Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 của tỉnh Quảng Trị có đáp án chi tiết

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm m[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 THPT

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (3,0 điểm) Cho hàm số yx33mx23 2( m3)x1.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

hàm số nghịch biến trong khoảng  ; 

1 1

2 2

Câu 2 (4,0 điểm)

1 Giải phương trình: 19 3 x2 4x24x24 6 2  x 12 3x

2 Giải hệ phương trình: x y x x y







Câu 3 (2,0 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b c bc c a ca

2

3 4

Câu 4 (2,0 điểm) Bạn An vẽ lên giấy một đa giác lồi  H có số cạnh nhiều hơn 4 Sau đó bạn An đếm

các tam giác nhận đỉnh của đa giác làm đỉnh và nhận xét: số tam giác không có cạnh chung với  H

nhiều gấp 5 lần số tam giác có đúng một cạnh chung với  H Hỏi bạn An vẽ đa giác lồi có bao nhiêu cạnh?

Câu 5 (6,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ(Oxy),cho tam giácABC AC  AB.Gọi D ; 

3 2

2 là chân đường phân giác trong góc A E, 1 0 là một điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn ,  ABAE Tìm tọa độ các đỉnh

, ,

A B C biết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là x2y2 x 2y30 0 và A có hoành độ dương

2 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , A ABC600,BC 2 Gọi a H là hình chiếu vuông góc của A trên BC Biết SH vuông góc với mặt phẳng ABC và SA tạo với mặt

phẳng SBC một góc  300 Tính thể tích khối chóp S ABC và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng

SAC theo a

Câu 6 (3,0 điểm) Cho dãy số ( x )biết

( , )

x a











1

1

1

1 Với a3 , chứng minh rằng dãy ( )x n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

2 Chứng minh rằng với mọi a[-2; ]6 , dãy (x n)có giới hạn hữu hạn

- HẾT -

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay)

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019

Môn thi: TOÁN

1

(3,0đ)

Ta có y'3x26mx3 2( m3)

Hàm số nghịch biến trong khoảng  ;  y'   , x  ; 

0

x

2

Xét hàm số ( )f x x

x







2

3

2 2 trên khoảng ;

1 1

2 2

Ta có

x

0

2 2

2 2

Từ bảng biến thiên suy ra m 13

4

0,5

0,5 0,5

0,5

0,5

0,5

2

(4,0đ)

1 (1,0đ)

Giải: Điều kiện:   3 x 2 Phương trình đã cho tương đương với

19 3 x4 2 x3x6 2 x 2 3x

Đặt t 2 x 2 3x ta có t2 14 3 x4 2 x3x,

Phương trình trở thành: t t t

t







5

Với t 1 ta có 2 x 2 3  x 1 3x13 4 2  x3x0 Phương trình vô nghiệm do   3 x 2

Với t5 ta có

0,5

0,5

0,5

 

x

tmđ

x

x

k

 





 





2

2 2

2

11 3

11

1 3

25 50 25 0

Vậy phương trình có nghiệm x1

0,5

2 (2,0đ)

 

 







Điều kiện: x

x y

  





   



6 5

 y3 y  x3  x( )

Xét hàm số f t( ) t3 t t, R

3 ta có f t'( ) t2   t R

3 3 0 , hàm số f

đồng biến trên R nên từ  3 ta có y 1 x

Thế vào  2 ta có phương trình:

 

x2 x  x  x 

2 4 9 5 6 7 11 0 4 ( điều kiện x 6

5 )

  x   x  x   x 

 *

x x

x x

   





2

2

2 0

2

Với x 6

5 ta có

2

0,5

0,5

0,5

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 1 2;  ; 2 1 ;  0,5

3

(2,0đ)

4 5

4

Tương tự ta có

c a ca c a

4

b c c a

b c c a

a b c a b

a b

ab c a b c

2

2

2 2

a b

c a b

c

a b

c a b c



2 2

2

2

2

4

Xét

c



2

2

3

Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra f c( ) 1, c  0 1;

Ta có P f c( ) 1

9 dấu đẳng thức xảy ra khi a  b c 1.

3

Vậy minP 1

9

0,5

0,5

0,5

0,5

4

(2,0đ)

Gọi n (n4) là số cạnh của đa giác

Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác C n3

Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và có 1 cạnh chung với (H) là

n n4

Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và có 2 cạnh chung với (H) là n

Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và không có cạnh chung với (H) là

n

C3n n 4 n Theo giả thiết C n3n n(   4) n 5n n( 4 )

Giải phương trình này, ta được n35

0,5

0,5

0,5

0,5

1 (3,0đ)

Gọi H AIDE

Ta có AB AE BAD, EAD và AD chung nên

Ta có HAEICA 0AIC  ABC

0

180

90

Suy ra AEDHAE ABC900ABC900 AHE900

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I ; ,R

1

Phương trình đường thẳng AI: 2x  y 2 0

Tọa độ A là nghiệm của hệ:

x y

x y

y

 



  







2 6

4

Do A có hoành độ dương nên A 2 6  ; Phương trình đường thẳng AD: x 2 0 Gọi A' là giao điểm thứ 2 của AD và đường tròn  C A' ;2 4   Phương trình đường thẳng BC x: 2y 5 0

Tọa độ B C, là nghiệm của hệ

x y

x y

y

 









5 0

4

 





 



3 4 5 0

1,0

0,5

0,5

0,5

0,5

5

(6,0đ)

2 (3,0đ)

Góc giữa SA và mp SBC là   ASH 300 suy ra SAH60 0

Ta có

 

2

0

3 3

60

Ta có CA CH CB CH CA a

CB

2

,

CH

Hạ HE AC HK, SE, ta có

,

AC HE ACSHAC SHE ACHK mặt khác

HKSE suy ra HK(SAC) Vậy d B SAC ,  4HK

3

Ta có HECH.sin 0 3a,

30

a HK

HK1 2  HS12 HE12  3 5

10

Vậy d B SAC ,  2a 5

5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Ta có

x    x  x     2  

1

( n )( n )

x    x  x      2 

1

6

(3đ)

1 (1,5đ)

Do đó nếu 2x n 4 thì 2x n14 Do 2 x1 4 nên 2x n 4

Ta lại có:

x  x  x2 x3x     x  x

0

Dãy (x n) tăng và bị chặn nên có giới hạn hữu hạn

Đặt limx n b Ta có

( ) ( )

b







 



0

2

4 Vậy limx n 4

0,5

0,5

0,5

2 (1,5đ)

Từ ý 1, ta có 2 a 4 thì dãy ( )x n có giới hạn hữu hạn

Hiển nhiên với

a a a





 



 



0 2 4 thì dãy (x n)là dãy hằng nên có giới hạn hữu hạn

Với 0 a 2 , dễ dàng chứng minh được 0x n 2 và dãy giảm nên có giới hạn

Với   2 a 0 hoặc 4 a 6 thì 0x2 4 nên ( )x n có giới hạn hữu hạn Vậy với mọi a[-2; ]6 , dãy (x n)có giới hạn hữu hạn

0,5

0,5

0,5

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí