Đề thi HSG môn Toán 12 năm học 2019 - 2020 có đáp án Sở GD & ĐT Quảng Nam

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm [r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THPT CHUYÊN

VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA

Năm học 2019 – 2020

c trang)

Môn thi : TOÁN

Thời gian : 180 phút (Không kể thờ an ao đ ) Ngày thi : 09/10/2019

Câu 1 (3,0 ) Giải phương trình: 3 3  

x  x  x

Câu 2 (2,0 ) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n thì phương trình

1

n n

x x    x

giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Câu 3 (5,0 ) Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn tâm O Điểm M di động trên cạnh BC ( M B M, C) Gọi (X), (Y) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác MAB và MAC Lấy điểm S thuộc (X) sao cho MS song song với AB; lấy điểm T thuộc (Y) sao cho MT song song với AC

a) Chứng minh rằng các điểm A, O, T, S nằm trên một đường tròn

b) Gọi E là giao điểm khác A của (X) và AC, F là giao điểm khác A của (Y) và AB Các đường thẳng BE và CF cắt nhau tại N Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua O khi và chỉ khi AM đi qua tâm đường tròn Ơ-le của tam giác ABC

Câu 4 (2,0 m) Cho p là một số nguyên tố, p > 2 và các số nguyên a a1; 2; ;a p theo thứ tự đó lập

thành một cấp số cộng có công sai không chia hết cho p Chứng minh rằng tồn tại một chỉ số k thuộc tập

1;2; ; p sao cho a a1 2 a p a k chia hết cho p 2

Câu 5 (3,0 m) Tìm tất cả các đa thức P (x) hệ số thực thỏa mãn điều kiện:

  3   2  3  

Câu 6 (2,0 m) Tìm tất cả các số tự nhiên n với n2 sao cho trên mặt phẳng tồn tại n điểm phân biệt,

mỗi điểm được gán một số thực dương mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong chúng bằng tổng hai

số được gán ở hai điểm đó

Câu 7 (3,0 m) Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn xy yzzx3 Chứng minh rằng

ĐỀ CHÍNH THỨC

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 2

ĐÁP ÁN

Câu 1

(3,0đ)

Phương trình  x3 x 3x 3 33x3 (1)

f t  t t (0.25)

Chứng minh được f t là hàm số đồng biến trên   (0.5)

Phương trình (1) trở thành:

  3 

f x  f x  3

x x  3 3

g x  x  , g x'    0 x 1

Bảng biến thiên của g x trên   :

trên 2; (0.25)

t

  trong đó t > 0 (0.25)

3

3 0

t

(0.25)

x - -1 1 +

g’(x) + 0 - 0 +

-1 +

g(x)

Câu 2

(2,0đ)

n n n

f x x x    x , n * Với mỗi n * ta có f n x là hàm số liên tục,

đồng biến trên 0;  (0.25)

x f x

0; 

n

x   (0.25) Với n = 1 thì ta có x12; với n2 ta có x2 1 (0.25)

Với n3 thì f n 1   n 2 0 suy ra x n 1 Do đó x n 0;1 ,  n 3 (0.25)

1 n1 n1 1 2 n1 0

f x  x  x  x    x   (0.25)

Suy ra x n1x n hay  x n là dãy số đơn điệu giảm, vì vậy dãy  x n có giới hạn hữu hạn

(0.25)

Đặt Llimx n, L0;1 Từ giả thiết, với n3 thì

1

2 0

n n

x x   x    1 1 3

1

n n

n

x x

  

1

L

 



1

(do limx n n 0) 2

3

lim

3

n

Câu 3

(5,0đ)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 4

a)

(3,0đ)

Xét trường hợp bài toán như hình vẽ, các trường hợp khác tương tự

Tứ giác ATMC nội tiếp có AC//TM nên ATMC là hình thang cân, suy ra

180

180

Suy ra trong tứ giác ATMS có

0 360

TAS  ATMASMTMS

 ACBABCBAC18002BAC (1) (0.25)

Do O nằm trên trung trực của AC và ATMC là hình thang cân nên O cũng nằm trên trung trực của MT (0.25)

Tương tự thì O cũng nằm trên trung trực của MS nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MTS (0.25)

Suy ra TOS 2TMS2BAC (2)

trung điểm của OH

T

Y S X

O A

(2,0 đ) Đường thẳng qua O, vuông góc BC cắt BC tại P và cắt AI tại Q Khi đó ta có AHQO là hình

bình hành nên OQ = AH = 2OP nên Q đối xứng với O qua BC (0.25)

Do đó OMCQMC (3) (0.25)

Suy ra NMC AEB AMB (4) (0.25)

Từ đó (3) và (4) ta có:

 A,M,Q thẳng hàng  AM qua I (0.25)

Câu 4

(2,0đ)

khi chia cho p là 1; 2; ;p1 theo một thứ tự nào đó (0.25)

Q

P

I H

N

E F

X

Y

O

C B

A

M

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 6

p

k

a a a

1 mod

p

k

a a a

p

k

a a a

p

Lại do a k p nên suy ra a a1 2 a p a k chia hết cho p (0.25) 2

Câu 5

(3,0đ)

  3   2  3  

Trường hợp 1 P (x) là hằng số, đặt P x c

c  c  c c c

Thử lại thấy thỏa mãn

Trường hợp 2 P (x) không phải là hằng số, đặt ndegP x,n1 và a0 là hệ số bậc cao

degQ x kn (0.25)















1

1 3

a

a a

+) Nếu a1, ta có P(x)x n Q x Thay vào (1) ta được

 

x n Q x 33x n Q x 2 x3n Q x3 3  x n Q x 

) ( 3 ) ( 6 3 ) ( 3

) (

3x n Q x  x n Q x  Q x  x n x n Q x  Q x

3 3 1 n n

đặt Q(x)c (0.25)

Thay vào (2) đi đến

2 2

3 2 2

3 6 3 3

3cx n c x nc  x n cx n c =  n n

x c

c3 3.1

 3 c1x2n3c22c(1)nx nc33c22c0 (3) (0.25)





























0 2 3

0 1 2

0 1

2 3 2

c c c

c c

c

n



*

1

c







x x

+) Nếu a1, ta có P(x)x nQ x Thay vào (1) ta được

 

x nQ x 33x nQ x 2 x3nQ x3 3 x nQ x 

) ( 3 ) ( 6 3 ) ( 3

) (

3x n Q x  x n Q x  Q x  x n x n Q x  Q x

x x

Q x

Q 3 3  3.1 (4)

= 0, ta đặt Q(x)c Thay vào (4) đi đến

2 2

3 2 2

3 6 3 3

3cx n c x nc  x n cx n c =  n n

x c

c3 3.1

 3c1x2n3c22c(1)nx nc33c22c0 (5) (0.25)





























0 2 3

0 1 2

0 1

2 3 2

c c c

c c

c

n



*

1

c







x x

Đáp số: P x 0;P x 1;P x 2;   2m1

x x

P ;   2m1

x x

Câu 6

(2,0đ)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 8

+ Với n = 4 ta chọn trên mặt phẳng bốn điểm trong đó ba điểm là ba đỉnh của một tam giác

2

(Trong bốn đ ểm trên nếu bỏ đ ột hoặc a đ ểm cùng với số gán vớ n ì ba đ ểm hoặc

a đ ểm còn lại cũn ỏa ãn, do đ n = 2, n = 3 ỏa mãn.) + Với n = 5 Giả sử có 5 điểm A, B, C, D, E cùng với các số dương gắn với chúng lần lượt là

a, b, c, d, e thỏa mãn bài toán

Nếu có 3 điểm trong chúng thẳng hàng, giả sử là A, B, C theo thứ tự đó Khi đó ta có AB + BC = AC nên (a + b) + (b + c) = (a + c)  b = 0 vô lý Như vậy trong 5 điểm đó không

có ba điểm nào thẳng hàng

Nếu có 4 điểm trong chúng tạo thành một tứ giác lồi, giả sử là tứ giác lồi ABCD Khi đó theo giả thiết thì AC + BD = (a + c) + (b + d) = AD + BC

Mặt khác, gọi I là giao điểm hai đường chéo AC, BD thì ta có

AC + BD = (AI + IC) + (BI + ID) = (AI + ID) + (BI + IC) > AD + BC

Điều này mâu thuẫn nên tất cả các bộ 4 điểm đều chỉ tạo thành tứ giác lõm

Xét 4 điểm A, B, C, D tạo thành tứ giác lõm trong đó D nằm trong tam giác ABC Khi đó điểm E nằm ở đâu cũng có ít nhất một bộ 4 điểm tạo thành một tứ giác lồi nên không thỏa

mãn (có thể vẽ hình minh họa)

Như vậy các giá trị cần tìm của n là 2, 3, 4

Câu 7

(3,0đ)

Đặt p  x y z q; xy yzzx3; rxyz

(0.5)

Ta có biến đổi: 3 3 3  3   

x y z  x y z  x y z xyyzzx  xyz

p  p r (1)

(0.25)

Bổ đề: “x y zy z xz x yxyz với mọi x y z, , 0” (*)

thừa số âm, BĐT hiển nhiên đúng Nếu cả ba thừa số không âm, ta có

2

y

cùng với hai BĐT tương tự, nhân lại ta có BĐT được chứng minh (0.5)

Ta có

3

2

(*) ( 2 )( 2 )( 2 )

9

2 )

r r

y

q

p









(0.25)

Trường hợp 1 Nếu p4, khi đó 3

16

3

Trường hợp 2 Nếu 3 p 4 và q3thì từ BĐT Schur nói trên ta có

9

p  r p r pp

p  p r   pp  p  p  p  p

suy ra BĐT (2) đúng

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh

Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-T N-NTH-G ), C uyên P an Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Na Dũn , TS P a Sỹ Nam, TS Trịn T an èo và T ầy Nguyễn ức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Na Dũn , TS P a Sỹ Na , TS Lưu Bá T ắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng

đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí