CHUN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC  x + y + x y + xy + xy = −  Bài1:   x + y + xy(1 + x) = −   u + v + uv = −  Giải: đặt u = x + y , v = xy có hệ  giải u= ,v = - 5/4  u2 + v = −  u = - ½, v = - 3/2  x2 + y = 25  ,y= − * với u=0,v= -5/4 có hệ  ⇒ x= 16  xy = −  2  x + y = − * với u= -1/2, v= - 3/2 có hệ  ⇒ x = ,1 y = −  xy = −  Bài 2:  ( x2 + 1)( y + 1) = 50 x, y >0   ( x + y)( xy − 1) = 25 Giải : đặt u = x+y >0, v = xy – 1>-1 có hệ giải x=2,y=3 & x=3,y=2 Bài  x − x y + x y =   x y − x + xy = −  u2 + v2 = 50  ⇒ u= v=  uv = 25  u2 + v = Giải: đặt u = xy-x , v = x y có hệ  ⇒ u = − 1, v = va u = 2, v = − u+ v= − giải tiếp có x=1,y=0 x= -1,y=0 Bài  x ( y + 1)( x + y + 1) = 3x − x +   xy + x + = x Ta có x=0 khơng thoả mãn từ ta có x2 y +1 = x −1 x thé vào ta x −1 x −1 (x + ) = x − x + ⇔ ( x −1)(2 x − 1) = ( x − 1)(3 x − 1) x x x=0, x=1, x=-2 Đ/s (1,-1), (-2,-5/2) Bài5 Bài6  xy + x + y = x − y   x y − y x − = x − y (1) tt (x+y)(x-2y-1)=0 Đ/s (5,2)  y = (5x + 4)(4 − x)  2  y − 5x − xy + 16 x − y + 16 = Pt y2 –(4x+8)y-5x2+16x+16=0 Đ/s (0,4),(4,0),(-4/5,0) Bài7  x + 24 − x − y = 2 4  x + − x + 2 y = + Cộng vế hệ ta có x + x + − x + 24 − x = + + ( y − ) Ta có vế phải ≥6 +3 dấu xẩy y = Vế trái đặt a = x , b = − x có a4+2b4=12 có (a2 +2b2)2 ≤ ( a4+2b4)(1+2) suy (a2 +2b2) ≤ ( a +2b)2 ≤ ( a2+2b2)(1+2) suy (a+2b) ≤ v ế tr ≤ 6+3  y=  2 a b ⇒ a = b ⇒ x = ds(2, ) d ấu b ằng x ẩy  =  a b  = 1 ( Bài8 (y + )( )  x + x2 + y + y2 + =  Ta có  y 35 y+ + = x − 12  )( y +1 − y + ) y +1 = Suy ta có phương trình  x3 − x − = y  Bai9  y − y − = z  z − z− 4= x  x3 − = x + y  C ách  y − = z + y  z − 4= x+ z (x + Kết hợp hệ thức ta có x+ x x2 −1 = 35 12 )( ) x +1 − x + x +1 =  x + x + = − y + y +   y + y + = − x + x + giải có đáp số (5/3,-5/3),(5/4,-5/4) xét H/s f(t) = t3 -4 đ/b suy x=y=z Cách G/sử  ( x − 2)( x + x + 3) = y −   ( y − 2)( y + y + 3) = z − suy  ( z − 2)( z + z + 3) = x −   | x − | ( x + x + 3) = | y − |   | y − | ( y + y + 3) = | z − | x2+2x+3 >1 nên | y-2|  | z − | ( z + z + 3) = | x − |  ≥ |x-2| , | z-2| ≥ |y-2| , |x-2| ≥ |z-2| suy | x-2|=|y-2|=|z-2| suy x=y=z thay vào (1) (x-2)(x +2x+3)=0 suy x=2 có nghiệm (2,2,2) Bài 10 Bài11  x + y + x + y = (1_) – (2)  2  x + y + x − y =  ( x − 1)( y + 6) = y( x + 1) (1)   ( y − 1)( x + 6) = x( y + 1) (2) x=3y-3 thay vào (1) 10y2 -13y+1=0 (1) +(2) ta có 5x+5y =12 +x2+y2 (1)-(2) taco (y-x)(2xy-7-(x+y))=0 tương đưong hệ có ngh x=y=2,x=y=3, (2,3).(3,2) Bài12  x + y − x = 12 − y tg đg  2  x y − x = 12  y > x2  x>  ⇔  12 − x − 12 = y x   2 144 y = x + x  Bài13  x + y − x = 12 − y  y > x  x>  2 12  ⇔  x + 12 = 12 − y y −x =   x x   2 144 2 y = x + y > x ,x > x   y2 > x2  y2 > x2   x > x>   ⇔ 12 − x − 12 = y ⇔  12 x  12 − x − x = y    12 144  x − x + 12 x = (12 − x − ) = x +   x x  ngh (3,5),(4,5)  x5 + y5 =  9 4  x + y = x + y ta có (x5+y5)(x4+y4)=x4+y4 = x9+y9 suy x4y4(x+y)=0có ngh (0,1),(1,0) Bài 14 Điều kiện xác định: Ta có: (do Thế Với với vào (2) ta có: áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: ) Phương trình (3) có vế phải ln lớn vế trái Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm phương trình (3) vơ nghiệm Phương pháp đánh giá: Bài16: ghpt xy  = x2 + y x + x − 2x +   xy y+ = y2 + x  y − 2y +   Giải: Cộng hai vế pt ta có 2xy    ( x −1) + +   = x2 + y2 ( y −1) +   a) x=0 suy y=0 nghiệm hệ b) x≠0 suy y ≠ x,y dấu ta có   1   = x2 + y2 + /2xy 2  ( x −1) + ( y −1) +    vế phải ≥1, vế trái ≤1 ,dấu xẩy x= y= ,KL: (0,0), (1,1) Ng  x + y − = Bài17: ghpt  đ/k x,y ≥ suy vế trái pt ≥ dấu = xẩy  y + x − = x=y =1  y −= x3 + 3x +  y − −= (x + 1)2(x − 2)  ⇔  x = 2y − 6y −  x − = 2(y + 1) (y − 2) B ài18 Bai19 nh ận x et x=y=2  x+ y+ z=    (1 + x)(1 + y)(1 + z ) = (1 + xyz )3  Áp dụng BĐT Cô si x+y+z ≥3 xyz xy+yz +zx ≥ 3 (xyz) suy (1=x)(1+y)(1+z) = 1+(x+y+z)+( xy+yz +zx) +xyz ≥ + 3 xyz + 3 ( xyz) + xyz = (1 + xyz ) dấy xảy x=y=z=1  x2  x2 + = y   2y Bai20  = z x=y=z=0 la ngh y +1  2z  =x z +1 2 Cong pt 1   −1 x  x− y =   Bài21  y − z =  z − x =  Suy x=y=z =  2x2  x2 + = y   2y Bài22  = z y +1  2z  =x z +1 + 1   −1 y    x = y +   y= z +1  z = x +  1 y=   1  = z 1  = x  x2 + 1 = + 2x2 2x2 y2 + 1 = + y2 2 y2 1 + 2z 2 + 1   −1 z  = ngh x = y = z = x≥y⇒ y ≥ z ,y ≥ z ⇒ z≥ x ( + 1) 2 ta có x=y=z=0 ngh, x khác suy y>0,z>0,x>0  y=   z =   x =  Bài23 2x2 ≤ x2 + 2y2 ≤ y2 + 2x2 =x x 2y2 =y y y≤x≤z≤y 2z 2z ≤ =z z2 + z  697 x + y = 81   x + y + xy − 3x − y + =  Ta có x2 +x(y-3)+y2-4y+4=0 có tự suy x=y=z có ngh (1,1,1) 0≤x≤ suy x4 + y2 ∆ = ( y − 3) − 4( y − 2) ≤ ⇒ ≤ y ≤ 697 ≤ ( )4 + ( )2 = 3 81 tưong hệ vô nghiệm  x5 − x + x y =  Bài24  y − y + y z = ta có x=y=z =1 ngh x>1 suy  z5 − z + 2z x =  2= z5-z4+2z2>(z-1)(z4+2z2+2) suy z moit t2 − t +1 x= y= z Hàm số đồng biến hệ tương đương   x + 3x − + ln( x − x + 1) = x đ/s x = y= z =  x3 + x =y ( 4)   y3 + y2 = z xét hàm đặc trưng f(t) = ( ) 2t +t hàm n/b Bài30: ghpt :  ( )   z3 + z2 =x ( 4)  t > x= y= z  hệ tương đương  x3 + x có nghiệm x= y = z =1/2 ( ) =x 4   y3  x = + sin y   z3 Bài31:ghpt  y = + sin z xét hàm số f(t) = t3/6 + sint với t≥ đ/b có ng   x3  z = + sin x  t=0 hàm số lẻ nên có nghiệm ( ý đạo hàm bạc 3) hệ tương x= y= z  đương với  x có nghiệm x=y=z=0  x = + sin x   e z − e z− x = x  y y− z Bài13: ghpt  e − e = z  e x − e x− y = y  nghiệm x = y = z =  (1 + x− y )51− x+ y = + 2 x− y+ Bài 32: ghpt  đặt v=2x-y giải v=1 hệ tương  y + x + + ln( y + x) =  2x − y = đương với  đ/s x = 0, y = -1  y + x + + ln( y + x) =  log (1 + cos x) = log3 (sin y) + Bài33: ghpt  có đk cosx>o,siny>0  log (1 + sin y) = log3 (cos x) + Suy log2(1+3cosx)+log3cosx) = log2(1+ 3siny) + log3siny xét h/s F(t) =log2(1+3t) + log3t với t > f ` (t)> với t > suy cósx = siny  log (1 + cos x) = log3 cos x + Có hệ  xéy h/s g(t)= log (1+3t)- log t –  cos x = sin y € (0,1) g`(t) = − =0 (1 + 3t ) ln t ln 3 t   cos x =   PT ngh   cos x = có ngh x = k2Π,y= Π/2+l2Π    cos x = sin y  x = ±ảrcos1/3 +k2Π , y = (-1)l arsin1/3+lΠ  log ( x + 1) = x + y Bài35: ghpt  đặt t = x-y 1+ x − y 1+ x − y 1+ x − y 1− x + y 1− x + y 1− x + y 9 − − = + − pt2có 9(9t + 9-t) -6(6t +6-t) -3( 3t +3-t) = t = áp dụng tính chất a > b > t ta có at + a-t ≥ bt + b-t dấu xẩy t =  log2 (x + 2) = 2x  dk x > −  x= y xét hàm số f(x) = 4x –x – với x > -1 f `(x) = x= -log4(ln4) = t0 t f f -1 -log4(ln4) + + F(t) Khơng có q 2nghiệm x = 0,y= ,x = - ½, y = -1/2 ng hệ  log z = log3 ( x + 4)   Bài36:ghpt  log y = log ( z + 4)   log x = log ( y + 4)  giả sử x nhỏ x ≤ y suy log5x ≤ log5y suy log5( y +4)≤ log5( z +4) suy y ≤ z tương tự z ≤ x x = y= z hệ tương đương x= y= z sử dụng phương pháp hàm số   log5 x = log3 ( x + 4) hệ có nghiệm suy x= 25 x = y = z = 25  8cos z = cos 2x + + 2cosx  cos x = log2(8cos z − cos 2x − )5   cos y Bài37: ghpt cos y = log (8 cos x − cos y − )5 ⇒ cos x = cos y + +    cos z = log (8cos y − cos 2z − )5  8cos y = cos 2z + + 2cosz   Xét hàm số đặt trưng f(t)=2t2+2t+4 t>0 đ/b suy co sx=cosy=cosz Có ngh x = y =z = k2 π B ài 38 cóhệ  x + x − x + = y− +   y + y − y + = 3x− +  a + a + = 3b suy  a  b + b + = đ ặt a=x-1,b=y- a + a + + 3a = b + b + + 3b x et h àm s ố đ ặc tr ưng H/s đ ồng bi ến suy a=b ta co a+ a +1 = 3a ln(a + a +1) − a ln = co g’(a) >0 a=0 l ng nh ất suy (1,1) Bài39 ghpt  x − z + 27 z = 27   y − x + 27 x = 27   z − y + 27 y = 27  x = z − 27 z + 27   y = x − 27 x + 27   z = y − 27 y + 27 Ta có x3=9(z-3/2)2+27/4 suy x> Xét h/s f(t) = 9t2-27t+27 hàm đ/b với t> x= y= z   x = x − 27 x + 27 có ngh: 3 suy x= y = z = 3  30 x − x y − 25 y =  2 Bài 40  30 y − y z − 25 z = ta có x=y=z=0 ngh  30 z − z x − 25 x =   30 x  y = x + 25  30 y  X khác suy x>0,y>0,z>0  z = xét hàm f(t) = y + 25   30 z x =  z + 25 30t 9t + 25 t>0 Hàm số đồng bién suy x=y=z = 5/3 Phương pháp lượng giác  x − y + y − x = Bài41: ghpt   (1 − x)(1 + y) = α, β ∈[o, π ] đ/k - ≤ x,y ≤ đặt x= cos α, y = cos β  π  cosα sin β + cos β sinα =  α + β = có hệ ⇔   (1− cosα )(1+ cos β ) =  sinα − cosα − sinα cosα − =  π giải ta α = , β = hệ có nghiệm x = 0,y =  x 1− y2 =   Bài42: ghpt   y − x2 =    cos α sin β  Suy hệ   cos β sin α đ/k - ≤ x,y ≤ đặt x= cos α, y = cos β = 1/  α = β = π / 12 ⇒ x = y = ( + ) / ta có  =  α = β = 5π / 12 ⇒ x = y = ( − ) / 4  π α , β ∈ o,   2 2y  x=  1− y2  Bài43:ghpt  đặt 2x y=  − x2  Có hệ x = tan α , y = tan β α , β ∈ (− π π π , )≠± 2  π α = (k+− 2n)  tanα = an2t β  α − 2β = kπ  ππ  ⇔  ⇔  ,βα (−∈ , )ne  tanβ = an2t α  βα =− nπ  β = (n+− k)2 π 2  k =1, n = − ⇒ =π / 3, β = − / ⇒ ,− ) α π (  α π ( k = − , n =1 ⇒ = − / 3, β =π / ⇒ − , ) k =0.n =0 ⇒ =0, β =0 co ng (0,0) α    x + y − x − y = Bài44: ghpt  đặt x= Rcos α ,y = Rsin α 2 2  x + y + x − y = R>0  R( cosα + sinα − cosα − sinα =  2R(cosα − cos2 α − sin2 α ) = Có hệ  2 ⇒ 2  R(1+ cos α − sin α =  R(1+ cos α − sin α ) =  cosα ≥ 26 2  →1 + cos α − = 2(cosα − cos α − )1 ⇒  ⇒ cosα = ,sinα =  7cos2 α + 2cosα − = 7  5/8,y = suy R=7/8 hệ có ngh: x = Phương pháp đổi biến số Bài 45: ghpt:  (2x + y)2 − 5(4x2 − y ) + 6(2x − y)2 =  chia2vept(1)cho(2x − y)2   2x + y + 2x − y =  đặt u=2x+y,v=1/2x-ycó u=1,v=2,u=2,v=1 hệ có ngh (3/8,1/4),3/4,1/2)  z x = y   z y =x Bài46:ghpt  đ/k x,y,z>0 * x=1suy y=1 z=2 ngh  4 z = x + y   với x,y khác đặt Kq Bài 47 u = x,v = y z=4/3 v= cóhệ  4z 332  u = v  3z  9z2 u = v v  z= 4/3(z> 0)  8   z 3z /  3z /   v = u ⇒  z = u⇒  v = u⇒  = vu  += vuz  += vuz  += vuz  vv −+ 4/ = 03      − + 57 − + 57 − + 57 − + 57 ,u = ( ) ⇒x =( ) ,y =( ) 6 6  x + + y( y + x) = y   ( x + 1)( y + x + 2) = y  x2 +  y + y+ x=  y=0 không thoả mãn    x +  ( y + x − 2) =   y   Đ/s (1,2) ,(-2,5) 3  xy + 4( x + y ) + =  3( x + y) + ( x − y) + =7  ( x + y) ( x + y)2   ⇔  Bài 48  x+ y+ + x− y=  2x + =  x+ y  x+ y   Đặt u=x+y + 1/x+y, v=x-y Đ/s (1,0)  x + y + x + + x + y + x + y + + y = 18 ghpt:   x + x + y + − x + y + x + y + − y = Bài49: Giải trừ vế pt ta có x+y = ,cộng hai vế phương trình ,đặt t = xy ,đ/s x=y=4  + x y = 19 x   y + xy = − x 3 Bai50 Ta có y ( + y ) = −6 x x  x + y + x − y = 12 Bài51   y x − y = 12 1  x + y = 19 x=0 không thoả mãn ,x khác  y y2  + = −6  x x đặt đặt u = t = +y x x2 − y2 t=1 , v=x+y có  u + v = 12   u u2  (v − ) = 12 2 v U=4,v=8 , u=3,v=9 đ/s (5,3),(5,4) Chủ đề tìm tham số để hệ phương trình có nghiệm I) Kiến thức : dựa vào đặc điểm hệ phương trình suy giá trị nghiệm từ suy giá trị tham số , điều kiện đủ với giá trị tham số thay vào hệ giải tiếp giá tri tham số thỏa nãm điều kiện toán giá trị cầ tìm II) Bài tập áp dụng  x2 + y2 = m − Bai1: Tìm m để hệ có nghiệm   y + cos x = (185) T/Phương đ/k cần (x0,y0) ngh (-x0,y0) ngh suy x0 = có hệ  y02 = m − suy m=6   y0 =  x2 + y2 = đ/k đủ m=6 có hệ  có ngh x=0,y=1  y + cos x = Bài2 Tìm a để hệ có ngh  x + x = y + x + a (350,PHK)  2  x + y = đ/k cần (x0,y0) ngh (-x0,y0) ngh suy x0 = có hệ 1= y + a  y =1 suy a=0, a=2 đ/k đủ a=0 thỏa mãn Bài3: Tìm a để hệ có ngh  ax + a − = y − sin x  2  tan x + y = (355,PHK) Đáp số a =  xyz + z = a  Bai4 : Tìm a,b hệ có ngh  xyz + z = b (348,PHK)  x2 + y2 + z =  Đáp số a=b= -2 Bài5: Tìm m hệ có ngh Đáp số m=0  x − y = y − x (m + 1) (434,HĐ)  2  x + y = m Điểm thuận lợi điều kiện cần Cơ sở lý thuyết : tốn tìm tham số nghiệm với x thuộc miền điều kiện cần x thuộc mọt miền phải với giá trị đặc biệt thuộc miền suy giá trị m Điều kiện đủ vơi m tìm thỏa mãn điều kiện tốn giá trị cần tìm Bài tập áp dụng  2bx + (a + 1)by = a Bài1 Tìm a để hệ có nghiệm với b   (a − 1) x3 + y = điều kiện cần : b nên với b=0 có hệ  a =  ⇒ a= ±  (a − 1)x + y = điều kiện đủ a = có hệ 1) X2+y2=1  2bx + 2by2 =  y2 =  ⇔  bx  y =  = 1− 2b 3mx-3y-5m=0 rõ ràng b Điều kiện cần Vì b thuộc đoạn nên b=1 có hệ  x y a + a =   a xa y = a  ax,ay nghhiệm dương phương trình X2 – ½ X + a = muốn có nghiệm  = ¼ -4a ≥ suy < a ≤ 1/16 b − b + ≥ log a 16  x y a + a =    a x a y = a b2 − b+ ≤  16  sử dụng phương pháp hàm số f(b) đoạn 0đến để với b ta có f(1/2) = + log a 16 ≥ ⇒ < a ≤ 323 Phương pháp đồ thị :  − x − y = Bài tốn1: tìm m để hẹ có nghiệm   3mx − y = 5m hệ tương đương  y≥  y = 1− x2  2  ⇔ x + y =  3mx − 3y = 5m   3mx − 3y = 5m X2+y2=1 3mx-3y-5m=0 đ/k -1≤ x ≤ Tìm a hệ có nghiệm,có nghiệm  x + y = a   x + y − xy = a u + v = a ⇒ a ≥ x,v = y u + v = a   2  2 a + 2a ta có  u + v = a  u + v =   u, v ≥   u, v ≥  Bài tập bổ xung chưa giải Bài1 Bài2  x + x + 22 − y = y + y +   y + y + 22 − x = x + x +  x + x + = 2006 y   y + y + = 2006 x Bài3  + =   + x + y + xy Bài5   x(1 − x) + y (1 − y) =   Bai6 Giải hệ phương trình:  2 xy  x + y + x + y = 16   x + y = x2 − y   x + 24 − x − y = 2 4  x + − x + 2 y = + đặt u= Câu 1: Giải hệ phương trình:  2 8xy  x + y + x + y = 16 (1)   x + y = x2 − y (2)  0,5 * Điều kiện: x + y > * (1) ⇔ (x2 + y2)(x + y) + 8xy = 16(x + y) ⇔ [(x + y)2 – 2xy ] (x + y) – 16(x + y) + 8xy = ⇔ (x + y)3 – 16(x + y) – 2xy(x + y) + 8xy = ⇔ (x + y)[(x + y)2 – 16] – 2xy(x + y – 4) = ⇔ (x + y – 4)[(x + y)(x + y + 4) – 2xy] = (3) x + y − = ⇔  2  x + y + 4(x + y) = (4) Từ (3) ⇒ x + y = 4, vào (2) ta được:  x = −3 ⇒ y = x2 + x – = ⇔ x2 + x – = ⇔  x = ⇒ y = (4) vơ nghiệm x2 + y2 ≥ x + y > Vậy hệ có hai nghiệm (–3; 7); (2; 2) 0,5 0,5 0,5 Bai7 Giải hệ phương trình x + y + z = yz + 18 = 2zx − = 3xy + x y z Câu Hệ phương trình tương đương với:  x x + y + z = xyz +   2  y x + y + z = 2xyz −  2  z x + y + z = 3xyz + 18  Cách Đặt a = x2 + y2 + z b = xyz Bình phương vế phương trình hệ 2 cộng lại ta thu a = ( b + ) + ( 2b − ) + ( 3b + 18 ) ⇔ a = 10b + 114b + 392 (1) ( ( ( ) ) ) Nhân phương trình theo vế được: a b = ( b + ) ( 2b − ) ( 3b + 18 ) Từ (1) (2) ta có: b ( 10b + 114b + 392 ) = ( b + ) ( 2b − ) ( 3b − 18 ) ⇔ 4b3 + 19b + 94b + 144 = ⇔ b = −2 Thay vào (1) a3 = 216 tức b=6 Thay vào hệ phương trình ban đầu giải x = 1, y = -1, z = (2) ... (0,1),(1,0) Bài 14 Điều kiện xác định: Ta có: (do Thế Với với vào (2) ta có: áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: ) Phương trình (3) có vế phải ln lớn vế trái Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm phương trình. .. vơ nghiệm x2 + y2 ≥ x + y > Vậy hệ có hai nghiệm (–3; 7); (2; 2) 0,5 0,5 0,5 Bai7 Giải hệ phương trình x + y + z = yz + 18 = 2zx − = 3xy + x y z Câu Hệ phương trình tương đương với:  x x + y... Bài1 Bài2  x + x + 22 − y = y + y +   y + y + 22 − x = x + x +  x + x + = 2006 y   y + y + = 2006 x Bài3  + =   + x + y + xy Bài5   x(1 − x) + y (1 − y) =   Bai6 Giải hệ phương trình: