skkn hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài toán áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Trong chương trình đại số 7 dạng toán áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có tầm quan trọng rất lớn cho việc học các chủ đề sau.. Và các bài toán này thường có mặt trong các đề khả

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Toán học là bộ môn khoa học quan trọng trong việc hình thành khả năng sáng tạo và tư duy lô gic cho học sinh Việc hình thành năng lực giải Toán cho học sinh trung học cơ sở là việc làm chính không thể thiếu được của người thầy, rèn luyện cho các em có khả năng tư duy sáng tạo, nắm chắc kiến thức cơ bản, gây được hứng thú cho các em yêu thích môn Toán Ngoài việc giải được các dạng toán

cơ bản ở trong sách giáo khoa, cần hướng dẫn học sinh giải được các bài tập nâng cao, phát huy khả năng của học sinh khá giỏi

Trong chương trình đại số 7 dạng toán áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có tầm quan trọng rất lớn cho việc học các chủ đề sau Và các bài toán này thường có mặt trong các đề khảo sát chất lượng cuối năm học, đề thi học sinh chất lượng mũi nhọn hay đề thi giải toán trên mạng nhưng thời lượng phân phối chương trình cho phần này vẫn còn rất ít và hệ thống bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập chưa nhiều, sắp xếp các bài tập chưa phân theo các dạng cơ bản

Với học sinh lớp 7 việc làm quen dạng toán này đã được tiếp xúc từ lớp dưới bằng cách áp dụng tính chất của phân số bằng nhau (tính chất của tỉ lệ thức), tuy nhiên khi gắn vào bài tập thì tính chất của tỉ lệ thức không giúp học sinh giải quyết được những bài tập đó nên học sinh thường rơi vào trạng thái chán nản, không có hướng đi cho các bài tập Nhất là với các em học sinh miền núi như trường THCS Tam Thái khi làm dạng toán này còn gặp nhiều lúng túng hay sai sót trong các bước lập luận, trình bày Để giúp học sinh khắc phục những sai sót thường mắc phải cũng như có kĩ năng gải các bài toán liên quan đến áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau tôi đưa ra đề tài: Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài toán áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

1.2 Mục đích nghiên cứu

Phân loại các dạng bài tập áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Các phương pháp thường dùng để giải các bài toán áp dụng tính chất của dãy tỉ

số bằng nhau

Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức khi giải bài toán áp dụng tính chất của dãy tỉ

số bằng nhau

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Phương pháp giải các dạng toán áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau trong chương trình toán 7

Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp khá lớp 7 trường THCS Tam Thái

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

- Tỉ lệ thức

Định nghĩa: Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số b a d c

Tính chất tỉ lệ thức

Tính chất 1: Nếu b a d c thì ad  bc

Tính chất 2: Nếu ad  bc thì

d

c

b

a

 ;

d

b c

a

 ;

a

c b

d

 ;

a

b c

d



- Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

- Từ

d

c b

a

 suy ra

d b

c a d b

c a d

c b

a















Mở rộng a c e a c e a c e

Suy ra từ tính chất

k

b d  

2

k

   

   

    Chú ý : Khi có dãy tỉ số

5 3 2

c b a



 ta nói các số a,b,c tỉ lệ với 2; 3;5

Ta cũng viết a : b: c = 2 : 3 : 5

- Lũy thừa của một thương

2.2 Thực trạng của vấn đề

2.2.1 Đặc điểm tình hình học sinh

Lớp 7 có số lượng học sinh không đồng đều về mặt nhận thức gây khó khăn cho giáo viên trong việc lựa chọn phương pháp phù hợp Nhiều học sinh có hoàn cảnh khó khăn do đó việc đầu tư về thời gian và sách vở bị hạn chế và ảnh hưởng không nhỏ đến nhận thức và sự phát triển tư duy của các em Đa số các

em hay thoả mãn trong học tập, các em cho rằng chỉ cần học thuộc lòng các kiến thức trong SGK là đủ Chính vì vậy mà các em tiếp thu kiến thức một cách thụ động, không tự mày mò, khám phá kiến thức mới, bài tập phát triển

Qua một thời gian tôi đó tiến hành điều tra cơ bản và thu được kết quả như sau + Lớp 7A: Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm khoảng 50%, số học sinh nắm được kiến thức và biết vận dụng vào bài tập chiếm khoảng 30%

+ Lớp 7B: Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm khoảng 45%, số học sinh nắm được kiến thức và biết vận dụng vào bài tập chiếm khoảng 35%

2.2.2 Nguyên nhân

Nguyên nhân của vấn đề trên là do các em chưa có ý thức tự giác học tập, chưa

có kế hoạch thời gian hợp lý tự học ở nhà, học còn mang tính chất lấy điểm, chưa nắm vững hiểu sâu kiến thức toán học, không tự ôn luyện thường xuyên

một cách hệ thống Học sinh không biết làm các bài tương tự khi thay đổi một

số dữ kiện của bài toán

Đứng trước thực trạng trên tôi thấy khi dạy một dạng bài tập cho học sinh cần sắp xếp theo dạng và có sự phân hóa mịn giữa các mức độ bài tập để học sinh hứng thú với việc giải các bài tập tương tự bài đã làm sau khi thay đổi một số điều kiện ban đầu

2.3 Các dạng toán áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Dạng 1: Tìm giá trị của biến trong các dãy tỉ số bằng nhau.

Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết :

3 5

x y

 và x+y=16

Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

16 2

3 5 3 5 8

x y x y

   



Vậy 2

3

x

  x 3.2 6 

2 5.2 10

5

y

y

   

Bài tập tương tự :

a) Tìm hai số x và y biết :

7 4

x y

 và x+y=33 b) cho

2 5 3

x y z

  và x+y+z = -360 tìm x,y,z

c) cho x y 119 và x + y = 60 tìm x,y

Ví dụ 2: Tìm hai số x và y, biết x: 2 y: ( 5)  và x y  7

Với nhiều học sinh khi cho x: 2 y: ( 5)  Các em chưa ‘nhìn thấy’ dãy tỉ số bằng nhau

Ta phải đưa về dãy tỉ số bằng nhau :

2 5

x y





Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

7 1

2 5 2 ( 5) 7

x y x y 

  

Vậy 1 2.( 1) 2

2

x

x

    

1 ( 5).( 1) 5

5

y

y

     



Ví dụ 3 :

2 3

x y

 ;

5 7

y z

 và x y z   92 Học sinh gặp phải khó khăn: Chưa có dãy tỉ số bằng nhau của cả ba biến x ;y ;z

Đưa về dãy tỉ số bằng nhau : 92 2

10 15 21 10 15 21 46

x y z x y z 

  Vậy 2 2.10 20

10

x

x

   

2 2.15 30

15

y

y

   

2 2.21 42

21

z

z

   

Bài tập tương tự: Tìm x,y, z biết

a) x y 97; 7

3

y

z  và x y z   15

b) 5x 8y 20z và x y z   3

Hướng dẫn: Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức

a) x y  97 9x 7y ; 7

3 7 3

y y z

z    từ đó ta lập được dãy tỉ số bằng nhau

Ví dụ 4 : Tìm x,y,z biết 3x=2y , 7y=5z và x-y+z=32

- Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức làm xuất hiện các dãy tỉ số bằng nhau

- Biến đổi các dãy tỉ số bằng nhau về một dãy tỉ số có chứa các biến x,y,z

3 2

2 3

x y

x y 

7 5

5 7

y z

y z 

Đưa về dãy tỉ số bằng nhau : 32 2

10 15 21 10 15 21 16

x y z x y z 

  Vậy 2 2.10 20

10

x

x

   

2 2.15 30

15

y

y

   

2 2.21 42

21

z

z

   

Ví dụ 5: Tìm x,y biết

12 3

x y

 và 2x 5y 36

Ta thấy xuất hiện 2x, 5y vậy trong dãy tỉ số bằng nhau phải biến đổi để xuất hiện 2x ;5y

Áp dụng tính chất của phân số: Nhân cả tử và mẫu với cùng một số

ta có : 2 5

12 3 24 15

x y x y

  

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau :

2 5 2 5 36

4

24 15 24 15 9

x y x y

 Vậy : 4 12.4 48

12

x

x

   

4 4.3 12

3

y

y

   

Bài tập tương Tự

a)

4 3 9

x y z

  và x 3y 4z 62

b)

3 4

x y

 ;

3 5

y z

 và 2x 3y z  186

c) x y 207 ; 5

8

y

z  và 2x 5y 2z 100

Hướng dẫn: Ta cần kết hợp cả ví dụ 3 để đưa về dãy tỉ số bằng nhau sau đó

làm tương tự như ví dụ 4

Ví dụ 6:Tìm x,y,z biết 3(x 1) 2(  y 2),4(y 2) 3(  z 3)và 2x 3y z  50

3 x 1  2 y 2 1 2

x y

  ;4 2 3 3 2 3

y z

y  z    

Ta có dãy tỉ số bằng nhau : 1 2 3

x y z

Ta cần biến đổi để xuất hiện 2x ; 3y

x y z

   2 1 3 2 3 2 2 3 6 3

x y z x y z

2 2 3 6 3 2 3 2 6 3

x  y  z x y z   

 

50 5 45

5

9 9



x y z

Từ đó ta tính x,y,z

Bài tập tương Tự

a) 1 2 3

x y z

  và x 2y 3z 14

b) Cho 1 3 5;5 3 4 46

a b c

c) Tìm a biết 1 1 2 2 3 3 9 9

a  a  a  a 

    và a1 a2 a3  a9  90

Hướng dẫn

c) 1 1 2 2 2 3 9 9 1 1 2 2 3 3 9 9

a  a  a  a  a  a  a   a 

   

 1 2 3 9 1 2 3 9 90 45

1

9 8 7 1 45

a a a  a      

    Vậy 1

1

9

a



      2

2

8

a



     

Ví dụ 7 : Tìm x,y biết 2 1 3 2 2 3 1

x

Ta có : 2 1 3 2 2 3 1

x

12

x y



6x 12 x 2

   

Thay x 2vào 2.2 1 1 3 2 7 3 9 3



       

Bài tập tương Tự

1 2 1 4 1 6

18 24 6

x

Ví dụ 8: Tìm hai số x và y,biết rằng :

2 5

x y

 và xy 10 ở dạng này học sinh thường nhầm lẫm

2 5 2.5

x y xy

  nên dẫn đến lời giải sai

Gọi

2 5

x y

k

  :

Ta có :

2

.

2 5 2.5

x y x y

k

   

   

   

Vậy

10

1

2 5 2.5 10

x y x y

   

   

   

Vậy

2

 

  

 

2

x



2

x

x

  

Với 1 2.( 1) 2

2

x

x

    

x.y =10 với x= 2 thì y = 5 với x = - 2 thì y = -5

Bài tập tương tự:

a) Tìm x,y,z biết

12 9 5

x y z

  và xyz = 20 b) Tìm x,y biết 4x=11y và 2 2

3 803

x  y  c) 15x =10y = 6z và xyz = -1920

Ví dụ 9: Tìm x,y,z biết 3 3 3

8 64 216

x y z

  và x2 y2 z2  14

Từ 3 3 3

8 64 216

x y z

  hay

     

     

     

2 4 6

x y z

   đặt

2 4 6

x y z

K

  

2

2 4 6 4 16 36

K

     

          

     

áp dụng 2 2 2 2 2 2 14 1

4 16 36 4 16 36 56 4

x y z x y x

 

2

2

.4 4

x

x

      x 1hoặc x 1

2 1 2 1

.16 4 2

16 4 4

y

      hoặcy 2

2 1 2 1

.36 9 3

36 4 4

z

      hoặc z  3

x,y,z cùng dấu vậy x 1;y 2;z 3 hoặc x 1;y 2;z 3

Bài tập tương tự

tìm x,y,z biết

a)

5 7 3

x y z

  và x2 y2  z2  585

b)

2 3 4

x y z

  và x2  3y2  2z2  16

Dạng 2: Chia tỉ lệ

Ví dụ 1 Số học sinh khối 6; 7; 8; 9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với

9; 10; 11; 8 Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em Tính số học sinh của trường đó

Giải:

Gọi số học sinh của khối 6; 7; 8; 9 lần lượt là x, y, z, t ( x, y, z, t  N* )

Theo đầu bài ta có :

9 10 11 8

   và x – t = 8

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

9 10 11 8

8

9 8 1

x t



Suy ra : x = 9.8 = 72 ; y = 10.8 = 80 z = 11.8 = 88 ; t = 8.8 = 64

Vậy số học sinh của 4 khối 6, 7, 8, 9 lần lượt là: 72; 80; 88; 64 học sinh

Bài tập tương tự: Số học sinh bốn khối 6,7,8,9 tỉ lệ với các số 9 ;8 ;7 ;6

Biết rằng số học sinh khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh Tính số hoc sinh mỗi khối ?

Ví dụ 2: Học sinh lớp 7A được chia thành ba tổ, cho biết số học sinh tổ 1, tổ

2, tổ 3 tỉ lệ với 2; 3; 4 Tìm số học sinh mỗi tổ của lớp 7A biết số học sinh lớp 7A

là 45 học sinh

Hướng dẫn

Gọi số học sinh của tổ 1, tổ 2, tổ 3 lần lượt là x, y, z ( x, y, z N* )

Theo đầu bài ta có :

2 3 4

x y z

  và x + y + z = 45

Áp dụng dạng 1 ta giải tiếp bài tập

Ví dụ 3: Tìm số đo các góc của một tam giác biết rằng số đo các góc của tam

giác đó tỉ lệ với 2, 3, 4

Giải

Gọi số đo 3 góc của một tam giác là x, y,z

2 3 4

  x y z 1800

dụng tính chât của dãy tỉ số bằng nhau ta có

0

0

180

20

2 3 4 2 3 4 9

2.20 40 ; 3.20 60 ; 4.20 80

x y z x y z

 

 

Vậy số đo 3 góc của một tam giác là: 400 ; 600 ; 800

Ví dụ 4: Tìm diện tích của một hình chữ nhật biết rằng tỉ số giữa hai cạnh của

nó bằng 2

5 và chu vi bằng 28 m

Để biết diện tích hình chữ nhật ta cần biết các kích thước

Gọi x là chiều rộng, y là chiều dài

Ta có : x y  25 2x 5y và (x y ).2 28   x y  14

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Ta có :

14 2

2 5 2 5 7

x y x y

   



2 2.2 4

2

x

x

   

2 5.2 10

5

y

y

   

Vậy diện tích hình chữ nhật là S = x.y = 4.10 = 40 (m2)

Dạng 3: Chứng minh

Ví dụ 1: Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức a c

b d (a-b 0,c-d0) ta có thể suy ra

tỉ lệ thức: a b c d

a b c d



 

Ta thấy xuất hiện a b và a b ta cần đưa a,b về cùng tử của dãy tỉ số bằng nhau :

Từ a c a b a b

b d c d c d



   

 (1)

a c a b a b

b d c d c d



   

 (2)

Từ (1) và (2) ta có

a b a b

c d c d

 



 

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức

a b a b a b c d

c d c d a b c d

Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức biết a c

b d chứng minh 2 3 2 3

2 3 2 3

a b c d

a b c d



2 3 2 3

a c a b a b a b

b d c d c d c d



     

 (1)

2 3 2 3 2 3 2 3

a b a b a b a b c d

c d c d c d a b c d

Từ (1) và (2) ta có :2 3 2 3 2 3 2 3

2 3 2 3 2 3 2 3

a b a b a b c d

c d c d a b c d

Bài tập tương tự

Cho tỉ lệ thức biết a c

b d chứng minh 5 3 5 3

5 3 5 3

a b c d

a b c d



Ví dụ 3:

Cho tỉ lệ thức a c

b d chứng minh 2 2 23 5 2 2 2 32 5 2

a ab b c cd d

b ab d cd



Với điều kiện mẫu xác định

Ap dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có

.

a c a b a b a b

b d  c d  c d c d

Ta cần biến đổi để xuất hiện : 2 ;3 ;5a2 ab b2

Ta có 22 2 22 3 5 22 2 22 3 5 22

a a ab b a ab b

c c cd d c cd b

 

  (1)

22 22 3 2 22 2 22 3

a ab b ab b b ab

c cd d cd d d cd



 (2)

Từ (1) và (2)

a ab b b ab

c cd d d cd

Ví dụ 4: cho a b c

b  c d chứng minh

3

a b c a

b c d d

 



 

a b c a b c

k

b c d b c d

 

  a b c . a

b c d d

  vậy a 3

k

d 

mà

3

a a b c

k

b b c d

 

   

   

 

   

3

a b c a

k

b c d d

 

 

3 KẾT LUẬN 3.1 Những điểm còn hạn chế và giới hạn của sáng kiến kinh nghiệm:

- Mỗi dạng toán mới chỉ đưa được một số bài toán điển hình làm mẫu.

- Chưa trình bày được nhiều cách giải khác nhau của một bài toán

- Phần khai thác bài toán mới chỉ làm đại diện ở một số bài toán

- Do thời gian còn hạn chế nên muốn thực hiện được giải pháp thì phải đưa vào giờ dạy tự chọn hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi nếu không sẽ không có thời gian để luyện tập cho học sinh

3.2 Bài học kinh nghiệm

Tuy có những hạn chế nhưng nhìn chung giải pháp “Hướng dẫn học sinh giải bài toán áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7” trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản và chuyên sâu nhằm vận dụng nó để giải các bài tập toán nâng cao về tỉ

lệ thức và các bài toán về dãy tỉ số bằng nhau một cách có hiệu quả Vì vậy, để thực hiện có hiệu quả, chúng tôi xin đưa ra một số đề xuất:

+Trước khi giải học sinh nhận xét và thử các biện pháp từ đễ đến khó để tìm

ra phương pháp phù hợp để giải Sau đó học sinh sẽ giải các bài tập tương tự cùng dạng, và tự đặt thêm một số bài tập để khắc sâu thêm phương pháp giải

+Giáo viên cần dạy kĩ kiến thức cơ bản và phần mở rộng, những phần lưu ý cần khắc sâu để học sinh không bị sai sót

+Trong quá trình giảng dạy chú ý rèn kĩ năng phân tích đề bài xem cho điều gì và yêu cầu chứng minh hoặc tìm gì Bài tập sau có gì khác so với bài tập trước, rèn cho các em cách nhìn và phân tích bài toán thật nhanh

+Sau mỗi bài tập, giáo viên nên hệ thống lại để học sinh khắc sâu và ghi nhớ

+Tôi nghĩ rằng với mỗi vấn đề, mỗi chuyên đề toán học chúng ta đều dạy theo từng dạng, đi sâu mỗi dạng và tìm ra hướng tư duy, hướng giải và phát triển bài toán Sau đó ra bài tập tổng hợp để học sinh biệt phân dạngvà tìm ra cách giải thích hợp cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ nắm vững vấn đề Và tôi tin chắc rằng toán học sẽ là niềm say mê với tất cả học sinh

3.3 Lời kết.

- Được sự giúp đỡ và ủng hộ nhiệt tình của các đồng nghiệp trong trường tôi đã cố gắng tìm tòi, học hỏi và chọn ra một hệ thống bài tập tương đối phù hợp để minh hoạ cho sáng kiến kinh nghiệm này

Trong quá trình viết sáng kiến này do điều kiện hạn hẹp về thời gian và kinh

nghiệm, năng lực của bản thân còn hạn chế nên các bài tập đưa ra mới chỉ mang tính chất giới thiệu nhằm ý kiến và xây dưng với các đồng chí để cùng các đồng chí rút kinh nghiệm qua các tiết ôn tập cho học sinh Vì vậy kinh nghiệm này chưa thể đáp ứng đầy đủ nhu cầu của người đọc Tôi mong rằng sẽ được tiếp thu những ý kiến đóng góp quý báu của các đồng chí để sáng kiến này được hoàn chỉnh hơn Tôi xin trân thành cảm ơn!