Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC.[r]
Trang 1Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Môn: Toán – lớp 9
Thời gian: 150 phút
Câu 1: (4điểm) Giải các phơng trình sau:
a 2 4 4
x
x + x2 25 10x
b x 2 x 1 + x 2 x 1 = 2
Câu 2: (3điểm)
a Cho hàm số: y = (m-2)x + 2
Vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
b Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến? nghịch biến? Đồ thị của hàm số song song với trục hoành
c Chứng minh rằng: Đờng thẳng y = (m-2)x + 2 luôn luôn đi qua 1 điểm cố
định với mọi giá trị của m
Câu 3: (6điểm)
a Tìm giá trị lớn nhất của A = x + 2 x
b Cho: x 1 y2 + y 1 x 2 = 1
Chứng minh rằng: x2 + y2 = 1
c Chứng minh rằng với 3 số a, b, c dơng thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 ta luôn có :
8 ) 1 1 )(
1 1 )(
1 1 (
c b
a
Câu 4: (5điểm)
Cho tam giác đều ABC Gọi M là trung điểm của BC Lấy P trên cạnh AB và Q trên cạnh AC sao cho PMQ = 600
a Chứng minh rằng: MBP QCM Từ đó suy ra PB CQ có giá trị không
đổi
b Kẻ MH PQ Chứng minh rằng MBP QMP và QCM QMP
c Chứng minh rằng: Độ dài MH không đổi khi PQ chạy trên AB, AC nhng góc PMQ = 600
Câu 5: (2điểm)
Hình chóp SABC có mặt đáy và các mặt bên là những tam giác đều cạnh 10cm
Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp
Đáp án và biểu chấm:
Câu 1: (4điểm)
a Biến đổi đa phơng trình về dạng:
2
Giải phơng trình trong 3 trờng hợp (0,75điểm).
(Mỗi trờng hợp cho 0,25điểm)
Kết luận đợc nghiệm (0,5điểm).
Trang 2b Điều kiện: x 1 (0,5điểm).
Bình phơng hai vế biến đổi về dạng:
x
Kết hợp đợc điều kiện: 1 x 2 (0,5điểm).
Câu 2: (3điểm)
a Xác định đợc giao với hai trục toạ độ (0,5điểm).
b m > 2 (đồng biến), m < 2 (nghịch biến), m = 2 (1điểm).
c Giả sử đờng thẳng đi qua điểm M cố định M(x0; y0) với mọi m là:
y0 = (m – 2)x + 2 với mọi m (0,5điểm).
Câu 4: (5điểm)
a Vẽ hình cân đối, ghi giả thiết, kết luận (0,5điểm).
MBP QCM BM.CQ = BM.CM
(0,5điểm).
MB = MC =
2
BC
4
2
BC
(0,25điểm).
(0,5điểm).
c Từ câu b BPM = QPM
Câu 3: (6điểm)
a Đặt 2 x = y (y 0) y2 = 2 – x (0,5điểm)
A = 2 – y2 + y = -(y -
2
1 )2 + 4
9
4 9
(1điểm)
Trang 3Max A =
4
9 tại y =
2
1 x =
4
7
(0,5điểm)
b Từ giả thiết x 1 y2 = 1 - y 1 x 2 (0,5điểm)
Bình phơng 2 vế biến đổi về dạng:
y = 1 x 2 x2 + y2 = 1 (0,25điểm)
a + c = 1 – b
Biến đổi: (1 1 )(1 1 )(1 1 )
c b
c
b c
a b
c b
a a
c a
b
(1điểm)
áp dụng bất đẳng thức Cối cho 2 số dơng ta có:
c
b c
a b
c b
a a
c
a
b
8 22 22 22
c b a
c b
Điều phải chứng minh (0,5điểm).
Câu 5: (2điểm)
Gọi H là trung điểm cạnh AB
Stoàn phần = 20 75 cm2 (0,25điểm).
Gọi SO là đờng cao hình chóp
SO =
3
3
200 75 5 3 1
(0,25điểm).