý trên được gọi là

phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu ℘M/(O).

Như vậy ℘M/(O)=−→

MA.−→

MB= MO2− R2 = d2− R2

Hệ quả 1.1.1 Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O; R) và một điểm M nằm

ngoài (O) Qua M kẻ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MT tới (O).

Hệ quả 1.1.2 Cho hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại M Khi đó bốn

điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn nếu và chỉ nếu−→

MA.−→

MB=−→

MC.−→MD

Chứng minh. Nếu bốn điểm A, B,

Ngược lại, vẽ đường tròn qua ba điểm A,

B, C và giả sử đường tròn đó cắt đường thẳng

Hệ quả 1.1.3 Qua điểm M vẽ 2 đường thẳng cắt (O) tại A, B và C, D nếu

Hệ quả 1.1.4 Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc đường thẳng AB và nằm

ngoài đoạn thẳng AB Điều kiện cần và đủ để MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là−→

tại C, đường tròn này cắt đường thẳng AB tại B’ thì ℘M/(O)= MC2=−→

Hệ quả 1.1.5 Cho hai đường thẳng AB, MT phân biệt cắt nhau tại M (M

khộng trùng với A, B, T) Khi đó, nếu−→

MA.−→

MB= MT2thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABT tiếp xúc với MT tại T.

Hình 1.5

1.2 TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

Định lý 1.2.1.([3] , Định lý) Cho hai đường tròn không đồng tâm (O1; R1)

và (O2; R2) Quỹ tích những điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn

O1O2 : không đổi nên H cố định

Suy ra quỹ tích điểm M có cùng phương tích đối với hai đường tròn đã cho làđường thẳng qua H và vuông góc với O1O2 

Định nghĩa 1.2.1 Đường thẳng nói ở định lý 1.2.1 được gọi là trục đẳng

phương của hai đường tròn (O1; R1) và (O2; R2).

Hệ quả 1.2.1 Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường

thẳng nối tâm (xem hình 1.7).

Hình 1.7

Hệ quả 1.2.2 Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là

trục đẳng phương của chúng (xem hình 1.8).

Hình 1.8

Hệ quả 1.2.3 Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O1) và (O2) thì đường thẳng qua M vuông góc với O1O2 là trục đẳng phương của hai đường tròn (xem hình 1.9).

Hình 1.9

Hệ quả 1.2.4 Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường

tròn thì đường thẳng MN chính là trục đẳng phương của hai đường tròn (Xem hình 1.10).

Hình 1.10

Hệ quả 1.2.5 Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì

3 điểm đó thẳng hàng (Xem hình 1.11).

Hình 1.11

Hệ quả 1.2.6 Nếu (O1) và (O2) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua A

và vuông góc O1O2 chính là trục đẳng phương của hai đường tròn (Hình 1.12).

Hình 1.12

* Cách xác định trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm

Trong mặt phẳng cho hai đường tròn không đồng tâm (O1) và (O2)

Xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1 Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.

Khi đó đường thẳng AB chính là trục đẳng phương của hai đường tròn (Xemhình 1.13)

Hình 1.13

Trường hợp 2 Hai đường tròn tiếp xúc nhau tại T Khi đó tiếp tuyến chung

tại T chính là trục đẳng phương của hai đường tròn (Xem hình 1.14)

Hình 1.14

Trường hợp 3 Hai đường tròn không có điểm chung Dựng đường tròn

(O3) cắt cả hai đường tròn Trục đẳng phương của các cặp đường tròn (O1) và(O3); (O2) và (O3) cắt nhau tại K Đường thẳng qua K vuông góc với O1O2 làtrục đẳng phương của (O1), (O2) (Xem hình 1.15)

Hình 1.15

Nhận xét Nếu có thể kẻ được 2 tiếp tuyến chung A1A2, B1B2 của (O1)

và (O2) thì đường nối trung điểm của các đoạn A1A2, B1B2 chính là trục đẳngphương của (O1) và (O2) (Xem hình 1.16)

Hình 1.16

1.3 TÂM ĐẲNG PHƯƠNG CỦA BA ĐƯỜNG TRÒN

Định lý 1.3.1.([3] , Định lý) Cho 3 đường tròn (C1), (C2), (C3) Khi đó 3

trục đẳng phương của các cặp đường tròn này hoặc trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm.

Định nghĩa 1.3.1 Trong trường hợp các trục đẳng phương của các cặp

đường tròn trong định lý 1.3.1 cùng đi qua một điểm thì điểm đó được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn (C1), (C2), (C3).

Hệ quả 1.3.1 Nếu 3 đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung chung

cùng đi qua một điểm.

Hình 1.18– Các dây cung AB, CD, EF cùng đi qua điểm I

Chứng minh.(Xem hình 1.18)

Ta có AB là trục đẳng phương của 2 đường tròn (O1) và (O2)

CD là trục đẳng phương của 2 đường tròn (O1) và (O3)

EF là trục đẳng phương của 2 đường tròn (O2) và (O2)

Gọi I là giao điểm của AB và CD

Khi đó ta có ℘I/(O1) = ℘I/(O2) và ℘I/(O1)= ℘I/(O3)

Suy ra ℘I/(O2) = ℘I/(O3)⇒ I ∈ EF

Suy ra 3 ba dây cung AC, CD, EF cùng đi qua điểm I 

Hệ quả 1.3.2 Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì

tâm của ba đường tròn thẳng hàng.

Chứng minh.Gọi di j là trục đẳng phương của 2 đường tròn (Oi), (Oj).Trường hợp 1: (Xem hình 1.19a) Giả sử d12//d23//d13

Ta có d12⊥O1O2, d23⊥O2O3, d13⊥O1O3 suy ra O1, O2, O3 thẳng hàng

Trường hợp 2: (Xem hình 1.19b) Giả sử d12 ≡ d23 ≡ d13

Ta có d12⊥O1O2, d23⊥O2O3, d13⊥O1O3 suy ra O1, O2, O3 thẳng hàng 

Trường hợp 1 Ba đường tròn cắt nhau tại điểm A.

Ta có A là điểm chung của hai đường tròn (O1), (O2)

Suy ra trục đẳng phương d12 của O1O2 sẽ đi qua điểm A và vuông góc với

Do đó các trục đẳng phương d12, d13, d23 trùng nhau.

Trường hợp 2 Ba đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm A

Suy ra trục đẳng phương d12 là tiếp tuyến chung tại A của hai đường tròn(O1), (O2) sẽ vuông góc với đường nối tâm O1O2

Tương tự trục đẳng phương d13 là tiếp tuyến chung tại A của hai đường tròn(O1), (O3) sẽ vuông góc với đường nối tâm O1O3

Trục đẳng phương d23 là tiếp tuyến chung tại A của hai đường tròn (O2), (O3)

sẽ vuông góc với đường nối tâm O2O3

Mà O1, O2, O3 thẳng hàng

Do đó các trục đẳng phương d12, d13, d23trùng nhau 

1.4 THỂ HIỆN TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES

1.4.1 Phương tích trong hệ tọa độ Descartes

Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Descartes, cho điểm M(x0; y0) và đường tròn(O): x2+ y2+ 2ax + 2by + c = 0

Đặt F(x; y) = x2+ y2+ 2ax + 2by + c

Khi đó ℘M/(O)= F(x0; y0) = x20+ y20+ 2ax0+ 2by0+ c

Điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) khi và chỉ khi ℘M/(O)> 0

Điểm M nằm trên đường tròn (O) khi và chỉ khi ℘M/(O) = 0

Điểm M nằm bên trong đường tròn (O) khi và chỉ khi ℘M/(O) < 0

1.4.2 Trục đẳng phương trong hệ tọa độ Descartes

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các đường tròn không đồng tâm

(O1) : x2+ y2+ 2a1x+ 2b1x+ c1= 0, (O2) : x2+ y2+ 2a2x+ 2b2x+ c2= 0

Từ biểu thức phương tích của một điểm đối với một đường tròn trong mặtphẳng tọa độ Oxy suy ra trục đẳng phương của (O1) và (O2) là đường thẳng cóphương trình

2(a1− a2)x + 2(b1− b2)y + c1− c2= 0

1.4.3 Tâm đẳng phương trong hệ tọa độ Descartes

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các đường tròn (O1), (O2), (O3) có tâmkhông thẳng hàng

2.1 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TÍCH

Trong phần này chúng tôi trình bày ứng dụng của phương tích vào giải cácbài toán hình học phẳng, cụ thể là các bài toán chứng minh đẳng thức hình học,bài toán về quan hệ thẳng hàng, đồng quy, bài toán về điểm cố định, tập hợpđiểm thuộc đường tròn, bài toán về quan hệ vuông góc

2.1.1 Các bài toán chứng minh đẳng thức hình học

Phương pháp giải: Đối với các bài toán chứng minh đẳng thức hình học ta

thường sử dụng định nghĩa 1.1, hệ quả 1.1.2 và một số tính chất khác để chứngminh Dưới đây là một số bài toán minh họa

Bài toán 2.1.1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là giao điểm của AB và

CD, N là giao điểm của AD và BC Chứng minh rằng MN2= PM/(O)+ PN/(O)

- Sử dụng hệ quả 1.1.2 cho các tứ giác MPAD và PNBA nội tiếp

- Sử dụng định nghĩa phương tích của một điểm đối với đường tròn suy ra điềuphải chứng minh

Hay: MN2= PM/(O)+ PN/(O).

Bài toán 2.1.2 Cho tam giác ABC nội tiếp (O, R) ngoại tiếp (I, r) Chứng

ICM= dICA+ [ACM = dICA+ [ABM= Cb

2 +bB

2 =b

B+ bC

2 .

Hình 2.22

Suy ra dCIM= dICM

Do đó tam giác IMC cân tại M, suy ra MI = MC

Bài toán 2.1.3 (Romani TST 2006) Cho (O) và một điểm A nằm ngoài

(O) Từ A kẻ cát tuyến ABC, ADE ( B thuộc đoạn thẳng AC, D thuộc đoạnthẳng AE) Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) lần thứ 2 tại F, AFcắt (O) tại G, EG cắt AC tại M Chứng minh rằng 1

- Sử dụng hệ quả 1.1.2 cho tứ giác nội tiếp BCFG, suy ra−→

MB.−→

ME =−→

MB.−→MC

MC=−→

MG.−→ME

AB.−→

AC−−→AM−→

AB−−→AM−→

AC= 0

⇔ AB.AC cos dBAC− AM.AB cos [MAB− AM.AC cos [MAC = 0

⇔ AB.AC − AM.AB − AM.AC = 0

⇔ AB.AC − AM(AB + AC) = 0

Bài toán 2.1.4 Cho hai đường tròn cắt nhau ở A và B Một đường thẳng

tiếp xúc với hai đường tròn tại M và N Đường thẳng qua A và B cắt MN tạiđiểm I Chứng minh rằng IM=IN

Phân tích và định hướng:

- ℘I/(O) = ℘I/(O0 ) =−→

IA.−→IB

- Theo hệ quả 1.1.4 ta có ℘I/(O)=−→

2.1.2 Các bài toán về quan hệ thẳng hàng

Phương pháp giải: Để chứng minh các bài toán về quan hệ thẳng hàng

ta chứng minh những điểm đó có cùng phương tích đối với 2 đường tròn nênchúng cùng nằm trên 1 đường thẳng tức là chúng thẳng hàng

Gọi A0 = AH ∩ BD, D0 = DH ∩ AC, B0 = BK ∩ AC, C0= CK ∩ BD

Tứ giác ABCD nội tiếp−→

⇒ ℘F /(BE)= ℘F/(CD) suy ra F có cùng phương tích đối với 2 đường tròn đườngkính BE và đường tròn đường kính CD.

Tương tự ta xét 2 tứ giác nội tiếp H1H2CB và BCED ta cũng được H, I lần lượt

có cùng phương tích với 2 đường tròn đường kính BE và CD

Suy ra 3 điểm F, H, I có cùng phương tích với hai đường tròn (BE) và (CD) nênchúng sẽ thẳng hàng

Bài giải:

Hình 2.25

Gọi F1, F2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của F lên AB, AC; H1, H2 lần lượt

là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC

Ta có tứ giác F1F2EDnội tiếp (Vì bF1= bF2= 900)

- Để chứng minh tập hợp điểm thuộc đường tròn ta sử dụng hệ quả 1.1.2 nếu

−→

MA.−→

MB=−→

MC.−→

MDsuy ra 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

Bài toán 2.1.7 Cho đường tròn đường kính AB và đường thẳng ∆ vuông

góc với AB ở H (H không trùng với A và B) Một đường thẳng quay quanh Hcắt đường tròn ở M, N và các đường thẳng AM, AN lần lượt cắt ∆ ở M’, N’.a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M’, N’ cùng thuộc một đường tròn (C) nàođó

b) Chứng minh các đường tròn (C) luôn đi qua hai điểm cố định

Do (S) là đường tròn cố định nên P, Q là 2 điểm cố định của (C)

Hình 2.26

b) Gọi P, Q là các giao điểm của (C) với đường thẳng AB và E, F là các giaođiểm của ∆ với đường tròn đường kính AB.

Sử dụng hệ quả 1.1.2 cho tứ giác MM’PQ và HBMM’ ta có

AB= AE2.Tương tự tam giác AFB vuông tại F suy ra−→

Mà (S) là đường tròn cố định nên P, Q là 2 điểm cố định của (C)

Bài toán 2.1.8 Cho (O, R) và hai điểm P, Q cố định (P nằm ngoài (O)).

Dây cung AB của (O) luôn đi qua Q PA, PB lần lượt cắt (O) lần thứ hai tại D,

C Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định

Phân tích và định hướng: Gọi E là giao điểm thứ hai của PQ với đường

Bài giải:

Hình 2.27

Gọi E là giao điểm thứ hai của PQ với đường tròn (PAB), CD cắt PQ tại F

Tứ giác AEBP nội tiếp nên ℘Q/(PAB)= OQ2− R2=−→

Vậy đường thẳng CD luôn đi qua điểm F cố định

Bài toán 2.1.9 (Đề chọn đội tuyển của trường phổ thông năng khiếu năm

2008) Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định và B, C thay đổi trên đường thẳng

d cố định sao cho nếu gọi A’ là hình chiếu của A lên d thì−→

A0B.−→

A0Câm và khôngđổi Gọi M là hình chiếu của A’ lên AB Gọi N là hình chiếu của A’ lên AC, K

là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN tại M

và N Chứng minh rằng K thuộc một đường thẳng cố định

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN và I là giao điểm của OK

và MN Ta thấy O chính là trung điểm của AA’

Gọi D và P là giao điểm của AA’ với (ABC) và MN

Vì ∆AA0Bvuông tại A’ nên−→

AM.−→

AB=−→

AN.−→AC

⇒ Tứ giác BMNC nội tiếp

⇒ [AMN = dACB

Mà dADB= dACB(cùng chắn cung AB)

Nên [AMN= dADB

Suy ra MPDB nội tiếp

Gọi H là hình chiếu của K trên AA’.

Tứ giác PIKH nội tiếp ( dPIK = [PHK = 900)

Bài toán 2.1.10 Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định Một đường

thẳng quay quanh A, cắt (O) tại M và N Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác BMN thuộc một đường thẳng cố định

Phân tích và định hướng: Gọi C là giao điểm của AB và (I), dễ thấy I

thuộc đường trung trực của BC nên ta cần chứng minh đường trung trực này

cố định bằng cách sử dụng định nghĩa 1.1.1 và hệ quả 1.1.2 để chứng minh

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB

Gọi C là giao điểm của AB và (I)

Khi đó ta có I thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC

Lại có Tứ giác MNBC nội tiếp, ta có ℘A/(I)=−→

Vì A, B cố định và C thuộc AB nên từ hệ thức trên ta có C cố định

Suy ra I thuộc đường trung trực của BC cố định

Bài toán 2.1.11 Cho đường tròn (O) tiếp xúc đường thẳng d tại H Hai

điểm M, N di động trên d sao cho−−→

HM.−→

HN= −k2 (k 6= 0 cho trước ) Từ M, N

kẻ tiếp tuyến MA và NB của (O) ( với A, B khác H)

a) Chứng minh rằng đường tròn (OMN) luôn đi qua 2 điểm cố định

b) Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua 1 điểm cố định

Phân tích và định hướng:

- Ở câu a ta thấy đường tròn (OMN) đi qua 2 điểm O, P mà ta đã có điểm O cốđịnh rồi nên cần tìm hệ thức chứng tỏ điểm P cố định dựa vào giả thiết và các

hệ quả của phương tích

- Ở câu b ta có K là giao điểm của AB với IJ do đó ta cần tìm hệ thức để chứng

b) Gọi IH là đường kính của (O); E, F lần lượt là giao điểm của IA, IB với d.

Dễ thấy M, N lần lượt là trung điểm của EH, FH

Trong các tam giác vuông ∆IHE và ∆IHF

Ta có IA.IE = IB.IF = IH2⇒−→IA.−→

IE=−→

IB.−→

IF = IH2 ⇒ tứ giác ABEF nội tiếp

⇒ dIAB= dEFB(cùng bù dEAB)

Mà dEFB= dEJI nên dIAB= dEJI

Gọi K là giao điểm của AB và IJ

Ta có tứ giác AKJE nội tiếp

Vậy AB luôn đi qua điểm K cố định

2.1.4 Các bài toán về quan hệ vuông góc

Phương pháp giải: Sử dụng các hệ quả của phương tích và bổ đề dưới đây

để chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Bổ đề 2.1.1 Cho ∆ABC, H là điểm nằm trên cạnh BC Khi đó, AH⊥BC

nếu và chỉ nếu AB2− AC2= HB2− HC2

Hình 2.31

Chứng minh. Nếu AH⊥BC, theo định lý pitago

ta có AB2− AC2= HB2− HC2(= AH2) (9)

Ngược lại, nếu có (9), ta gọi M là điểm trên BC

sao cho AM⊥BC Khi đó theo chứng minh trên ta

có

AB2− AC2 = MB2− MC2

Bài toán 2.1.12 Cho tam giác ABC Dựng ra ngoài 2 tam giác cân tại A

là tam giác ABP và ACQ thỏa mãn dABP= dACQ Gọi R là giao điểm của BQ và

CP, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR Chứng minh AO⊥BC

Suy ra tứ giác APBR nội tiếp và tứ giác AQCR nội tiếp

Gọi M = AC ∩ (APBR), N = AB ∩ (AQCR)