Chào mừng khai giảng năm học 2017-2018

M lµ mét ®iÓm trªn ®êng chÐo BD.. KÎ ME vµ MF vu«ng gãc víi AB vµ AD..[r]

Phòng GD&ĐT Hiệp Hoà

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện

Năm học 2009-2010 Môn thi : Toán 8

Thời gian làm bài: 150 phút

Ngày thi: 28/2/2010

Bài I:(3 điểm):

1) Chứng minh rằng: n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với mọi số chẵn n

2) Biết a(a + 2) + b(b – 2) – 2ab = 63 Tính a - b

Bài II:(3,5 điểm):

1) Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức 3n3 + 10n2 – 5 chia hết cho giá trị biểu thức 3n + 1

2) Cho biểu thức:

x

x x x

x x

x

2 1 ) 2

























 a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất ấy

Bài III:(3,5 điểm)

1) Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho x-2 d 3, f(x) chia cho x-5 d 6 và f(x) chia cho x2-7x+10 đợc thơng là

x2+4 và còn d

2) Giải phơng trình

2009 2010 2008 2010 2008 2009

3

Bài IV:(4 điểm)

1) Cho xbycz; yaxcz; zaxby và xyz 0

Tính

c b a

M













1

1 1

1 1

1

2) Để thành lập các đội tuyển học sinh giỏi khối 8, nhà trờng tổ chức thi chọn các môn Toán, Văn và Ngoại ngữ trên tổng số 111 học sinh Kết quả có: 70 học sinh giỏi Toán, 65 học sinh giỏi Văn và 62 học sinh giỏi Ngoại ngữ Trong đó, có 49 học sinh giỏi cả 2 môn Văn và Toán, 32 học sinh giỏi cả 2 môn Toán và Ngoại ngữ, 34 học sinh giỏi cả 2 môn Văn và Ngoại ngữ

Hãy xác định số học sinh giỏi cả ba môn Văn, Toán và Ngoại ngữ Biết rằng có 6 học sinh không đạt yêu cầu cả ba môn

Bài V:(6 điểm):

Cho hình vuông ABCD M là một điểm trên đờng chéo BD Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD

a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau

b) Chứng minh ba đờng thẳng DE, BF và CM đồng quy

c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất

Hết _

Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm Số báo danh

Phòng giáo dục và đào tạo hiệp hoà

Hớng dẫn chấm đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện

năm học 2009 – 2010 Môn : Toán 8

Bài I 1)HS biến đổi đợc: n3 + 6n2 + 8n = n(n + 2)(n + 4) 0.5đ

Rồi thay n = 2k ta đợc: 8k (k +1)(k +2) Lập luận KL chia hết cho 48 1.0đ

2) HS biến đổi đợc: (a – b + 9)(a – b - 7)= 0 Mỗi bớc biến đổi đúng cho 0.5đ

1.0đ

Từ đó chỉ ra đợc: a – b = -9 hoặc a – b = 7 0.5đ

Bài II

(3.5đ) 1) Thực hiện phép chia ta có:

3n3 + 10n2 – 5 = (3n +1)(n2 + 3n - 1) – 4

Để có phép chia hết thì 4 chia hết cho (3n+1)

0.75đ

Hay tìm số nguyên n sao cho (3n +1) là ớc của 4  n = 0; n= -1; n = 1 0.75đ

HS rút gọn đợc A = - (x2 + 2x + 2) (Mỗi bớc rút gọn đúng cho 0.25 điểm)

1 đ

HS lập luận tìm đúng GTLN A = -1 khi x = -1 0.75đ

Bài III

(3.5đ)

1) Gọi d của phép chia f(x) cho x2-7x+10 là ax + b Ta có:

f(x) = (x2-7x+10)(x2+4) + ax + b = (x-2)(x-5)(x2+4) + ax + b Vì f(x) chia cho x-2 d 3  f(2) =3 hay 2a+b =3

Vì f(x) chia cho x-5 d 6  f(5) =6 hay 5a+b =6

 a = 1; b=1  f(x) = (x2-7x+10)(x2+4) + x + 1 Hay f(x) = x4 - 27x3 + 14x2 - 27x +41

0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ

0.5đ 0.25đ 0.5đ

0.25đ

Bài IV

(4đ)

1) Ta có x + y = by + cz +ax + cz = ax+ by + 2cz = z + 2cz

=> x + y + z = 2z + 2cz = 2z(1 + c) =>

z y x

z

c   



2 1

1

Tơng tự ta có:

z y x

y

b  



2 1

1

và

z y x

x

a   



2 1

1

1

1 1

1 1

1







































y y x z y x

z z

y x

y z

y x

x c

b a

0.5đ 0.5đ 0.5đ

0.5đ 2)

2) Trừ 1 vào mỗi phân thức ở vế trái ta có:

2009 2010 2008 2010 2008 2009

2009 2010 2008 2008 2010 2009 2008 2009 2010

6027 6027 6027

0

2008 2009 2010

2008 2009 2010

x

0

2008 2009 2010   nên x -6027 = 0 nên x = 6027

KL nghiệm của phơng trình

2

+ Gọi x là số học sinh giỏi cả 3 môn Văn, Toán, Ngoại ngữ (x > 0), dựa vào biểu đồ

ta có:

Số học sinh chỉ giỏi một môn Toán là:

70 49  32 x

Số học sinh chỉ giỏi một môn Văn là:

65 49  34 x

Số học sinh chỉ giỏi một môn Ngoại ngữ là:

62 34  32 x

0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ

+ Có 6 học sinh không đạt yêu cầu nên:

111 6 70 49    32 x 65 49  34 x 62 34  32 x 

4932 x  34 x

Vậy có 23 học sinh giỏi cả 3 môn

0.5đ

0.25đ

Bài V

(6đ)

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật : AE = MF Tam giác MFD vuông cân

-AEDDFC nên DE = CF và ADE DCF suy ra NDF NFD 900, 1.0 đ

Do đó  0

90

b)Chứng minh tơng tự a ta có ECBF

- Do BD là trung trực của AC nên MA = MC, mà MA = EF, do đó MC = EF ;

FED MCF c c c

    nên FED MCF  .

0.5 đ

- Lại có FED EFC 900, vì thế MCF CFE  900 0.5 đ

Do đó nếu gọi H là giao điểm của CM Với EF Thì trong tam giác CHF ta có

CHF  hay CM EF

0.5 đ

- DE, BF và CM là ba đờng cao của tam giác CEF nên chúng đồng quy 0.5 đ c) Chu vi của tứ giác AEMF = 2a không đổi nên ME + MF = a không đổi 1.0 đ

- Do tích ME MF ( tức là SAEMF ) lớn nhất khi và chỉ khi ME = MF, tứ là MEAF là hình vuông , khi đó M trùng với điểm O là giao điểm hai đờng chéo AC và BD

1.0 đ

Ghi chú : Trên đây chỉ là biểu điểm và hớng dẫn chấm, bài làm của học sinh phải đợc trình bày chi tiết,

cụ thể Học sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó Bài hình không vẽ hình không cho điểm Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa/.

Phòng GD&ĐT Hiệp Hoà

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện

Năm học 2009-2010

Môn thi : Toán 7

Thời gian làm bài: 150 phút

Ngày thi: 28/2/2010

Bài I: ( 6 điểm )

1)Tìm x biết : ) : 0 , 3 : 0 , 2

8

3 148 4

3 154

2) Tính giá trị của biểu thức:

15 16

14 15

10

21 22

7 3 7

) 7 19 7 3 (

5 : 25

5 9 5 2









A

3) So sánh A và B số nào lớn hơn ?

A = 20 + 21 + 22 + 23 + + 22009; B = 22010

Bài II: ( 4 điểm )

1) Chứng minh rằng (810 - 89 - 88 ): 55 là một số tự nhiên

2) Tìm ba phân số tối giản biết tổng của chúng bằng 7

12

24, tử số của chúng tỉ lệ 3:5:7, mẫu của chúng tỉ lệ

2 : 3 : 4

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + 3 y 2010 - 1

Bài III: ( 4điểm )

1) Tìm ba số a, b, c biết rằng:

4 5

, 3 2

c b b a



 và a - b + c = -49

2) Tìm x và y biết rằng: (x - 2008 + y)2 + (x - 2010 - y)2 = 0

4

Bài IV: ( 4 điểm )

Cho góc vuông xOy và tia phân giác Oz Từ một điểm M trên tia Oz ta hạ MA vuông góc với Ox, MB vuông góc với Oy

a) Chứng minh: OA = OB

b) Lấy một điểm I trên đoạn AM Nối I với O Từ I kẻ một tia tạo với IO một góc bằng góc AIO Tia này cắt

đoạn thẳng MB ở K Nối O với K Tính số đo góc IOK

Bài V: ( 2 điểm )

Ba đờng cao của tam giác ABC có độ dài bằng 4, 12, x Biết rằng x là một số tự nhiên Tìm x (cho biết mỗi cạnh của tam giác nhỏ hơn tổng hai cạnh kia và lớn hơn hiệu của chúng)

Hết _

Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh : Số báo danh

Phòng giáo dục và đào tạo hiệp hoà

Hớng dẫn chấm đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện

năm học 2009 – 2010 Môn : Toán 7

Bài I

1) ) : 0 , 3 : 0 , 2

8

3 148 4

3 154

8

3

6 : 0,3 = 5x x = 4,25 2.0 đ

2)

) 3 7 (

7

) 19 21 (

7 5 : 5

) 9 5 2 (

5

15

14 20

21









10 7

2 5 : 5



35 2 5

2 5 7



2.0 đ

3) Ta có : 2 A = 2.( 20 + 21 + 22 + 23 + + 22009 )

= 21 + 22 + + 22010

0.5 đ

Bài II

1) HS biến đổi đợc KQ bằng 88 là một số tự nhiên 1.0đ

2) Gọi các phân số phảI tìm là a c e; ;

b d f

Khi đó ta có a : c : e = 3 : 5 : 7 và b : d : f = 2 : 3 : 4 0 5 đ

b d  f  p p p  p   p 

0.5 đ

Do vậy các phân số phảI tìm là : 15 25 35

; ;

4 6 8

0.5 đ

3) Giá trị nhỏ nhất của A bằng -1 khi và chỉ khi x = 0, y = 2010 1.0đ

Bài III 1) HS biến đổi đợc thành tỉ lệ thức

7 7

49 12

15 10 12 15

















a

(Mỗi bớc biến đổi đúng cho 0.5đ)

1.0đ

Từ đó tính đợc : a = -70 ; b = -105 ; c = -84 1.0đ 2)HS lập luận chỉ ra đợc

x - 2008 + y = 0 và x - 2010 - y = 0 1.0đ

Bài IV

a) Chứng minh đợc hai tam giác vuông MAO và MBO bằng nhau theo

Chứng minh đợc hai tam giác vuông OAI và OHI bằng nhau theo TH

Từ đó suy ra OA = OH và AOI IOH (1) 0.5 đ

Chứng minh hai tam giác vuông OHK và OBK bằng nhau theo TH cạnh

Từ (1) và (2) ta suy ra  1 1 0 0

.90 45

Bài V Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tơng ứng với các đờng cao bằng 4, 12, x 0.25 đ

Ta có: 4a = 12b = xc = 2S 

x

S c S b S

6

,

3

2 2 6

2 6

1 2

1 2 6

1 2

1 6 2

2 6

2       x    x 

S S x

S S

 3 < x < 6 Do x  N nên x bằng 4 hoặc 5 0.5 đ

6

Ghi chú : Trên đây chỉ là biểu điểm và hớng dẫn chấm, bài làm của học sinh phải đợc trình bày chi tiết,

cụ thể Học sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó Bài hình không vẽ hình không cho điểm Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa/.

Phòng GD & ĐT Hiệp Hoà

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện

Năm học 2009-2010 Môn thi : Toán 6

Thời gian làm bài: 150 phút

Ngày thi: 28/2/2010

Bài I: ( 3,5 điểm )

1)Tính giá trị của các biểu thức: 32.512.128 : (1024.32)2 3 5

16.64.8 : (4 2 16)

A 

2) Khụng quy đồng hóy tớnh hợp lý cỏc tổng sau:

90

1 72

1 56

1 42

1 30

1 20























Bài II: ( 4,5 điểm )Tìm số tự nhiên x biết:

1) (3x - 24) 73 = 2 74

2) [(6x - 72): 2 - 84] 28 = 5628

3) 2 + 4 + 6 + + 2x = 210

Bài III: ( 4 điểm )

1) Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng là 2940 và bội chung nhỏ nhất của chúng là 210

2) Một ngời bán năm giỏ xoài và cam Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lợng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg Sau khi bán một giỏ cam thì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài ?

Bài IV: ( 4 điểm )

1) Cho A =

3

2





n

n

Tìm giá trị của n để:

a) A là một phân số

b) A là một số nguyên

2) Giả sử a và b là những số tự nhiên để (16a+ 17b).(17a+16b) chia hết cho 11 Chứng minh rằng tích (16a + 17b).(17a +16b) chia hết cho 121

Bài V:(4 điểm)

Cho đoạn thẳng AB; Điểm O thuộc tia đối của tia AB Gọi E, F thứ tự là trung điểm của OA, OB.

a) Trong ba điểm O, E, F điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

b) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng EF không đổi khi O di chuyển trên tia đối của tia AB?

Hết _

Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh : Số báo danh

Phòng giáo dục và đào tạo hiệp hoà

Hớng dẫn chấm đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện

năm học 2009 - 2010 Môn : Toán 6

Bµi N«Þ dung §iÓm

8

Bài I 1) Biến đổi đến :

9 7 10

6 6 6 5

32.2 2 : (2 32) 16.2 2 : (2 2 16)

21 15

5

16 15

2 : 2

2 32

2 : 2

20

3 ) 10

1 4

1 ( ) 10

1 9

1

7

1 6

1 6

1 5

1 5

1 4

1 (

) 10 9

1

7 6

1 6 5

1 5 4

1 ( 90

1

42

1 30

1 20

1 )

2





























































1.0đ

Bài II 1) HS biến đổi đúng tìm đợc: x = 10

2) HS biến đổi đúng tìm đợc: x = 107

(mỗi bớc biến đổi đúng cho 0 5đ)

1.5đ

2

x x

Ta thấy 210 = 2.3.5.7 = (2.7).(3.5) = 14.15 0.25 đ

=> x(x+1) = 14.15

Bài III

1)Ta đặt ƯCLN ( a, b) = d suy ra a = d.m ; b = d n trong đó ƯCLN ( m,n )

= 1

0 5đ

Tính ra kết quả a = 14 và b = 210 ; a = 42 và b = 70 0.25đ 2) Tổng số xoài và cam lỳc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg)

Vỡ số xoài cũn lại gấp ba lần số cam cũn lại nờn tổng số xoài và cam cũn

lại là số chia hết cho 4, mà 359 chia cho 4 dư 3 nờn giỏ cam bỏn đi cú khối

lượng chia cho 4 dư 3

Trong cỏc số 65; 71; 58; 72; 93 chỉ cú 71 chia cho 4 dư 3

Vậy giỏ cam bỏn đi là giỏ 71 kg

Số xoài và cam cũn lại : 359 - 71= 288 (kg)

Số cam cũn lại : 288:4 = 72(kg)

Vậy: cỏc giỏ cam là giỏ đựng 71 kg ; 72 kg

cỏc giỏ xoài là giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg

0 5đ

0 5đ

0 5đ

0 5đ

Bài IV 1)

3

2 )







n

n A

a là phõn số khi: n-2Z , n+3Z và n+30

 nZ và n-3

3 n

5 1 3 n

5 ) 3 n ( 3 n

2 n A ) b





















A là số nguyờn khi (n + 3) Ư(5)  n+3  1 ; 1 ;  5 ; 5

 n  4 ;  2 ;  8 ; 2

0.5đ 0.5đ 0.5đ

0.5đ

2)Vì 11 là số nguyên tố nên:

( 16a + 17b) + (17a + 16b) = 33 ( a + b) Chia hết cho 11

Do đó nếu trong hai thừa số của tích chia hết cho 11 thì số còn lại cũng

Vậy ( 16a + 17b) (17a + 16b) Chia hết cho 121

Bài V

a) Chứng minh OA < OB Chứng minh

2

; 2

OB OF OA

Mà OAOB OEOF

Hai điểm E, F thuộc tia OB mà OE < OF Nên điểm E nằm giữa hai điểm O và F b)Chứng minh EF = OF - OE

2

OA

OB 

2

AB

 ĐPCM

1.0đ

1.0đ

2.0đ

Ghi chú : Trên đây chỉ là biểu điểm và hớng dẫn chấm, bài làm của học sinh phải đợc trình bày chi tiết,

cụ thể Học sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó Bài hình không vẽ hình không cho điểm Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa/.

10