Bài giảng sáng kiến kinh nghiệm toán 10

Học sinh đã đợc trang bị cách giải phơng trình bậc nhất và bậc hai từ bậc THCS và đợc nhắc lại ở lớp 10.. Tuy nhiên, đối với phơng trình bậc cao nói chung và phơngtrình bậc bốn nói riêng

A đặt vấn đề

I lời nói đầu

Giải phơng trình là một trong những dạng toán cơ bản của chơng trình THPT.

Học sinh đã đợc trang bị cách giải phơng trình bậc nhất và bậc hai từ bậc THCS và

đợc nhắc lại ở lớp 10 Tuy nhiên, đối với phơng trình bậc cao nói chung và phơngtrình bậc bốn nói riêng thì học sinh cha đợc học một cách đầy đủ các phơng pháp

để giải từng dạng phơng trình Nhng đây lại là một nội dung quan trọng trong các

đề thi Đại học, Cao đẳng, TH chuyên nghiệp và đề thi học sinh giỏi từ trớc đếnnay

Trong khi giải các phơng trình, hệ phơng trình: vô tỷ, lợng giác, mũ vàlôgarit, chúng ta cũng thờng phải quy về giải phơng trình bậc cao, trong đó có ph-

ơng trình bậc bốn Một số bài toán trong hình học, trong vật lý sau khi trải quamột số bớc, cuối cùng cũng đều đi đến việc phải giải một phơng trình bậc bốn.Cho dù đó chỉ là một bớc nhỏ trong một bài toán nhng nếu không giải quyết đợcbớc nhỏ này thì chúng ta cũng cha thể đa ra kết luận của bài toán đó

Nói đến phơng trình bậc bốn, nhiều học sinh tỏ ra ái ngại, lúng túng vì các emmới chỉ nắm đợc sơ qua cách giải một số phơng trình bậc bốn đơn giản Vì vậy,việc trang bị đầy đủ cho học sinh các phơng pháp giải phơng trình bậc bốn là điềucần thiết

II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

- Tuy nhiên, các dạng bài tập về phơng trình bậc bốn thì rất phong phú, đa dạng

và phức tạp

2 Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên.

- Đa số học sinh cha có phơng pháp để giải từng dạng phơng trình bậc bốn nên rấtnhiều em thờng "bỏ qua" hoặc "bỏ dở" bài toán khi đã quy về phơng trình dạngnày

Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung và từ thực trạng trên, để học sinh cóthể dễ dàng và tự tin hơn khi gặp các bài tập về phơng trình bậc bốn, giúp các emphát huy đợc khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập nhỏ,cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm của bản thân qua những năm giảng dạy, tôi đa ra

sáng kiến kinh nghiệm “Các phơng pháp giải phơng trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" Sáng kiến kinh nghiệm này đã và đang phục vụ đắc lực cho tôi trong việc

2 Phân tích, đánh giá, tổng hợp lời giải của các bài toán, dạng toán

3 Theo dõi, đánh giá kết quả của học sinh, giáo viên đúc rút kinh nghiệm

- Bớc 1: Đoán nghiệm x0 của phơng trình dựa vào các kết quả sau:

+ Nếu a+b+c+d+e=0 thì (1) có nghiệm x = 1

+ NÕu a-b+c-d+e=0 th× (1) cã nghiÖm x = -1.

+ NÕu a, b, c, d, e nguyªn vµ (1) cã nghiÖm h÷u tØ p

- §o¸n nghiÖm x1 cña ph¬ng tr×nh (1.1) dùa vµo c¸c kÕt qu¶ sau:

+ NÕu a+b1+c1+d1=0 th× (1.1) cã nghiÖm x = 1

+ NÕu a-b1+c1-d1=0 th× (1.1) cã nghiÖm x = -1

+ NÕu a, b1, c1 ,d1 nguyªn vµ (1.1) cã nghiÖm h÷u tØ p

q th× p, q theo thø tù lµ íccña d1 vµ a

1 5

x x x

x x

x x

- (2) vô nghiệm ⇔(2') vô nghiệm hoặc (2') có nghiệm t1 ≤ t2<0

- (2) có nghiệm duy nhất ⇔(2') có nghiệm t1 ≤ 0 =t2

- (2) có 2 nghiệm phân biệt ⇔(2') có nghiệm t1 < 0 <t2 hoặc t1=t2>0

- (2) có 3 nghiệm phân biệt ⇔(2') có nghiệm 0=t1 <t2

- (2) có 4 nghiệm phân biệt ⇔(2') có nghiệm 0< t1 <t2

⇔(2.2) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 thoả mãn: 0=t1<t2

Vậy không tồn tại m để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng:

x4 -2(m+1)x2+2m+1 =0 (2.3)

Giải: Đặt t = x2 (t ≥0) Phơng trình trở thành:

t2 -2(m+1)t+2m+1 =0 (2.4)(2.3) có 4 nghiệm phân biệt ⇔(2.4) có 2 nghiệm t1, t2 thoả mãn : 0< t1 <t2

2 ' ( 1) 2 1 0

Vậy với m = 4 hoặc m = - 4

9thì phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lậpthành cấp số cộng

- Đặt t = a1b1x2+(a b1 2 +a b2 1)x+a2b2, suy ra c d1 1x2+(c d1 2 +c d2 1)x+c2d2=t-a2b2+c2d2.

Ta đa (3) về phơng trình bậc hai ẩn t: t(t-a2b2+c2d2)=m

* Đặc biệt: Khi a1=b1=c1=d1=1, phơng trình có dạng :

x x

b =0 §©y lµ ph¬ng tr×nh bËc hai quen thuéc

* §Æc biÖt: Khi a=e, ph¬ng tr×nh cã d¹ng: ax4 + bx3+cx2 ±bx+a =0 (a≠0)

ta còng cã c¸ch gi¶i t¬ng tù

* Nhận xét: Phơng trình ban đầu không phải là phơng trình dạng 3 nhng với

- Nhận thấy x=0 không là nghiệm của (6), chia hai vế cho x2 ≠0, ta đợc:

§Æt t = x + 16 + 60

x , ph¬ng tr×nh trë thµnh:

4t ( t + 1) = 3⇔4t2 + 4t – 3 = 0 ⇔

1 2 3 2

t t

x x

t t

1 2

Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm 3 13

( ) ( ) ( )

2 2

2

2

2 2

= + +

= +

d b b

c b a b a

b b b a a

a a a

2 1

1 2 2 1

2 1 2 1

2 1

- Bíc 2: XuÊt ph¸t tõ b1b2 = d, tiÕn hµnh nhÈm t×m c¸c hÖ sè b1; b2; a1 ; a2

3 13 2

x x

a) Ph ơng pháp: Sử dụng các hằng đẳng thức, các bất đẳng thức để đánh giá 2 vế

của phơng trình Từ đó đa ra kết luận về nghiệm của phơng trình

b) Ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phơng trình x4 + 8x2 – 8x + 17 = 0 (11.1)

Giải: Phơng trình (11.1)⇔x4 - 8x2 + 16 + 16x2– 8x + 1 = 0

0 )4

(

2

2 2

0 42

2

x x

Vậy phơng trình vô nghiệm

Ví dụ 2 : Giải phơng trình: ( ) (4 )4

x− + −x = (11.2)

Giải: Dễ thấy x = 8 ; x = 9 đều là nghiệm của (11.2)

Xét các giá trị còn lại của x:

quả đạt đợc của sáng kiến kinh nghiệm

- Đối tợng đánh giá: học sinh lớp 10A1 và 10A2 - Trờng THPT Thống Nhất

Đề kiểm tra số 1 (Thời gian: 90 phút)

(Trớc khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy)

Câu 1 (6 điểm): Giải các phơng trình sau:

Đáp án và thang điểm đề kiểm tra số 1.

2

5 5

(2đ)

Phơng trình⇔ (x2 - 5x + 2)( x2 + x - 7) = 0 1.00

1.00

2 2

1 29 2

x x

2 g(x)=x 1=0

x

x x

KÕt qu¶ cña bµi kiÓm tra sè 1:

Lo¹i Giái Kh¸ Trung b×nh YÕu- KÐm

§Ò kiÓm tra sè 2 (Thêi gian: 90 phót).

(Sau khi ¸p dông s¸ng kiÕn kinh nghiÖm vµo gi¶ng d¹y)

C©u 1( 8 ®iÓm): Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x=1, x=1

2.1.d

(2đ)

Phơng trình⇔(x2 +5x +1)( x2 -4x +2) = 0

2 2

Phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt⇔(1) và (2) đều có 2

nghiệm phân biệt nhng chúng không có nghiệm chung

+ (1) và (2) đều có 2 nghiệm phân biệt

0 0

0 0

Kết quả của bài kiểm tra số 2.

Loại Giỏi Khá Trung bình Yếu- Kém

2 Bài tập củng cố.

Bài 1: Giải các phơng trình sau:

1) 2x4 + 3x3 – 3x2 + 3x + 2 = 0 2) x4 -8x3+7x2+36x-36=0 3) x4 -4x2 + 12x -9 = 0 4) x4+(x-1)(x2+2x+2)=0

5) (x2-4)(x2-2x)=2 6) (4x+1)(12x-1)(3x+2)(x+1)=4

1 Kết quả nghiên cứu.

Thông qua quá trình giảng dạy học sinh lớp 10A1, 10A2 và ôn luyện cho đối ợng học sinh khá giỏi, tôi đã áp dụng đề tài trên và kết quả cho thấy:

- Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy tài liệu này rất hữu ích đối với giáo viên

và đã mang lại những kết quả khả quan khi dạy học sinh Hy vọng nó sẽ trở thành tài liệu tham khảo cho các giáo viên, học sinh và những ngời quan tâm đến vấn đề

Rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của ngời đọc

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này!

D tài liệu tham khảo và mục lục.

1 Tài liệu tham khảo.

- Các bài giảng luyện thi môn toán- NXB Giáo dục

- Tuyển chọn 400 bài toán đại số 10- Hà Văn Chơng NXB ĐHQG Hà Nội

- Đại số sơ cấp- Trần Phơng - Lê Hồng Đức NXB Hà Nội

- Tạp chí toán học tuổi trẻ

- Đề thi tuyển sinh môn toán- NXB Giáo dục 1996

2 Mục lục:

Trang

A- Đặt vấn đề 1

B- Giải quyết vấn đề 2

I Các giải pháp thực hiện 2

II Các phơng pháp giải phơng trình bậc bốn 2

1 Phơng pháp đa phơng trình về dạng tích 2

2 Phơng pháp đặt ẩn phụ 4

3 Phơng pháp đa về hai luỹ thừa cùng bậc 11

4 Phơng pháp dùng hệ số bất định 12

5 Phơng pháp đánh giá 13

III C¸c biÖn ph¸p tæ chøc thùc hiÖn 14C- kÕt luËn 19D- Tµi liÖu tham kh¶o vµ môc lôc 20

Thèng NhÊt, th¸ng 5 n¨m 2010.

Ngêi thùc hiÖn

Lª ThÞ Thanh Hoa