Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2019-2020- Sở GD&ĐT Quảng Ninh

Cùng tham gia thử sức với Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2019-2020- Sở GD&ĐT Quảng Ninh để nâng cao tư duy, rèn luyện kĩ năng giải đề và củng cố kiến thức Toán học căn bản. Chúc các em vượt qua kì thi học sinh giỏi thật dễ dàng nhé!

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ BÀI Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y x





 có đồ thị  C Gọi M là điểm bất kì trên  C Tiếp tuyến

của  C tại M cắt hai đường tiệm cận của  C tại A và B Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận Tìm trên  C tất cả các điểm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

Câu 2 (3 điểm) Giải hệ phương trình:

3 2 6 4 3 2

6 4 3





x xy y y x xy

Câu 3 (4 điểm)

a) Cho a log 3;2 b log 5;3 c log 27 Tính log 441 theo , ,280 a b c

b) Có 2 nhà kho, nhà kho thứ nhất có 8 cái điều hòa tốt và 4 cái điều hòa hỏng Nhà kho thứ hai có 9 cái điều hòa tốt và 6 cái điều hòa hỏng ( Giả thiết các điều hòa ở hai nhà kho, mỗi cái đựng trong hộp kín, nhìn bề ngoài không phân biệt được) Hùng vào mỗi nhà kho lấy ra ngẫu nhiên 2 cái điều hòa Tính xác suất để 4 cái điều hòa Hùng lấy được có ít nhất 2 cái tốt

Câu 4 (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn và nội

tiếp đường tròn tâm I Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳngAC, H

là hình chiếu vuông góc của Ctrên đường thẳng BI Đương thẳng ACvà KH lần lượt

có phương trình x y  1 0 và x2y 1 0 Biết điểm B thuộc đường thẳng y 5 0, điểm I thuộc đường thẳng x 1 0 Tìm tọa độ điểm C

Câu 5 (4 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O Biết SO

vuông góc với mặt phẳng(ABCD),SB3a và BAD120 Gọi M và N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh BC và SA sao cho 2 , 1

BM  BC SN  SA a) Tính thể tích hình chóp S MND theo a

b) Gọi  là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD) Tính cos

Câu 6 (2 điểm) Cho các số thực a b c, ,  1;4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

a b P

c ab bc ca





HẾT

-KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM 2019

Môn thi: TOÁN - Bảng A

Ngày thi: 03/09/2019

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1 Cho hàm số 2 1

1

x y x





 có đồ thị  C Gọi M là điểm bất kì trên  C Tiếp tuyến của  C

tại M cắt hai đường tiệm cận của  C tại A và B Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận Tìm trên  C tất cả các điểm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

Lời giải

TXĐ: D \ 1 

Ta có

 2

1 1

y x



 



Ta có:   ; 2 1  1

1

m

m





Tiếp tuyến của  C tại M có phương trình

 2 

:

1 1

m

m m



 C có đường tiệm cận đứng d x1: 1; đường tiệm cận ngang d y2: 2

Ta có I d 1 d2I 1;2

Ta có A   d1 Tọa độ A là nghiệm của hệ

 2 

1

m





Suy ra 1; 2

1

m A

m

Ta có B  d2  Tọa độ B là nghiệm của hệ

 2 

2

2 1

1

y

m

m m











Suy ra B m2 1;2

1

m

 

2

2

1

1

m

 Chu vi tam giác IAB là

 

 

2

2

IAB



Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương 1 ; 1

1

m

m



 ta có

1

1

m

m

 (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương  

 

2

2

1

1 ;

1

m

m



 ta có

 

Từ (1), (2) suy ra  

2

2

Suy ra CIAB 2 2  2

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi 1 0

1

2 1

m m

m m





     

 (thỏa mãn) + Với m 0 M 0;1

+ Với m 2 M 2; 3 .

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài: M1 0;1 ; M2 2;3

Câu 2 Giải hệ phương trình:

3 2 6 4 3 2

6 4 3





x xy y y x xy

Lời giải Cách 1:

 

 

3 2 6 4 3 2

6 4 3

x xy y y x xy





Điều kiện: 3 2

6 4

9

y

y

x xy

x

y y

 





Với điều kiện trên,  1 e x xy3  2lnx3xy2e y y6  4 lny6y4 Xét hàm số y g t   e t lnt trên 0;

 

1 0, 0;

t

t

      

 

y g t

  đồng biến, liên tục trên 0;

Do đó  1 x xy3 2  y6y4

3

3

   

    

Xét hàm số y h t   t t3 trên

2

3 1 0,

y  t    t

 

y h t

  đồng biến, liên tục trên

Do đó  1 x y

y

   x y2 Thế vào phương trình  2 ta được: 9y 2 3 7y22y 5 2y3 Đặt a 9y2a0

Phương trình trở thành:

2

a           

3 2

2 2 2 2 2 5 2 2 2 3

         

63a 414a 3069 2a 9a 31

a 4a 5 8  a4 36a3 311a2 558 1643a  0

4

5

a

a



 



 





Với a4 thì y  2 x 4 (thỏa điều kiện)

Với a5 thì y  3 x 9 (thỏa điều kiện)

Vậy hệ phương trình có nghiệm:    4;2 , 9;3

Cách 2:

Điều kiện: 3 2

6 4

2

2 9

9

y

y

y y

 



(*)

Khi đó phương trình

6 4



Xét hàm số y f t e ( ) t lnt trên (0;)

Ta có f t'( ) e t 1 0, t (0; )

t

     

Suy ra hàm số y f t e ( ) t lnt đồng biến trên (0;)

Do đó (1) x xy3 2 y6y4

(x y x xy)( y y ) 0 x y

        ( vì x xy2 2y4y2 0 với điều kiện (*)) Thay x y 2 vào phương trình còn lại của hệ ta được:

2 3

9y 2 7y 2y 5 2y3

2 3 (y 2) 9y 2 (y 1) 7y 2y 5 0

2

2

2

2

y



   



2 5 6 0

    ( Vì với điều kiện (*) thì vế trái (2) >0 nên (2) vô nghiệm)

2

3

y

y





  



Với y2 thì x4

Với y3 thì x9

Vậy hệ có 2 nghiệm ( ; ) (3;2),(9;3).x y 

Câu 3 a) Cho a log 3;2 b log 5;3 c log 27 Tính log 441 theo , ,280 a b c

b) Có 2 nhà kho, nhà kho thứ nhất có 8 cái điều hòa tốt và 4 cái điều hòa hỏng Nhà kho thứ hai có 9 cái điều hòa tốt và 6 cái điều hòa hỏng ( Giả thiết các điều hòa ở hai nhà kho, mỗi cái đựng trong hộp kín, nhìn bề ngoài không phân biệt được) Hùng vào mỗi nhà kho lấy ra ngẫu nhiên 2 cái điều hòa Tính xác suất để 4 cái điều hòa Hùng lấy được có ít nhất 2 cái tốt

Lời giải

a) Ta có log 72 1g;log 5 log 3.log 52 2 3 a b .

c

2 2

2

log 3 7 2 log 3 log 7 log 441

log 441

log 280 log 2 7.5 3 log 7 log 5



 

280

1

log 441 1

3

c

c abc ab

c

  

 

b) Số cách lấy 4 điều hòa mỗi kho 2 điều hòa là: C C122 152 6930

Gọi A là biến cố ‚ Hùng lấy được ít nhất 2 điêu hòa tốt‛

A là biến cố ‚ Hùng lấy được tối đa 1 điêu hòa tốt‛

Trường hợp 1: Hùng không lấy được điều hòa tốt

Khi đó lấy 2 điều hòa không tốt ở kho 1 và 2 điều hòa không tốt ở kho 2

Số cách lấy là: C C42 62 90(cách)

Trường hợp 2: Hùng lấy được 1 điều hòa tốt

Khi đó Hùng lấy được 1 điều hòa tốt ở kho 1 hoặc kho 2

Số cách lấy là: C C C C C C41 .81 62 42 .91 16 804(cách)

Vậy A 90 804 894

Vậy xác suất Hùng lấy được nhiều nhất 1 điều hòa tốt là :

1

Câu 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn và nội tiếp

đường tròn tâm I Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳngAC, H là hình chiếu vuông góc của Ctrên đường thẳng BI Đương thẳng ACvà KH lần lượt có phương trình x y  1 0 và x2y 1 0 Biết điểm B thuộc đường thẳng y 5 0, điểm I thuộc đường thẳng x 1 0 Tìm tọa độ điểm C

Lời giải

Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình 2 1 0 3  3;2

K

Đường thẳng KB có phương trình x y  5 0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 5 0 0  0;5

B

Ta có: BAK BEC và AKF CKH HBC  ( do tứ giác BKHC nội tiếp đường tròn)

0 90

Đường thẳng AB có phương trình 2x y  5 0

Tọa độ A là nghiệm của hệ 2 5 0 2  2;1

A

Gọi I1;a thuộc đường thẳng x 1 0

IA IB  IA IB    a   a   a I  Gọi C c ; 1 c thuộc đươngt thẳng x y  1 0

3

c

c

 



Với c  2 C2;1: loại do trùng với A

Với c  3 C3;2

Vậy: C3;2

Câu 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O Biết SO vuông góc

với mặt phẳng(ABCD),SB3a và BAD120 Gọi M và N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh BC và SA sao cho 2 , 1

BM  BC SN  SA a) Tính thể tích hình chóp S MND theo a

b) Gọi  là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD) Tính cos

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của N lên mặt phẳng (ABCD)

Ta có .

.

1 2

S MND

A MND

V  NA . 1 . 1 . 1 1 . .

Ta có: // 2 2

NH AN

SO AS

Mặt khác BAD là tam giác đều cạnh a 3

2

a BO

Do đó ta có:

2

4

a

Ta có:

2

AMD ABCD ABM DCM ABCD ABC BCD

ABCD ABCD ABCD ABCD

a

Do đó

3 1 1 . . 11

a

b) Ta có ACBD;AC SO  AC(SBD)

Kẻ MF AC F BD NE AC E SO// ,  ; // ,  EFlà hình chiếu của MNlên (SBD)

Gọi I EF MN    FIM

Vì

2 3

3

OC

IF MF

MF NE

IE NE OA

3

IF IE IF EF

2

OC BC

Ta có tan 1

15

MF IF

Mặt khác 1 tan2 12 cos 15



Câu 6. Cho các số thực a b c, ,  1;4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  

2

a b P

c ab bc ca





Lời giải

Ta có :

2

2 2

2

a b

c ab bc ca







Mà do  2

4 .a b a b nên

 2  2

2 2



Đặt t a b,

c



 do a b c, ,  1;4 nên 1 ;8

2

t   

Khi đó

2 2

1

t

t t

2

( )

f t f  

 

Suy ra, giá trị nhỏ nhất của P bằng 1

13 khi

1 4

a b c

 



 

HẾT