On phuong trinh luong giac rat hay ST

ÔN TẬP CÁCH GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP.. VÍ DỤ-CÁCH GIẢI –GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN VÀ BÀI TẬP..[r]

Trang 1

Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC

ƠN TẬP CÁCH GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP

VÍ DỤ-CÁCH GIẢI –GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN VÀ BÀI TẬP.

I Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác:

Ví d

ụ 1 ) Giải phương trình :

2

2 cos 4 6 s 1 3cos 2

0 cos

x

Ví d ụ 2 ) Giải phương trình : 1

cos 1

sin 2 ) 1 cos 2 ( cos 1









x

x x

Ví d

ụ 3 ) Giải phương trình : 3 cosx  2  3(1  cosx ).cot2 x (3)

Ví d

ụ 4 ) Giải phương trình : sin6 x cos x  6  2 cos x2  1 (4)

Ví d

ụ 5 ) Tìm các nghiệm trên khoảng  0;   của phương trình :

sin 3 cos3

2sin 2 1

x



Ví d

ụ 6 ) Cho phương trình : cos 2 x  (2 m  1) sin x m   1 0 (*) 

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng   ; 2  

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1) +Đk x m

(1) 22cos22 1 3(1 cos2 1 3cos2 0









































k x

k x x

x x

x

6

2 2

1 2 cos

1 2 cos 0 1 2 cos 3 2 cos

2 2

Họ

2



k

x  thỏa ĐK khi k = 2h  x  h

Vậy (1) cĩ 3 họ nghiệm là: xh x k ; h,kZ

6

Ví dụ 2) + ĐK : cosx1 xm2













2 sin 2

2 sin

0 2 sin 2 sin























































2 4 5

2 4 4

sin 2

2 sin

k x

k

x x

Ví dụ 3) +ĐK : x  m 

x

x x

2 sin

cos ) cos 1 ( 3 2 2 cos







x

x x

2 cos 1

cos ) cos 1 ( 3 2 2 cos 3

0 2 cos cos

6 cos 1

cos 3 2 cos

















x x x

Trang 2





































2 ) 3

2 arccos(

2 3 3

2 cos

2

1 cos

k x

x

(Thỏa các ĐK)

Ví dụ 4) +Biến đổi:

4

1 2 cos 4

3

2 sin 4

3 1 ) cos (sin

cos sin 3 ) cos (sin

) (cos sin

cos sin

2

2 2

2 2 2 3

2 2

3 2 3

2 6

6























x

x x

x x x x

x

x x

4

1 2 cos 4







































2 3

1 arccos 2

1 3

1 2 cos

k x

k x x

x

Ví dụ 5) *Giải PT(5):

+ĐK : sinx

























2 12

5 2

1

m x

+Ta có

) cos sin 1 )(

cos (sin

4 ) cos (sin

3 cos 3 cos 4 sin 4 sin 3 3

cos

3

) 1 2 sin 2 )(

cos (sin

) 1 cos sin 4 )(

cos

x x

x

x x

cos sin

1 2 sin 2

3 cos 3 sin









(5) 7(sinxcosx cosx)4 cos2x 7sinx4 (1 2sin2 x)

3 sin 2

1 sin 0 3 sin 7 sin



































2 6 5

2 6 2

1 sin

k x

k

x x

*Chọn nghiệm trên khoảng 0; ta được hai nghiệm của phương trình là:

6

5

; 6





x

Ví dụ 6) (*) 1 2sin2 (2 1)sin 1 0









0 sin

) 1 2 ( sin







 1;1

; sin

; 0 )

1 2 ( 2 )













2

1 0

2 5 2 )















t

Trang 3

























2 6 5

2 6 2

1 sin 2

1

k x

k

x x t

b)Tìm m để PT (*) cĩ nghiệm trên khoảng   ; 2  :

Khi x;2 1t0

Vậy ta phải cĩ :



































































0

1 0)1 (0 )1().

0(

0 2 1

0)1 (;0 )0(;

0

0 1

2 1

m

f ff

S

af af

t t

tt

 1;0



BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :

1) Giải phương trình :

4sin 2 6sin 9 3cos 2

0 cos

x



2) Giải phương trình : cos  2 3 2  2 2 1

1

1 sin 2

x



 3) Giải phương trình : 5 sinx  2 3(1   sinx ).tan2 x

4) Giải phương trình : 8 8 17 2

16

x cos x   cos x

5 Tìm các nghiệm trên khoảng  0; 2   của phương trình :

cos3 sin 3

1 2sin 2

x



6) Cho phương trình : cos 2 x  (2 m  1) cos x m    1 0 (*)

a) Giải phương trình khi m = 3/2

b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng 3

;

2 2

 

II Phương trình bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung:

Phương trình dạng : asinx + bcosx = c , với a.b  0

Ví dụ 1: Giải phương trình : 4cos32x 3sin6x 2cos4x 3cos2x





Ví dụ 2: Giải phương trình : 3 1

8sinx

cosx sinx

  (2)

Ví dụ 3: Giải phương trình : sin2x cos2x cosx sinx0 (3)

Ví dụ 4: Giải phương trình : 9sinx3cosx 3sin2xcos2x8 (4)

Trang 4

Ví dụ 5: Giải phương trình : 2 cos x3  cos 2 x sinx   0 (5)

Ví dụ 6: Giải phương trình : sin x cos x sinx cosx3  3   (6)

Ví dụ 7: Giải phương trình : 4 4 4

(sin x cos x  )  3 sin 4 x  2 (7)

Ví d ụ 8 : Giải phương trình : 3(sin3x cosx)cos3xsinx (8)

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1: (1) 4cos32x 3cos2x 3sin6x 2cos4x









2

3 6 cos 2

1 4 cos 2 6 sin 3 6



x cos4x

3 6













Ví dụ 2: + ĐK : x x m   m Z

x



















2

0

2sin 0 cos

0

+ (2) 4sin2xsinx 3sinxcosx 2(cosx cos3x) 3sinxcosx

x x

3 cos 3

cos sin

2

3 cos 2

1























Ví dụ 3: (3)  (2sinxcosx sinx) 2cos2 xcosx10

0 ) 1 cos )(sin

1 cos 2 (

0 ) 1 )(cos 1 cos 2 ( ) 1 cos 2 ( sin















x x

x

x x

1 ) 4 sin(

2 2

1

Ví dụ 4: (4) 9sin 6sin cos  3cos 2cos2 9 0









0 ) 3 )(cos 3 cos 2 ( ) cos 2 3 ( sin

0 3 sin 3 cos 0 ) 3 sin 3 )(cos 3 cos 2



cos 10

3 sin

10

3 cos 10

1















10

3 sin

; 10

1 cos

; 2

cos )

















Ví dụ 5: (5) 2cos3 2cos2 1 sin 0 2cos2 (cos 1) (1 sin ) 0

















0 ) sin 1 ( ) 1 )(cos sin 1 )(

sin 1 (

0 ) 1 2 sin cos 2 sin 2 )(

sin 1 (

0 1 ) cos 1 )(

sin 1 ( 2 ) sin 1 (



















x x

x

 2 (sin cos ) (sin cos )  0 )

sin 1































0 cos sin

0 sin 1 0 )2 cos )(sin cos )(sin sin 1(

x x

x x x x

Ví dụ 6: (6)  (sinxcosx)(1 sinxcosx)sinx cosx

x x x

x x x x

x cos sin cos (sin cos ) sin cos



0 ) cos sin sin

2 ( cos 0 ) cos (sin

cos sin cos













0 ) 2 sin 2 cos 3 ( cos 0

) 2 sin 2

1 2

2 cos 1 2 (

0 cos 

Trang 5

4

1 4

3 ) 4 cos 1 ( 4

1 1 2 sin 2

1 1 cos

+ (7)

2

1 4 sin 2

3 4 cos 2

1 2 4 sin 3 4 cos



3

2 cos 3

4













x 3(sin3x cosx)cos3xsinx

2

3 sin 2

1 3 cos 2

1 3 sin 2

3 cos

3 sin 3 cos 3 sin

































3

sin 6 3

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :

1) Giải phương trình : 3sin3x 3cos9x 2cos3x 4sin33x





 2) Giải phương trình : 3 1

8

sin

cosx

x cosx

3) Giải phương trình : sin 2 x  2sin x  1 4  sin xcosx cos x2  2  2sin cos 2 x x

4) Giải phương trình : sinx  4cos x  sin 2 x  2 cos 2 x  1

5) Giải phương trình : 2sin3x  cos 2 x cosx   0

6) Giải phương trình : sin x cos x sinx cosx3  3  

7) Giải phương trình : 8sin6 cos6  3 3sin4 2





x

8) Giải phương trình : 3(cos3xsinx)sin3x cosx

III Phương trình đẳng cấp thuần nhất theo sin và côsin cùng một cung:

1) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai theo sin và côsin cùng một cung:

 Phương trình có dạng : asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x + d = 0 (1)

 Cách giải 1 : (Dùng cơng thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin và cơsin cùng cung)

 b sin 2 x  ( c a  ) cos 2 x  (2 d a c   )

 Cách giải 2 : (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx)

Xét hai trường hợp :

+ Nếu x = ;



  có là nghiệm phương trình hay không

+ Nếu x ;



   , chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:

atan2x + btanx + c + d(1 + tan2x) = 0

 (a + d)tan2x + btanx + c + d = 0

Ví dụ 1: Giải phương trình cos2x - 3sin2x = 1 + sin2x (1)

Ví dụ 2: Giải phương trình 4sin2x – 3sinxcosx +  3 4   cos2x = 4 (2)

Ví dụ 3: Giải phương trình : 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4 (3)

Ví dụ 4: Giải phương trình : cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3 (4)

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: (1) cos2 sin2  3sin2 1 cos2 3sin2 1











Trang 6

3

cos 3

2 cos 2

1 2 sin 2

3 2 cos 2























Ví dụ 2: +Xét cosx = 0 thì sin2 1



x nghiệm đúng phương trình (2)

Vậy (2) cĩ nghiệm x k

+Xét cos x 0 Chia hai vế PT(2) cho cos2 x và thay x

x

2

2 1 tan cos

1



phụ t = tanx :

Ta cĩ : t  t   t  t  x   x k

6 6

tan tan 3

3 )

1 ( 4 4 3 3

Vậy PT (2) cĩ hai họ nghiệm là : x k

2 ; x6k ; kZ



2

3 2 sin 2

5 ) 2 cos 1 (

7 2 sin 5 2 cos

Ví d ụ 4: +Xét cosx = 0 thì sin2 x1 nghiệm đúng phương trình (2)

Vậy (2) cĩ nghiệm x k

+Xét cos x 0 Chia hai vế PT(2) cho cos2 x và thay x

x

2

2 1 tan cos

1



phụ t = tanx :

Ta cĩ : 1t3t2 3(1t2) t 2 tanx2 xarctan2k

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:

1) Giải phương trình : 3sin2x - 5 3sinxcosx – 6cos2x = 0

(1  3) sin cos x x  3 cos x  0 3) Giải phương trình : 2sin2x + sinxcosx – 5cos2x = 1

4) Giải phương trình : cos2x – 3sin2x – 4sinxcosx = 0

2) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc cao theo sin và côsin cùng một cung:

Ví dụ 1: Giải phương trình: tanxsinxcosx cos2 x (1)

Giải cách 1:

+ĐK: x m

+(1)  sinxsinxcos2x cos3x (*) (đẳng cấp bậc 3)

+cosx = 0 khơng nghiệm đúng PT (vì 1 0 ; vơ lý)

+cosx 0, chia hai vế (*) cho cos3x được :

x  x  x  t   t  x  x  k

4 1

tan 1 1

1 tan ) tan 1

(

Gi

ải cách 2 :

(*)  sinx(1 cos2x) cos3x sin3x cos3x (**)

4 1

tan 1

Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tơi minh họa lại như sau:

(**) sin3 cos3 0 (sin cos )(1 sin cos ) 0 (sin cos )(2 sin2 ) 0





















4 1

tan 0 cos sin

Ví dụ 2: Giải phương trình: cos3x sinx cosx



 (2) (đẳng cấp bậc 3) Giải cách 1:

Trang 7

+ cosx = 0 khơng nghiệm đúng (2)

+ cosx 0, chia hai vế (2) cho cos3x được :1tanx(1tan2 x)(1tanx)



k x x

t t

t

 ( 2 1) 0 0 tan 0 (với t = tanx )

Gi

ải cách 2 :

(2) cos (cos2 1) sin cos sin2 sin 0 sin (sin cos 1) 0

















 sinx(sin2x2)0 sinx0 xk

Ví dụ 3: Giải phương trình: 3sin3 2cos3 sin2 cos 2cos 0





(đẳng cấp bậc 3)

Giải cách 1:

+ cosx = 0 khơng nghiệm đúng (3)

+ cosx 0, chia hai vế (3) cho cos3x được :

0 ) 3 ( 3 0 3 3 ) tan 1 ( 2 tan 2 tan















x









































k x

k x x

x t

t

3 3

tan

0 tan 3

0

Gi

ải cách 2 :

(3)  3sin3 sin2 cos  2cos (1 cos2 ) 0







sin2 ( 3sin cos ) 2cos sin2 0 sin2  3sin 3cos  0





















































k x

k x x

x

3 3

tan 0

cos 3 sin

0 sin

Ví dụ 4 : Giải phương trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 (4) (đẳng cấp bậc 4)

Giải cách 1:

+ cosx = 0 thì sinx =  1 khơng nghiệm đúng ptrình Vậy cosx 0

+ Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được:

2 4 3 0 1 3













t

Gi

ải cách 2 :

(4) (3cos4 3sin2 cos2 ) (sin2 cos2 sin4 ) 0





0 ) sin (cos

sin ) sin (cos

cos























3 tan

0 2 cos 0 ) sin cos 3(

2

x

x x

Ví dụ 5: Giải phương trình : sin6 x cos6 x cos22x sinxcosx





Giải cách 1:

Nếu biến đổi : sin6 x  cos6x  (sin2 x  cos2 x )(sin4 x  cos4x  sin2 x cos2 x )=

= sin4 xcos4x sin2xcos2x

Và biến đổi : cos22x(cos2 x sin2x)2 cos4xsin4x 2sin2xcos2x

Thì PT (5) sin2 cos2 sin cos 0





Khi đĩ PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản

+ Nếu từ PT: sin6x cos6 x (cos2 x sin2 x)2 sinxcosx





Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: (Với t = tanx )

















)1.

5(

0 1 2

0 0

4

5

t t t t

t

2 2









































t

t t

PT (5.2) đặt ẩn phụ

t t













Trang 8

Trở lại với ẩn t thì các PT này vơ nghiệm

+ Với t = 0  tanx0 xk

Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nĩ nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên:



k

x 



k

Phù hợp với mọi cách giải.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Cĩ thể giải lại các bài trong các ví dụ và bài tập tương tự ở phân PT đưa về PT bậc nhất

theo sin và cơsin cùng một cung như :

1) Giải phương trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (đẳng cấp bậc 3)

2) Giải phương trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)

3) Giải phương trình sinx – 4sin3x + cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)

4) Giải phương trình : sin x cos x sinx cosx3  3   (đẳng cấp bậc 3)

5) Giải phương trình : 8sin6 cos6  3 3sin4 2





6) Giải phương trình : 3(cos3xsinx)sin3x cosx (đẳng cấp bậc 3)

7) Giải phương trình : sin x cos x sinx cosx3  3   (đẳng cấp bậc 3)

8) Giải phương trình : 4 4 4

(sin x cos x  )  3 sin 4 x  2 (đẳng cấp bậc 4) 9) Giải phương trình : 3(sin3x cosx)cos3xsinx (đẳng cấp bậc 3)

10) Giải phương trình : 8 8 17 2

16

x cos x   cos x (đẳng cấp bậc 8) 11) Giải phương trình : sin6x cos x  6  2 cos x2  1 (đẳng cấp bậc 6)

IV Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và cơssin cùng một cung:

1) Phương trình chứa tổng và tích (cịn gọi là phương trình đối xứng theo sin và cơsin)

 Dạng phương trình : a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c R)(1)

Ví dụ 1: Giải phương trình sinx cosxsin2x12(cosx sinx)12cos2x0 (1)



















4 sin 2 7 cos 2 sin 3 sin 2 sin 3 2 cos

Ví dụ 3: Giải phương trình sin3xsin2x2cosx 20 (3)

Ví dụ 4: Giải phương trình sin2 cos 12(sin cos sin2 ) sin cos2 12









x

Ví dụ 5: Giải phương trình sin2 sin cos cos 2sin2 (sin 1) 1







Ví dụ 6: Giải phương trình (sinxcosx 1)cos2xcosx sinx0 (1)

HƯỚNG DẪN CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1: (1)  sinx cosxsin2x 12(sinxcosx) 12 0





















) 1 ( 0 12 2 sin ) cos (sin

12

) 1 ( 0 cos sin

b x

x x

a x

x

(1a)  x k

4

t

t t

13

1 0

13 12

2































2 0

2 sin



+ Vậy (1) cĩ 2 họ nghiệm là ( )

2

;

k x k

x     

Ví dụ 2: (2)  cosxsinx8(cosx sinx) 3sin2x7 0

Trang 9



















) 2 ( 0 7 2 sin 3 ) sin (cos 8

) 2 ( 0 cos sin

b x

x x

a x

x

(2a)  x  k

4

(2b) : Đặt t = cosx sinx ; (t  2 )  t2  1  sin 2x sin 2x 1  t2 (*)

(2b)

3

2 3 2

2 0 4 8

32



























t

t t

Sin2x =





















k x

9

5 arcsin 2

9

5 arcsin 2

1 9

5

Ví dụ 3: (3)  (1 cosx)(sinxcosxsinxcosx 1)0



























2

2 0

1 cos sin cos sin

1 cos



k x

k x x

x x

Ví dụ 4: (4) 



























0 12 ) cos (sin

12 cos sin

0 cos sin

0 12 ) cos (sin

12 cos sin cos sin

x x

x x x x











2

4



k x x

Ví dụ 5: (5)  sin2 x1 (sinxcosx cosx)2sin2x(sinx1)0







































0 1 2 sin 2 cos sin

1 sin

0 1 2 sin 2 cos sin

1 sin

0 ) 1 (sin 2 sin 2 1 sin cos 1 sin 1 sin

x x

x x x

x x

x

Ví dụ 6: (6)  sinxcosx1 cos2x sin2 xcosx sinx0

 sinxcosx1cosx sinxcosxsinx  cosx sinx0

 (cosx sinx) sinxcosx1cosxsinx1 0



















) 6 ( 0 1 ) sin )(cos 1 cos (sin

) 6 ( 0 sin cos

b x

x x

x

a x

x

(6a) x k

4

(6b): Đặt t = sinx +cosx ( t  2 ) ; t2 1sin2x sin2xt2 1 (*)

(6b) 1 1 0

2

1

2



















t

0 2 3

3















1

2

1















t

thay vào (*) thì sin2x = 0

2



k

x 



Trang 10

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Giải các phương trình sau :

4 cos 2 ) 1 cos (sin

2

sin

















x x

x

2

1 cos

3) cos3 cos2 2sin 2 0







x

4) 3sinx 3sin2 x8(2 cosx)

5) cos2x(1sinxcosx)cosxsinx0

6) sin3x 3sin2 x 6cosx60

D PHẦN BÀI TẬP NÀY ĐƯỢC BIÊN SOẠN TƯƠNG TỰ CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009

(Khơng hướng dẫn-bạn tự nghiên cứu đáp án các đề thi đại học)

Bài 1:Giải các phương trình sau :

x

cos 2 1

3 sin 2

sin













 ; b) sin22x cos23x sin2x cos24x







c) sin3x 4cos2x 3sinx40 ; d) sin 2 1 0

2

1 sin 2 cos 3

2 cos 2

cos sin cos

sin sin







x

x x x x x

x

; g)

x

x x x

x x

sin

cos sin 4 cos

1 cot





0 sin

2 2

3 4

cos 4 sin 2 cos sin

































x

x x

x

b) sinx cosxcotx cos2x.cosx 2sin3x cos3x sin2x.cosx







c) 10cos2 xcosx 23(cosx cos2x).cotg2x

d) 2cosx 3 2sinxcosxsin2x 3sinx

a) 1sinx cosx sin2x cos2x sin3 xcos3x0 ; b)

x x

x

tan

1 cot

cos sin

c) 1(1sin2x)cosxsin2xsinx(1cos2 x) ;

d) tan2 2tan cot2 2cot 2 0







x

Bài 4 : Giải các phương trình :

2 sin 3 4

cos sin

8

2

6 6











x x

x

0 sin 2 cos 3



x x

3 2 cos 5

2 cos 2 cos sin

cos







x

x x

x ; d) sinx.tanxsin2xtanx

e) 1(1sin2x)cosxsin2xsinx(1cos2 x) ; g) 2cos2 xcosx1 cos7x

Bài 5 : Giải các phương trình :

a) (1 sin2 )cos (1 cos2 )sin sin2 1







2

cos 2 sin

2



















x

c) 3cosx(1 cos2x)2sin2xsinxcos2x0 ;

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	633,5 KB