Gäi K lµ giao ®iÓm cña AN vµ CM.[r]
Trang 1Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8
Môn: Toán
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1 : (3 điểm)
a) Cho biểu thức A 2a b 2 2 2b c2 2 2a c2 2 a4 b4 c4 Chứng minh rằng nếu
a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thì A>0
b) Chứng minh rằng a5 a 30 (a Z )
Câu 2:(2 điểm)
Giải phơng trình x2 2xy y 2 3x 2y 1 4 2x x 2 3x 2
Câu 3(1,5 điểm)
Cho a3 b3 Chứng minh rằng 2 a b 2
Câu 4:(1,5 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD), hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại O Một
đờng thẳng d qua O song song với 2 đáy cắt 2 cạnh bên AD, BC lần lợt tại E và F
Chứng minh rằng 1 1 2
ABCD EF .
Câu 5 (2 điểm)
Cho hình bình hành ABCD Các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC sao cho AN=CM Gọi K là giao điểm của AN và CM Chứng minh rằng KD là tia phân giác của AKC
-Hết -Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Hớng dẫn chấm
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8
năm học 2007-2008 Môn: Toán
(Thời gian làm bài 120 phút)
Trang 2Câu Nội dung Điểm
1
a) A 2a b 2 2 2b c2 2 2a c2 2 a4 b4 c4= 4a b2 2- (2a b 2 2 2b c 2 2 2a c 2 2 a 4 b 4 c ) 4
=(2ab) 2- (a 2 b 2 c ) 2 2 = (2ab 2 2 2
a b c )(2ab-a 2 b c 2 2)
= (a b) 2 c2 c2 (a b) 2= (a b c)(a b c)(c a b)(c a b)
Do a, b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên
a b c 0;a b c 0;c a b 0;c a b 0 A 0
b) a5 a a(a4 1) a(a 2 1)(a2 1)= a(a 1)(a 1) (a 2 4) 5
=a(a 1)(a 1)(a 2)(a 2) 5a(a 1)(a 1)
Do tích của năm số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong năm số nguyên liên
tiếp luôn có ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và do (6;5)=1
Suy ra a(a 1)(a 1)(a 2)(a 2) 30 và 5a(a 1)(a 1) 30 Vậy a5 a 30
0,25 0,5 0,5
0,25
0,5 0,25
0,5 0,25
2
3
x2 2xy y 2 3x 2y 1 4 2x x 2 3x 2
(x y 1) 2 x 2 (x 1)(x 2) 2x 4 (1)
Do (x y 1) 2 x 2 (x 1)(x 2) 0 x, y 2x 4 0 2(x 2) 0 x 2
Với x 2 thì (x y 1) 2 x 2 (x y 1) 2 x 2; (x 1)(x 2) x2 3x 2 .
Khi đó từ phơng trình (1) (x y 1) 2 x 2+(x 1)(x 2) =2(x 2) (x y 1) 2=
(x 2)(2 x 1 1) = (x 2) 2
(x y 1) 2+(x 2) 2=0 x 2 0 và x y 1 0 x 2; y 3 ( thoả mãn)
Vậy tập hợp nghiệm của phơng trình là S= 2;3
Giả sử a b 2 (a b) 3 23 a3 b3 3ab(a b) 8 2 3ab(a b) 8 (do a b 23 )3
3ab(a b) 6 ab(a b) 2 ab(a b) >a3 b3 (do a3 b3 )2
ab(a b) >(a b)(a 2 ab b ) 2 ab a 2 ab b 2 a2 2ab b 2 0 (a b) 2 0
(vô lý ) Vậy a b 2
0,5 0,25 0,25
0,25
0,5 0,25 0,5 0,5
0,5
4
0,25
Trang 3Xét ABD có OE//AB OE OD
(Hệ quả của định lý Ta lét) (1)
Xét ABC có OF//DC OF OB
(Hệ quả của định lý Ta lét) (2)
Xét ABC có OF//AB OF OC
(Hệ quả của định lý Ta lét) (3)
Xét ABD có OE//DC OE AO
(Hệ quả của định lý Ta lét) (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra : OE
AB
CD+
OF
AB+
OE
DC=
OD
DB+
OB
BD+
OC
AC+
AO AC
OE
AB+
OF
AB+
OF
CD+
OE
DC=
OD
DB+
OB
BD+
OC
AC+
AO AC
EF
AB+
EF
DC=
BD
BD+
AC
EF
AB+
EF
DC=2
1
AB+
1
DC=
2 EF
O A
D
B
C
0,25 0,25
0,25
0,25
0,25
5
Kẻ DI, DJ lần lợt vuông góc với AK, CK
Ta có AND 1
2
S
2 ( do chung đáy AD, cùng chiều cao hạ từ N) (1)
CDM
1
2
S
2 ( do chung đáy CD, cùng chiều cao hạ từ M) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 1
AN.DI
1 CM.DJ
2 DI=DJ (do AN=CM)
DIK DJK
(cạnh huyền-cạnh góc vuông) IKD JKD
KD là tia phân giác AKC
0,25 0,5 0,5
0,25
0,5
Trang 4
l
K
A
B
D
C
N
M
J