Và ở đây, chúng ta cần nhớ rằng các phuong pháp này thường được áp dụng cho các phương trình không mẫu mực 6. 6 Phương pháp giải các phương trình lượng giác không mẫu mực sẽ được trình b[r]
Trang 1MÔN TOÁN
Ths Lê Văn Duẩn Trường THPT Hòa Hưng
Trang 2TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Cho phương trình
Xét 4 = b2− 4ac (b = 2b0 thì 40 = b02− ac)
• Nếu 4 < 0 (40 < 0 ) thì phương trinh (0.1) vô nghiệm
• Nếu 4 = 0 (40 = 0 ) thì phương trinh (0.1) có nghiệm kép
x0 = −b 2a,
x0 = −b0
a
• Nếu 4 > 0 (40 > 0 ) thì phương trinh (0.1) có hai nghiệm
x1,2 = −b ±√4
x1,2 = −b0±√4
a
• Định lí Vi-et thuận
Nếu phương trình ax2+ bx + c = 0, (a 6= 0) có hai nghiệm x1, x2 thì
S = x1+ x2 = − b
2a, P = x1x2 =
c a
• Định lí Vi-et đảo
Nếu hai số x1, x2 có x1+ x2 = S, x1x2 = P, S2 ≥ 4P thì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình X2− SX + P = 0
Trang 31.2 Dấu của tam thức bậc hai
1 Cho f (x) = ax2+ bx + c, (a 6= 0) có 4 = b2− 4ac
• Nếu 4 < 0 thì af (x) > 0, ∀x ∈ R
• Nếu 4 = 0 thì af (x) ≥ 0, ∀x ∈ R, dấu = xảy ra ⇔ x = − b
2a
• Nếu 4 > 0 thì
af (x) < 0 khi x1 < x < x2
af (x) > 0 khi
"
x < x1
x > x2
Cho ax2+ bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 và α ∈ R
• Nếu x1 < α < x2 ⇔ af (x) < 0
• Nếu x1 ≤ α < x2 ⇔
(
f (α) = 0
α < S2
af (α) < 0
• Nếu α < x1 < x2 ⇔
4 > 0
af (x) > 0
α < S2
• Nếu x1 < x2 < α ⇔
4 > 0
af (α)
S
2 < 0
Mở rộng: So sánh hai nghiệm x1, x2 với hai số α, β ∈ R
• Nếu x1 < α < β < x2 ⇔
(
af (α) < 0
af (β) < 0
• x1 < α < x2 < β ⇔
af (α) < 0
af (β) > 0
S
2 < β
1 Đây là định lí rất quan trọng, nó được sử dụng xuyên suốt trong hầu hết các vấn đề ở toán phổ thông Do đó các em học sinh cần nắm vững định lí này- Lê Văn Duẩn
Trang 4• α < x1 < x2 < β ⇔
4 > 0
af (α) > 0
af (β) > 0
α < S2 < β
Định lý 0.1 Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng K
Nếu f0(x) ≥ 0(f0(x) ≤ 0), ∀x ∈ K và f0(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm
số đồng biến(nghịch biến) trên K
khoảng K
Phương pháp: Chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2: Tính đạo hàm y0
Bước 3: Lập luận cho các trường hợp( tương tự cho tính nghịch biến) như sau:
• Hàm số đồng biến trên K khi:
(
Hàm số xác định trên K
y0 ≥ 0, ∀x ∈ K, dấu đẳng thức chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm
• Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài k:
(
y0 ≥ 0, ∀x ∈ [a − k; a] , dấu đẳng thức chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm của [a − k; a] và x ∈ [a − k; a] không thỏa mãn
Chú ý 0.1 Để giải các biểu thức điều kiện của y0 phương pháp được sử dụng phổ biến nhất là phương pháp tam thức bậc hai, tuy nhiên trong những trường hợp riêng biệt có thể dùng ngay phương pháp hàm số để giải
Ví dụ 0.1 Cho hàm số y = 4x3+ (m + 3)x2+ mx Tìm m để:
a Hàm số đồng biến trên R
b Hàm số đồng biến trên khoảng [0; +∞)
Trang 5c Hàm số nghịch biến trên đoạn
−1
2;
1 2
d Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1
Giải
TXĐ: D = R
Đạo hàm:
y0 = 12x2+ 2(m + 3)x + m
a Hàm số đồng biến trên R khi:
y0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ 4 ≤ 0
⇔ (m + 3)2− 12m ≤ 0 ⇔ (m − 3)2 ≤ 0 ⇔ m − 3 = 0 ⇔ m = 3 Vậy, với m = 3 thỏa mãn điều kiện đầu bài
b Ta có thể trình bày theo hai cách sau:
Cách 1: Hàm số đồng biến trên khoảng [0; +∞) khi:
y0 ≥ 0, ∀x ∈ [0; +∞) ⇔ f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [0; +∞)
⇔
"
(0.2)vô nghiệm hoặc có nghiệm kép (0.2)có nghiệm x1 < x2 ≤ 0 ⇔
40 ≤ 0
40 > 0
S > 0
P ≥ 0
⇔
(m − 3)2 ≤ 0
(m − 3)2 > 0
−m+3
6 < 0
m
⇔
m = 3
m 6= 3
m > −3
m ≥ 0
⇔ m ≥ 0
Vậy, với m ≥ 0thỏa mãn điều kiện đầu bài
Cách 2: Nhận xét rằng phương trình (0.2) luôn có nghiệm x = −1
2 và x = −
m
6.
Từ đó, hàm đồng biến trên khoảng [0; +∞) khi:
y0 ≥ 0, ∀x ∈ [0; +∞) ⇔ f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [0; +∞)
⇔
"
(0.2)có nghiệm kép (0.2)có nghiệm x1 < x2 ≤ 0 ⇔
−1
−1
2 < −m
−m
6 < −12 ≤ 0
⇔
m = 3
0 ≤ m < 3
m > 3
⇔ m ≥ 0
Vậy, với m ≥ 0thỏa mãn điều kiện đầu bài
Trang 6Cách 3: Hàm đồng biến trên khoảng [0; +∞) khi:
y0 ≥ 0, ∀x ∈ [0; +∞) ⇔ 12x2+ 2(m + 3)x + m ≥ 0, ∀x ∈ [0; +∞)
⇔ m(2x + 1) ≥ −12x2− 6x, ∀x ∈ [0; +∞) ⇔ m ≥ −6x, ∀x ∈ [0; +∞)
⇔ m ≥ max
∀x∈[0;+∞)(−6x) = 0 ⇔ m ≥ 0 Vậy, với m ≥ 0thỏa mãn điều kiện đầu bài
c Nhận xét rằng phương trình (0.2) luôn có nghiệm x = −1
2 và x = −
m
6.
Từ đó, hàm số nghịch biến trên đoạn
−1
2;
1 2
khi:
y0 ≤ 0, ∀x ∈
−1
2;
1 2
⇔ f (x) ≤ 0, ∀x ∈
−1
2;
1 2
Vậy, với m ≥ 3 thỏa mãn điều kiện đầu bài
d Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi:
y0 ≤ 0, trên đoạn có độ dài bằng 1
⇔ (0.2) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn |x1− x2| = 1
⇔
(
40 > 0
|x1− x2| = 1 ⇔
40 > 0
2
√
40
⇔p40
= 6
⇔ (m − 3)2 = 36 ⇔
"
m = 9
m = −3 Vậy, hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi m = 9 hoặc m = −3 Nhận xét 0.1 Trong lời giải trên:
• Với nội dung câu b), chúng ta có thể thấy ngay rằng phương pháp hàm số thường được ưu tiên chọn
• Với nội dung câu c), ta nhớ lại rằng phương trình ax2+ bx + c = 0(a 6= 0) nếu
có hai nghiệm x1, x2 thì:
|x1− x2| =
√ 4
|a| hoặc |x1− x2| =
2p40
|a|
Ngoài ra vì phương trình (0.2) luôn có hai nghiệm x1 = −12 và x2 = −m6 và y0 nhận giá trị âm trong khoảng này nên ta có điều kiện là:
|x1− x2| = 1 ⇔
−1
2+
m 6
= 1 ⇔ |m − 3| = 6 ⇔
"
m = 9
m = −3
2 Chúng ta tập giải dạng toán này với ba hàm thường gặp trong SGK hàm bậc ba, bậc 4 trùng phương, hàm nhất biến (bậc nhất trên bậc nhất (Lê Văn Duẩn))
Trang 7Bài 1 Cho hàm số y = x − 1
x − m Với giá trị nào của m :
a Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó?
b Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞)?
Bài 2 Cho hàm số y = x4+ 2mx2 − m2.Với giá trị nào của m:
a Hàm số nghịch biến trên (1; +∞)?
b Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 0) và (2; 3)?
Bài 3 Cho hàm số y = x3− (m + 1)x2− (2m2− 3m + 2)x + 2m(2m − 1)
Tìm m để hàm số đồng biến khi x ≥ 2
Bài 4 Cho hàm số y = 1
3mx
3− (m − 1)x2− 3(m − 2)x + 1
3 Tìm m để hàm số đồng biến khi [2; +∞)
Bài 5 Cho hàm số y = 1
3x
2x
2− (m − 1)x − 3 Tìm m để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 5
chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.
Phương pháp
Bằng việc xét hàm số trên đoạn [a; b], ta có
a Nếu f0(x) = 0, ∀x ∈ [a; b] ⇔ Hàm số f (x) là hàm hằng trên [a; b]
⇒ f (x) = f (x0) với mọi x0 ∈ [a; b]
b Nếu f0(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] ⇔ Hàm số f (x) đồng biến trên [a; b]
⇒ f (a) ≤ f (x) ≤ f (b)
c Nếu f0(x) ≤ 0, ∀x ∈ [a; b] ⇔ Hàm số f (x) nghịch biến trên [a; b]
⇒ f (b) ≤ f (x) ≤ f (a)
Ví dụ 0.2 Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
A = sin2(x −2π
3 ) + sin
2
x + sin2(x + 2π
3 ) Giải
Xét hàm số
Trang 8A = sin2(x −2π
3 ) + sin
2x + sin2(x + 2π
3 )
Ta có:
A0x = 2 sin(x −2π
3 ) cos(x −
2π
3 ) + 2 sin x cos x + 2 sin(x +
2π
3 ) cos(x +
2π
3 )
= sin(2x −4π
3 ) + sin 2x + sin(2x +
4π
3 )
= 2 sin 2x cos2π
3 + sin 2x
= − sin 2x + sin 2x
= 0
⇔ Hàm không đổi
Ngoài ra ta còn có A = A(0) = 3
2 Vậy ta có A =
3
2 không phụ thuộc vào x Nhận xét 0.2 Qua ví dụ trên chúng ta đã biết cách trình bày dạng toán " Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số chứng minh đẳng thức" Và ở đây chúng
ta cần nhớ rằng cũng có thể sử dụng phép biến đổi lượng giác thuần túy để thực hiện yêu cầu trên, cụ thể ở đây ta sử dụng công thức hạ bậc
Ví dụ 0.3 Chứng minh rằng:
sin x > x − x
3
6 với mọi x > 0 Giải
Xét hàm số: f (x) = x − x
3
6 − sin x với x > 0 Đạo hàm:
f0(x) = 1 − x
2
2 − cos x; f00(x) = −x + sin x,
f000(x) = −1 + cos x < 0 với x > 0 ⇔ f00(x) nghịch biến với x > 0
⇒ f00(x) < f00(0) với ∀x > 0 ⇔ f00(x) < 0 với ∀x > 0
⇔ f0(x) nghịch biến với x > 0 ⇒ f0(x) < f0(0) với ∀x > 0
⇔ f0(x) < 0 với ∀x > 0 ⇔ f (x) nghịch biến với x > 0
⇔ f (x) < 0 với ∀x > 0
⇔ x − x
3
6 − sin x < 0 với x > 0
⇔ sin x > x − x
3
6 với x > 0 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Trang 9a sin x + tanx > 2x với mọi x ∈h0;π
2 i
b 2 sin x + tanx > 3x với mọi x ∈h0;π
2 i
Bài 2 Chứng minh rằng trong mọi 4ABC nhọn ta đều có:3
2
3(sin A + sin B + sin C) +
1
3(tan A + tan B + tan C) > π Bài 3 Chứng minh rằng:4
ex > 1 + x + x
2
2 với x > 0 Bài 4 Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau đây5 luôn đúng với x ∈ [0; 1]
a 1 − x ≤ e−x≤ 1 − x + x
2
2
b −x < e
−x 2
1 + x ≤ 1 − x + x
4
2(1 + x)
phương trình, bất phương trình và hệ.
Phương pháp
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc,
ta có các hướng áp dụng sau:
Hướng 1: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:
Bước 2: Xét hàm số y = f (x), dùng lập luận khẳng định hàm số này đơn điệu Bước 3: Khi đó phương trình (0.3) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Tìm x0 sao cho f (x0) = k
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = x0
Hướng 2: Thực hiện theo các bước sau:
3 Áp dụng bài 1, để chứng minh điều này (Lê Văn Duẩn)
4 ĐH Kiến Trúc TP.HCM- 1998
5 ĐH Kiến Trúc TP.HCM- 2000;chú ý: câu b áp dụng câu a.(Lê Văn Duẩn)
Trang 10Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:
Bước 2: Xét hàm số y = f (x) và y = g(x), dùng lập luận khẳng định hàm số
y = f (x) là đồng biến còn hàm số y = g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến
Bước 3: Khi đó phương trình (0.4) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Tìm x0 sao cho f (x0) = g(x0)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = x0
Hướng 3: Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:
Bước 2: Xét hàm số y = f (x), dùng lập luận khẳng định hàm số này đơn điệu Bước 3: Khi đó :
(0.5) ⇔ u = v với ∀u ∈ Df
Ví dụ 0.4 Giải phương trình: tan x − x = 0
Giải
Điều kiện: cos x 6= 0 ⇔ x 6= π
2 + k2π, k ∈ Z Xét hàm số f (x) = tan x − x với x 6= π
2 + k2π, k ∈ Z,
Ta có:
f0(x) = 1
cos2x − 1 = tan2x ≥ 0, ∀x 6= π
2 + k2π, k ∈ Z
⇔ Hàm số đồng biến trên D = R \nπ
2 + k2π, k ∈ Zo
Do đó, nếu phương trình f (x = 0) có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Ta thấy: f (0) = 0 − 0 = 0 nên x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình
Nhận xét 0.3 Qua ví dụ trên chúng ta đã biết cách trình bày dạng toán " Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình" Và ở đây, chúng ta cần nhớ rằng các phuong pháp này thường được áp dụng cho các phương trình không mẫu mực 6
6 Phương pháp giải các phương trình lượng giác không mẫu mực sẽ được trình bày riêng trong một chuyên đề- Lê Văn Duẩn
Trang 11Ví dụ 0.5 Giải phương trình √
1 − x −√
1 + x = 2x3+ 6x Giải
Điều kiện:
(
1 − x ≥ 0
(
x ≤ 1
x ≥ −1 ⇔ |x| ≤ 1 Tới đây chúng ta có thể trình bầy theo các cách sau:
Cách 1: Viết lại phương trình dạng: √
1 − x −√
1 + x − 2x3− 6x = 0
Xét hàm số f (x) =√
1 − x −√
1 + x − 2x3− 6x trên D = [−1; 1]
Ta có:
f0(x) = − 1
2√
1 − x −√ 1
1 + x − 6x2− 6 < 0, ∀x ∈ D
⇔ Hàm số nghịch biến trên D
Do đó, nếu phương trình f (x) = 0 có nghiệm thì nghiệm là duy nhất
Ta thấy:
f (0) = 1 − 1 = 0, nên x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình
Cách 2: Ta lần lượt:
• Xét hàm số f (x) =√1 − x −√
1 + x trên D = [−1; 1], ta có
f0(x) = − 1
2√
1 − x− √ 1
1 + x < 0, ∀x ∈ D
⇔ Hàm f (x) nghịch biến trên D
• Xét hàm số g(x) = 2x3
+ 6x trên D = [−1; 1], ta có
g0(x) = 6x2+ 6 > 0, ∀x ∈ D
⇔ Hàm g(x) đồng biến trên D
Do đó, nếu phương trình f (x) = g(x) có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Với x = 0, ta thấy 1 − 1 = 0 − 0 ⇔ 0 = 0 đúng, nên x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình
Cách 3: Viết lại phương trình dưới dạng:
√
1 − x + (1 − x)3 =√
Xét hàm số f (x) =√
t + t3trên D = [0; +∞], ta có
f0(x) = 1
2√
t + 3t
2
> 0, ∀t ∈ D
⇒ Hàm số đồng biến trên D
Khi đó: (0.6) ⇔ f (1 − x) = f (1 + x) ⇔ 1 − x = 1 + x ⇔ x = 0
Vậy, phương trình có nghiệm x = 0
Trang 12BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 Giải các bất phương trình:
a x3− |x2− 3x + 2| + 6x − 7 > 0
b √
x + 5 +√
2x + 3 < 9
Bài 2 Giải phương trình7:
3x+ 5x = 6x + 2
Bài 3 Giải bất phương trình8:
2x = 1 + 3x2
Bài 4 Giải các phương trình sau:
a √
x +√
x − 5 +√
x + 7 +√
x + 16 = 14
b 2x + sin x + cos x − 1 = 0
7 ĐH sư phạm Vinh, khối A-2001
8 ĐH Kiến Trúc, khối A-1995