PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUễNG GểC VỚI MẶT PHẲNGChứng minh đường thẳng d vuụng gúc với mặt phẳng α Cỏch 1: Ta chứng minh d vuụng gúc với hai đường thẳng cắt nhau cựng nằm tron
Trang 1PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUễNG GểC VỚI MẶT PHẲNG
Chứng minh đường thẳng d vuụng gúc với mặt phẳng (α )
Cỏch 1: Ta chứng minh d vuụng gúc với hai đường thẳng cắt nhau cựng nằm trong mặt phẳng (α )
Cỏch 2: Ta chứng minh d vuụng gúc với mặt phẳng (β ) mà (β) // (α )
Cỏch 3: Ta chứng minh d //∆ mà ∆ ⊥(α)
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUễNG GểC VỚI ĐƯỜNG THẲNG
Cỏch cơ bản nhất là ta chứng minh đường thẳng này vuụng gúc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia Bài 1: Cho h.chóp SABC ; SA ⊥ (ABC) ; ∆ABC vuông cân tại B
a) CMR: các mặt bên của hình chóp là những ∆ vuông
b) Trong ∆SAB kẻ AH ⊥ SB; CMR: AH ⊥ (SBC)
Bài 2: Cho hình chóp SABCD Đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD) ; SA = a 2; Gọi (α) là mặt phẳng qua A và ⊥ SC; (α) cắt SB, SC, SD lần lợt tại H, M, K Chứng minh:
a) CMR: các mặt bên của hình chóp là những ∆ vuông
b) AH ⊥ SB ; AK ⊥ SD
c) BD // (α) từ đó suy ra BD // KH
Bài 3: Cho hỡnh chúp SABCD ABCD là hỡnh chữ nhật, SA ⊥ (ABCD) SA = a 2, AB = a,
AD = a 6
a) CM cỏc ,mặt bờn của hỡnh chúp là cỏc tam giỏc vuụng
b) Gọi H, K là hỡnh chiếu của A lờn SB và SD CM AH ⊥ (SBC), AK ⊥ (SCD)
c) CM SC ⊥ (AHK)
d) Xỏc định gúc giữa SB và (ABCD) ; SD và (ABCD); SC và (ABCD)
SD và (SAB) ; SB và (SAD) ; SC và (SBC) ; SC và (SCD)
Bài 4: Cho hc S.ABC ; SA⊥ (ABC) ; ∆ABC vuông tại B
a) Chứng minh rằng: các mặt bên là những ∆ vuông
b) Kẻ đờng cao AH của ∆SAB CM: AH ⊥ SC
c) Kẻ đờng cao AK của ∆SAC CM:
HK ⊥ SC ∆AHK là tam giác gì?
Bài 5: Cho hình chóp SABC ; ∆ABC vuông cân tại A; SB ⊥ (ABC) ;AB = AC = SB = a
a) CM: các mặt bên là những tam giác vuông b) I là trung điểm của BC CM: AI ⊥ (SAC)
Bài 6: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD hỡnh vuụng cạnh 2, SA = 2 3; SA ⊥ (ABCD) Gọi H, K lần lượt
là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn SB, SD
a Chứng minh BC ⊥ SB b Chứng minh SC⊥ (AHK) c Tớnh gúc giữa SC và (ABCD)
Bài 7 : Cho hỡnh chúp SABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, mặt bờn SAB là tam giỏc đều và SC = a 2 Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD
a) Chứng minh SH ⊥ (ABCD) b) Chứng minh AC ⊥ SK c) Chứng minh CK ⊥ SD
Bài 8: Tứ diện ABCD cú hai mặt ABC và DBC là hai tam giỏc cõn chung đỏy BC.
a) Chứng minh AD ⊥ BC b) I là trung điểm BC, AH là đường cao ∆ADI Chứng minh AH ⊥ (BCD)
Bài 9: Cho hỡnh chúp SABC, cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại C SA ⊥(ABC) Trờn cỏc đường thẳng SB và SC
lấy K, H sao cho AK ⊥SB và AH ⊥ SC
a) CMR SB ⊥(AKH)
b) Gọi M là trung điểm AC Trờn cạnh SB và SC lấy E, N sao cho MN ⊥SC, NE ⊥ SB CMR SB ⊥ (MNE)
Bài 10: Cho hỡnh chúp SABCD, ABCD là hỡnh chữ nhật SA ⊥ (ABCD), SA = AD, Gọi I,K,H lần lượt là trung
điểm AB, SC, SD CMR AH ⊥ (SCD), IK ⊥(SCD)
Bài 11: Cho tứ diện ABCD cú hai mặt ABC và DBC là hai tam giỏc cõn cú chung đỏy BC
a Chứng minh BC ⊥ AD
b Xỏc định hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm A lờn mặt phẳng (BCD)
Bài 12: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng, SA vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) Hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn SB, SD lần lượt là H, K
Trang 2a) Chứng minh cá mặt bên của hình chĩp S.ABCD là các tam giác vuơng.
b) Chứng minh AH và AK cùng vuơng gĩc với SC
c) Mặt phẳng (AHK) cắt đoạn thẳng SC tại I, chứng minh HK vuơng gĩc với AI
Bài tập1 3:
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng, SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) Hình chiếu vuơng gĩc của A trên SB, SD lần lượt là H, K
a) Chứng minh cá mặt bên của hình chĩp S.ABCD là các tam giác vuơng
b) Chứng minh AH và AK cùng vuơng gĩc với SC
b) Mặt phẳng (AHK) cắt đoạn thẳng SC tại I, chứng minh HK vuơng gĩc với AI
Bài tập1 4:
Cho tư diện S.ABC cĩ SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuơng tại B
a) Chứng minh đường thẳng BC vuơng gĩc với mặt phẳng (SAB);
b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB Chứng minh AH vuơng gĩc với mặt phẳng (SBC)
Bài tập 15 :
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC Biết SA
= SC, SB = SD Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng SO vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD)
b) Đường thẳng IJ vuơng gĩc với mặt phẳng (SBD)
Bài tập 16:Cho hình chĩp S ABC cĩ đáy là tam giác ABC vuơng tại C SA ⊥(ABC),AC = a,
BC = b, SA = a 3
a Chứng minh các mặt bên của tứ diện là các tam giác vuơng
b) Xác định gĩc giữa SB và (ABC), SB và (SAC)
Bài tập 17: Cho hình tứ diện ABCD, cĩ ABC là tam giác vuơng tại B, AB = a, gĩc · 0
60
BAC = , AD vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC), AD = a 3 M là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a) Gọi ( )α là mặt phẳng qua M và song song với AD, BC
a/ Chứng minh rằng: BC⊥(ABD)
b/ Gọi H là hình chiếu của A lên BD Chứng minh rằng: AH ⊥CD
Bài tập18: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cĩ cạnh bằng a
a) Chứng minh AC⊥(BB D D' ' ) b) Chứng minh rằng BD' ( '⊥ B AC)
Bài tập 19: Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng cạnh a Đường thẳng SA vuơng gĩc với mặt đáy,
SA = a 3
a) Chứng minh rằng:BD ⊥ mp (SAC); CD ⊥ SD
b) Tính gĩc hợp bởi cạnh bên SB và mặt phẳng đáy
Bài tập 20: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng, SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD).
a Chứng minh các mặt bên của hình chĩp là các tam giác vuơng
b Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, SD Chứng minh MN BDP và MN⊥(SAC)
Bài 21: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O , SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SA = a Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của AB
Chứng minh IO⊥(ABCD)
Bài 22:
Tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a , AD vuông góc với BC , AD=a và khoảng cách từ D đến
BC là a Gọi H là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH
a Chứng minh BC⊥(ADH) và DH=a
b Chứng minh DI ⊥(ABC)
Phan Thanh Tuấn