Ứng dụng công thức truy hồi giải toán sơ cấp

Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu các công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng bậc một, bậc hai, bậc k và các phương pháp giải.. Phạm vi nghiên cứu Công thức truy hồi, phương pháp giải v

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRẦN THỊ THU HÀ

ỨNG DỤNG CÔNG THỨC TRUY HỒI

GIẢI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRẦN THỊ THU HÀ

ỨNG DỤNG CÔNG THỨC TRUY HỒI

GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số : 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN

ĐÀ NẴNG - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Trần Thị Thu Hà

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

6 Cấu trúc luận văn 2

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3

1.1 TỔNG QUAN VỀ TỔ HỢP 3

1.1.1 Sơ lược về lịch sử 3

1.1.2 Bài toán tổ hợp 3

1.1.3 Giới thiệu phần mềm Maple 10

1.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 11

CHƯƠNG 2 CÔNG THỨC TRUY HỒI 13

2.1 KHÁI NIỆM CÔNG THỨC TRUY HỒI 13

2.2 GIẢI CÔNG THỨC TRUY HỒI 13

2.2.1 Giải công thức truy hồi bằng phương pháp lặp 13

2.2.2 Giải công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng 14

2.2.3 Giải công thức truy hồi bằng hàm sinh 29

2.2.4 Giải công thức truy hồi bằng maple 32

2.2.5 Tuyến tính hóa công thức truy hồi 33

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CÔNG THỨC TRUY HỒI GIẢI TOÁN SƠ CẤP 36

3.1 ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP 36

3.1.1 Phương pháp giải 36

3.1.2 Các bài toán 36

3.2 ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ 42

3.2.1 Tìm công thức tổng quát của dãy số được cho bởi công thức truy hồi 42

3.2.2 Tính tổng của một dãy số 59

3.3 ỨNG DỤNG TRONG SỐ HỌC 63

3.4 ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 67

3.5 ỨNG DỤNG TÍNH TÍCH PHÂN 69

KẾT LUẬN 73

TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tổ hợp là ngành khoa học xuất hiện khá sớm vào đầu thế kỷ XVII, cho đến nay đã được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết số,

hình học, đại số, xác suất thống kê, quy hoạch thực nghiệm…

Các vấn đề liên quan đến lý thuyết tổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn của toán học nói chung và toán rời rạc nói riêng Nó là một nội dung phong phú và được áp dụng nhiều trong thực tế cuộc sống Trong toán sơ cấp,

tổ hợp cũng xuất hiện rất nhiều trong các bài toán hay và khó

Một trong những chủ đề khá hay của lý thuyết tổ hợp đó là công thức truy hồi Đây là một trong những kỹ thuật đếm cao cấp để giải các bài toán đếm và là công cụ rất hữu hiệu để giải các bài toán khác có liên quan

Vì vậy, tôi đã quyết định chọn đề tài: “Ứng dụng công thức truy hồi

giải toán sơ cấp” để làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu ứng dụng của công thức truy hồi trong giải toán sơ cấp

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu các công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng bậc một, bậc hai, bậc k và các phương pháp giải Nghiên cứu ứng dụng của công thức truy hồi trong chương trình THPT

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Công thức truy hồi, phương pháp giải và ứng dụng trong các bài toán

sơ cấp như: tổ hợp, dãy số, tích phân

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết, phân tích, tổng hợp các dạng toán

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài nghiên cứu tính ứng dụng của công thức truy hồi

Giải quyết được các bài toán đặt ra từ thực tế

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Chương 2: Công thức truy hồi

Chương 3: Ứng dụng công thức truy hồi giải toán sơ cấp

số có tính chất đặc biệt Chẳng hạn, 36 không những là tổng 4 số chẵn và 4 số

lẻ đầu tiên mà còn là tổng lập phương của 3 số tự nhiên đầu tiên

36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 1 + 2 + 3

Lý thuyết tổ hợp được hình thành như một ngành toán học mới vào thế

kỷ 17 bằng một loạt công trình nghiên cứu của các nhà toán học xuất sắc như: Pascal, Fermat, Euler…

Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ Các bài toán tổ hợp nổi tiếng trong lịch sử: Bài toán tháp Hà Nội, bài toán xếp cặp vợ chồng, bài toán đường đi quân ngựa trên bàn cờ, bài toán hình vuông la tinh, hình lục giác thần bí

1.1.2 Bài toán tổ hợp

a Cấu hình tổ hợp và các dạng bài toán tổ hợp

Cho các tập hợp , , … , Giả sử là sơ đồ sắp xếp các phần tử , , … , được mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và , , …, là các điều kiện ràng buộc lên mỗi sắp xếp theo sơ đồ Khi đó mỗi sắp xếp các phần tử của , , … , thỏa mãn các điều kiện , , …, gọi là một

cấu hình tổ hợp trên các tập , , … ,

Với các cấu hình tổ hợp, ta thường gặp bốn dạng bài toán sau: bài toán tồn tại, bài toán đếm, bài toán liệt kê, bài toán tối ưu

b Bài toán đếm

* Nguyên lý cộng và nguyên lý nhân

+ Nguyên lý cộng Giả sử { , , … , } là một phân hoạch của tập

Khi đó

| | = | | + | | + ⋯ + | |

+ Nguyên lý nhân Giả sử một cấu hình tổ hợp được xây dựng qua bước, bước 1 có thể được thực hiện cách, bước 2 được thực hiện cách,…, bước được thực hiện cách Khi đó, số cấu hình tổ hợp là

( , ) =

+ Chỉnh hợp không lặp

Định nghĩa 1.2 Một chỉnh hợp không lặp chập của phần tử khác nhau là một bộ có thứ tự gồm thành phần lấy từ phần tử đã cho Các thành phần không được lặp lại

Số tất cả chỉnh hợp không lặp chập của phần tử là

Chứng minh

Một hoán vị lặp của phần tử như trên có thể được xây dựng qua bước kế tiếp như sau Trong chỗ

Hệ quả 1.1 Giả sử có phần tử, trong đó có phần tử kiểu 1,

phần tử kiểu 2,…, phần tử kiểu Khi đó số các hoán vị phần tử của là

P( ; , , … , ) = ! !! … !

+ Tổ hợp lặp

Ví dụ 1.1 Giả sử ta có 3 đầu sách: Toán, Tin, Lý và mỗi đầu sách có ít

nhất 6 quyển Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 quyển

Lời giải

Bài toán đặt ra là chọn 6 phần tử, không kể thứ tự và cho phép lặp lại

Mỗi cách chọn sách được xác định duy nhất bởi số lượng của mỗi loại sách

Ta có thể biểu diễn mỗi cách chọn sách như sau:

Toán Tin Lý xxx | xx | x trong đó, 6 dấu x chỉ quyển sách chọn và 2 dấu gạch đứng | chỉ phân cách giữa các loại sách Như vậy, mỗi cách chọn sách tương ứng với việc chọn 2 vị

trí trong 8 vị trí để đặt 2 dấu gạch đứng |, tức là tổ hợp chập 2 (dấu |) từ 8 phần tử Suy ra số cách chọn sách là

(8, 2) = 26

Định nghĩa 1.6 Tổ hợp lặp chập từ phần tử khác nhau là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm phần tử trích từ phần tử đã cho, trong

Định lý 1.3

i Nếu ( ) là hàm sinh của dãy ( ) và ℎ( ) là hàm sinh của dãy

( ) thì ( ) + ℎ( ) là hàm sinh của dãy ( + ) , với mọi số thực và

ii Nếu ( ) là hàm sinh của dãy ( ) và ℎ( ) là hàm sinh của dãy ( ) thì ( ) ℎ( ) là hàm sinh của dãy

Một số hàm sinh thường gặp

ln(1 + ) = (−1)

= − 2 + 3 − ⋯

(−1)

1.1.3 Giới thiệu phần mềm Maple

Maple là một hệ thống tính toán trên các biểu thức đại số và minh họa toán học mạnh mẽ của công ty Warterloo Maple Inc Maple ra đời năm 1991, đến nay đã phát triển đến phiên bản thứ 16 Maple có cách cài đặt đơn giản, chạy được trên nhiều hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt, dễ sử dụng tối ưu cấu hình của máy và có trình trợ giúp rất dễ sử dụng Từ phiên bản thứ 7, Maple cung cấp ngày càng nhiều các công cụ trực quan Các gói lệnh gắn liền với toán phổ thông và đại học

Có thể nêu vắn tắt các chức năng cơ bản của Maple như sau:

+ Là hệ thống tính toán trên các biểu thức đại số

+ Có thể thực hiện được hầu hết các phép toán phổ thông và đại học + Cung cấp các công cụ minh họa hình học

+ Một công cụ biên soạn giáo án và bài giảng điện tử thích hợp với các lớp học tương tác trực tiếp

Cấu trúc và giao diện: Khi khởi động, chương trình chỉ tự động kích hoạt nhân của Maple bao gồm các phép toán và chức năng cơ bản, các giữ liệu còn lại của Maple được lưu giữ trong thư viện của Maple và được chia ra làm 2 nhóm: nhóm các lệnh cơ bản và nhóm các gói lệnh

Sau khi khởi động Maple, trên màn hình hiện cửa sổ làm việc với dấu nhắc [>

Lưu trữ và trích xuất dữ liệu: Trang làm việc của Maple được lưu dưới

dạng tệp (file) có phần mở rộng “.mws” File được lưu giữ bằng File/Save

Giải công thức truy hồi, ta dùng hàm rsolve với các cấu trúc như sau:

1.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

Định nghĩa 1.8 Phương trình sai phân tuyến tính cấp là một hệ thức tuyến tính có dạng

Hàm số ( ) thỏa mãn (1.1) được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính (1.1)

Hàm số ( ) phụ thuộc tham số, thỏa mãn (1.2) được gọi là nghiệm tổng quát của (1.2)

Một nghiệm ∗( ) thỏa mãn (1.1) được gọi là một nghiệm riêng của (1.1)

Nghiệm tổng quát ( ) của (1.1) có dạng

( ) = ( ) + ∗( )

CHƯƠNG 2

CÔNG THỨC TRUY HỒI

2.1 KHÁI NIỆM CÔNG THỨC TRUY HỒI

Ví dụ 2.1 Xét bài toán đếm số tập con ( ) của tập

Gọi ( ) là số tập con của tập có phần tử Giả sử có phần tử Cho

x là phần tử của Tách ( ) ra làm hai nhóm và , nhóm gồm các tập con chứa và nhóm gồm các tập con không chứa Khi đó chính là

( ∖ { }) và tương đương Như vậy ta có

| ( )| = | | + | | = 2 | ( ∖ { })|

Từ đó suy ra công thức truy hồi: ( ) = 2 ( − 1), ∀

Định nghĩa 2.1 Công thức truy hồi của dãy (0), (1), (2), … là phương trình xác định ( ) bằng các phần tử (0), (1), (2), … , ( − 1)

trước nó

( ) = (0), (1), (2), … , ( − 1)

Điều kiện ban đầu là các giá trị gán cho một số hữu hạn các phần tử đầu Trong ví dụ 2.1, ta có điều kiện ban đầu là (0) = 1

2.2 GIẢI CÔNG THỨC TRUY HỒI

2.2.1 Giải công thức truy hồi bằng phương pháp lặp

Nội dung của phương pháp này là thay thế liên tiếp công thức truy hồi vào chính nó, mỗi lần thay bậc giảm ít nhất 1 đơn vị, cho đến khi đạt giá trị ban đầu

Ví dụ 2.2 Trên mặt phẳng kẻ đường thẳng sao cho không có ba đường nào đồng quy và không có hai đường nào song song Hỏi mặt phẳng

được chia làm mấy phần?

Lời giải

Gọi số phần mặt phẳng được chia bởi đường thẳng là ( ) Giả sử đã

kẻ − 1 đường thẳng Bây giờ kẻ thêm đường thẳng thứ thì số phần mặt

phẳng được thêm sẽ bằng số giao điểm cộng 1( − 1 + 1 = ) Vì vậy ta có công thức truy hồi sau:

( ) = ( − 1) + , (1) = 2

Giải công thức truy hồi trên bằng phương pháp lặp ta có:

( ) = ( − 1) + = ( − 2) + ( − 1) +

… …

= (1) + 2 + 3 + ⋯ + ( − 1) +

= 1 + 1 + 2 + 3 + ⋯ + ( − 1) +

= 1 + ( + 1)2

2.2.2 Giải công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng

a Định nghĩa công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng

Định nghĩa 2.2.

Công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng bậc có dạng

( ) = ( − 1) + ( − 2) + ⋯ + ( − ) + ( ) (2.1)

Trong đó , , … , là các hằng số, ≠ 0 và ( ) là hàm số theo Điều kiện ban đầu của (2.1) là giả thiết một số phần tử của dãy có giá trị cho trước

Hàm số ( ) thỏa mãn (2.1) được gọi là nghiệm tổng quát công thức truy hồi (2.1)

Hàm số ℎ( ) phụ thuộc k tham số thỏa mãn công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất gọi là nghiệm tổng quát công thức truy hồi (2.1)

Một nghiệm ( ) thỏa mãn (2.1) được gọi là một nghiệm riêng của (2.1)

b Phương trình đặc trưng của công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng

Xét công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng bậc

Vậy ( ) = ℎ( ) + ( ) là nghiệm tổng quát của (2.4)

Định lý 2.2 Nếu , , … , là các nghiệm của công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng (2.2) thì

Vậy = + + ⋯ + là nghiệm của (2.2)

Định lý 2.3 Nếu là nghiệm bội của phương trình đặc trưng (2.3)

*** Ghi chú Nếu có thêm điều kiện ban đầu thì thế nghiệm tổng quát

vào các điều kiện ban đầu để xác định các hằng số

ii Giả sử phương trình đặc trưng (2.6) có nghiệm kép thì nghiệm tổng quát của (2.5) có dạng

( ) = + , với , là các hằng số

iii Giả sử phương trình đặc trưng (2.6) có 2 nghiệm phức liên hợp là

= + , = − ( = −1) thì nghiệm tổng quát của (2.5) có dạng

Theo công thức Moivre thì

= (cos( ) + sin( )), ( ) = (cos( ) − sin( ))

Vì , ( ) là các nghiệm của (2.6) nên cos( ) và sin( ) cũng là nghiệm của (2.6) Vậy nghiệm tổng quát của (2.6) có dạng

( ) = λ ( cos( ) + sin( ))

với , là các hằng số

· Công thức nghiệm của công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số

hằng bậc ba

Cho công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng bậc ba

( ) = ( − 1) + ( − 2) + ( − 3), (2.7) trong đó , , là các hằng số và ≠ 0 Phương trình đặc trưng có dạng − − − = 0 (2.8)

i Nếu phương trình đặc trưng (2.8) có 3 nghiệm thực phân biệt , , thì nghiệm tổng quát của (2.7) có dạng

( ) = ( − 1) + ( ), (2.9) trong đó ≠ 0, ( ) là hàm theo và ( ) ≠ 0

Nghiệm đặc trưng của phương trình thuần nhất tương ứng của (2.9) là =

Định lý 2.5 Nếu ( ) là đa thức bậc của , ( ) = ( ) thì nghiệm riêng ( ) của (2.9) có dạng:

⇔ ( ) = ( − 1) + , (2.10) với là đa thức bậc 0

Phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất tương ứng của (2.10) có nghiệm là

=

i Nếu ≠ 1 hay ≠ 1 ⇔ ≠ theo định lý 2.8, nghiệm riêng của (2.11) có dạng ∗( ) = ( ) Do đó ( ) = ( )

ii Nếu = 1 hay = 1 ⇔ = theo định lý 2.8, nghiệm riêng của (2.11) có dạng ∗( ) = ( ) Do đó ( ) = ( )

trong đó ≠ 0, ( ) là hàm theo và ( ) ≠ 0 Phương trình đặc trưng của (2.12) có dạng

− − = 0 (2.13)

Định lý 2.9

Nếu ( ) là đa thức bậc của , ( ) = ( ) thì nghiệm riêng ( ) của (2.12) có dạng:

i ( ) = ( ), nếu (2.13) không có nghiệm = 1,

ii ( ) = ( ), nếu (2.13) có nghiệm đơn = 1,

iii ( ) = ( ), nếu (2.13) có nghiệm kép = 1,

trong đó (n) là dạng đa thức bậc của

ii (2.13) có nghiệm đơn = 1 nên 1 − − = 0 và + 4 > 0

là đa thức bậc của , nghĩa là cùng bậc với ( )

iii (2.13) có nghiệm kép = 1 nên 1 − − = 0 và + 4 = 0

của thì nghiệm riêng của (2.12) có dạng:

i ( ) = ( ) , nếu (2.13) không có nghiệm = ,

ii ( ) = ( ) , nếu (2.13) có nghiệm đơn = ,

iii ( ) = ( ) nếu (2.13) có nghiệm kép = ,

trong đó ( ) là dạng đa thức bậc của

− − 1 1 = 0,

hay

− − = 0, (2.15) với ∆ = ( + 4 ) = ∆, ∆= + 4 là biệt thức của (2.13)

i Nếu (2.13) không có nghiệm = , tức là − − ≠ 0 thì

(2.15) không có nghiệm = 1 Do đó nghiệm riêng của (2.14) là ∗( ) =( )

= [ ( − 1) + ( − 1) + ⋯ + ( − 1)] + [ ( − 2) + ( − 2) + ⋯ + ( − 2)] + ( ) + ( ) + ⋯ + ( )

= [ ( − 1) + ( − 2) + ( )] + [ ( − 1) +

( − 2) + ( )] + ⋯ + [ ( − 1) + ( − 2) + ( )]

= ( ) + ( ) + ⋯ + ( ) = ( )

Kết luận Việc tìm nghiệm riêng của công thức truy hồi tuyến tính

không thuần nhất hệ số hằng bậc làm tương tự như tìm nghiệm riêng của công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng bậc một, hai

Xét công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng bậc

( ) = ( − 1) + ( − 2) + ⋯ + ( − )

Các bước giải như sau:

Bước 1 Giả sử công thức truy hồi tồn tại nghiệm dạng ( ) = Tìm phương trình đặc trưng của công thức truy hồi dạng

− − − ⋯ − = 0

Bước 2 Tìm nghiệm của phương trình đặc trưng

Bước 3 Suy ra nghiệm tổng quát có dạng

( ) = + + ⋯ +

Bước 4 Từ các điều kiện ban đầu, ta thay vào công thức nghiệm

tổng quát, giải hệ phương trình để tìm các hệ số , , … , Từ đó ta thu được kết quả

* Công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng bậc

( ) = ( − 1) + ( − 2) + ⋯ + ( − ) + ( )

Các bước giải như sau:

Bước 1 Tìm nghiệm tổng quát ℎ( ) của công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng bậc tương ứng

Bước 2 Tìm nghiệm riêng ( ) của công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất

Bước 3 Suy ra nghiệm tổng quát của công thức truy hồi cần giải:

( ) = ℎ( ) + ( )

Bước 4 Sử dụng các điều kiện ban đầu thay vào công thức tìm

được ở bước 3, ta thu được kết quả

Ví dụ 2.3 Giải công thức truy hồi

( ) = ( − 1) + ; (0) = 0

Lời giải

Phương trình đặc trưng − 1 = 0 có nghiệm là 1(bội 1) Vậy nghiệm của công thức thuần nhất là ℎ( ) = Nghiệm riêng có dạng

2.2.3 Giải công thức truy hồi bằng hàm sinh

* Nội dung của phương pháp này là tìm một công thức tường minh cho

hàm sinh liên đới Nghĩa là giả sử ta cần tìm số hạng tổng quát của dãy số { } của một công thức truy hồi, ta thiết lập hàm sinh ( ) của dãy { } Dựa vào công thức truy hồi, ta tìm được phương trình cho ( ), giải phương trình đó ta tìm được ( ) Khai triển theo lũy thừa của x ( khai triển Taylor),

ta tìm được , với mọi

* Phương pháp giải

Bước 1 Để tìm dãy số { }, ta xét hàm sinh sinh bởi dãy { } là

( ) =

Bước 2 Dựa vào đặc điểm của dãy { } ta tìm được ( )

Bước 3 Đồng nhất thức ta sẽ thu được dãy { }

Ví dụ 2.4 Giải công thức truy hồi

= 1 + 5 + 3 − 2

= 1 + 5 + 3 − 2

= 4 2 − 3 = (4 2 − 3)

= + −

+ 2

115(2 + 1) −

3530( − 1)

= 10 39 − 151 (−2)

+ 3530

= 10 39 −151 (−2) +3530

Vậy

= 10 39 −151 (−2) +3530.

2.2.4 Giải công thức truy hồi bằng maple

Ví dụ 2.6 Giải công thức truy hồi

2.2.5 Tuyến tính hóa công thức truy hồi

Nội dung của phương pháp này là đưa một công thức truy hồi ở dạng phi tuyến về dạng tuyến tính

Giả sử dãy số ( ) thỏa mãn điều kiện

= , = , … , =

= ( , , … , ); , ∈ N∗, > , trong đó là đa thức đại số bậc hoặc là phân thức, hoặc là biểu thức siêu việt

Giả sử hàm số ( , , … , ) có thể tuyến tính hóa được, khi

đó tồn tại các giá trị , , … , sao cho

= + + ⋯ + (2.16)

Để tìm , , … , , trước hết ta xác định , , … ,

Từ công thức lặp, ta có

= ( ; ; … ; ; ) ≔ = ( ; ; … ; ; ) ≔

… … = ( ; ; … ; ) ≔ Thay các giá trị , , … , đã cho và các giá trị , , … ,

vừa tìm được ở trên vào (2.16) ta được hệ phương trình tuyến tính gồm

phương trình với ẩn , , … ,

= + + ⋯ + = + + ⋯ +

… … = + + ⋯ + Giải hệ phương trình này ta thu được nghiệm , , … , Thay vào

(2.16) ta sẽ được biểu diễn tuyến tính cần tìm Sau đó ta chứng minh công thức (2.16) bằng phương pháp quy nạp toán học

Ví dụ 2.8 Tuyến tính hóa công thức truy hồi

= 3 − , ∀ ≥ 3

Ta chứng minh = 3 − , ∀ ≥ 3 chính là dạng tuyến tính của công thức truy hồi đã cho bằng phương pháp quy nạp toán học

Với = 3 thì

= + 4 = 3 − = 4

Giả sử công thức đúng với = ≥ 3, tức là = 3 −

Cần chứng minh công thức đúng với = + 1, tức là = 3 −