Chuyen de hinh hoc phang phuong trinh duong thang

 Tâm

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

𝑦𝑀 = 𝑦𝐴 +𝑘𝑦 𝐵

1+𝑘

2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG:

a Vectơ chỉ phương: Vectơ 𝑎 ≠ 0 là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ khi và chỉ khi giá của vectơ

𝑎 song song hoặc trùng ∆

b Phương trình tham số của đường thẳng:

Đường thẳng ∆ đi qua điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦0 có VTCP 𝒂 = 𝒂𝟏; 𝒂𝟐 có phương trình tham số dạng:

c Vectơ pháp tuyến: Vectơ 𝑛 ≠ 0 là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ khi và chỉ khi giá của vectơ 𝑛

vuông góc ∆

d Phương trình tổng quát của đường thẳng:

Đường thẳng ∆ đi qua điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦0 có VTPT 𝒏 = 𝑨; 𝑩 có phương trình tổng quát dạng:

𝑨 𝒙 − 𝒙𝒐 + 𝑩 𝒚 − 𝒚𝒐 = 𝟎, 𝑨𝟐+ 𝑩𝟐 ≠ 𝟎

e Các trường hợp đặc biê ̣t:

Cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (1)

 Nếu 𝐴 = 0, phương trình (1) trở thành: 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 → 𝑦 = −𝐶𝐵 𝐵 ≠ 0 , khi đó ∆ //𝑂𝑥 và cắt 𝑂𝑦 tại điểm 0; −𝐶

𝐵 (hình 1)

 Nếu 𝐵 = 0, phương trình (1) trở thành: 𝐴𝑥 + 𝐶 = 0 → 𝑥 = −𝐶𝐴 𝐴 ≠ 0 , khi đó ∆ //𝑂𝑦 và cắt 𝑂𝑥 tại điểm −𝐶

𝐴; 0 (hình 2)

 Nếu 𝐶 = 0, phương trình (1) trở thành: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 0, khi đó ∆ đi qua gốc to ̣a đô ̣ 𝑂(0; 0) (hình 3)

 Nếu 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0, ta có thể đưa (1) về da ̣ng: 𝑥𝑎+𝑦

𝑏 = 1 2 Với 𝑎 = −𝐶𝐴, 𝑏 = −𝐶

𝐵 Phương trình (2) được go ̣i là phương trình đường thăng theo đoa ̣n chắn , đường thẳng này cắt 𝑂𝑥 và 𝑂𝑦 lần lượt ta ̣i 𝑀 𝑎; 0 và 𝑁 0; 𝑏 (hình 4)

f Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến:

Nếu vectơ 𝑛 = 𝐴; 𝐵 là VTPT của ∆ thì VTCP của ∆ là 𝑢 = 𝐵; −𝐴 hoặc 𝑢 = −𝐵; 𝐴

g Hệ số góc của đường thẳng, phương trình đường thẳng chứa hệ số góc:

 Hệ số góc của đường thẳng: nếu ∆ có VTCP 𝑢 = 𝑢1; 𝑢2 thì hệ số góc 𝑘 là: 𝒌 = 𝒖𝟐

𝒖𝟏

 ∆ đi qua điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦0 có hệ số góc 𝐾 có phương trình dạng: 𝒚 − 𝒚𝒐 = 𝑲 𝒙 − 𝒙𝒐

3 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG:

a Hai đường thẳng được cho ở dạng phương trình tổng quát:

Ta thay 𝑥, 𝑦 trong 1 vào 2 , để được một phương trình bậc nhất đối với 𝑡, dạng: 𝑓(𝑡) = 0

 Nếu 𝑓(𝑡) = 0 có 1 nghiệm → ∆1 cắt ∆2 và từ 𝑡𝑜 ta tìm giao điểm

 Nếu 𝑓(𝑡) = 0 vô nghiệm → ∆1 song song ∆2

 Nếu 𝑓(𝑡) = 0 vô số nghiệm → ∆1 trùng ∆2

4 KHOẢNG CÁCH: từ 𝑀𝑜(𝑥𝑜; 𝑦𝑜) đến đường thẳng (∆): 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, tính theo công thức:

𝑑 𝑀𝑜; ∆ = 𝐴𝑥𝑜 + 𝐵𝑦𝑜+ 𝐶

𝐴2+ 𝐵2

5 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG:

Cho ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0 và ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0, với 𝑛 = 𝐴1 1; 𝐵1 , 𝑛 = 𝐴2 2; 𝐵2 lần lượt là VTPT của ∆1 , ∆2 thì: cos ∆1; ∆2 = n n 1 2

n n 1 2 = 𝐴1 𝐴 2 +𝐵 1 𝐵 2

𝐴1+𝐵1 𝐴2+𝐵2

6 CHÙM ĐƯỜNG THẢNG:

Chùm đường thẳng tạo bởi ∆1 : 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0, ∆2 : 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0 có phương trình dạng:

m 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 + n 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0

 Nếu ∆1 ∩ ∆2 = I → mọi đường thẳng qua 𝐼 đều thuộc chùm

 Nếu ∆1 // ∆2 → mọi chùm đường thẳng // ∆1 // ∆2 đều thuộc chùm

II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:

1 Vấn đề 1: chuyển đổi qua lại giữa các da ̣ng phương trình

a Chuyển từ phương trình tham số sang phương trình tổng quát

 Hòa đồng mẫu số, chuyển vế, rút gọn ta được 2

b Chuyển từ phương trình tổng quát sang phương trình tham số

Là phương trình tổng quát cần tìm

2 Chuyển phương trình 4𝑥 − 3𝑦 + 7 = 0 (∗) thành phương trình tham số

2 Vấn đề 2: Viết PTĐT đi qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 , có VTCP 𝑢 = (u1; u2) hoặc VTPT 𝑛 = (A; B) hoă ̣c hê ̣ số góc 𝐾

a Phương pha ́ p giải:

 Nếu đề cho đi qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 và có VTCP 𝑢 = (u1; u2), ta dùng: 𝑥 = 𝑥𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑡𝑢1

𝑜+ 𝑡𝑢2 ; 𝑡 ∈ 𝑅

 Nếu đề cho đi qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 và có VTPT 𝑛 = (A; B), ta dùng:𝐴 𝑥 − 𝑥𝑜 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑜 = 0

 Nếu đề cho đi qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 và có hệ số góc K, ta dùng: 𝑦 − 𝑦𝑜 = 𝐾 𝑥 − 𝑥𝑜

b Ví dụ:

1 Viết phương trình đường thẳng (𝑑) đi qua điểm 𝑀 2; 1 , có vectơ chỉ phương 𝑢 = (3; −2)

Giải: đường thẳng (𝑑) đi qua 𝑀 2; 1 , có VTCP 𝑢 = 3; −2 , có dạng: 𝑥 = 2 + 3𝑡 𝑦 = 1 − 2t ; 𝑡 ∈ 𝑅

2 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm 𝑀 −2; −1 , có vectơ pháp tuyến 𝑛 = (5; 2)

Giải: đường thẳng (𝑑) đi qua 𝑀 −2; −1 , có VTPT 𝑛 = 5; 2 , có dạng:

5 𝑥 + 2 + 2 𝑦 + 1 = 0 ↔ 5x + 2y + 12 = 0

3 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm 𝑀 2; 5 , có hệ số góc K = 2

Giải: đường thẳng (𝑑) đi qua 𝑀 2; 5 , có hệ số góc K = 2, có dạng:

𝑦 − 5 = 2 𝑥 − 2 ↔ 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0

c Bài tập:

1 Viết phương trình đường thẳng (d), thỏa mãn điều kiện s au:

a Đi qua điểm 𝐴 −1; 2 , có vectơ chỉ phương 𝑢 = (−3; −2)

b Đi qua điểm 𝐵 −1; −3 , có vectơ chỉ phương 𝑎 = (−2;2

2 Viết phương trình đường thẳng (d), thỏa mãn điều kiê ̣n sau:

a Đi qua điểm 𝑀 −1; 2 , có vectơ pháp tuyến 𝑛 = (−3

4; 2)

b Đi qua điểm 𝑁 2; −3 , có vectơ pháp tuyến 𝑛 = (2; −2

5)

c Đi qua điểm 𝑃 2

7; −3 , có vectơ pháp tuyến 𝑛 = (−2; −4

3)

3 Viết phương trình đường thẳng (d), thỏa mãn điều kiê ̣n sau:

a Đi qua điểm 𝐾 −1; 1 , có hê ̣ số góc 𝑘 = −12

b Đi qua điểm 𝑀 −3; 2 , có hê ̣ số góc 𝑘 =72

c Đi qua điểm 𝑀 −1; 3 , có hê ̣ số góc 𝑘 = 15

3 Vấn đề 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐴 ; 𝐵 𝑥𝐵; 𝑦𝐵

a Phương pháp giải:

 Tính vectơ 𝐴𝐵 = 𝑥𝐵− 𝑥𝐴; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 = (a; b)

 ∆ đi qua 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐵 có VTCP 𝐴𝐵 = 𝑎; 𝑏 có dạng: 𝑥 = 𝑥𝐴+ 𝑡a

𝑦 = 𝑦𝐴+ 𝑡b ; 𝑡 ∈ 𝑅

b Chú ý: Trong thực tế, chúng ta thường gặp dạng toán này ở bài toán viết phương trình đường trung tuyến, đường trung bình của tam giác

 Đường trung tuyến là đường thẳng đi qua một đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện, nên để viết

được phương trình đường thẳng của dạng này Ta phải đi tìm trung điểm 𝑀 của cạnh 𝐵𝐶 trước, sau

đó áp dụng phương pháp trên

 Đường trung bình của tam giác là đường thẳng đi qua hai trung điểm của hai cạnh, và song song với

cạnh còn lại Nên trước hết , ta sẽ tìm hai trung điểm , sau đó áp d ụng phương pháp trên (hoặc tìm một trung điểm và một vectơ mà nó song song, rồi áp dụng phương pháp giải ở vấn đề 2)

c Ví dụ:

1 viết phương tri ̀nh đường thẳng đi qua hai điểm 𝑀 2; 5 𝑣𝑎 𝑁 1; 4

Giải:

– Ta có 𝑀𝑁 = (−1; −1)

– Đường thẳng 𝑀𝑁 đi qua điểm 𝑁 1; 4 và có VTCP 𝑀𝑁 = −1; −1 , nên có da ̣ng: 𝑥 = 1 − 𝑡𝑦 = 4 − 𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅

2 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, với 𝐴 1; −2 , 𝐵 5; −6 , 𝐶 3; 2

a Viết phương trình đường trung tuyến 𝐴𝑀 của tam giác 𝐴𝐵𝐶

b Viết phương trình đường trung bình 𝑁𝐾 của tam giác 𝐴𝐵𝐶

– Trung tuyến 𝐴𝑀, đi qua điểm 𝐴 1; −2 có VTCP 𝐴𝑀 = 3; 0 có dạng: 𝑥 = 1 + 3𝑡𝑦 = −2 ; 𝑡 ∈ 𝑅

b – Trung điểm 𝑁 𝑥𝑁; 𝑦𝑁 của cạnh 𝐴𝐵 là nghiệm của hệ : 𝑥𝑁 =

– Đường trung bình 𝑁𝐾, đi qua điểm 𝐾 2; 0 có VTCP 𝑁𝐾 = −1; 4 có dạng: 𝑥 = 2 − 𝑡 𝑦 = 0 + 4t ; 𝑡 ∈ 𝑅

d Bài tập:

1 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 với 𝐴(1; 2), 𝐵(3; 5), 𝐶(2; 4)

a Viết phương trình 3 cạnh của tam giác 𝐴𝐵𝐶

b Viết phương trình 3 đường trung tuyến của tam giác 𝐴𝐵𝐶

c Viết phương trình 3 đường trung bình của tam giác 𝐴𝐵𝐶

2 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 với 𝐴(2; 1) và hai đường cao 𝐵𝐵’ ∶ 3𝑥 + 𝑦 – 2 = 0 và 𝐶𝐶’: 4𝑥 + 𝑦 + 2 = 0 Hãy viết phương tình đường cao 𝐴𝐴’

4 Vấn đề 4: Viết phương trình (∆) đi qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 và vuông góc (hoặc song song) với (𝑑) cho trước

a Phương trình (d) cho ở dạng tổng quát: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

 (∆) đi qua 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 và vuông góc (𝑑), nên nhận 𝑛 = 𝑎; 𝑏 làm VTCP, hay 𝑛𝑑 = 𝑢𝑑 = 𝑎; 𝑏 , ∆

- Do ∆ song song với (𝑑), nên nhâ ̣n VTPT của (𝑑) làm VTPT cho mình → 𝑛 = 𝑛∆ = (3; −2) 𝑑

- ∆ đi qua điểm 𝑀 2; 1 và có VTPT 𝑛 = (3; −2) có dạng: ∆

3 𝑥 − 2 − 2 𝑦 − 1 = 0 ↔ 3𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0

∆

𝑑

𝑛𝑑

d

∆

𝑛𝑑

∆

𝑑

𝑢𝑑

d

∆

𝑢𝑑

2 Viết phương trình (∆) đi qua 𝑀 3; −2 và vuông góc (d): 𝑦 = −1 − 3𝑡𝑥 = −2 + 𝑡; 𝑡 ∈ 𝑅

1 Viết phương trình đường thẳng (∆) thoả mãn các điều kiện sau :

a Đi qua 𝐴 2; −5 và vuông góc đường thẳng (d): 𝑦 = −3 − 3𝑡𝑥 = −2 + 4𝑡; 𝑡 ∈ 𝑅

b Đi qua 𝐵 0; −2 và song song đường thẳng (d): 𝑥 = −2 + 2𝑡𝑦 = 1 − 5𝑡 ; 𝑡 ∈ 𝑅

2 Viết phương trình đường thẳng (∆) thoả mãn các điều kiện sau :

a Đi qua 𝑀 3; −1 và vuông góc đường thẳng (d): 3𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0

b Đi qua 𝑁 0; −5 và song song đường thẳng (d): 𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0

3 Viết phương trình đường thẳng (∆) thoả mãn các điều kiện s au:

a Đi qua 𝐴 3; −2 và vuông góc với tru ̣c Ox

b Đi qua 𝑀 −2; −1 và song song đường thẳng AB, với 𝐴 1, ; 3 , 𝐵 2; 5

4 Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua giao điểm của hai đường thẳng ∆1 : 3𝑥 − 𝑦 = 0, ∆2 : 𝑥 + 4𝑦 − 2 = 0 và vuông góc với đường thẳng ∆ : 2𝑥 − 𝑦 + 4 = 0

5 Vấn đề 5: Các bài toán liên quan đến quan hệ song song và vuông góc

1 Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC

a Nhắc lại: đường cao 𝐴𝐻 của tam giác 𝐴𝐵𝐶 là đường thẳng đi qua đỉnh 𝐴 và vuông góc với cạnh 𝐵𝐶,

d Bài tập:

1 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho 𝐴 1; 2 , 𝐵 3; −5 , 𝐶 2; −2 Hãy lập phương trình 3 đường cao 𝐴𝐻,

𝐵𝐾, 𝐶𝑃

2 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, Cho 𝐴 1; 2 và phương trình hai đường cao xuất phát từ đỉnh 𝐵 và 𝐶 là:

𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0 va 2𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0 Hãy lập phương trình đườ ng cao 𝐴𝐻

3 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho ca ̣nh 𝐴𝐵: 5𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0, đường cao qua đỉnh 𝐴 và 𝐵 lần lượt có phương trình là : 4𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 va 7𝑥 + 2𝑦 − 22 = 0 Hãy lập phương trình đường cao còn

lại của tam giác 𝐴𝐵𝐶

2 Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB, với 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐴 𝑣à 𝐵 𝑥𝐵; 𝑦𝐵

a Nhắc lại: đường trung trực của một đoạn thẳng, là đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh đó và

2 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 với trung tuyến 𝐴𝑀: 2𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0 và cạnh 𝐵𝐶:

𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 Lập phương trình đường trung trực của ca ̣nh 𝐵𝐶

3 Viết phương trình ba đường trung trực của tam giác 𝐴𝐵𝐶, khi biết trung điểm của ba ca ̣nh là :

 Tìm giao điểm 𝐻 của đường thẳng (𝑑) và đường thẳng ∆

 Giao điểm 𝐻 chính là hình chiếu của điểm 𝑀 lên đường thẳng ∆

b Ví dụ: Tìm hình chiếu của điểm 𝐴 4; 1 lên đường thẳng ∆ có phương trình: 𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0 Giải:

14 5

1 Tìm hình chiếu của điểm 𝑀 2; 1 lên đường thẳng ∆ có phương trình: 3𝑥 + 2𝑦 − 9 = 0

2 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho điểm 𝐴 2; 3 và cạnh 𝐵𝐶: 𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0 Hãy tìm chân đường cao

𝐴𝐻 của tam giác 𝐴𝐵𝐶

3 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho 𝐴 2; 5 , 𝐵 −1,3 , 𝐶(3, −4) Hãy tìm chân đường cao 𝐵𝐾 của tam

giác 𝐴𝐵𝐶

4 Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆

a Phương pháp:

 Lập phương trình (𝑑) đi qua điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 và vuông góc với ∆

 Tìm giao điểm 𝐼 của đường thẳng (𝑑) và ∆

 Để 𝑀’ đối xứng với 𝑀 qua ∆ thì 𝐼 là trung điểm của đoạn 𝑀𝑀’

 Áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm để tìm tọa độ điểm 𝑀’

b Ví dụ: Tìm điểm B đối xứng với 𝐴 4; 1 qua ∆ có phương trình: 𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0

– Để 𝐵 đối xứng với 𝐴 4; 1 qua ∆ có phương trình: 𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0, thì 𝐼 là trung điểm của đoạn

1 Tìm điểm 𝐴’ đối xứng với điểm 𝐴 3; −2 qua đường thẳng ∆ có phương trình: 2𝑥 − 3𝑦 + 4 = 0

2 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 với phương trình ba ca ̣nh là : 𝐴𝐵: 𝑥 − 2𝑦 + 3 =

0, 𝐴𝐶: 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0, 𝐵𝐶: 𝑥 − 𝑦 − 5 = 0.Tìm các điểm đối xứng với ba đỉnh của tam giác , qua các cạnh đối của nó

3 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 với 𝐴 3; −2 và phương trình hai đường phân giác trong của góc 𝐵, 𝐶 lần lượt là 𝑑1 : 𝑥 − 3𝑦 + 3 = 0 và 𝑑2 : 2𝑥 − 3𝑦 − 5 = 0 Hãy lập p hương trình ba cạnh của tam giác 𝐴𝐵𝐶

5 Viết phương trình đường thẳng ∆ , đối xứng với đường thẳng (d) qua điểm M 𝑥; 𝑦

a Phương pháp:

 Chọn một điểm bất kỳ 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 ∈ (𝑑)

 Tìm 𝑀’ đối xứng với với điểm 𝑀𝑜 qua 𝑀

(𝑀 là trung điểm của đoạn 𝑀𝑜𝑀’)

 Viết phương trình đường thẳng ∆ , đối xứng với đường thẳng (𝑑) qua điểm 𝑀 𝑥; 𝑦 chính là đường thẳng đi qua điểm 𝑀’ và song song (𝑑)

b Ví dụ: Lâ ̣p phương trình ∆ , đối xứng với đường thẳng 𝑑 : 𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 qua điểm 𝐴 1; 2

- ∆ đối xứng với 𝑑 : 𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 qua điểm 𝐴 1; 2 chính là đường thẳng đi qua điểm 𝐵 3; 4

và song song với (𝑑), sẽ nhận VTPT 𝑛 = 1; −3 của (𝑑) làm VTPT cho ∆ Nên có da ̣ng: 𝑑

1 𝑥 − 3 − 3 𝑦 − 4 = 0 ↔ 𝑥 − 3𝑦 + 9 = 0

c Bài tập:

1 Lập phương trình ∆ , đối xứng với đường thẳng 𝑑 : 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 qua điểm 𝐴 3; −2

2 Cho hình chữ nhâ ̣t 𝐴𝐵𝐶𝐷, với phương trình hai ca ̣nh là : 𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0 và 3𝑥 + 𝑦 + 7 = 0 Lâ ̣p phương trình hai ca ̣nh còn la ̣i của hình chữ nhâ ̣t , biết tâm của hình chữ nhật là 𝑂 3; −2

6 Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, có 𝐴 −2; 4 , 𝐵 5; 5 , 𝐶(6; −2)

a Viết phương trình đường trung trực của ca ̣nh 𝐴𝐶, 𝐴𝐵

b Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoa ̣i tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶

Giải:

a * phương trình đường trung trực của ca ̣nh 𝐴𝐶:

– Trung điểm 𝑀 của đoạn AC: 𝑥𝑀=

𝑥 𝐴 +𝑥 𝐶

𝑦𝑀 =𝑦𝐴 +𝑦 𝐶

2 = 1 → 𝑀(2; 1) – vectơ 𝐴𝐶 = 8; −6

– Đường trung trực của 𝐴𝐶, đi qua 𝑀 2; 1 và nhận vec tơ 𝐴𝐶 = 8; −6 làm VTPT , có dạng :

8 𝑥 − 2 − 6 𝑦 − 1 = 0 ↔ 8𝑥 − 6𝑦 − 10 = 0

* phương trình đường trung trực của ca ̣nh 𝐴𝐵:

– Trung điểm 𝑁 của đoạn 𝐴𝐵: 𝑥𝑁 =

2 + 1 𝑦 −9

2 = 0 ↔ 7𝑥 + 𝑦 − 15 = 0

b * Tâm 𝐼(𝑥𝐼; 𝑦𝐼)đường tròn ngoa ̣i tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶, là giao điểm của hai đường trung trực 𝐴𝐶 và

𝐴𝐵 Nên là nghiê ̣m của hê ̣: 8𝑥7𝑥𝐼− 6𝑦𝐼+ 10 = 0

6 Vấn đề 6: Vị trí tương đối của hai đường thẳng

a phương pháp giải:

1 Hai đường thẳng được cho ở dạng phương trình tổng quát:

Ta thay 𝑥, 𝑦 trong 1 vào 2 , để được một phương trình bậc nhất đối với 𝑡, dạng: 𝑓(𝑡) = 0

 Nếu 𝑓(𝑡) = 0 có 1 nghiệm → ∆1 cắt ∆2 và từ 𝑡𝑜 ta giao điểm

 Nếu 𝑓(𝑡) = 0 vô nghiệm → ∆1 song song ∆2

 Nếu 𝑓(𝑡) = 0 vô số nghiệm → ∆1 trùng ∆2

b Ví dụ: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

7 Vấn đề 7: Khoảng cách và góc

a Phương pha ́ p giải:

 Khoảng cách: từ điểm 𝑀𝑜(𝑥𝑜; 𝑦𝑜) đến đường thẳng (∆): 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, tính theo công thức:

b Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳn g, thì ta phải xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đó trước , nếu cắt nhau hoă ̣c trùng nhau thì khoảng cách bằng 0, nếu song song thì ta chọn một điểm bất kỳ trên đường thẳng này và tính khoả ng cách đến đường thẳng kia

2 Tính góc hợp bởi hai đường thẳng : 𝑑1 : 3𝑥 + 4𝑦 − 6 = 0, 𝑑2 : 4𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0

Giải: ta có: 𝑛 = 3; 4 , 𝑛1 = 4; −3 ⇒ cos 𝑑2 1; 𝑑2 = n n 1 2

b 𝐴 2; 3 và (d) đi qua hai điểm : 𝑀 1; −3 , 𝑁(2; −5)

2 Cho hai đườ ng thẳng: ∆1 : 5𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0, ∆2 : 𝑦 =𝑥 = 6𝑡7

6+ 10𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑅

a Chứ ng minh rằng ∆1 // ∆2

b Tính khoảng cách giữa ∆1 và ∆2

3 Tìm góc giữa các cặp đường thẳng

5 Cho hai đườ ng thẳng ∆1 : 𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0, ∆2 : 3𝑥 − 𝑦 = 0

a Chứ ng tỏ ∆1 , ∆2 cắt nhau Tìm tọa độ giao điểm của ∆1 , ∆2

b Tính góc giữa ∆1 , ∆2

8 Vấn đề 8: Viết phương trình đường thẳng ∆ , đi qua điểm 𝑀𝑜 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 và có khoảng cách đến điểm

𝑀 𝑥𝑀; 𝑦𝑀 bằng một đoạn cho trước 𝑚

 Giải điều kiện trên, ta tìm được 𝐴 và 𝐵

 Thay 𝐴, 𝐵 vào phương trình (1), ta được đường thẳng ∆ cần tìm