Sau khi kÊy ra ë thïng thø nh¸t mét lîng dÇu gÊp ba lîng dÇu lÊy ra ë thïng thø hai, th× lîng dÇu cßn l¹i trong thïng thø hai gÊp ®«i lîng dÇu cßn l¹i trong thïng thø nhÊt.. NÕu ch¶y r[r]
Trang 1Chủ đề I: rút gọn biểu thức
Ph
ơng pháp:
- Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
- Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán cha cho ĐKXĐ)
- Rút gọn từng phân thức(nếu đợc)
- Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất nh:
+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng
+ Phân tích thành nhân tử – rút gọn
Chú ý: - Trong mỗi bài toán rút gọn thờng có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải phơng trình; bất phơng trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất…Do vậy ta phải áp dụng các phơng pháp giải tơng ứng, thích hợp cho từng loại bài
Bài Tập (Mỗi bài tập các em tự tìm TXĐ)
Bài 1: Cho biểu thức :
a
a a a
a
a
A
1
1
a/ Rút gọn A
b/ Tính A khi a 3 2 2
Bài 2: Cho biểu thức :
4 2
2 4
2
2
a
a a
a
B
a/ Rút gọn B
b/ Tính giá trị của a khi B =
2 1
Bài 3: Cho biểu thức :
x x x
C
2
2 2
1
a/ Rút gọn C
b/ Tinh C khi x 4 2 3
Bài 4: Cho biểu thức :
4
1 : 2
1 2
1
x x
x
D
Chứng tỏ biểu thức D không phụ thuộc vào biến x
Bài 5: Cho biểu thức :
4
2 : 2
x
x x
x x
x
E
a/ Rút gọn E
b/ Tìm các giá trị của x để E nhận giá trị nguyên
Chủ đề ii:
Phơng trình bậc hai một ẩn
-
-A CáCH GIảI PHƯƠNG TRìNH BậC HAI (KHUYếT):
Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết (c) dạng: ax 2 + bx = 0
+ Phơng pháp : Phân tích vế trái thành nhân tử , rồi giải phơng trình tích
Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết (b) dạng: ax 2 + c = 0
+ Phơng pháp:
-Biến đổi về dạng x2 m x m
Trang 2- Hoặc
m x
m x
m x
m x m
x m x m
x
0
0 0
) )(
( 0 2 2
Bài tập luyện tập Giải cỏc phương trỡnh bậc hai khuyết sau:
a) 7x2 - 5x = 0 ; b) 3x2 +9x = 0 ; c) 5x2 – 20x = 0
d) -3x2 + 15 = 0 ; e) 3x2 - 3 = 0 ; f) 3x2 + 6 = 0
b CáCH GIảI PHƯƠNG TRìNH BậC HAI (ĐầY Đủ) :
Cách giải ph ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) bằng công thức nghiệm:
1 công thức nghiệm: Phơng trình: ax 2 + bx + c = 0
* Nếu > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x 1 = -b -
2a
; x
2 = -b +
2a
* Nếu = 0 phơng trình có nghiệm kép: x 1 = x 2 = -b
2a
* Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm
Bài tập luyện tập Dựng cụng thức nghiệm tổng quỏt để giải cỏc phương trỡnh sau:
Bài 1:
1.a) 2x2 - 7x + 3 = 0 ; b) y2 – 8y + 16 = 0 ; c) 6x2 + x - 5 = 0 d) 6x2 + x + 5 = 0 ; e) 4x2 + 4x +1 = 0 ; f) -3x2 + 2x +8 = 0
Bài 2:
a/ (x + 2)2 - 3x - 5 = (1 - x)(1 + x) b/ (x + 1)2 - x + 1 = (x - 1)(x - 2)
c/ 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) – 15 d/ x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1
Bài 3:
a, 2x2 – 2 2x + 1 = 0 b, 2x2 – (1-2 2)x - 2 = 0 c, 1
3x2 - 2x - 2
3 = 0
Cách giải ph ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) bằng P 2 đặc biệt:
1 Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì phơng trình có một
nghiệm: x 1 = 1 và
a
c
x 2
2 Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có a - b + c = 0 thì phơng trình có một
nghiệm: x 1 = - 1 và
a
c
x2
Bài tập luyện tập Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp đặc biệt:
a) 7x2 - 9x + 2 = 0 ; b) 23x2 – 9x – 32 = 0 ;
c) x2 – 39x – 40 = 0 ; d) 24x2 – 29x + 4 = 0 ;
c CáCH GIảI PHƯƠNG TRìNH đ a về ph ơng trình BậC HAI :
Cách giải ph ơng trình trùng ph ơng: 4 2 0
bx c ax
+ Đặt x2 = t ĐK: t 0
+ Thay vào ta đợc một phơng trình bậc hai Giải phơng trình ta đợc giá trị của t
+ Thay giá trị của t vào phơng trình x 2 t rồi tính x
+ Đối chiếu với ĐK để kết luận nhiệm của phơng trình
Cách giải ph ơng trình chứa ẩn ở mẫu:
+ Tìm ĐKXĐ
ac
b2 4
Trang 3+ Quy đồng ; khử mẫu; bỏ ngoặc; thu gọn
+ Chuyển các hạng tử qua vế tráI - đổi dấu
+ Giải phơng trình bậc hai
+ Đối chiếu với ĐKXĐ để kết luận nghiệm
Cách giải ph ơng trình bậc cao:
+ Chuyển các hạng tử qua vế trái - đổi dấu
+ Phân tích đa thức VT thành nhân tử
+ Giải phơng trình tích A(x).B(x).C(x) = 0
Bài tập luyện tập: Giải các phơng trình sau:
Bài 1: a) x4 5x2 6 0 b) 3x4 4x2 1 0
Bài 2:
x x
x a
2
6 3 5
2 )
) 2 )(
1 (
2 1
4 )
2
x x x
b
Bài 3: ) 3 3 2 2 6 0
x x x
a ) 5 3 2 5 1 0
x x x
b
d.GIảI Và BIệN LUậN PHƯƠNG TRìNH BậC HAI
1 Ph ơng pháp:
+ Lập biểu thức (có cha tham số)
+ Thu gon biểu thức
+ Giải bất phơng trình 0
2.Ví dụ: Cho phương trỡnh: x2 + 2x – 2m = 0 (1)
Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt?
Giải:
m m
m c
b
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt
2
1 4
8 0 8 4
0
1 Ph ơng pháp:
+ Lập biểu thức (có cha tham số)
+ Thu gon biểu thức
+ Giải phơng trình 0
2.Ví dụ: Cho phương trỡnh: x2 + 2x – k = 0 (1)
Tìm giá trị của kđể phơng trình có nghiệm kép ?
Giải: (a 1 ;b 2 ;c k) 2 2 4 1 ( k) 4 4k
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt 0 4 4k 0 4k 4 m 1
3 Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình vô nghiệm :
1 Ph ơng pháp:
+ Lập biểu thức (có cha tham số)
+ Thu gon biểu thức
+ Giải bất phơngtrình 0
+ Ví dụ: Cho phương trỡnh: x2 + 2x +n = 0 (1)
Tìm giá trị của n để phơng trình vô nghiệm?
Giải: (a 1 ;b 2 ;c n) 2 2 4 1 n 4 4n
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt 0 4 4n 0 4n 4 n 1
Bài tập luyện tập
Bài 1 Cho phơng trình: x2 + 2x + m + 3 = 0
a/ Giải phương trỡnh với m = -6
b/Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt
Bài 2: Cho phơng trình: x2 - 2x + m - 1 = 0
a/ Giải phương trỡnh với m = - 3
b/Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh cú nghiệm
Trang 4Bài 3: Cho phơng trình: x2 + 2x + 2m - 1 = 0
a/ Giải phương trỡnh với m = - 2
b/Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh cú nghiệm
Bài 4: Cho phơng trình: mx2 – (2m – 1)x + m + 1 = 0
a/ Giải phương trỡnh với m = - 1
b/Với giỏ trị nào cảu m thỡ phương trỡnh cú nghiệm kộp
Bài5 : Cho phơng trình: mx2 –2(m+2)x + m-1 = 0
a/ Giải phương trỡnh với m = - 1
b/Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt
Bài 6: Cho phơng trình: x2 + (2k+1)x + k2 + 2k + 1 = 0
a/ Giải phương trỡnh với k = - 1
b/Với giỏ trị nào của k thỡ phương trỡnh vụ nghiệm
tr
ớc Tìm nghiệm thứ 2
ương phỏp: Ph
Ta thay x = x1 vào phơng trình đã cho, rồi tìm giá trị của tham số
Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình dựng định lý Vi ột (tụng hai nghiệm hoặc tớch hai nghiệm) để tỡm nghiệm thứ hai
Định lý Vi ét: Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 (a 0) thỡ
Ví dụ: Cho phương trỡnh: x2 – 5x + m – 4 = 0 (1)
a/ Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x1 = 1
b/ Tìm nghiêm còn lại
Giải:
a/ Tìm giá trị của m để ph ơng trình có một nghiệm x 1 = 1
Thay x1 = 1 vào phơng trình (1) ta đợc: 1 2 5 m 4 0 4 m 4 0 m 8
Vậy với m = 8 Thì phơng trình (1) có một nghiệm x1 = 1
b/Tỡm nghiệm cũn lại:
Cỏch 1:Thay m = 8 vào PT (1) ta có:
x2-5x+8-4=0 x2 -5x +4 = 0 x1 =1; x2 = 4
Vậy nghiệm thứ hai của Pt (1) là x = 4
Cỏch 2: Theo hệ thức Vi ột ta cú: x1.x2 =
a
c
1
4
1 2
x x2 4
Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho phơng trình : 2x2 - 6x + m + 6 = 0
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 2
Bài 2 : Biết rằng phơng trình : x2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Với m là tham số )
có một nghiệm x = 1 Tìm nghiệm còn lại
Bài 3 : Biết rằng phơng trình : x2 - (3m + 1 )x - 2m - 7 = 0 ( Với m là tham số )
có một nghiệm x = -1 Tìm nghiệm còn lại
Bài 4: Cho phơng trình: x2 - 2(m- 1)x + 3m - 1 = 0
Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 2 Tìm nghiệm còn lại
x1 + x2 = - b a ; x1x2 = a c
Trang 5 Ph ơng pháp:
- Lập biểu thức
- Chứng minh 0với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về dạng: = (AB)2 m với m 0
Ví dụ: Cho phơng trình 2 ( 2 ) 5 0
m x m x
Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
Giải:
Ta có: a 1 ;b (m 2 );cm 5 ( 2 )2 4 1 ( 5 ) ( 2 4 4 ) 4 20
m2 8m 24 m2 2 m 4 4 2 8 ( 4 ) 2 8 0
m
Vì 0 với mọi giá trị của m nên phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt
Bài tập luyện tập
Bài 1 Cho phương trỡnh: 2x2 – mx + m – 2 = 0
Chứng minh rằng phương trỡnh cú nghiệm với mọi m
Bài 2:
Cho phương trỡnh: x2 – (k – 1)x + k – 3 = 0
1/Giải phương trỡnh khi k = 2
2/Chứng minh rằng phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi k
Bài 3:
Cho phương trỡnh: x2 + (m – 1)x – 2m – 3 = 0
Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m
Vớ dụ : Cho x 1 3; x 2 2 lập một phương trỡnh bậc hai chứa hai nghiệm trờn
Giải: Theo hệ thức VI-ẫT ta cú 1 2
1 2
5 6
P x x
Vậy x x1; 2là nghiệm của phương trỡnh cú dạng: x2 Sx P 0 x2 5x 6 0
Bài tập luện tập:
Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm:
1/ x1 = 8 và x2 = -3
2/ x1 = 36 và x2 = -104
-Chủ đề III
t
a x a y
Trang 6I/ Tìm hệ số a - Vẽ đồ thị hàm số ' 2 ( ' 0 )
a x a
hay không thuộc đồ thị:
Hệ số a đợc tính theo công thức: 2
x
y
a
a x a
Điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) y = f(x0)
Vớ dụ :
a/Tỡm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nú đi qua điểm A(2;4)
b/ Đồ thị hàm số trên có đi qua điểm B(3; 9) không? C(3; -9) không?
Giải:
a/ Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nờn: 4 = a.22 a = 1
b/ Vì a =1 nên ta có hàm số y x2
+ Thay x = 3 vào hàm số ta đợc Y = 32 = 9 = 9 Vậy B thuộc đồ thị hàm số y = x2
+ Thay x = 3 vào hàm số ta đợc Y = 32 = 9 9 Vậy C không thuộc đồ thị hàm số y = x2
II/QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG THẲNG (d): y = ax + b
và PA RA BOL(P): y = a ’ x 2 (a 0): ’
1.Tỡm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bước 1: Lập phương trỡnh:
a ’ x 2 = ax + b a ’ x 2 - ax – b = 0 (1)
Bước 2: Giải phơng trình (1) để ttìm nghiệm x1;x2 rồi lần lợt thay vào hàm số (p) hoặc (d)
để tìm y1và y2
+ x1và x2 gọi là hoành độ giao điểm
+ y1và y2 gọi là tung độ giao điểm
+ Cặp số (x1;y1);(x2;y2) là toạ độ giao điểm A và B của (p) và (d)
Ví dụ: Cho hàm số (p):y 2x2và đờng thẳng (d): y 3 x 5
Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
Giải: Vì (P) cắt (d) nên ta có: 2x2 3x 5 2x2 3x 5 0
Ta có:a + b + c = 0 => x1 = 1; x2 =
2
5
(là các hoành độ giao điểm) Thay x1 = 1 vào (p) ta đợc: y1 = 12 = 1 =>A(1;1)
Thay
2
5
2
x vào (p) ta đợc:
4
25 2
5 2
4
25
; 2 5
2.Tỡm điều kiện để (d) và (P) cắt; tiếp xúc; không cắt nhau :
Từ phơng trình (1) ta có: a'x2 ax b 0 ( a) 2 4a' b
a) (d) và (P) cắt nhau phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt 0
b) (d) và (P) tiếp xỳc với nhau phương trỡnh (1) cú nghiệm kộp 0
c) (d) và (P) khụng giao nhau phương trỡnh (1) vụ nghiệm 0
Chú ý: Nếu bài toán đã tìm đợc điều kiện của tham số để (d) và (P) cắt nhau ; tiếp xúc;
không cắt nhau Thì chỉ cần thay giá trị của tham số vào biểu thức để tìm nghiêm của phơng trình rồi thay các nghiệm đó vào (p)để tìm y
Ví dụ: Cho (p): y x2 và đờng thẳng (d): y 2xm 2
a/ Tìm m để (p) tiếp xúc với (d)
b/ Tìm toạ độ tiếp điểm
Giải:Ta có:
Trang 7
4
4
8 4 4 ) 2 (
1 4 ) 2 ( 0
2 2
2
2
m
m m
m x x m
x
x
a/ (p) và (d) tiếp xúc nhau 0 4m 4 0 m 1
b/ Khi m = 1 thì 0thay m = 1 vào phơng trình 2 2 2 0
x m
0 1 2 0
2
1
2 x x x
x
1 2
) 2 (
2
1 x
x
Thay x = 1vào (p) ta có: y = 12 = 1
Vậy toạ độ tiếp điểm là (1;1)
3.
Chứng minh (d) và (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau với mọi giá trị của tham số :
Ph ơng pháp : Ta phải chứng tỏ đợc phơng trình: a ’ x 2 = ax + b có :
+ 0với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về dạng:
= (AB)2 m với m 0 thì đờng thẳng luôn cắt pa ra bol
+ 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về dạng:
= (A B) 2 thì đờng thẳng có thể cắt pa ra bol nếu (A B) 2> 0 hoặc
tiếp xúc với pa ra bol nếu 2
) (A B = 0
+ 0 với mọi giá trị của tham số thì đờng thẳng tiếp xúc với pa ra bol
+ 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về dạng:
= AB2 m với m 0 thì đờng thẳng không cắt pa ra bol
bài tập luyện tập:
Bài 1 cho parabol (p): y = 2x2
1.Vẽ đồ thị hàm số (p)
2.Tìm giao điểm của (p) với đờng thẳng y = 2x +1
Bài 2 : Cho (P): 2
2
1
x
y và đờng thẳng (d): y = 2x + m
1 Tìm m để (p) tiếp xúc với (d)
2 Tìm toạ độ tiếp điểm
Bài 3 : Cho (P) y x2 và đờng thẳng (d) y = x + k
1 Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
2 Tìm toạ độ tiếp điểm
Bài 4 : Cho (P)
4
2
x
y và (d): y = x + m
1 Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
2 Tìm toạ độ giao điểm khi m = 3
Bài 5 : Cho hàm số (P): y x2 và hàm số(d): y = 2x + m
1.Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
2 Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 3
Bài 6: : Cho hàm số (P): 2
4
1
x
y và đờng thẳng (d): y mx 2m 1
1 Vẽ (P)
2 Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
Bài 7 : Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng (d1) y = -2(x+1)
1 Điểm A có thuộc (d1) không ? Vì sao ?
2 Tìm a để hàm số (P): y a x2 đi qua A
-.
Trang 8Dạng IV
I, Lí thuyết cần nhớ:
* Bớc 1: + Lập PT hoặc hệ phơng trình;
- Chọn ẩn, tìm đơn vị và ĐK cho ẩn.
- Biểu diễn mối quan hệ còn lại qua ẩn và các đại lợng đã biết
- Lập PT.hoặc HPT
* Bớc 2: Giải PT hoặc HPT.
* Bớc 3: Đối chiếu với ĐK để trả lời.
bài tập luyện tập:
1) Toán chuyển động:
Bài 1 Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngợc
chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B
Bài 2: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h Khi đi từ B về A ngời ấy đi
đ-ờng khác dài hơn 6 km, với vận tốc 12km/h nên thời gian ít hơn thời gian khi đI là 20 phút Tính quãng đờng AB?
Bài 3 Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngợc chiều nhau và
gặp nhau sau 1 giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngợc dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nớc) và vận tốc dòng nớc là 3 km/h
2) Toán thêm bớt một l ợng
Bài 4: Hai thùng đựng dầu: Thùng thứ nhất có 120 lít,thùng thứ hai có 90 lít Sau khi kấy
ra ở thùng thứ nhát một lợng dầu gấp ba lợng dầu lấy ra ở thùng thứ hai, thì lợng dầu còn lại trong thùng thứ hai gấp đôi lợng dầu còn lại trong thùng thứ nhất Hỏi đã lấy ra bao nhiêu lít dầu ở mỗi thùng?
3) Toán phần trăm:
Bài 5 Hai trờng A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS đã trúng
tuyển Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trờng A đạt 80%, trờng B đạt 90% Hỏi mỗi trờng có bao nhiêu HS lớp 9 dự thi vào lớp 10
4) Toán làm chung làm riêng:
Bài 6 Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể Nếu
chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể
Bài 7 Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ nếu tổ một làm trong
5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì đợc 30% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành trong bao lâu
4)Các dạng toán khác:
Bài 12 Một thửa ruộng có chu vi 200m nếu tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng đi
5m thì diện tích giảm đi 75 m2 Tính diện tích thửa ruộng đó
Bài 13 Một phòng họp có 360 ghế đợc xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi
bằng nhau Nhng do số ngời đến họp là 400 nên phải kê thêm 1 hàng và mỗi hàng phải kê thêm 1 ghế mới đủ chỗ Tính xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng
có bao nhiêu
Dạng V Bài tập Hình tổng hợp
Trang 9I/ Nhắc lại một số định lí liên quan đến đ ờng tròn:
1.Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh ấy
2 Tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền
3 Nếu một tam giác có một cạnh là đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là
tamgiác vuông
4a.Trong một đờng tròn,đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây
ấy
b Trong một đờng tròn, đờng kính đờng kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây ấy.
c.Trong một đờng tròn,đờng kính vuông góc với một dây và đi qua trung điểm của dây
ấy thì đi qua điểm chính giữa của cung
d.Trong một đờng tròn,đờng kính đi qua trung điểm của dây và đi qua điểm chính giữa của cung thì vuông góc với một dây ấy.
e.Trong một đờng tròn,đờng kính đi qua điểm chính giữa của cung và vuông góc với
một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
5.Trong một đờng tròn:
a/ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
b/ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
c/ Dây nào lớn hơn thì dâyđó gần tâm hơn
d/ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
6 Nếu một đờng thẳng mà vuông góc tại đầu mút của bán kính thì đờng thẳng ấy là một tiếp tuyến của đờng tròn.
7 Nếu hai tiếp tuyến của đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì:
a/Điểm đó cách đều hai tiếp tuyến
b/Tia kẻ từ diểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
c/Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
d/ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là trục đối xứng của dây nối hai tiếp điểm
8 Nếu hai đờng tròn cắt nhau thì đờng nối tâm là đờng trung trực của dây chung
9 Trong một đơng tròn hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau
10 Trong một đờng tròn hay hai đờng tròn bằng nhau:
a/ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b/ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
c/ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
d/ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn
11 Hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau
12.+ Góc nội tiếp có số đo:
a/ Bằng nửa số đo cung bị chắn
b/ Bằng nửa số đo góc ở tâm
+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hay các cung bằng nhau thì bằng nhau
+Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông
+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
13.Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung:
* Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn
* Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
14.Góc có đỉnh trong đờng tròn có số đo bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
15.Góc có đỉnh ngoài đờng tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
16.Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp bằng 1800
17.Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp trong đờng tròn
18 Tứ giác có các đỉnh nằm trên đờng tròn thì tứ giác đóp nội tiếp.
bài tập luyện tập:
Bài 1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O)
Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P C/M:
Trang 101/Tứ giác CEHD, nội tiếp
2/Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn
3/ AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
Bài 2 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H Gọi O là tâm
đ-ờng tròn
ngoại tiếp tam giác AHE
1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp
2 Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn
3 Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O)
4 Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm
Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M
thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau tại N
1 Chứng minh AC + BD = CD
2 Chứng minh COD = 900
3 Chứng minh OC // BM
4 Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD
5 Chứng minh MN AB
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng
tiếp góc
A , O là trung điểm của IK
1 Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
2 Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
3 Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Bài 5 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng thẳng d
lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến
MB (B là tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB
1 Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp
2 Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2
3 Chứng minh OAHB là hình thoi
4 Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Gọi HD
là đờng kính của đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến của đờng tròn tại D cắt CA ở E
1 Chứng minh tam giác BEC cân
2 Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH
3 Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH)
Bài 7 Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P
sao
cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M
1 Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp đợc một đờng tròn
2 Chứng minh BM // OP
3 Đờng thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành
Bài 8 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác
A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K 1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh rằng: AI2 = IM IB.
3) Chứng minh BAF là tam giác cân
4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi
Bài 9 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc
nửa đờng tròn Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E)
1 Chứng minh ABD = DFB
2 Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp