DE CUONG TOAN 11 NANG CAO HOC KY I

2. 4 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, AB là đáy lớn. 5 Cho tứ diện ABCD. 6 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF chứa trong hai mp khác nhau. ABCD đáy là hình bình hành.. Xét h[r]

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Chương 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§ 1 CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. Tóm tắt lý thuyết:

* Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của

góc có số đo radian bằng x được gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx.

+ Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π .

+ Sự biến thiên: Tăng trên mỗi khoảng.

+ Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π .

+ Sự biến thiên: Tăng trên mỗi khoảng.

+ Hàm số tuần hoàn với chu kì π .

+ Sự biến thiên: Tăng trên mỗi khoảng.

Hàm số tuần hoàn với chu kì π .

Sự biến thiên: giảm trên mỗi khoảng.

(kπ ;π + kπ )k∈ Z

Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x= kπ ,k∈ Z làm đường tiệm cận.

 Hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T ≠ 0 sao cho với mọi x∈ D ta có x+ T∈ D;c− T∈ D và f(x+T) = f(x).

 Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm

số tuần hoàn với chu kì T.

y

c)

x

x y

sin1

sin1

452

;4

33

;4

31

;4

;4

;2

a) Chứng minh rằng: Với số nguyên k tùy ý ta luôn có: f(x+ kπ )= f( )x với mọi x.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số: y = 2sin2x trên đoạn  − 

2

;2

ππ

.

c) Vẽ đồ thị của hàm số đó.

1 6 Từ đồ thị hàm số y = sinx, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau và vẽ đồ thị các hàm số đó:

1 7 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

−

=

x

x y

§ 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Phương pháp:

 : Nhận dạng hay đưa các phương trình ở giả thiết về 4 phương trình lượng giác cơ bản sau đây.

Z k k x

k x

sin

παπ

παα

Z k k x

Z k k x x

Z k k x

coxx

Z k k x

x

Z k k x

x

Z k k x x

∈ +

=

⇔

=

∈ +

cos

; 2 1

cos

; 2 0

; 2 2 1

sin

; 2 2 1

sin

; 0

sin

π π π

π π

π π

π π π

;2cos

;2

1cos

;2

3sinx= x= x= x= −

b)

3

3cot

;03

3tan

;2cot

;3tanx= x= − x+ = x= −

2 2 Giải các phương trình:

62

43

sin x= − với 0< x< π .

2

35cos x− = ; với −π < x< π

c) tan(2x−150)= 1 ; với − 1800< x< 900

3

13

=++

a c x b x a

hay c

x b x a

: Đặt t = cosx (hay t = sinx) ⇒ −1≤ t≤ 1.

at t

1

;1cos

2 , 1

2 , 1

t x

t x

x a

2,0tan

tan2

hay:

(x kπ )

c x b x

g) cos5x.cosx= cos4x.cos2x+ 3cos2 x+ 1

h) sin3x+ 3sin2x+ 2sinx= 0

i)

2

56

cos43

k) sin3x+ 3sinx− 6cos2 x+ 2= 0

3 3: Giải và biện luận các phương trình:

a) (m− 3)sin2x− 2(m−1)sinx+ m−1= 0

b) 3(m−1)cos2 x+ 2mcosx− m= 0

§ 4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX, COSX

Phương pháp:

 : Kiểm tra điều kiện có nghiệm: a2 + b2 ≥ c2

 : Cách 1: Chia 2 vế phương trình (1) cho a2 + b2 đưa về công thức cộng.

b a

c x

b a

b x

b a

a

+

=+

++

⇔

2 2

2 2

coscos

sin

b a

c và

b a b

b a a

=

θϕ

=

+

=

2 2 2

2

2 2

sin,sin

cos

b b

b

a

c a

a a a

θϕ

sinx+ x=

f) 13sinx + 15cosx = 1

4 2 Giải các phương trình:

a) sin8x− cos6x= 3(sin6x+ cos8x)

b) sinx+ cosx= 2 2sinxcosx

c)

2

234

sin4

2sin

4cos

−

−+

−

x x

x x

4 3 Tìm điều kiện của m để các pt sau có nghiệm:

a) Cosx + sinx = m

23

12cos3sin

+

−

=+

m

m x x

4 4 Giải và biện luận các phương trình sau:

a) 2cosx+ msinx= 3;(m≥ 5)

6

cos3

coscos

x

x x

x

2

1cossin

;2

2cos1cos

;2

2cos1

 : Giải pt cổ điển tương đương:

bsin2x + ( - a ) cos2x = 2d – a – c.

Phương pháp 2:

Viết phương trình: ⇔ asin2x+ bsinxcosx+ ccos2 x= d(sin2x+ cos2 x)

 : Kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm của phương trình hay không?

 : Sau đó chia hai vế cho cos2 x

Viết pt ⇔ (a− d)tan2x+ btanx+ c= 0

Phần bài tập:

5 1 Giải các phương trình:

a) 3sin2x+ 8sinxcosx+ 4cos2 x= 0

b) sin2x− 8sinxcosx+ 7cos2x= 0

c) 3sin2x+ sin2x− 3cos2x= 1

d) 2sin2 x− 3sin2x= 3

e) 3sin2x+ 5cos2x+ 2cos2x− 4sin2x= 0

f) cos2x− cosxsinx= 3sinx(cosx− sinx)

5 2 Cho phương trình:

(2sinx−1)(2cos2x+ 2sinx+ m)= 3− 4cos2 x

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện 0 ≤ x≤ π

5 3 Giải các phương trình:

a) 3cos2 x− sinxcosx+ 3− m= 0

b) m2cos2x− 4msinxcosx+ 3= 2sin2x

c) (m+ 3)sin2x+ (m+ 3)sinxcosx+ cos2x= 0

d) msin2x+ sin2x− cos2x= 1

sin = t2−

x x

 : Phương trình (1) trở thành pt bh theo t, giải pt này và chọn t = t o thỏa điều kiện|t|≤ 2

2

t x

 :Phương trình (2) trở thành pt bh theo t, giải pt này và chọn t = t o thỏa điều kiện|t|≤ 2

a) 2(sinx+ cosx)+ 6sinxcosx− 2= 0

b) Sinx + cosx – 4 sinxcosx – 1 =0

c) sinxcosx− 2(sinx+ cosx)+1= 0

d) Sinxcosx = 6(sinx – cosx) – 1

e) sinx− cosx= 2 6sinxcosx

f) 2 2(sinx− cosx)= 3− sin2x

g) 2sin2x+ 3 3(sinx+ cosx)+ 8= 0

h) (1− 2) (1+ sinx− cosx)= sin2x

i) (1+ 2) (sinx+ cosx)− 2sinxcosx−1− 2= 0

6 2 Giải các phương trinh:

cos

1sin

1

=+

x x

2

12sin2

+

42cos2cossin

x x

6 3 Biện luận theo m, số nghiệm của phương trình:

3(sinx + cosx) = 4msinxcosx.

2 2

2 1

A A

M A B

A

M B

M A

≤

≤

1 1 1

1 1

1

B B

A A B

A B A

B B

A A

Phần bài tập:

7 1 Giải các phương trình sau: (dạng tích)

a) Sinx + sin2x + sin3x = 0

b) sinx+ sin2x+ sin3x= 3(cosx+ cos2x+ cos3x)

c) Cosx + cos3x + cos5x = 0

d) 1+ 2sinx + cos3x = 2cosx.cos2x

e) Cos2x – cos8x + cos6x = 1

f) 2sinxcos2x + 2cos2x = 1 + sinx.

g) (2sinx−1)(2cos2x+ 2sinx+ 1)= 3− 4cos2 x

h) Sin2x + tanx = 2

i) sinx(1+ cosx)= 1+ cosx+ cos2x

j) Cos7x + sin8x = cos3x – sin2x

k) 1+ 2sinxcos2x = sinx + 2cos2x

l) cos3x – cos8x + cos5x = 1

7 2 Giải các phương trình sau: ( bằng hạ bậc)

a)

2

13sin2sinsin2x− 2 x+ 2 x=

3

5sin4x+ 4x=

c) sin2x− sin22x+ sin23x+ sin24x= 2

d) 2sin6x+ cos4 x− cos2x= 0

e) sin6 x+ cos6x= sin4x+ cos4 x

f) 0

2tan2sinx+ + x=

g) Sin2x + cos 2x + tanx = 2

h) 2cos6 x+ sin4 x+ cos2x= 0

2cotsinx+ x=

7 3 Giải các phương trình sau: ( dạng đặc biệt)

3sin

2cos

x

x x

sin

4sin2 + 2 + + + =

x

x x

x

g) (cos4x− cos2x)2 = 4+ cos23x

MỘT SỐ ĐỀ THI VÀO ĐẠI HỌC – CĐ

Đề 1 ( ĐH khối A – 2010) Giải phương trình:

.cos2

1tan

1

4sin2cossin

1

x x

x x x

=+

Đề 2 ( ĐH khối B – 2010) Giải phương trình:

(sin2x+ cos2x)cosx+ 2cos2x− sinx= 0

Đề 3 ( ĐH khối D – 2010) Giải phương trình:

Sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0

Đề 4 ( ĐH khối A, B, D – 2010) Giải phương trình:

(8sin 1)cos 52

2

3cos2

−+

−

x x

x x

Đề 6 ( ĐH khối B – 2009) Giải phương trình:

(cos4 sin ).2

3cos32sincos

Đề 7 ( ĐH khối D – 2009) Giải phương trình:

0sin2cos3sin25cos

Đề 8 ( ĐH khối A – 2009) Giải phương trình:

(1+ 2sinx)2cosx= 1+ sinx+ cosx.

Đề 9 ( ĐH khối A – 2008) Giải phương trình:

.4

7sin42

3sin

1sin

ππ

Đề 10 ( ĐH khối B – 2008) Giải phương trình:

.cossin3cos

sincos

3sin3x− 3x= x 2 x− 2x x

Đề 11 ( CĐ khối A – 2008) Giải phương trình:

.sin23cos33

Đề 12 ( ĐH khối A – 2007) Giải phương trình:

(1+ sin2 x)cosx+ (1+ cos2xsinx)=1+ sin2x

Đề 13 ( ĐH khối B – 2007) Giải phương trình:

.sin17sin2

sin

2 2 x+ x− = x

Đề 14 ( ĐH khối D – 2007) Giải phương trình:

2cos32

cos2

sin

2

=+

sin

sin122tan

Đề 17 ( ĐH khối A – 2006) Giải phương trình:

sin22

cossinsin

x

x x x

x

Đề 18 ( ĐH khối B – 2006) Giải phương trình:

42tantan1sin

Đề 19 ( ĐH khối D – 2006) Giải phương trình:

Cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0

Đề 20 ( CĐSP TpHCM khối A – 2006) Giải phương trình:

034sin2cos222

x

Đề 21 (C ĐBCHS khối A – 2006) Giải phương trình:

07cos2sin2

5cos2

sin2

3cos2

7

Đề 22 (C ĐBCHS khối D – 2006) Giải phương trình:

.2cossin

cos4x+ 4x= x

Đề 23 (C ĐXD số 3 khối A – 2006) Giải phương trình:

2sin12

sin

2

sin2

cos

2

4 4

π

x

x x

x x

Đề 24 ( CĐKT – KT CN1 khối A – 2006) Giải phương trình:

6cos323cos2

2cos2

*Quy tắc cộng: giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong m phương án.

Phương án 1 có thể thực hiện bởi n 1 cách.

Phương án 2 có thể thực hiện bởi n 2 cách.

……

Phương án m xó thể thực hiện bởi n m cách.

Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n 1 + n 2 + …+ n m cách.

* Quy tắc nhân: Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp:

c) Các số tự nhiên này chia hết cho 5.

d) Các số tự nhiên này chia hết cho 10.

nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau không chia hết cho 9?

7/ Có bao nhiêu số có 2 chữ số mà 2 chữ số đều là

số chẵn?

chủ tịch, 1 phó chủ tịch, 1 ủy ban thư ký và không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ Hỏi có mấy cách?

a) Có 7 chữ số.

b) Có 7 chữ số khác nhau đôi một.

c) Có 7 chữ số với chữ số đầu tiên là 9.

cách đều chữ số đứng chính giữa thì giống nhau?

a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử, mỗi cách sắp thứ tự k phần tử của tập A

(0< k≤ n) được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.

b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

! 1

2 1

k n

n k

n n

n n

2/ Có bao nhiêu cách xếp 6 chỗ ngồi cho hs vào 6 ghế xếp thành một dãy.

3/ Từ các chữ số 1,2,3,4,5,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau đôi một.

4/ Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau đôi một.

5/ Với 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau lớn hơn 300.000?

6/ Với các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu:

chữ số 1 Suy ra các số tự nhiên không bắt đầu bằng chữ số 1.

12/ Có 4 tem thư khác nhau và 4 bì thư khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách dán tem thư vào bì thư?

13/ Cho đa giác đều có 8 đỉnh Tìm số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 8 đỉnh của đa giác.

14/ Cho đa giác đều có 2n đỉnh Tìm số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác.

15/ Cho đa giác đều A1,A2,A3,,A2n ( n≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O) Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1,A2,A3,,A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1,A2,A3,,A2n Tìm n.

16/ Cho hai đường thẳng d 1 // d 2 Trên đường thẳng d 1 có 10 điểm Trên đường thẳng d 2 có 20 điểm Hỏi có bao nhiêu tam giác được chon bởi các điểm đã cho?

17/ Một tổ học sinh gồm 8 nam và 4 nữ Cần chọn 6 em để lập thành một đội văn nghệ Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong mỗi cách:

20/ Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó phải có mặt 0, 1, 2?

21/ Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số trong đó chữ số 1 được lặp lại 3 lần, mỗi chữ số khác nhau có mặt đúng một lần.

22/ Cho tập hợp X = {1,2,3,4,5}.

a) X có bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử?

khác nhau đôi một lấy từ X Trong đó có các chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau.

n k n

n n o n o n

b a

0

 : Các tính chất của công thức nhị thức Newton:

+ Số các số hạng của công thức bằng n+1.

+ Tổng số các mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức.

+ Số hạng thứ k+1 của khai triển: T k C n k a n−k b n

o n n

2

n n k

n

k n

n n

C C

C

11

c)

10 2

( các số hạng được sắp xếp theo thứ tự lũy thừa tăng dần của x).

5/ Tìm số hạng thứ sáu của khai triển:

2 2 1 2

2 4 2 2 2 0

2 1 2 5

2 5 3 2 3 1

3 2

1 2

2 2

2 2

0

n n

n

n n n

17 1

n x n

n x n

n x x

C C

1 2

1 1 2

1 0 3

2

1

22

22







+ − 5

3 2

1+ x+ x + x = a o+ a x+ a x + + a x Tính:

15 2

2008 4016

0 2008

2008 2008

2006 2008

2 2008

2007 2008

1 2008

1) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu:

Một phép thử ngẫu nhiên ( gọi tắt la phép thử) là một thí nghiệm hay hành động mà:

ª Có thể lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau.

ª Kết quả của nó không dự đoán được.

ª Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra ở phép thử đó.

Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T.

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu có kí hiệu

II Xác suất của biến cố:

* Định nghĩa cổ điển của xác suất:

Giả sử phép thử T có không gian mẫuΩ là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng.

Nếu A là biến cố liên quan đến phép thử T va Ω A là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì

xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức:

* Định nghĩa thống kê của xác suất:

Xét phép thử T và biến cố A liên quan đến phép thử đó.

+ Số lần xuất hiện biến cố A được gọi là tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T.

+ Tỉ số giữa tần số của A với số N được gọi là tần suất của A trong N lần thực hiện phép thử T.

Khi số lần thử N càng lớn thì tần suất của A càng gần với một số xác định, số đó gọi là xác suất của A theo nghĩa thống kê.

Trong khoa học thực nghiệm, người ta lấy tần suất làn xác suất Vì vậy tần suất còn được gọi

là xác suất thực nghiệm.

Phần bài tập:

2/ Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 40.

chẵn” Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho A.

3/ Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 15.

b) Số được chọn chia hết cho 3.

4/ Gieo một đồng tiền ba lần Gọi A là biến cố “ mặt ngữa xuất hiện ít nhất một lần”.

5/ Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ ta được một xấp bài Tính xác suât để trong xấp bài này chứa hai bộ đôi ( tức là có hai con cùng thuộc một bộ, hai con thuộc bộ thứ hai, con thứ 5 thuộc bộ khác).

6/ Ba quân bài rút ra từ 13 quân cùng chất rô ( 2 – 3 - … - 10 – J – Q – K – A).

8/ Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng nhất:

B: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 6”.

9/ Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1, 2, …, 9 Rút ngẫu nhiên hai thẻ và nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau Tính xác suất để:

13/ Xếp ngẫu nhiên 10 người trong đó có hại bạn Tú và Tài xung quanh một bàn tròn; (hai cách xếp được xem là như nhau nếu cách này nhận được từ cách kia bằng cách xoay bàn đi một góc nào đó) Tính xác suất để hai bạn Tú và Tài ngồi cạnh nhau.

§ 5 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC XUẤT

* Tóm tắt lý thuyết:

I Quy tắc cộng xác suất:

a) Biến cố hợp: cho hai biến cố A và B Biến cố “A hoặc B xảy ra”, ký hiệu là A∪ B , được gọi

là hợp của hai biến cố A và B.

Nếu Ω A vàΩ B lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho A là Ω A∪ Ω B .

b) Biến cố xung khắc: Cho hai biến cố A và B Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu

biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.

Hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếuΩ A∪ Ω B = φ ( vớiΩ A vàΩ B lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B).

Ta nói A và A là hai biến cố đối nhau.

* Chú ý: Cho biến cố A Xác suất của biến cố A là:

( )A P( )A

II Quy tắc nhân xác suất:

a) Biến cố giao: cho hai biến cố A và B Biến cố “ Cả A và B cùng xảy ra”, ký hiệu là AB, được gọi là giao của hai biến cố A và B.

Nếu Ω A vàΩ B lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết quả

thuận lợi cho AB là Ω A∩ Ω B

b) Biến cố độc lập : Hai biến cố A và B được gọi là biến cố độc lập với nhau nếu việc xảy

ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất của xảy ra của biến

cố kia.

* Nhận xét: Nếu hai biến cố A, B độc lập với nhau thì A và B ; A và B; A và B cũng độc

lập với nhau

c) Quy tắc nhân xác suất: Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì P( ) ( ) ( )AB = P A P B

* Nhận xét: nếu P( )AB ≠ P( ) ( )A P B thì hai biến cố A và B không độc lập với nhau.

Phần bài tập:

2/ Tính xác suất để khi gieo con súc sắc 6 lần độc lập, không lần nào xuất hiện mặt có số chấm là một số chẵn.

3/ Một chiếc hộp có 9 thẻ đánh số từ 1 đến 9 Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số trên thẻ với nhau Tính xác suất để tích nhận được la số chẵn.

4/ Có ba bình A, B, C mỗi bình chứa ba quả cầu trắng, ba quả cầu xanh và ba quả cầu đỏ Từ mỗi bình lấy ra ngẫu nhiên một quả cầu Tính xác suất để:

9/ Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0,2 Tính xác suất

để 3 lần bắn độc lập người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần.

10/ Một người say rượu bước bốn bước Mỗi bước anh ta tiến lên phía trước nửa mét hoặc lùi lại phía sau nửa mét với xác suất như nhau Tính xác suất để sau bốn bước đó anh ta trở lại điểm xuất phát.

11/ Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập Đồng xu A chế tạo cân đối Đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp ba lần xác suất xuất hiện mặt ngửa Tính xác suất để:

đồng xu đều ngửa.

đồng xu đều ngửa.

12/ Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau Xác suất

để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7 Hãy tính xác suất để:

§ 6 BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

* Tóm tắt lý thuyết:

1) Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc:

Đại lượng X được gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc

một tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được.

* Định nghĩa: cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x1,x2,,x n} Kỳ vọng của

X, ký hiệu là E(X), là một số được tính theo công thức:

=

=+

++

x p x X

E

1 2

2 1

1  ở đó p i= P(X = x i) (; i=1,2,,n)

* Ý nghĩa: E(X) là một số cho ta một ý niệm về độ lớn trung bình của X Vì thế kì vọng E(X)

còn được gọi là giá trị trung bình của X.

3) Phương sai và độ lệch chuẩn:

−+

−

i

i i

n

x p

x p x

X

v

1

2 2

2

2 2 1

2

ở đó: p i = P(X = x i) (; i= 1,2,3,,n)vൠ= E( )X

* Ý nghĩa: Phương sai là một số không âm Nó cho ta một ý niệm về mức độ phân tán các giá

trị của X xung quanh giá trị trung bình Phương sai càng lớn thì độ phân tán này càng lớn.

2/ Một đồng tiền cân đối và đồng nhất được gieo ba lần.

a) Hãy mô tả không gian chuẩn.

b) Ký hiệu X là số lần xuất hiện mặt sấp trong 3 lần Hãy tìm tập giá trị của X Xác định biến cố (X=1) Lập bảng phân bố xác suất của X.

3/ Chọn ngẫu nhiên một gia đình trong số các gia đình có ba con Gọi X là số con trai trong gia đình đó Giả sử xác suất sinh con trai là 0,5.

a) Hãy mô tả không gian mẫu.

b) Tìm tập giá trị của X.

c) Lập bảng phân bố xác suất của X.

d) Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X ( Tính chính xác đến hàng phần trăm).

4/ Một hộp đựng 7 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi Gọi X là số viên bi xanh trong 3 viên bị được chọn ra.

a) Tìm tập giá trị của X.

b) Lập bảng phân bố xác suất của X.

5/ Xác suất bắn trúng vòng 10 của An là 0,4 An bắn 3 lần Gọi X là số lần trúng vòng 10.

a) Lập bảng phân bố xác suất của X.

b) Tính E(X) và V(X) (Tính chính xác đến hàng phần trăm).

6/ Một máy bay có 4 động cơ Xác suất để mỗi động cơ gặp sự cố khi bay là 0,1 Máy bay thực hiện chuyến bay an toàn nếu chỉ có nhiều nhất một trong số 4 động cơ gặp sự cố Tính xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn.

7/ Một đồng tiền cân đối và đồng chất được gieo 4 lần Ký hiệu X là số lần xuất hiện mặt sấp trong 4 lần gieo đó.

a) Hãy mô tả không gian mẫu và lập bảng phân bố xác suất:

b) Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.

8/ Cho biến ngẫu nhiên X với bảng phân bố xác suất:

P

12

412

712

1123

Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.

172173172170

172171170169

167166165164

162162161160

173174173

168168167

165164163

172169166

150173172174

185178171173

a) Lập bảng phân bố xác suất của X.

b) Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.

(Tính chính xác đến hàng phần trăm).

10/ Hai xạ thủ độc lập với nhau cùng bắn vào một tấm bia Mỗi người bắn một viên Xác suất bắn trúng của xạ thủ thứ nhất là 0,7; của xạ thủ thứ hai là 0,8 Gọi X là số viên đạn trúng bia Tính kỳ vọng của X.

Chương 3 DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

§ 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

* Tóm tắt lý thuyết:

Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n≥ p (p là số tự

nhiên cho trước), ta thực hiện như sau:

Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.

Giả thiết mệnh đề đúng khi n = k ,(k≥ p) ta phải chứng minh mệnh đề này cũng đúng khi n = k+1.

Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng P(n) đúng với mọi số tự nhiên n≥ p

Lưu ý: ta thường gặp nhất là p = 1.

Phần bài tập:

2/ Chứng minh rằng với mọi n∈ N* , ta có đẳng thức:

( )2 2 ( 1)(2 1)34

2

)

4

13

2

1

)

2 2

2

2 2 3 3 3

3

2 2

2

2

++

=+

++

+

=+

+

+

++

=+++

+

+

=+++

+

n n

n n

d

n n n c

n n

n n b

n n n a

.37

.14

.3.2

13

+++

=+++++

++

=++++

+

=++++

n n n

n d

n n n n n

n n c

n n n n

n b

n

n n

n a

)

.65

)

2 1

++

+

n n

c

n n

11

19

11

a) Dãy số với (u n ) với

n

7 của mỗi dãy số sau:

a) Dãy số (u n ) xác định bởi: u1 = 1 và u n+1 = 3n+10 với mọi n≥ 1.

b) Dãy số (u n ) xác định bởi: u1= 5,u2 = 0,u n+2= u n+1+ 6u n ,Với mọi n≥ 1.

là số hạng thứ mấy của dãy.

(u n ) của dãy số sau:

( 1),2

;

3

)

1,2

;

1

)

1 1

1 1

≥

=

=

≥+

u

b

n u

u

u

a

n n

n n

5/ Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u1= 1,u n= 2u n−1+ 3

với∀n≥ 2 Bằng quy nạp, chứng minh rằng:∀n≥ 1 ta có: = 2n+ 1− 3

a) Dãy số với (u n ) với u n = 2n3− 5n+ 1.

b) Dãy số với (u n ) với u n n

c) Dãy số với (u n ) với n n

n u

2

2+

d) Dãy số với (u n ) với u n = n+ 1− n

8/ Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u1 =1,u n+1= u n+ 4 với

12+

1

1

N n

là một dãy số giảm và bị chặn dưới.

34

2

=

n n

=

=

+ + S u n N S

u S

n n

1 1

Xác định công thức S n theo n.

§ 3 CẤP SỐ CỘNG

* Tóm tắt lý thuyết:

I Định nghĩa: cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ

hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi gọi là công sai.

* Gọi d là công sai, ta có: u n+1= u n + d ; (n = 1, 2, 3, …)

II Số hạng tổng quát: u n = u1+ (n−1)d

III Tính chất các số hạng của cấp số cộng:

2

;2

số cộng? Khi đó cho biết số hạng đầu và công sai của nó

=+1170

60

2 12

2 4

15 7

u u

u u

=+

−17

10

6 1

5 3 2

u u

u u u

6

7 3

3 7

u u

u u

14

12

5 3

S

u u

=

34

52

5 4 3 2

5 2

u u u u

u u

Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

17/ Cho cấp số cộng có u6 = 17;u11= −1 Tính công sai

và tổng của 11 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.