Chương II : Đầu tư tối ưu trong trường hợp có chi phí giao dịch Chương này dành cho việc xây dựng một mô hình toán tài chính để giải quyết bài toán đầu tư và tiêu thụ[r]
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-
NGUYỄN VĂN TRÁNG
ĐẦU TƯ TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ CHI PHÍ GIAO DỊCH VỚI NHIỀU TÀI SẢN
RỦI RO
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – Năm 2014
Trang 2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-
NGUYỄN VĂN TRÁNG
ĐẦU TƯ TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ CHI PHÍ GIAO DỊCH VỚI NHIỀU TÀI SẢN RỦI RO
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60 46 01 06
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
NCVCC.TS.Nguyễn Hồng Hải
Hà Nội – Năm 2014
Trang 3
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU 1
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG TOÁN
TÀI CHÍNH 5
1.1. Một số khái niệm cơ bản về thị trường tài chính 5
1.1.1.Cấu trúc của thị trường tài chính 5
1.1.2.Mô hình động của giá các loại cổ phiếu và trái phiếu 8
1.1.3.Bài toán phân bổ vốn đầu tư, tính chất không cơ lợi và tính đầy đủ của một thị trường tài chính 10
1.2. Một số khái niệm xác suất trong toán tài chính 14
1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục 14
1.2.2. Quá trình chuyển động Brown 16
1.2.3. Martingale với thời gian liên tục 17
1.2.4. Vi phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô 19
CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ CHI PHÍ GIAO DỊCH ………21
2.1. Mô hình 21
2.1.1. Thị trường vốn 21
2.1.2. Bài toán của nhà đầu tư. 21
2.2. Chính sách tối ưu trong trường hợp không có chi phí giao dịch 23 2.3. Các trường hợp riêng. 25
2.3.1. Trường hợp chỉ có chi phí giao dịch tỉ lệ. 25
2.3.2. Trường hợp chỉ có chi phí giao dịch cố định. 32
2.4. Trường hợp có cả chi phí cố định và chi phí tỉ lệ 38
Trang 4
2.5. Chi phí cố định và phí tỉ lệ với lợi suất tài sản tương quan 63
2.6. Phân tích các chính sách tối ưu 69
2.6.1. Các giới hạn tối ưu. 70
2.6.2. Tần số giao dịch 74
2.6.3. Lượng tiền trung bình đầu tư vào cổ phiếu. 81
KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT MỞ RỘNG 88
TÀI LIỆU THAM KHẢO 89
Trang 5
Trang 1
LỜI NÓI ĐẦU
Thị trường tài chính là sản phẩm tất yếu của nền kinh tế thị trường, đó là nơi diễn ra các hoạt động mua bán những sản phẩm phát hành bởi những cơ sở tài chính như: các công ty, nhà xưởng, ngân hàng, nhà nước…Sự xuất hiện và tồn tại của thị trường này xuất phát từ yêu cầu khách quan của việc giải quyết mâu thuẫn giữa nhu cầu và khả năng cung ứng vốn trong nền kinh tế phát triển. Trong nền kinh tế luôn tồn tại hai trạng thái trái ngược nhau giữa một bên là nhu cầu và một bên là khả năng về vốn. Mâu thuẫn này ban đầu được giải quyết thông qua hoạt động của ngân hàng với vai trò trung gian trong quan hệ vay mượn giữa người có vốn và người cần vốn. Khi kinh tế hàng hóa phát triển cao, nhiều hình thức huy động vốn mới linh hoạt hơn nảy sinh và phát triển, góp phần tốt hơn vào việc giải quyết cân đối giữa cung và cầu về các nguồn lực tài chính trong xã hội, làm xuất hiện các hình thức huy động vốn như trái phiếu, cổ phiếu của các doanh nghiệp, trái phiếu chính phủ…-
Đó là những loại giấy tờ có giá trị, gọi chung là các loại chứng khoán. Và từ
đó xuất hiện nhu cầu mua bán, chuyển nhượng giữa các chủ sở hữu của các loại chứng khoán khác nhau. Điều này làm xuất hiện một loại thị trường để tổng hòa các mối quan hệ cung cầu về vốn trong nền kinh tế là thị trường tài chính. Thị trường tài chính phát triển góp phần thúc đẩy mạnh mẽ sự phát triển kinh tế của một quốc gia.
Toán học tài chính (Financial mathematics) ra đời hơn 100 năm nay, nhưng đặc biệt phát triển trong thời gian gần đây và ngày càng tỏ ra hữu ích trong thực tiễn đời sống kinh tế của các quốc gia. Nó là một ngành ứng dụng toán học để nghiên cứu thị trường tài chính nhằm phân tích một cách khoa học những sự kiện tăng trưởng, rủi ro, lạm phát, khủng hoảng tài chính, bảo hiểm,
… vốn là những vấn đề tài chính có tính thời sự. Trong những năm gần đây ngành tài chính đã thực sự trở thành một ngành công nghiệp then chốt có tác
Trang 6Trang 2
dụng điều chỉnh và thúc đẩy mọi hoạt động của ngành kinh tế và đã trở thành nơi hội tụ của các ý tưởng xuất phát từ các lĩnh vực tri thức và ứng dụng thực
tế khác nhau. Hiện nay chúng ta đang chứng kiến một sự cộng tác chặt chẽ giữa các nhà toán học, các nhà kinh tế và các nhà tài chính trong việc ứng dụng các thành tựu toán học hiện đại vào việc nghiên cứu các mô hình kinh
tế, phân tích và thấu hiểu các quy luật chi phối các hoạt động kinh tế, từ đó có những hành động và quyết sách hợp với quy luật. Một số mô hình toán tài chính nổi tiếng như: “Mô hình về định giá các tài sản vốn” của W.Sharpe (1964), mô hình Markowitz, mô hình Black – Scholes, mô hình khuếch tán… Tại Việt Nam,nền công nghiệp tài chính đã có nhiều thành tựu và việc ra đời của thị trường chứng khoán đòi hỏi các nhà quản lý phải có những hiểu biết sâu sắc về các hoạt động cũng như các quy luật chi phối thị trường đó.Toán học tài chính sẽ là công cụ không thể thiếu để các chuyên gia kinh tế
và tài chính điều hành hữu hiệu mọi hoạt động của thị trường này.
Trước đây, các nhà toán học nghiên cứu các mô hình theo kiểu ghép giá và chi phí giao dịch vào làm một. Tức là chi phí giao dịch đã bị tính lẫn vào giá. Tuy nhiên chi phí giao dịch có tính cố định và đã biết còn giá có tính ngẫu nhiên nên điều này dẫn đến việc ghép những thông tin đã biết vào cái chưa biết làm thông tin bị đánh mất. Bây giờ chi phí giao dịch được biết trước nên cần tách riêng chúng ra. Luận văn này làm về một mô hình có tính đến chi phí giao dịch như vậy. Đây là một mô hình giúp ta đưa ra kết quả sâu sắc và xác thực cho bài toán tài chính có tính đến chi phí giao dịch.
Với việc nghiên cứu như vậy cấu trúc luận văn như sau:
Chương I : Kiến thức cơ sở về toán tài chính
Chương này nhằm trình bày những khái niệm cơ bản về thị trường tài chính, các bộ phận tạo nên thị trường tài chính và lý thuyết hiện đại về toán học ngày nay được áp dụng trong thị trường tài chính. Ngoài ra còn giới thiệu một số
Trang 7Trang 3
mô hình và bài toán cơ bản trong tài chính cũng như những kiến thức cơ sở về xác suất được dùng trong toán tài chính như: quá trình Wiener, Mactingal và tích phân Itô.
Chương II : Đầu tư tối ưu trong trường hợp có chi phí giao dịch Chương này dành cho việc xây dựng một mô hình toán tài chính để giải quyết bài toán đầu tư và tiêu thụ tối ưu với thời gian liên tục cho một nhà đầu
tư phải chịu cả hai loại chi phí giao dịch là: chi phí giao dịch cố định (Constant Absolute Risk Aversion(CARA)) và chi phí giao dịch tỉ lệ (Constant Relative Risk Aversion(CRRA)) trong việc giao dịch (n+1) tài sản bao gồm một tài sản không rủi ro (gọi là trái phiếu(Bond)) và n tài sản rủi ro (gọi là cổ phiếu(Stoke))(n 1). Với mục đích so sánh, trước tiên chúng ta sẽ trình bày một số kết quả về chính sách đầu tư tối ưu trong trường hợp không
có chi phi giao dịch. Tiếp đến ta xét trường hợp chỉ có một loại chi phí giao dịch là chi phí giao dịch tỉ lệ hoặc chi phí giao dịch cố định. Sau cùng chúng
ta trình bày các kết quả về chính sách đầu tư tối ưu trong trường hợp có cả chi phí giao dịch cố định và chi phí tỉ lệ để từ đó đưa ra những phân tích tổng quan nhất cho các chính sách tối ưu trong đầu tư.
Trong nghiên cứu này, kết quả đầu tiên mà chúng ta tìm ra được là chính sách giao dịch tối ưu trong trường hợp nhiều loại tài sản rủi ro phải chịu các chi phí giao dịch cố định và lợi suất của các tài sản rủi ro không tương quan (lợi suất tài sản không tương quan nên chúng ta có thể tách những tính toán
về các loại tài sản rủi ro thành phép tính cho mỗi loại tài sản riêng biệt). Khi
đó chính sách đầu tư tối ưu với mỗi tài sản rủi ro đó là nhà đầu tư giữ lượng vốn đầu tư vào tài sản giữa hai mức cố định đó là hai hằng số mà ta có thể tính toán bằng một công thức rõ ràng. Khi lượng vốn này đạt đến một trong hai ngưỡng nhà đầu tư sẽ giao dịch để đạt mục tiêu tối ưu.
Trang 8Trang 4
Đóng góp thứ hai của nghiên cứu này đó là chúng ta sẽ tiến hành phân tích tổng quan chiến lược kinh doanh tối ưu. Chúng ta cung cấp được một cách thức đơn giản để tính toán các giới hạn của miền không giao dịch và giới hạn mục tiêu. Chúng ta sẽ phân tích những ảnh hưởng của sự ác cảm rủi ro, phí rủi ro và tính dễ biến động trên miền không giao dịch, lượng tiền mục tiêu và tần số giao dịch. Chúng ta cũng rút ra được dạng đóng của sự phân bổ ổn định của lượng tiền đầu tư vào tài sản rủi ro đồng thời ta cũng kiểm tra được lượng tiền trung bình ổn định đầu tư vào tài sản.
Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của NCVCC.TS Nguyễn Hồng Hải. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành
và sâu sắc tới người thầy của mình!
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã giảng dạy và giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu tại khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên-Đại học Quốc Gia Hà Nội!
Xin cảm ơn gia đình và bạn bè những người đã động viên và giúp đỡ em trong suốt thời gian qua!
Do thời gian nghiên cứu và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, kính mong các thầy cô giáo và các bạn chỉ dẫn và góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội,năm 2014 Tác giả Nguyễn Văn Tráng
Trang 9Trang 5
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG TOÁN
TÀI CHÍNH
1.1 Một số khái niệm cơ bản về thị trường tài chính
Trong phần này chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản về thị trường tài chính cũng như các kiến thức xác suất cơ sở cần thiết cho việc thiết lập mô hình toán tài chính chúng ta sẽ xây dựng và nghiên cứu trong luận văn này
1.1.1.Cấu trúc của thị trường tài chính
Thị trường tài chính là thị trường mà ở đó diễn ra các hoạt động mua bán, trao đổi, chuyển nhượng quyền sử dụng các tài sản tài chính thông qua những phương thức giao dịch và công cụ tài chính nhất định.
Cấu trúc cơ bản của thị trường tài chính bao gồm các bộ phận sau đây:
1) Các cá nhân: những cá nhân hoạt động riêng lẻ, các bà nội trợ…
2) Các hãng: các hãng kinh doanh, các công ty, các liên doanh…
3) Thị trường các chứng từ có giá trị: thị trường vốn, thị trường tiền tệ… 4) Các cấu trúc trung gian: các nhà băng, các ngân hàng công thương,
ngân hàng đầu tư, các công ty bảo hiểm…
Bốn bộ phận đó liên kết chặt chẽ với nhau trong đó thị trường các chứng từ
có giá trị đóng vai trò then chốt. Ta hãy làm rõ hơn hoạt động của các bộ phận nói trên:
1) Các cá nhân: trong hoạt động tài chính của họ có một vấn đề trung tâm
đó là các vấn đề về tích lũy vốn và tiêu dùng. Gắn liền với vấn đề này có bài toán tối ưu về tiêu dùng và tích lũy (bài toán về phân bổ đầu tư). Dựa trên nguyên lý của Von Neumann – Morgenstern về sự hoạt động hợp lý của các
Trang 10Trang 6
cá nhân trong các điều kiện bất định người ta đã tìm cách tốt nhất để xác định việc phân bổ vốn, xác định quan hệ giữa tích lũy và tiêu dùng sao cho hàm lợi ích đạt cực đại.
2) Các hãng : đó là một tổ chức có đất đai, nhà máy, công xưởng và các
loại tài sản có giá trị khác như chợ, các phát minh… Hoạt động của các hãng
là tổ chức, điều hành các hoạt động sản xuất, kinh doanh để đạt lợi nhuận cao nhất.
3) Các cấu trúc trung gian ( cấu trúc về các phương diện tài chính): đó là
các ngân hàng công thương, ngân hàng tín dụng, các hãng bảo hiểm…
4) Thị trường các chứng từ có giá trị: đó là tập hợp các thị trường có tổ
chức để mua bán, trao đổi những chứng từ (các hợp đồng) đã được tiêu chuẩn hóa như: trái phiếu (bonds), cổ phiếu (stocks), quyền lựa chọn (options), các hợp đồng trong tương lai (futures) … Như sau này ta sẽ thấy thị trường trái phiếu và thị trường các quyền lựa chọn là hai thị trường quan trọng nhất. Dựa trên các thị trường này các hãng có thể tăng vốn của họ để phát triển sản xuất kinh doanh, các cá nhân có cơ hội và phương tiện để hoạt động tài chính.
Ngoài các chức năng hoạt động của nó, thị trường các chứng từ có giá trị đóng một vai trò quan trọng trong việc cung cấp các thông tin về giá cổ phiếu, lãi suất, các chỉ số tài chính… có thể sử dụng được trong các lĩnh vực kinh tế, các cá nhân có thể sử dụng các thông tin đó để thực thi các quyết định về các
dự án đầu tư về phương diện tài chính.
Người ta quan tâm đến các hoạt động trong thị trường các chứng từ có giá trị. Vì vậy ta cũng nên tìm hiểu về các loại chứng từ đó.
a) Trái phiếu: đó là một loại hợp đồng dài hạn được phát hành bởi chính
phủ, các ngân hàng, các công ty tín dụng và các thể chế tài chính khác với mục tiêu là tích lũy vốn.
Trang 11Trang 89
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Văn Hữu, Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp toán học trong tài chính, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.
[2] Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn toán học tài chính, Nhà xuất bản
Khoa học và Kĩ thuật.
[3] Nguyễn Duy Tiến (2000), Các mô hình xác suất và ứng dụng,Phần 3:Giảitích ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[4] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2006), Lý Thuyết Xác Suất, Nhà xuất
bản giáo dục.
Tiếng Anh
[5] Admati, Anat R.,and Paul C. Pfleiderer (1988), “A theory ofintraday
patterns: Volume and price variability”, Review of Financial
Studies 1, 3–40.
[6] Barberis, Nicholas (2000), “ Investing for the long run when
returns are predictable”, Journal of Finance 55, 225–264.
[7] Brekke, Kjell A., and Bernt Øksendal (1998), “A verification
theorem for combined stochastic control and impulse control, in J.Gjerde, L.Decreusefond, B.Øksendal, and A. S. U¨ stunel, eds”. [8] Dumas, Bernard (1991), “Super contact and related optimality
conditions”,Journal of Economic Dynamics and Control 4,675-685.
[9] Grossman, Sanford J., and Guy Laroque (1990), “Asset pricing and optimal portfolio choice in the presence of illiquid durable
consumption goods”, Econometrica 58, 23–51.
[10] Hong Liu, and Mark Loewenstein (2002), “Optimal portfolio
selection with transaction costs and finite horizons”, Review of Financial Studies 15, 805–835.
[11] Hong Liu (2004), “Optimal Consumption and Investment with
Transaction Costs and Multiple Risky Assets”, The journal of
finance, Vol Lix, No 1, 289-338.
[12] Ibbotson, Roger G., and Rex A. Sinquefeld (1982), “Stocks,
Bonds, Bills and Inflation: The Past and the Future”,Financial Research Analyst’s Foundation, Charlottesville