Ứng dụng đa thức vào giải toán phổ thông

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.. Trong chương trình môn toán bậc phổ thông ở nước ta, đa thức được đư

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU

Đà Nẵng – Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Người thực hiện

Võ Thị Hương Trà

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc luận văn 2

CHƯƠNG 1 ĐA THỨC 3

1.1 ĐA THỨC MỘT ẨN 3

1.1.1 Vành đa thức một ẩn 3

1.1.2 Bậc của một đa thức 4

1.1.3 Phép chia có dư 5

1.1.4 Nghiệm của một đa thức 6

1.2 ĐA THỨC NHIỀU ẨN 6

1.2.1 Vành đa thức nhiều ẩn 6

1.2.2 Bậc của đa thức nhiều ẩn 7

1.2.3 Đa thức đối xứng 8

1.2.4 Công thức Viete 9

1.3 MỘT SỐ CÔNG THỨC VỀ ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC SƠ CẤP 10

1.3.1 Hai bất đẳng thức thường gặp 10

1.3.2 Một số công thức về hình học sơ cấp 10

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG ĐA THỨC VÀO GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG 12

2.1 ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỂ GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN ĐẠI

SỐ VÀ SỐ HỌC 12

2.1.1 Hệ phương trình đối xứng 12

2.1.2 Phương trình đa thức một ẩn đối xứng 25

2.1.3 Chứng minh bất đẳng thức đại số 31

2.1.4 Các bài toán tìm GTLN, GTNN 37

2.2 ỨNG DỤNG ĐA THỨC ĐỂ GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ HÌNH HỌC 43

2.2.1 Các bài toán nhận dạng tam giác 43

2.2.2 Chứng minh bất đẳng thức trong tam giác 46

2.2.3 Chứng minh bất đẳng thức lượng giác 50

2.3 ỨNG DỤNG ĐA THỨC ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ 54

2.3.1 Hai tích phân cơ bản 54

2.3.2 Tính tích phân hàm hữu tỉ 57

KẾT LUẬN 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đa thức là một trong các khái niệm cơ bản của đại số, cũng như của toán học nói chung Trong chương trình môn toán bậc phổ thông ở nước ta, đa thức được đưa vào giảng dạy từ cấp 2 đến cấp 3, và được đề cập trong các nội dung về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, đẳng thức, bất đẳng thức, tích phân, … Tuy nhiên trong chương trình đào tạo cũng như sách giáo khoa môn toán, khái niệm đa thức được đề cập còn khiêm tốn và tản mạn, hơn nữa chưa định hướng rõ việc ứng dụng đa thức vào giải toán Là học viên sau đại học chuyên ngành toán sơ cấp, một giáo viên giảng dạy toán trong tương lai, với mong muốn tìm hiểu các ứng dụng của đa thức trong toán phổ thông,

nên tôi chọn đề tài luận văn Thạc sĩ của mình là: “ Ứng dụng đa thức vào giải

toán phổ thông ”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu đa thức một ẩn, nhiều ẩn và các tính chất liên quan

- Hệ thống và phân loại một số lớp bài toán giải được bằng đa thức

- Đưa ra quy trình và định hướng giải cho từng lớp bài toán

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đa thức một ẩn, nhiều ẩn với hệ số thực và hệ số phức

- Đa thức đối xứng, công thức Viete

- Các bài toán thuộc chương trình phổ thông có thể giải được bằng đa thức

- Quy trình giải từng lớp bài toán bằng đa thức

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn

- Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn

- Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn, của các chuyên gia và các đồng nghiệp

5 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1 Đa thức

Chương này trình bày những kiến thức về đa thức một ẩn, đa thức nhiều

ẩn và đặc biệt là đa thức đối xứng Phần cuối của chương nhắc lại một số công thức về đại số, hình học sơ cấp, đủ để làm cơ sở cho chương sau

Chương 2 Ứng dụng đa thức vào giải toán phổ thông

Chương này là nội dung chính của luận văn, trình bày những ứng dụng của đa thức để giải toán bậc phổ thông Cụ thể là các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, những bài toán về tam giác và tính tích phân hàm hữu tỉ

CHƯƠNG 1

ĐA THỨC

Chương này trình bày những kiến thức về đa thức một ẩn, đa thức nhiều

ẩn và đặc biệt là đa thức đối xứng Phần cuối của chương nhắc lại một số công thức về đại số, hình học sơ cấp, đủ để làm cơ sở cho chương sau

1.1 ĐA THỨC MỘT ẨN

1.1.1 Vành đa thức một ẩn

Giả sử A là một vành giao hoán, có đơn vị kí hiệu là 1  0 Gọi P là

tập hợp các dãy  a a0, , , , .1 an ,

trong đó các a i  A với mọi i   và a i  0 tất cả trừ một số hữu hạn

Trên P ta xác định hai phép toán hai ngôi:

Mặc khác, ánh xạ: A  P

, 0, , 0, .

là một đơn cấu vành Do đó ta có thể đồng nhất phần tử a  A với dãy

 a , 0, , 0,   P, vì vậy xem A là một vành con của vành P Vì mỗi phần tử của P là một dãy a0, , , a1 a n, , trong đó các a bằng 0 tất cả i

trừ một số hữu hạn, nên mỗi phần tử của P có dạng a0, , , a1 a n, 0, ,trong đó a0, , a n  A Việc đồng nhất a với  a , 0, , 0,  và việc đƣa

vào dãy x cho phép ta viết:

Định nghĩa 1.1.1.[14] Vành P gọi là vành đa thức của ẩn x lấy hệ tử

trong A, hay vắn tắt vành đa thức của ẩn x trên A, và kí hiệu là A x   Các

phần tử của vành A x   gọi là đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A Trong một

1 0

n n n n

f x  a x    a  x   a x

Quy ƣớc đa thức 0 không có bậc

Định lý 1.1.1.[14] Giả sử f x  và g x   là hai đa thức khác 0

i Nếu bậc f x  khác bậc g x   thì ta có f x   g x   0 và bậc f x   g x   

Định lý 1.1.3.[14] Giả sử A là một trường, f x  và g x    0 là hai

đa thức của vành A x  , thế thì bao giờ cũng có hai đa thức duy nhất q x   và

 

r x thuộc A x   sao cho:

 x g x q x     

f   r x , với bậc r x   < bậc g x   nếu r x   0

Hệ quả 1.1.2.[14] f x  chia hết cho g x   khi và chỉ khi dư r x   trong phép chia f x  cho g x   bằng 0

1.1.4 Nghiệm của một đa thức

Định nghĩa 1.1.3.[14] Giả sử c là một phần tử tùy ý của vành A,

f c  thì c gọi là nghiệm của f x  Tìm nghiệm của f x  trong A gọi

là giải phương trình đại số bậc n: a x n n    a0  0 a n  0 trong A

Định lý 1.1.4.[14] Giả sử A là một trường, c  A f x,    A x  Dư của phép chia f x  cho x  c là f c 

Hệ quả 1.1.3.[14] Cho c  , A c là nghiệm của f x  khi và chỉ khi

Vành A n  A n – 1 x n kí hiệu là A x 1, ,x2 , x n và gọi là vành đa

thức của n ẩn ,x x1 2, , x n lấy hệ tử trong vành A Một phần tử của A n

gọi là một đa thức n ẩn ,x x1 2, , x n lấy hệ tử trong vành A, và kí hiệu là

 1, , , 2 n

f x x x hay g x x  1, , , 2 xn…

Từ định nghĩa 1.2.1 ta có dãy vành A0  A  A1  A2    ,A n

trong đó A i 1 là vành con của A , i i  1, 2, , .n

Từ hai phép toán trong một vành và bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được mỗi đa thức f x x  1, , , 2 xn trong vành A x 1, ,x2  , x n được viết dưới dạng:

1a i a in

gọi là các hạng tử của đa thức f x x  1, , , 2 xn

Đa thức f x x  1, , , 2 xn  0 khi và chỉ khi các hệ tử của nó bằng 0 tất cả

Hệ quả 1.2.1.[14] Nếu A là một miền nguyên thì A x[ , , ]1 x cũng vậy n

1.2.2 Bậc của đa thức nhiều ẩn

Định nghĩa 1.2.2.[14] Giả sử f x( , , ) 1 x n  [ , , ]A x1 x n là một đa

Ta gọi là bậc của đa thức f x x  1, , , 2 xn đối với ẩn x số mũ cao nhất i

mà x có được trong các hạng tử của đa thức i

Ta gọi là bậc của hạng tử 1

1a i a in

c x x tổng các số mũ a i1   a in của các ẩn Bậc của đa thức (đối với toàn thể các ẩn) là số lớn nhất trong các

bậc của các hạng tử của nó

Nếu các hạng tử của f x x  1, , , 2 xn có cùng bậc k thì

 1, , , 2 n

f x x x gọi là một đa thức đẳng cấp bậc k hay một dạng bậc k

Để sắp xếp các hạng tử của một đa thức nhiều ẩn ta có thể sắp xếp theo

quan hệ thứ tự từ điển nhƣ sau:

f x x x là một đa thức của vành A x x  1, , , 2 xn Ta bảo f x x  1, , , 2 xn

là một đa thức đối xứng của n ẩn nếu f x x 1, , , 2 x n  f x (1), x(2), , x( )n 

(1) (2) ( )

n n

sao cho f x x  1, , , 2 xn  h   1, 2, , n, trong đó  1, 2, , n là

các đa thức đối xứng cơ bản

n

n n

a a

a a

AB  c AC  b BC  a p là nửa chu vi của tam giác ABC

R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

tam giác ABC

, ,

a b c

r r r là các bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác ABC

S là diện tích tam giác ABC

a Các công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và bàng

tiếp tam giác ABC



tan2

tan2

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG ĐA THỨC VÀO GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG

Chương này là nội dung chính của luận văn, trình bày những ứng dụng của đa thức để giải toán bậc phổ thông Cụ thể là các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất

(GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN), những bài toán về tam giác và tính tích

phân hàm hữu tỉ

2.1 ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỂ GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN ĐẠI

SỐ VÀ SỐ HỌC

2.1.1 Hệ phương trình đối xứng

Định nghĩa 2.1.1 Một hệ phương trình n ẩn x x1, , , 2 x được gọi là n

hệ phương trình đối xứng loại 1 (tương ứng loại 2) nếu các phương trình của

hệ đó không thay đổi (tương ứng các phương trình của hệ hoán đổi cho nhau) khi ta thay ẩn x bằng ẩn i x( )i , i  1, 2, , , n   S n, trong các phương trình của hệ

Các hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2 được gọi chung là hệ phương trình đối xứng

Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2

 Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1

 Bước 1: Đặt điều kiện của hệ (nếu có)

 Bước 2: Biến đổi hệ phương trình đối xứng thành hệ phương trình theo các ẩn là các đa thức đối xứng cơ bản k, k  1, 2, , n, của các ẩn , 1, 2, ,

i

 Bước 3: Giải hệ phương trình theo các ẩn k, k  1, 2, , .n

 Bước 4: Dùng công thức Viete để tìm nghiệm của hệ phương trình đối xứng ban đầu

Sau đây là một số bài toán minh họa

Bài toán 2.1.1.[6] Giải hệ phương trình sau trên trường số thực:

6

6

Theo công thức Viete thì x y, là hai nghiệm của phương trình

2

3 2 0

Dễ thấy phương trình (2.3) có 2 nghiệm: X  1 và X  2

Vậy nghiệm của hệ (2.1) là: 1, 2 và 2, 1

Bài toán 2.1.2 Giải hệ phương trình sau trên trường số thực:

1 3

2 1 3

1 3

1 27

1 3 1

1

2 2

434

Theo công thức Viete thì X Y, là hai nghiệm của phương trình

Vậy nghiệm của hệ (2.7) là: 3, 3

Bài toán 2.1.4.[6] Giải phương trình sau trên trường số thực:

Theo công thức Viete thì u v , là hai nghiệm của phương trình

x

x x

(thỏa điều kiện)

Vậy phương trình (2.10) có hai nghiệm là: x1  4 và x2  1

Bài toán 2.1.5.[6] Giải phương trình sau trên trường số thực:

uv uv

3

Theo công thức Viete thì u v , là hai nghiệm của phương trình

3 1

3 3





Vậy phương trình (2.14) có hai nghiệm là x1  1 và x2   1

 Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Bằng cách trừ vế theo vế một phương trình nào đó của hệ cho các phương trình còn lại, ta được một hệ phương trình mà những phương trình của hệ này có dạng là phương trình tích Biến đổi hệ phương trình này thành nhiều hệ phương trình đơn giản hơn, giải các hệ đơn giản này ta suy ra được nghiệm của hệ đối xứng ban đầu

Sau đây là một số bài toán minh họa

Bài toán 2.1.6.[6] Giải hệ phương trình sau trên trường số thực:

1 1 1

Ta có nhận xét: Nếu yz  1  0, hay yz  1

Khi đó phương trình (2.20) trở thành 0,y  z 

và ta có hệ

2

0 0

2 2

Bài toán 2.1.9.[6] Giải phương trình sau trên trường số thực:

2.1.2 Phương trình đa thức một ẩn đối xứng

Định nghĩa 2.1.2.[9] Đa thức một ẩn x lấy hệ tử trong vành A

nghĩa là f x   là đa thức đối xứng Định lý được chứng minh

Nhận xét 2.1.2

i Phương trình đối xứng có a0  a n  0, nên x  0 không phải là nghiệm của phương trình đối xứng

ii Định lý 2.1.1 cho thấy với f x   là một đa thức đối xứng lấy hệ tử

trong trường A, nếu a  A là một nghiệm của f x   thì 1

Định lý 2.1.3.[1] Khi chia hai vế của một phương trình đối xứng bậc lẻ

có ẩn số x cho nhị thức x  1, ta được một phương trình đối xứng bậc chẵn

Ví dụ 2.1.3 Chia hai vế của phương trình đối xứng bậc lẻ

Nhận xét 2.1.3 Định lý 2.1.3 cho thấy mọi phương trình đối xứng bậc n

lẻ, n  1, đều đưa được về phương trình tích  x  1    f x  0, trong đó

 

f x là một đa thức đối xứng bậc chẵn

Định lý sau là cơ sở cho việc giải các phương trình đối xứng bậc chẵn

 có thể biểu diễn thành một đa thức bậc m theo biến y, ta sẽ chứng

minh khẳng định này bằng qui nạp toán học

Thay các tổng trong ngoặc của phương trình (2.32) bởi các biểu thức

theo y, ta được một phương trình bậc n của y Theo [Định lý 1.1.5] phương trình này trên trường số phức có n nghiệm y y1, , , .2 y n

6 13 6 0

2 3

Ta thấy x  0 không phải là nghiệm của phương trình (2.36) Chia hai

vế của phương trình (2.36) cho x ta được: 3

1 33.

y y y

Từ giả thiết suy ra f x   1,  x 0.

Suy ra nghiệm của đa thức f x   là những số âm Ký hiệu những nghiệm này là 1, 2, , n (ở đây  1, 2, , n là những số dương)

Theo công thức Viete ta có   1 2 n  1 Vậy f  2  3n

Bài toán 2.1.14.[10] Cho đa thức bậc n:



Vì x y z, , dương và thỏa mãn đẳng thức xy  yz  zx  xyz  4,

ta suy ra ba số x y z, , không thể cùng lớn hơn 1, hoặc cùng nhỏ hơn 1 Do

đó luôn tìm được hai số, giả sử đó là x và y sao cho 0  y  1  x

Từ điều kiện của x y z, , suy ra z 4 xy



Thay z ở (2.42) vào (2.41), ta có bất đẳng thức (2.41) cần chứng minh tương

1  y  y  0, do đó ta xem vế trái của (2.43) là

một đa thức bậc hai theo x , và ta có biệt thức của nó là:

0

p  a  b  , suy ra p  0 Xét tam thức bậc hai:

Bài toán 2.1.19.[6] Cho a b c, , là ba số thực thỏa mãn a3 > 36 và 1

abc  Chứng minh

2

.3

Bài toán 2.1.20.[6] Cho a b c, , là ba số thực thỏa mãn

Lời giải

 Nếu a  0 Bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng

 Nếu a  0 Xét tam thức bậc hai:   2  

f x  ax  b  c x   a b c



Dấu “ = ” trong (2.48) xảy ra khi y  2 hay x0  1,

và dấu “ = ” trong (2.47) xảy ra khi

5

a x

- Nếu f x   có 3 nghiệm thực thì g t   là tích của 2 nghiệm lớn nhất và

ii Nếu f x   có nghiệm duy nhất là x thì 0   2

Ta có:  

2 2 2

Bài toán 2.1.24 [7] Cho x y z, , 0 thỏa 1 1 1 2